电磁场第五章 均匀平面波
第五章 均匀平面波的传播
1
所谓平面波，是指电磁波的场矢量只沿着它的传播方向变化， 所谓平面波，是指电磁波的场矢量只沿着它的传播方向变化，在与波传播 平面波 方向垂直的平面内，场矢量的振幅和相位都保持不变。 方向垂直的平面内，场矢量的振幅和相位都保持不变。
图 5-1 均匀平面电磁波的传播
1 T= = ω f
2π λ= k
2π
由上可见，电磁波的频率是描述相位随时间的变化特性， 波长描述相 由上可见，电磁波的频率是描述相位随时间的变化特性，而波长描述相 频率是描述相位随时间的变化特性 随空间的变化特性 的变化特性。 位随空间的变化特性。 由上式又可得
k=
2π
相当于一个全波， 因空间相位变化 2π 相当于一个全波，k 的大小又可衡量单位长度 内具有的全波数目， 又称为波数 波数。 内具有的全波数目，所以 k 又称为波数。
中，第一项代表沿+z方向传播的均匀平面波，第二项代表沿-z 方向传播的均匀平面波，在此仅讨论沿+z方向传播的均匀平面 波，即：
E x ( z ) = E xm e
瞬时式
− jkz
e
jφ x
E x ( z , t ) = E xm cos(ωt − kz + φ x )
9
的变化波形如下图所示。 电场强度随着时间 t 及空间 z 的变化波形如下图所示。 称为时间相位 时间相位。 上式中 ω t 称为时间相位。 kz 称为空间相位。空间相位相 称为空间相位 空间相位。 等的点组成的曲面称为波面 波面。 等的点组成的曲面称为波面。 由上式可见， 由上式可见，z = 常数的波面 为平面，因此， 为平面，因此，这种电磁波称为 平面波。 平面波。 无关， 因 Ex(z) 与 x, y 无关，在 z=常数 常数 的波面上，各点场强相等 的波面上，各点场强相等。因 此，这种波面上场强均匀分布的平面波又称为均匀平面波。 这种波面上场强均匀分布的平面波又称为均匀平面波。 均匀平面波
第五讲 平面波
= ηHr
× erz
r A
⋅
(
r B
×
r C)
=
r B
⋅
r (C
×
r A)
=
r C
⋅(
r A
×
r B)
( ) erz
erz
⋅ ⋅
r H r E
= =
erz erz
⋅ ⋅
⎜⎛⎝ηη1Hrer×z
×
r E
⎟⎞
erz
⎠ =
η=Hrerz⋅⋅(⎜⎛⎝erezrz××erηz1)
r E =
⎟⎞ ⎠ 0
=
1
η
r E
=
yˆ 1
η
E(z,t)
3. 本征阻抗（特征阻抗）
计算式 η = ωμ = ωμ = μ k ω με ε
单位：欧姆（Ω）
η数值等于电场强度与对应磁场强度的振幅之比，并且仅决定于媒质的
电磁参数。
真空中 ④结论：
η0 =
μ0 = 120π ≈ 377 (Ω ) ε0
x
Ex = Emx cos(ω t − kz + ϕ x )
亥姆霍兹方程的解
结论
①亥姆霍兹方程的解代表正弦电磁波，进一步说，它们代表着等相位面（又
称波面）为平面的平面电磁波。如果将不同nˆ 的平面波进行叠加，还可以表
示等相位面为柱面或球面等其它形式的电磁波。
②从电场和磁场的叉积关系可以看出，电磁波的电场矢量、磁场矢量与波矢量
方向两两正交，且满足右手螺旋关系 Eˆ × Hˆ = kˆ。电场和磁场只有垂直于传播
在理想电介质中的波动方程解表示为
Ei (rv,t) = Ei m cos[ω
均匀平面电磁波
z
x,
t
是
以 (t x ) 为整体变量的函数， v
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工程电磁场
表示以速度 v 沿 x 方向传播的行波，
即反射波。
由式可知
H
z
t
1
E
y
x
1
x
f1(t
x) v
1 v
f1 (t
x) v
f1 (t
x v
)
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工程电磁场 经对 t 积分并舍去不随时间变化的积分常数
真空中的波阻抗为 377 。
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工程电磁场
4．理想介质中均匀平面波的
能量传播
由电磁场能量密度的表达式可得出 理想介质中均匀平面波入射波的 电场能量密度、磁场能量密度、 坡印亭矢量。
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工程电磁场
we
1 2
E
y
x,
t
2
1 2
H
z
x
,
t
2
wm
w
we
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工程电磁场
故可令 E x Hx 0 。
因此，对于均匀平面波，
E 和 H 都只有与波的传播方向垂直的分量。 这种电磁波称为横电磁波，简称为 TEM 波。
H y 与 Ez 、 H z 与 Ey 成对出现
可得出一组分量的关系式为
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工程电磁场
2 Hy x 2
1 v2
H D t
E B t
•B 0
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工程电磁场
• D 0 将 D E 和 B H 的关系
电磁场与电磁波(第4版)教学指导书 第5章 平面电磁波
第5章 平面电磁波5.1基本内容概述本章讨论均匀平面波在无界空间传播的特性，主要内容为：均匀平面波在无界的理想介质中的传播特性和导电媒质中的传播特性，电磁波的极化，均匀平面波在各向异性媒质中的传播、相速与群速。
5.1.1理想介质中的均匀平面波1．均匀平面波函数在正弦稳态的情况下，线性、各向同性的均匀媒质中的无源区域的波动方程为220k ∇+=E E对于沿z 轴方向传播的均匀平面波，E 仅是z 坐标的函数。
若取电场E 的方向为x 轴，即x x E =E e ，则波动方程简化为222d 0d x x E k E z+= 沿＋z 轴方向传播的正向行波为()j jkz x m z E e e φ-=E e （5.1）与之相伴的磁场强度复矢量为()()z kz z ωμ=⨯H e E 1j jkz ym E e e φη-=e （5.2）电场强度和磁场强度的瞬时值形式分别为(,)Re[()]cos()j t x m z t z e E t kz ωωφ==-+E E e （5.3）(,)Re[()]cos()j t m y Ez t z e t kz ωωφη==-+H H e （5.4）2．均匀平面波的传播参数 （1）周期2T πω=(s)，表示时间相位相差2π的时间间隔。
（2）相位常数k =（rad/m ），表示波传播单位距离的相位变化。
（3）波长kπλ2=（m ），表示空间相位相差2π的两等相位面之间的距离。
（4）相速p v kω==m/s ），表示等相位面的移动速度。
（5）波阻抗（本征阻抗）x y E H η==Ω），描述均匀平面波的电场和磁场之间的大小及相位关系。
在真空中，37712000≈===πεμηη（Ω） 3．能量密度与能流密度在理想介质中，均匀平面波的电场能量密度等于磁场能量密度，即221122εμ=E H电磁能量密度可表示为22221122e m w w w εμεμ=+=+==E H E H （5.5）瞬时坡印廷矢量为21zη=⨯=S E H e E （5.6）平均坡印廷矢量为211Re 22av z η*⎡⎤=⨯=⎣⎦S E H e E （5.7） 4．沿任意方向传播的平面波对于任意方向n e 传播的均匀平面波，定义波矢量为n x x y y z z k k k k ==++k e e e e （5.8）则00()n jk j --==e r k r E r E e E e （5.9）()()1n η=⨯H r e E r （5.10）00n =e E （5.11）5.1.2电磁波的极化1．极化的概念波的极化表征在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间变化的特性, 并用电场强度矢量的端点在空间描绘出的轨迹来描述。
均匀平面波在无界空间中的传播 优秀课件
r
波传播方向
o
z
y
沿＋z方向传播的均匀平面波
x
等相位 面
P(x,y,z)
r
en
波传播方向
o
z
y
沿任意方向传播的均匀平面波
无界理想媒质中均匀平面波小结
l 电磁场复矢量解为：
E(r) Eme jk r
H (r)
H
e jk
m
r
l E、H、k 的方向满足右手螺旋法则
l 为横电磁波（TEM波）
k E 0, k H 0, E H 0
o
波传播方向
z
平面波。
y
H
均匀平面波
5.1 理想介质中的均匀平面波
2E(r) k2E(r) 0
技巧：建立一个最好的坐标系！
均匀电磁波的电场强度
在正弦稳态下，在均匀、各向同性理想媒质的无源区域中，电 场场量满足亥姆霍兹方程，即：
2 E k 2 E 0 ( k 2 2)
2 xE 2 2 yE 2 2 zE 2k2E0
l 沿空间相位滞后的方向传播
l 电场与磁场同相，电场振幅是磁场的 倍
l 相关的物理量 频率、周期、波长、相位常数、波数、相速
例 频率为100MHz的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿+Z
波长λ ：空间相位差为2π 的两个波阵面的间距，即
k 2π
2π 1 (m) k f
相位常数 k：表示波传播单位距离的相位变化
k 2π (rad/m)
Ex
k 的大小等于空间距离2π内所包含
的波长数目，因此也称为波数。
o
z
波矢量 k ：大小等于相位常数k，
方向为电磁波传播方向
高等出版社电磁场与电磁波 第五章 均匀平面波在无界媒要点
电磁场与电磁波第5章均匀平面波在无界媒质中的传播 36 5.4 色散与群速色散现象：相速随频率变化电磁波的传播特性与介质参数( 、 和 有关，当这些参数和传播常数随频率变化时，不同频率电磁波的传播特性就会有所不同，这就是色散效应，这种媒质称为色散媒质。
单一频率的电磁波不载有任何有用信息，只有由多个频率的正弦波叠加而成的电磁波才能携带有用信息。
群速：载有信息的电磁波通常是由一个高频载波和以载频为中心向两侧扩展的频带所构成的波包，波包包络传播的速度就是群速。
高等教育出版社出版电磁场与电磁波第5章均匀平面波在无界媒质中的传播 37 不同频率电磁波的叠加两个振幅均为Em、角频率分别为 0 + 和 0－ 、相位常数分别为0+ 和 0－ 的同向行波 E1 ( z, t ex Em cos[( 0 t( 0 z ] E2 ( z, t ex Em cos[( 0 t ( 0 z] E ( z, t E1 ( z, t E2 ( z, t ex 2 Em cos( t z cos( 0t 0 z振幅，包络波，以角频率 缓慢变化高等教育出版社出版合成波电场行波因子，代表沿 z 轴传播的行波电磁场与电磁波第5章均匀平面波在无界媒质中的传播 38 相速vp：载波的群速vg：包络波的恒定相位恒定相位点推进速度 0t 0 z C 0 vp 0d dvp点推进速度 d vg lim t z const 0由 vg vp vp vp vg d dd d( vp dvp d dvp———无色散 d vp dvp 0, v vd vp d d vp d dvp 0, vg vp——反常色—正常色散 vg g p d dvp 1 dvp vp d 0, vg vp散 d 高等教育出版社出版电磁场与电磁波第5章均匀平面波在无界媒质中的传播 39 例5.3.2 载频为 f=100 kHz 的窄频带信号在海水中传播，试求群速。
解：海水的参数： = 4，可视为良导体由S/m、 r = 81、 r = 1，当 f = 100 kHz 时，有 1vp ( 2 2 1.26 rad/m vp 5 105 m/s 0 631群速：vgvg > vp 反常色散媒质得 dvp d 631 1 (631 d d 2 5 105106 m/s > vp 5 105 m/s 631 1 1 vp 2 高等教育出版社出版。
第5章--时变电磁场和平面电磁波--导电媒质中的平面波
1)（电）介质： 1
2)不良导体： 1
3)良导体： 1
图5.5-1 几种媒质的 与频率的关系（对数坐标）
第五章 时变电磁场和平面电磁波
二、平面波在导电媒质中的传播特性
§5.5 导电媒质中的平面波
a) 导电媒质中波动方程的解
在无源区,设时谐电场复矢量为 E xˆEx
※相速还与频率有关，携带信号的电磁波，其不同的频率分量将以不同的相速传播，
经过一段距离后，信号的相位将发生变化，从而导致信号失真。这种现象称为色散。
※因此导电媒质是色散媒质。
第五章 时变电磁场和平面电磁波
§5.5 导电媒质中的平面波
导电媒质中平面波的波长为
2π
k
2π
2
第五章 时变电磁场和平面电磁波
§5.5 导电媒质中的平面波
表5.5-3 ；理想介质和导电媒质传播特性的比较 （ p.154）
• 演示：理想介质和导电媒质传播特性
第五章 时变电磁场和平面电磁波
§5.5 导电媒质中的平面波
三、弱导电媒质（低损耗介质）中的均匀平面波
弱导电媒质： 1
kc
讨论内容
一．导电媒质的分类 二．导电媒质中的均匀平面波 三．弱导电媒质中的均匀平面波 四．良导体中的均匀平面波
第五章 时变电磁场和平面电磁波
一、导电媒质的分类
§5.5 导电媒质中的平面波
等效复介电常数
在无源区
在理想介质中： 0 在有耗媒质中： 0
H j E H Jc j E E j E
1 j
1
2
谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)课后习题-第5章 均匀平面波在无界空间中的传播【圣才出品】
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等，合成波极化面以前进方向为轴不断旋转的现象。
5.18 直线极化波能否在磁化等离子体中传播？ 答：能。
（二）习题 5.1 在自由空间中，已知电场 H（z，t）。 解：由题意，将电场矢量做变换为余弦形式
，试求磁场强度
由上式可知，这是一个沿＋z 方向传播的均匀平面波的电场，其初始相位为 - 90o 与之
相伴的磁场为
5.2 理想介质（参数为 播，已知其电场瞬时值表达式为
。 ）中有一均匀平面波沿 x 方向传
试求： （1）该理想介质的相对介电常数；
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（5）平均磁场能量密度大于平均电场能量密度。
5.10 趋肤深度是如何定义的？它与衰减常数有何关系？
答：趋肤深度定义为电磁波的幅值衰减为表面值的 1 （或 0.368）时，电磁波所传播 e
的距离，在工程上常用趋肤深度来表征电磁波的趋肤程度。趋肤深度与衰减常数成反比。
台
（2）与 E（x，t）相伴的磁场 H（x，t）；
（3）该平面波的平均功率密度。
解：（1）由电场瞬时表达式可知：
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第 5 章 均匀平面波在无界空间中的传播
（一）思考题 5.1 什么是均匀平面波？平面波与均匀平面波有何区别？ 答：在等相面上是平面的波是平面波，在等相面上振幅也相等的平面波是均匀平面波， 均匀平面波是平面波的一种特殊情况。
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电磁场与电磁波(第4版)第5章 均匀平面波在无界空间中的传播
电磁场与电磁波第5章 均匀平面波在无界空间中的传播1C.Y.W@SDUWH2010电磁场与电磁波第5章 均匀平面波在无界空间中的传播2均匀平面波的概念 波阵面：空间相位相同的点构成的曲面，即等相位面 平面波：等相位面为无限大平面的电磁波 均匀平面波：电磁波的场矢量只沿着它的传播方向变化，等相 位面上电场和磁场的方向、振幅都保持不变的平面波。
均匀平面波是电磁波的一种理想 情况，其特性及分析方法简单，但又 表征了电磁波的重要特性。
实际应用中的各种复杂形式的电 磁波可看成是由许多均匀平面波叠加 的结果。
另外，在距离波源足够远的 地方，呈球面的波阵面上的一小部分 也可以近似看作均匀平面波。
C.Y.W@SDUWH 2010波阵面xE波传播方向o yzH均匀平面波电磁场与电磁波第5章 均匀平面波在无界空间中的传播3本章内容5.1 理想介质中的均匀平面波 5.2 电磁波的极化 5.3 均匀平面波在导电媒质中的传播 5.4 色散与群速 5.5 均匀平面波在各向异性媒质中的传播C.Y.W@SDUWH2010电磁场与电磁波第5章 均匀平面波在无界空间中的传播45.1 理想介质中的均匀平面波5.1.1 理想介质中的均匀平面波函数 5.1.2 理想介质中的均匀平面波的传播特点 5.1.3 沿任意方向传播的均匀平面波C.Y.W@SDUWH2010电磁场与电磁波第5章 均匀平面波在无界空间中的传播55.1.1 理想介质中的均匀平面波函数 设在无限大的无源空间中，充满线性、各向同性的均匀理想 介质。
均匀平面波沿 z 方向传播，则电场强度和磁场强度都不是 x 和 y 的函数，即∂E ∂E ∂H ∂H = =0, = =0 ∂x ∂y ∂x ∂yd2E d2H + k 2E = 0 , + k 2H = 0 dz 2 dz 2∂Ez =0 ∂zHz = 0∂Ex ∂E y ∂Ez + + =0 由于 ∇ ⋅ E = ∂x ∂y ∂zEz = 0∂ 2 Ez + k 2 Ez = 0 ∂z 2同理 ∇ ⋅ H =∂H x ∂H z + + =0 ∂x ∂y ∂z∂H y结论：均匀平面波的电场强度和磁场强度都垂直于波的传播 方向 —— 横电磁波（TEM波）C.Y.W@SDUWH 2010电磁场与电磁波第5章 均匀平面波在无界空间中的传播6在直角坐标系中：∇ 2 F = ex∇ 2 Fx + ey ∇ 2 Fy + ez ∇ 2 Fz 即 (∇2 F )i = ∇ 2 Fi(i = x, y, z )2 2教材第28页 式(1.7.5)2 2 如：(∇ F )φ ≠ ∇ Fφ注意：对于非直角分量， (∇2 F )i ≠ ∇2 Fi 由电场强度满足波动方程 ∇ E + k E = 0ex ∇ 2 Ex + ey ∇ 2 E y + ez ∇ 2 Ez + k 2 (ex Ex + ey E y + ez Ez ) = 0 即⎧∇ 2 Ex + k 2 Ex = 0 ⎪ 2 2 ⎨∇ E y + k E y = 0 ⎪ 2 ∇ Ez + k 2 Ez = 0 ⎩⎧ ∂ 2 Ex ∂ 2 Ex ∂ 2 Ex + + 2 + k 2 Ex = 0 ⎪ 2 2 ∂y ∂z ⎪ ∂x ⎪ ∂2 Ey ∂2 Ey ∂2 Ey ⎪ + + + k 2 Ey = 0 ⎨ 2 2 2 ∂y ∂z ⎪ ∂x ⎪ ∂2 E ∂2 E ∂2 E z + 2 z + k 2 Ez = 0 ⎪ 2z + ∂x ∂y 2 ∂z ⎪ ⎩2010C.Y.W@SDUWH电磁场与电磁波第5章 均匀平面波在无界空间中的传播7对于沿 z 方向传播的均匀平面波，电场强度 E 和磁场强度 H 的分量 Ex 、Ey 和 H x 、H y 满足标量亥姆霍兹方程，即d 2 Ex + k 2 Ex = 0 dz 2 d2Ey + k 2Ey = 0 dz 2 2 d Hx + k 2H x = 0 dz 2 d2H y + k 2H y = 0 dz 2以上四个方程都是二阶常微分方程，它们具有相同的形式，因 而它们的解的形式也相同。
《工程电磁场原理》浙大倪光正05
推迟效应，此时天线在各方向上的辐射场强特性也有 所变化 ；
基于天线的方向性，收、发天线应有相同的方向图。
5.1.4 线天线与天线阵
Linear Antenna and Antenna Array 1.线天线
具有一定长度且导体半径远小于其长度的线状导体 构成的天线。
某一瞬间E 线与H 线在空间的分布
动态描述单元偶极子天线 辐射形成过程
t=0时单元偶极子天线 E 线与 H 线分布
3.电偶极子的电磁场
设： z
l << ，即l上各
A
点i(t )有相同的值，
A
Ar
即不计该元天线上的
P(r,,)
推迟作用；
l
I o
r
e
y l << r，即场点至元 天线上各点距离相同。
不同幂次项组合的因子。
5.1.2 近场与远场
1.近区—— kr <<1 或 r <<
Hr H E 0
H
I l sin
4r 2
Er
j
Il cos 20r3
Il sin E j 40r3
不考虑推迟现象——似稳场。
E H ，且相位差为 2 ，故 S E H 虽不为0，但它对 时间的平均值Sav 0 ，表 明近区内只有电磁能量转换，
波的传播特性：
(1) 波速，即相位速度
1 c
0 0
(2) 波阻抗
0 377 0
(3) 波数——每单位长度中相位的变化，或 2 米中 所含的波长数
第五章 平面波函数
（5.3.4）
把上式带入方程（5.3.3），得到以下的关系： （5.3.5）
把方程（5.3.2）重新整理可以得到 ： （5.3.6）
对于这个表达式，它的等相位面由下列式子给出：
（5.3.7）
它的等振幅面由下列式子给出：
（5.3.8）
根据式子（5.3.5），我们可得到下面的结论：等相位面 和等振幅面是实相互正交的。用方程表示为：
ｍ，得到场的分量表达式
（5.1011）
（具体可参考横磁波与横电波的推导公式）
其中：
。特别地， ＝0，我们有， y
-k z m Ex = ωε x 1 Ez = (k 2 - k z 2 ) m jωε Hy = - m x
（5.1.12）
这里只给出TM模的求解过程，TE模的求解与之类似。
k0 kz
kd
根据前面的讨论，当 kz k0 ，无衰减介质波导传输波的 频率趋于截止频率，这时v 0。
2 2 u = k k 我们设v＝0及 ，解特征方程可以得到： d 0
a k d 2 - k 02 ) = 0 2 a cot( k d 2 - k 02 ) = 0 2 tan(
（5.1.24）
u( x, z ) = e-jpx- jk z z
（5.3.2）
把方程（5.3.2），带入方程（5.3.1）中，得到 ：
p2 + kz 2 = k2
（5.3.3）
在通常情况下，p和 kz是复数，可以设为以下形式：
p = pr - j t k z = r - j
pr 2 - t 2 r 2 - 2 = k 2 pr t r = 0
a 2 a x2 x
a 2
根据 Ez 和 H y 在 x a 2 处需满足的条件，也就是电 场和磁场在边界处连续，即在边界处电场和磁场分别相等。 由此得到下面的方程：
电磁场与电磁波(第4版)第5章部分习题参考解答
5.1 在自由空间中，已知电场3(,)10sin() V/m y E z t e t z ωβ=−G G，试求磁场强度。
(,)H z t G解：以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式3π(,)10cos( V/m 2y E z t e t z ωβ=−−G G这是一个沿方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为z +90−D 。
与之相伴的磁场为300311π(,)(,)10cos(210πcos() 2.65sin() A/m120π2z z y x x H z t e E z t e e t z e t z e t z ωβηηωβωβ=×=×−−=−−−=−−G G G G G G G5.2 理想介质（参数为0μμ=、r 0εεε=、0σ=）中有一均匀平面波沿x 方向传播，已知其电场瞬时值表达式为9(,)377cos(105) V/m y E x t e t x =−G G试求：(1) 该理想介质的相对介电常数；(2) 与(,)E x t G相伴的磁场；(3) 该平面波的平均功率密度。
(,)H x t G 解：(1) 理想介质中的均匀平面波的电场E G应满足波动方程2220EE tμε∂∇−=∂G G据此即可求出欲使给定的E G满足方程所需的媒质参数。
方程中222929425cos(105)y y y y y E E e E e e t x x∂∇=∇==−−∂G G G G 221892237710cos(105)y y y E E e e t t x∂∂==−×−∂∂G G G x = 故得91899425cos(105)[37710cos(105)]0t x t x με−−+×−即18189425251037710με−==×× 故181882r 0025102510(310) 2.25εμε−−×==×××=其实，观察题目给定的电场表达式，可知它表征一个沿x +方向传播的均匀平面波，其相速为98p 10210 m/s 5v k ω===× 而8p 310v ====×故2r 3() 2.252ε==(2) 与电场相伴的磁场E G H G 可由0j E ωμ∇×=−H G G求得。
均匀平面电磁波的特性与特征参量
1
=
11:43
1 f
vp f
0 0
3 108 (m / s) c(光速)
vp f
如果以 e n为表示波传播方向的单位矢量
对于均匀平面电磁波，有： H
同理可以推得： 重要结论：
2
11:43
2 E k E 0 (k 2 2 )
考虑一种简单情况：
性质，知 E 只随z坐标变化。则方程可以简化为： 2 Ex k 2 Ex 0 z 2
解一元二次微分方程，可得上方程通解为：
均匀平面波电场矢量沿x方向，波沿z方向传播，则由均匀平面波
Ex E e jkz E e jkz
由电磁波的场量表达式可总结出波的传播特性 均匀平面波的传播参数
角频率、频率和周期 角频率ω ：表示单位时间内的相位变化，单位为rad /s
周期T ：时间相位变化 2π的时间间隔，即
Ex
o
T
Ex (0, t ) Emcost 的曲线
T 2π
T
2π
1 (Hz) 频率f ： f T 2π
22220e?ke?k????????????????????????22222220eeekexyz????22222222222222222?2222000xxxxyyyyzzzzeeekexeyezekexeyezekexyz????????????电场强度矢量的解05
理想介质中的均匀平面电磁波
0 0 0
4 107 120 377() 1 109 36
在自由空间中传播的电磁波，电场幅度与磁场幅度之比为377。
电磁场与电磁波(第四版)课后答案 第五章习题
b 1,c 0
则波矢量为
k xˆ2 yˆ
传播方向的单位矢量为
nˆ k xˆ2 yˆ 1 xˆ2 yˆ
k 22 12 5
波长为
2 2 2.81m
k5
已知电场的复振幅可写为
Em xˆ 2yˆ j 5 EmR EmI
其中
EmR xˆ 2 yˆ
1 xˆ 2yˆ
5
5 Rˆ
5
EmI zˆj 5
可见
EmR EmI 5
zˆ Rˆ zˆ 1 xˆ 2yˆ 1 yˆ 2xˆ nˆ
5
5
Rˆ zˆ 1 xˆ 2yˆ zˆ 0
5
因为
EmR、E相mI 位相差
90 ，所以电场为一个左旋圆极化波。
与之相伴的磁场为
H r 1 nˆ E r 1 2xˆ yˆ xˆ 2 yˆ j 5zˆ e j2xy
与之相伴的磁场为10cos9951012011jxbyczerxyjze520已知自由空间中均匀平面波的电场为试有此表达式确定波的传播方向波长极化状态并求出磁场252250xbyczxyjzbjc则波矢量为传播方向的单位矢量为mrmiexyjeemrmi波长为已知电场的复振幅可写为其中mrmimrmi可见因为相位相差所以电场为一个左旋圆极化波
H r ,t 1 nˆ E r ,t
0
1 1 3xˆ yˆ zˆ xˆ 2yˆ zˆ10cos 9.95108t k r 120 11
8103 xˆ 4yˆ 7zˆcos 9.95108t 3x y z
A/m
5.20已知自由空间中均匀平面波的电场为
E r xˆ 2yˆ j 5zˆ e j2xbycz
波长 相速
2 2 m 1m 2
均匀平面波的概念和波动方程
1, 均匀平面电磁波的概念
2, 时变电磁场的波动方程
3, 均匀平面波的特性
什么是电磁波?
在自由空间，麦克斯韦方程:
可见：
Jc=。，Pv =。
VxH = e — dt
V7百一渔
N xE = —//-dt
时变的电场可以产生时变的磁场，时变的磁场又可以产生时变的 磁电场， 同时在空间上向邻近点推移，这样就产生了以一定速度向前 传播的电磁波动。
(4)均匀平面电磁波：
任意时刻，如果在平面等相位面上，每一点的电场强度均相同, 这种电 磁波:
Vx H = J +亜 c dt
丿 V x E =--
<
dt
▽ . D = pN
i V.B = o
在自由空间：Jc=O/v=O (Vx H = 8 竺 dt
该电磁波动称为电磁波。
例如：水波
问题：一个点源所发射的电 磁 波的等相位面是什么样？
1 ,均匀平面电磁波的概念
(1) 等相位面：
在某一时刻，空间具有相同相位的点构成的面称为等相位面。 等相 位面又称为波阵面。
(2) 球面波：等相位面是球面的电磁波称为球面波。 (3) 平面波：等相位面是平面的电磁波称为平面电磁波。
可见：HZ与时间t无关，不属于时变场部分。Hz = 0 结论：磁场只有Hx和
Hy分量，说明磁场矢量也位于xOy平面上。
磁场强度可表示为：亘二jHx+ayH
结论: 对传播方向而言，电场和磁场只有横向分量，没有纵向分量,
这种平面电磁波称为横电磁波，简写为TEM波。
小结：
1、 均匀平面电磁波的概念 2、 时变电磁场的波动方程
D= 8E B=
第5章 均匀平面波1
v E0
ω
ϕ
v k
第五章 均匀平面波在无界空间中的传播
2、波的频率和周期 频率： 频率： ω = 2π f 周期： 周期： T = 1 f
v 3、波数 k 、波长 λ 与波矢量 k
波数k: 长为 2π 距离内包含的波长数。 波数k: 距离内包含的波长数。
2π 2π 1 = 波长: 波长: λ = k = ω µε f µε
第五章 均匀平面波在无界空间中的传播
第5章
均匀平面波在无界空间中传播 均匀平面波在无界空间中传播
理想介质中的均匀平面波 5.1 理想介质中的均匀平面波 电磁波的极化 5.2 电磁波的极化 5.3 均匀平面波在导电媒质中的传播 均匀平面波在导电媒质中 导电媒质中的传播 5.4 色散与群速
5.5 均匀平面波在各向异性媒质中的传播
Ex = Re[( A1e − jkz + A2 e jkz )e jωt ]
第五章 均匀平面波在无界空间中的传播
通解的物理意义： 通解的物理意义：
ωt = 0
Ex
ωt =
π
4
ωt =
☺☺ 2π
π
2
kz 3π
+ 首先考察 Em e − jkz 。 其实数 形式为： 形式为：
π
0
+ x
不同时刻 E 的波形
∂2 ∂2 ∂2 ∇ = 2+ 2+ 2 ∂x ∂y ∂z
2
v E ( x, y , z )
v E ( Ex , 0, 0 )
⇓
v E ( Ex , E y , E z )
v E ( z)
思路： 思路：
时谐场
沿着z方向传播 均匀平面波
电动力学 电磁场与电磁波课件第5章 均匀平面波在无界空间中的传播
ε μ
A1e
jkz
eˆy
ε μ
Ex
z
定义介质的波阻抗
磁场的瞬 时值表达？
μ Ω
ε
1/ 称为特征光导纳
因和媒质参数有关，故又称媒质的本征阻抗或特性阻抗。
特别地，真空中的波阻抗
对于非铁磁材料
则
H
0
0 120 0
eˆz
eˆx
1 η
Ex
z
= 0/n
377Ω
H
1 η
eˆz
E
H
1 η
eˆz
k
传播方向 等相面
z
Ez,t eˆxEmcost kz
E
z,t
Eme
j t kr
Em 是复振幅矢量
该式可以推广到任意传播方向k：
E r,t
Eme
j t kr
因此，对时谐场 -j k
相应的磁场矢量：
H
r,t
1 η
eˆn
E
1 η
eˆn
Eme
j
ωt
k r
例： 已知无界理想媒质( =90, =0， =0)
3e
j
kz 3
eˆx
3
40
ej
kz 3
eˆy
1
10
e
jkz
eˆz
5
16
W
/
m2
Pav
S
Sav
dS
5 16π
W
课堂练习： 频率为9.4GHz的均匀平面波在
聚乙烯中传播，设材料无损耗，相对介电常数r=2.26，磁场
的振幅7 mA/m，求相速、波长、波阻抗和电场强度的振幅。
解：
电磁场与电磁波_第五章
1 2
Re[ez
|
E
|2
1
|c
|
e j
]
ez
2
1
|c
|
|
E
|2
cos
总结
• 1. 电场E、磁场H与传播方向之间相互垂直， 仍然是横电磁波(TEM)
• 2. 电场与磁场的振幅呈指数衰减 • 3. 波阻抗为复数，电场与磁场不同相位 • 4. 电磁波的相速与频率有关 • 5. 平均磁场能量密度大于平均电场能量密
•
亥姆霍兹的 解为 ：
E
ex ex
exEx Exme( E x me z
ex Exme
j ) z
e jz
z
• 式中第一个式子 ez 表示电场的振幅随传播
距离 z而呈指数衰减， 称为衰减常数，表
示每传播一个单位距离其振幅的衰减量;第二
个因子 e jz是相位因子， 称为相位常数
•
瞬时值为：E
2ExmEym
Exm2
E
2 ym
cos
5.3 均匀平面波在导电媒质中的传播
• 在导电媒质中，由于电导率不为零，当电 磁波在其中传播时，其中必然有传导电流， 这将导致电磁能量的损耗。
• 5.3.1 导电媒质中的均匀平面波
• 在均匀导电媒质中，由
•得
H
J
jE
j(
j
)E
j cE
1
E
( H ) 0
• 可见，在弱导电媒质中，除了有一定的损 耗所引起的衰减外，与理想介质中平面波 的传播特性基本相同
5.3.3 良导体中的均匀平面波
• 良导体是指 1的媒质 • 传播常数为
j ( j ) j (1 j )
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例 频率为9.4GHz的均匀平面波在聚乙烯中传播，设其为无
耗材料，相对介电常数为εr = 2.26 。若磁场的振幅为7mA/m，
求相速、波长、波阻抗和电场强度的幅值。
解：由题意 r 2.26 , f 9.4109 Hz
因此
v v0 v0 1.996108 m/s
r 2.26
He的z 方表向示传式播，。并当求t 出= 0频3和π率z和=波0 长时。，若
H取
解：以余弦为基准，直接写出
r H (z,t) E(z,t)
ery 31π
0H (z,
cos(t z) t) (ez ) ex
A/m
40 cos(t
z)
V/m
因 30 rad/m，故
v f
1.996 108 9.4 109
2.12
m
0 377 251 r 2.26
Em Hm 7 103 251 1.757 V/m
例 均匀平面波的磁场强度的振幅为 1 A/m，以相位常数
为30 向为
rad/m 在空气中沿
ey，试写出E 和
k 2π
2π 1 (m) k f
相位常数 k ：表示波传播单位距离的相位变化
k 2π (rad/m)
k 的大小等于空间距离2π内所包含 的波长数目，因此也称为波数。
Ex
o
z
Ex (z,0) Emcoskz 的曲线
（3）相速（波速） 相速v：电磁波的等相位面 在空间中的移动速度
r d2H dz 2
r k2H
0
由于
r E
Ex
Ey
Ez
0
x y z
同理
r H
H x
H y
Hz
0
x y z
Ez 0 z Hz 0
Ez 0
2 Ez z 2
k 2Ez
0
结论：均匀平面波的电场强度和磁场强度都垂直于波的传播 方向 —— 横电磁波（TEM波）
沿+z 方向传播的均匀平面波
r E(z)
r Eme jkz
r jkerz rr E em
k r
rez k
ez Em 0
r 沿Erre(nrr传)r播 方Er m向er的 jk均ern匀rr r平 面Er m波erj(kxxky ykzz)
k enk exkx eyky ezkz rr en Em 0
5.1.1 均匀平面波的概念
波阵面：空间相位相同的点构成的曲面，即等相位面 平面波：电磁波等相位点组成的面是一个平面
均匀平面波：电磁波等相位面 上电场和磁场的方向、振幅都保 持不变的平面波
均匀平面波是电磁波的一种理想 情况，其分析方法简单，但又表 征了电磁波的重要特性。
波阵面
x E
波传播方向
o
z
y
相伴的磁场
r
r
由 E jH ，可得
磁场与电场相互 垂直，且同相位
r H1
r ey
j
E1x z
r ey
k
E1x
r ez
r ex
E1x
1
r ez
r E1
其中
E1x H1y
称为(媒)质的本征阻抗。在真空中
0
0 120 377 0
例题 5-1 满足 IEEE802.11b 标准的无线局域网(WLAN)工作在 2.4GHz-2.5GHz 频率范围，发 射的电磁波在远区可以近似认为均匀平面波。设频率为 2.4GHz 的电磁波在纯净水中沿（+z）
方向传播，若不考虑纯净水的衰减，即水的特性参数表示为 r 81、 r 1、 0 。设电场
kx x
ky y
kz z
4πx
3πz
则
kx 4π、ky 0、kz 3π，
r k
r ex
4π
r ez
3π
k (3π)2 (4π)2 5π
r
er n
k k
er x
4 5
er z
3 5
（2） 2π 2π 2 m ， f c 3108 7.5108 Hz
同理，对于
r E2
r ex E2x
r ex
A2e
jkz
H2
1
(ez
)
E2
结论：在理想介质中，均匀平面波的电场强度与磁场强度相 互垂直，且同相位。
5.1.2 均匀平面波的传播特性及其相关参数 1、均匀平面波的传播参数 （1）角频率、频率和周期 平面波的时间变化特性，固定空间位置点
r kr 5π 5
2/5
（3） k Hm 4π(A) 0 2 3π 4 0 A 3
（4）
r E
(rr
)
0
r H
(rr
)
r en
120π(erx 3 ery 2 erz 4)e jπ(4x3z)
(erx
4 5
erz
3) 5
120π(erx1.2
设电场只有x 分量，即
E(
z)
ex
Ex
(
z
)
d2Ex ( dz 2
z)
k
2
Ex
(z)
0
其解为： Ex (z) A1e jkz A2e jkz
解的物理意义
k
第一项
E1x (z)
A1e jkz
E e e j1x jkz 1xm
E1x Emcos(t kz) 的波形
沿 x 方向，即 E
ex
Ex
；当
t
0
，z
1 12
m 时，电场等于其振幅值1 V/m。试求：(1) E(z,t) 和
H (z,t) ；(2)电磁波的相速和波长；(3)瞬态坡印廷矢量和平均坡印廷矢量。
E(z,t) exE(z,t) exEm cos(t kz x )
Em 1V/m f 2.4GHz 2 f 4.8 109 rad/s
2π 2π 0.21 m , f c 3108 45 108 1.43109 Hz
30
π /15 π
则
r H (z,t E(z,t)
)
ery
1 3π
cos(90 108 t
30z)
A/m
ex
40
cos(90
108
t
30z)
V/m
5、沿任意方向传播的均匀平面波
5.2.1 极化的概念 波的极化
在电磁波传播空间给定点处，电场强度矢量的端点随时间 变化的轨迹。
波的极化表征在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间变 化的特性, 是电磁理论中的一个重要概念。
② 电场和磁场的幅度、相位只是传播方向坐标的函数，在传播方向的横截面内，幅度、相 位保持不变；
③ 理想介质本征阻抗为实数，电场和磁场同相位； ④ 均匀平面波能量流动方向就是电磁波的传播方向； ⑤ 理想介质中电磁波的相速度与频率无关，只与媒质参数有关； ⑥ 均匀平面波的电场能量密度与磁场能量密度相等。
由 t kz C
dt kdz 0
故得到均匀平面波的相速为
v dz 1 (m s) dt k
相速只与媒质参数 有关，而与电磁波
的频率无关
真空中： v c
1
0 0
1
3108 (m/s)
4π 107 1 109
36π
1894年和1895年，俄国的波波夫和意大利的 马可尼成功发明了通信装置，电磁理论从此 得到蓬勃发展。
按照频率划分的电磁波频谱分布如图所示
广播
电视
超 长长中 短 波波波 波
通信，雷达 遥感遥测
可
微 波
红 外
见 光
紫 外
…
3THz
3GHz UHF VHF
3MHz
5.1 理想介质中的均匀平面波
5.1.1 均匀平面波的概念 5.1.2 均匀平面波的传播特性及其相关参数 5.1.3 任意方向传播的均匀平面波
r ey
5
erz1.6)e
jπ
(
4
x3
z
)
（5）
r Sav
1 2
rr Re[E H * ]
1 Re 2
120π(erx1.2 ery 5 erz1.6)e jπ(4x3z)
[(erx 3 ery 2 erz 4)e jπ(4x3z) ]*
12π 29 (erx 4 erz 3) W m2
E1x (z, t) Re[E1xmej 1x e jkzejt ] E1xm cos( t kz 1x )
可见，A1e jkz 表示沿 +z 方向传播的波。
第二项
E2x (z)
A2e jkz
E ej 2x 2 xm
e jkz
沿 －z 方向 传播的波
E2x (z,t) Re[E2xmej 2x e e jkz jt ] E2xm cos( t kz 2x )