江苏高考数学试卷及答案
2021年江苏省高考数学真题及参考答案
2021年江苏省高考数学真题及参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}42＜＜x x A -=，{}5432，，，=B ，则B A ⋂=（）A.{}2 B.{}3,2 C.{}4,3 D.{}4,3,22.已知i z -=2，则()=+i z z （）A.i26- B.i24- C.i26+ D.i24+3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B.22 C.4D.244.下列区间中，函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin 7πx x f 单调递增的区间是（）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛20π， B.⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛23ππ， D.⎪⎭⎫⎝⎛ππ223，5.已知1F ，2F 是椭圆149:22=+y x C 的两个焦点，点M 在C 上，则21MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.66.若2tan -=θ，则()=++θθθθcos sin 2sin 1sin （）A.56-B.52-C.52 D.567.若过点()b a ,可以左曲线xe y =的两条切线，则（）A.ae b＜ B.be a＜ C.bea ＜＜0 D.aeb ＜＜08.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部答对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.有一组样本数据n x x x 21，，由这组数据得到新样本数据n y y y 21，，其中()n i c x y i i ,2,1=+=，c 为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同10.已知O 为坐标原点，点()ααsin ,cos 1P ，()ββsin ,cos 2-P ，()()()βαβα++sin ,cos 3P ，()0,1A ，则（）==C.213OP OP OP OA ⋅=⋅ D.321OP OP OP OA ⋅=⋅11.已知点P 在圆()()165522=-+-y x 上，点()04，A ，()20，B ，则（）A.点P 到直线AB 的距离小于10B.点P 到直线AB 的距离大于2C.当PBA ∠最小时，23=PB D.当PBA ∠最大时，23=PB 12.在正三棱柱111C B A ABC -中，11==AA AB ，点P 满足1BB BC PB μλ+=，其中[]1,0∈λ，[]1,0∈μ，则（）A.当1=λ时，P AB 1∆的周长为定值B.当1=μ时，三棱锥BC A P 1-的体积为定值C.当21=λ时，有且仅有一个点P ，使得BP P A ⊥1D.当21=μ时，有且仅有一个点P ，使得B A 1⊥平面PAB 1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022年江苏省高考数学真题及参考答案
2022年江苏省高考数学真题及参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}4＜x x M =，{}13N ≥=x x ，则N M ⋂=（）A.{}20＜x x ≤ B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤231＜x xC.{}163＜x x ≤ D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤1631＜x x2.已知()11=-z i ，则=+z z（）A.2- B.1- C.1 D.23.在ABC ∆中，点D 在边AB 上，DA BD 2=.记m A C=，n D C=，则=B C（）A.nm23- B.nm32+- C.nm23+ D.nm32+4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为140.0km ²；水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为180.0km ².将该水库在这两个水位间的形状看做一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为()65.27≈（）A.39100.1m⨯ B.39102.1m⨯ C.39104.1m⨯ D.39106.1m⨯5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A.61 B.31 C.21 D.326.记函数()()04sin ＞ωπωb x x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=的最小正周期为T .若ππ223＜＜T ，且()x f y =的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛223，π中心对称，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛2πf （）A.1B.23 C.25 D.37.设1.01.0ea =，91=b ，9.0ln -=c ，则（）A.c b a ＜＜ B.a b c ＜＜ C.b a c ＜＜ D.bc a ＜＜8.已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为π36，且333≤≤l ，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡48118， B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡481427， C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡364427， D.[]27,18二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年江苏省高考数学试卷及解析
2024年江苏省高考数学试卷及解析2024年江苏省高考数学试卷及解析一、试卷概述2024年江苏省高考数学试卷整体上保持了稳定，但在细节方面有所创新。
试卷结构分为选择题、填空题和解答题三个部分，难度逐步递增。
试卷涵盖了高中数学的主要知识点，注重考查学生的数学思维能力和实际应用能力。
以下将对试卷进行详细解析。
二、选择题解析选择题部分共10题，每题5分，合计50分。
这一部分主要考查学生对基础知识的掌握程度以及运用基础知识解决问题的能力。
其中，第1-6题为常规选择题，涉及到的知识点包括函数、数列、几何等。
第7-10题为灵活运用选择题，要求学生根据题目条件进行分析、推理和判断。
例如，第10题考查的是概率知识，题目设计巧妙，要求学生在理解的基础上进行推断。
对于这道题，我们可以通过列举所有可能的情况，再根据题目条件进行筛选，最终得出正确答案。
三、填空题解析填空题部分共6题，每题5分，合计30分。
这一部分主要考查学生对数学基础知识的理解以及简单的计算、推理能力。
其中，第11-14题为常规填空题，第15-16题为综合运用填空题，要求学生在理解知识的基础上进行综合运用。
例如，第16题考查的是解析几何知识，题目设计较为复杂，要求学生在掌握基础知识的同时具备较强的分析问题和解决问题的能力。
对于这道题，我们可以从几何角度出发，根据题目条件列出方程，进而求解出答案。
四、解答题解析解答题部分共6题，每题20分，合计120分。
这一部分主要考查学生综合运用数学知识解决问题的能力。
其中，第17-21题为中档题，第22-23题为高档题。
要求学生在掌握基础知识的同时，能够灵活运用多种数学知识解决问题。
例如，第23题考查的是函数与数列的综合知识，题目设计较为复杂，要求学生在掌握函数和数列基础知识的同时，能够将两者结合起来解决问题。
对于这道题，我们可以先从函数的角度出发，分析数列的特性，再利用数列的知识求出通项公式，最终得出答案。
五、总结2024年江苏省高考数学试卷整体上保持了稳定，但在细节方面有所创新。
江苏高考数学试题包括答案
绝密★启用前2021年一般高等学校招生全国一致考试〔江苏卷〕数学Ⅰ本卷须知考生在答题前请仔细阅读本本卷须知及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷总分值为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务势必自己的姓名、准考据号用毫米黑色墨水的署名笔填写在试卷及答题卡的规定地点。
3．请仔细查对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考据号与自己能否符合。
学科@网4．作答试题，一定用毫米黑色墨水的署名笔在答题卡上的指定地点作答，在其余地点作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参照公式：锥体的体积V 1Sh，此中S是锥体的底面积，h是锥体的高．3一、填空题：本大题共14小题，每题5分，合计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1．会合 A {0,1,2,8}，B {1,1,6,8}，那么AIB ▲．2．假定复数z知足i z 1 2i，此中i是虚数单位，那么 z的实部为▲．3．5位裁判给某运发动打出的分数的茎叶图以下列图，那么这5位裁判打出的分数的均匀数为▲．4．一个算法的伪代码以下列图，履行此算法，最后输出的S的值为▲．5．函数f(x) log2x 1的定义域为▲．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，那么恰巧选中2名女生的概率为▲．7．函数y sin(2x)()的图象对于直线x对称，那么的值是▲．2238．在平面直角坐标系xOy中，假定双曲线x2y21(a0,b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近a2b2线的距离为3c，那么其离心率的值是▲．2x,0x2,cos9．函数f(x)知足f(x4)f(x)(x R)，且在区间(2,2]上，f(x)2那么1|x|,-2x0,2f(f(15))的值为▲．10．以下列图，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为极点的多面体的体积为▲．根源:学科]11．假定函数f(x)2x3ax21(a R)在(0,)内有且只有一个零点，那么f(x)在[1,1]上的最大值与最小值的和为▲．12．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l:y2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为uuu r uuur0，那么点A的横坐标为▲直径的圆C与直线l交于另一点D．假定ABCD．13．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，ABC120，ABC的均分线交AC 于点D，且BD1，那么4ac的最小值为▲．14．会合A{x|x2n *n*1,nN}，B{x|x2,n N}．将AUB的所有元素从小到大挨次摆列组成一个数列{a n}．记S n为数列{a n}的前n项和，那么使得S n12a n1成立的n的最小值为▲．二、解答题：本大题共6小题，合计90分．请在答题卡指定地区内作答，解答时应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分值14分〕在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AA1AB,AB1B1C1．求证：〔1〕AB∥平面A1B1C；2〕平面ABB1A1平面A1BC．16．〔本小题总分值14分〕,为锐角，tan4，cos()5．35〔1〕求cos2的值；〔2〕求tan()的值．17．〔本小题总分值14分〕某农场有一块农田，以下列图，它的界限由圆 O的一段圆弧MPN〔P为此圆弧的中点〕（和线段MN组成．圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田（上修筑两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为（△CDP，要求A,B均在线段MN上，C,D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．（（〔1〕用分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确立 sin 的取值范围；（（2〕假定大棚Ⅰ内栽种甲种蔬菜，大棚Ⅱ内栽种乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面历年产值之比为4∶3．求当为什么值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．〔本小题总分值16分〕如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点( 3,1)，焦点F1(3,0),F2( 3,0)，圆O2的直径为F1F2．1〕求椭圆C及圆O的方程；2〕设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①假定直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A,B两点．假定△OAB的面积为26，求直线l的方程．719．〔本小题总分值16分〕记f(x),g(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数．假定存在x0R，知足f(x0) g(x0)且f(x0) g(x0)，那么称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点〞．〔1〕证明：函数f(x) x与g(x) x22x 2不存在“S点〞；〔2〕假定函数f(x)ax21与g(x)lnx存在“S点〞，务实数a的值；[根源:]〔3〕函数f(x)x2a，g(x)be x．对随意a0，判断能否存在b0，使函x数f(x)与g(x)在区间(0,)内存在“S点〞，并说明原因．20．〔本小题总分值16分〕设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q 的等比数列．〔1〕设a1 0,b1 1,q 2，假定|an bn|b1对n 1,2,3,4均成立，求d的取值范围；〔2〕假定a1b10,m N*,q (1,m2] ，证明：存在d R，使得|a n b n|b1对n 2,3,L,m 1均成立，并求d的取值范围〔用b1,m,q表示〕．数学Ⅰ试题参照答案一、填空题：本题考察根基知识、根本运算和根本思想方法．每题5分，合计70分．1．{1，8}2．23．904．85．[2，+∞〕6．37．π8．21069．210．411．–312．3 2313．914．27二、解答题15．本小题主要考察直线与直线、直线与平面以及平面与平面的地点关系，考察空间想象能力和推理论证能力．总分值14分．证明：〔1〕在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．由于AB 平面11，11平面11，ABCAB ABC所以AB∥平面A1B1C．2〕在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又由于AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，所以AB1⊥A1B．又由于AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又由于A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．由于AB1 平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．16．本小题主要考察同角三角函数关系、两角和〔差〕及二倍角的三角函数，考察运算求解能力．总分值14分．解：〔1〕由于，，所以．由于，所以，所以，．2〕由于为锐角，所以．又由于，所以，所以．由于，所以，所以，．17．本小题主要考察三角函数的应用、用导数求最值等根基知识，考察直观想象和数学建模及运用数学知识剖析和解决实质问题的能力．总分值14分．解：〔1〕连接PO并延伸交MN于H，那么PH⊥MN，所以OH=10．O作OE⊥BC于E，那么OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，那么矩形ABCD的面积为2×40cosθ〔40sinθ+10〕=800〔4sinθcosθ+cosθ〕，CDP的面积为1×2×40cosθ〔40–40sinθ〕=1600〔cosθ–sinθcosθ〕．2过N作GN⊥MN，分别交圆弧和 OE的延伸线于 G和K，那么GK=KN=10．令∠GOK=θ0，那么sinθ0=1，θ0∈〔0，π〕．46当θ∈[θ0，π〕时，才能作出知足条件的矩形，ABCD 2所以sinθ的取值范围是[1，1〕．4答：矩形ABCD的面积为800〔4sinθcosθ+cosθ〕平方米，△CDP的面积为11600〔cosθ–sinθcosθ〕，sinθ的取值范围是[ ，1〕．2〕由于甲、乙两种蔬菜的单位面历年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k〔k>0〕，那么年总产值为4k×800〔4sinθcosθ+cosθ〕+3k×1600〔cosθ–sinθcosθ〕π=8000k〔sinθcosθ+cosθ〕，θ∈[θ0，〕．f〔θ〕=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，π〕，2那么f′()cos2 sin2 sin (2sin2sin 1) (2sin 1)(sin 1)．当f′()=0，得θ=π，6当θ∈〔θ0，π〕时，f′()>0，所以f〔θ〕为增函数；当6当θ∈〔π，π〕时，f′()<0，所以f〔θ〕为减函数，62所以，当θ=π时，f〔θ〕取到最大值．6答：当θ=π时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．[根源:学§科§网]618．本小题主要考察直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的地点关系等知识，考察剖析问题能力和运算求解能力．总分值16分．解：〔1〕由于椭圆C的焦点为F1(3,0),F2(3,0)，可设椭圆C的方程为x2y21221(a b0)．又点(3,)在椭圆C上，a b 231 1,a 24,所以a 24b 2，解得1,22 3,b 2a b2所以，椭圆 C 的方程为xy 21．4由于圆O 的直径为F 1F 2，所以其方程为 x 2 y 23．〔2〕①设直线l 与圆O 相切于 P(x 0,y 0)(x 00,y 00)，那么x 0 2 y 0 2 3，所以直线l 的方程为yx 0(x x 03y 0 x0)y0，即y x ．y 0y 0x 2y 21,由4消去y ，得x 0yx 3y 0 ,y 0(4x 0 2 y 0 2)x 2 24x 0x36 4y 0 2 0．〔*〕由于直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以(24x 0)24(4x 0 2 y 0 2)(364y 0 2)48y 0 2(x 0 2 2)0．由于x 0,y 0 0，所以x 02,y 0 1．所以，点P的坐标为( 2,1)．②由于三角形OAB的面积为26，所以1ABOP26，进而AB42．7277A(x1,y1),B(x2,y2)，22由〔*〕得x1,224x048y0(x02)，2(4x 02y 02)所以AB2(x1x2)2(y1y2)2x248y2(x22)0002)2．(1y2)(4x2y00022由于x0y03，所以AB 216(x022)32421000，(x021)249，即2x045x0解得x05(x020舍去〕，那么y021，所以P的坐标为(10,2)．222222综上，直线l的方程为y5x32．19．本小题主要考察利用导数研究初等函数的性质，考察综合运用数学思想方法剖析与解决问题以及逻辑推理能力．总分值16分．解：〔1〕函数f〔x〕=x，g〔x〕=x2+2x-2，那么f′〔x〕=1，g′〔x〕=2x+2．由f〔x〕=g〔x〕且f′〔x〕=g′〔x〕，得xx22x212x，此方程组无解，2所以，f〔x〕与g〔x〕不存在“S〞点．〔2〕函数〔fx〕ax2 1，g(x) lnx，f〔x〕2ax，g〔x〕1．x设x0为f〔x〕与g〔x〕的“S〞点，由f〔x0〕=g〔x0〕且f′〔x0〕=g′〔x0〕，得ax21lnx200ax01lnx0，〔*〕1，即2ax02ax021x0111e得lnx0x0e2，那么a，即1．22(e2)22e时，x01当ae2知足方程组〔*〕，即x0为f〔x〕与g〔x〕的“S〞点．2所以，a的值为e．2〔3〕对随意a>0，设h(x)x33x2ax a．由于h(0)a0，h(1)13a a20，且〔〕的图象是不中断的，hx所以存在x0∈〔0，1〕，使得h(x0)0．令b x2x03，那么b>0．(1e0x0)x2be x函数f(x)a，g(x)，x那么f′(x)2x，g′(x)be x(x1)．x2由f〔x〕=g〔x〕且f′〔x〕=g′〔x〕，得x2a be x x2x，即be x(x1)2x2xx23x a x2x0e(1x0)xe02x03，〔**〕e x(x1)e x0(1x0)x2此时，x0知足方程组〔**〕，即x0是函数f〔x〕与g〔x〕在区间〔0，1〕内的一个“S 点〞．所以，对随意a>0，存在b>0，使函数f〔x〕与g〔x〕在区间〔0，+∞〕内存在“S点〞．20．本小题主要考察等差和等比数列的定义、通项公式、性质等根基知识，考察代数推理、转变与化归及综合运用数学知识研究与解决问题的能力．总分值16分．解：〔1〕由条件知：．由于|an bn| b1对n=1，2，3，4均成立，即对n=1，2，3，4均成立，11，1d3，32d5，73d9，得．所以，d的取值范围为．〔2〕由条件知：．假定存在d，使得|a n b n|b1〔n=2，3，···，m+1〕成立，即，即当时，d知足．由于，那么，进而，，对均成立．所以，取=0时，d|a n b n|b1对均成立．下边议论数列的最大值和数列的最小值〔〕．①当时，，当时，有，进而．所以，当时，数列单一递加，故数列的最大值为．②设，当x>0时，，所以单一递减，进而<f〔0〕=1．当时，，所以，当时，数列单一递减，故数列的最小值为．所以，d的取值范围为．数学Ⅱ(附带题)21．【选做题】本题包含 A、B、C、D四小题，请选定此中两小题，并在相应的答题地区内．．．．．．．．．．．．．．．．．．．作答．假定多做，那么按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算．．步骤．[根源:学|科|网]A．[选修4—1：几何证明选讲 ](本小题总分值10分)如图，圆O 的半径为2，为圆O的直径，P为延伸线上一点，过P作圆O的切线，AB AB切点为C．假定PC23，求BC的长．B．[选修4—2：矩阵与变换](本小题总分值10分)23矩阵A．21〕求A的逆矩阵A1；〔2〕假定点P在矩阵A对应的变换作用下获得点P(3,1)，求点P的坐标．C．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题总分值10分)在极坐标系中，直线l的方程为π2，曲线C的方程为4cos，求直线sin()6l被曲线C截得的弦长．D．[选修4—5：不等式选讲](本小题总分值10分)假定x ，，z为实数，且+2+2=6，求x2y22的最小值．y xyz z【必做题】第22题、第23题，每题10分，合计20分．请在答题卡指定地区内作答，解．．．．．．．答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．〔本小题总分值10分〕如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．〔1〕求异面直线 BP与AC1所成角的余弦值；〔2〕求直线 CC1与平面AQC1所成角的正弦值．23．(本小题总分值10分)设n N*，对1，2，···，n的一个摆列i1i2Lin，假如当s<t时，有isit，那么称(is,it)是摆列i1i2Lin的一个逆序，摆列i1i2Lin的所有逆序的总个数称为其逆序数．比如：对1，2，3的一个摆列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，那么摆列231的逆序数为2．记fn(k)为1，2，···，n的所有摆列中逆序数为k的所有摆列的个数．〔1〕求f3(2),f4(2)的值；〔2〕求f n(2)(n 5)的表达式(用n表示)．数学Ⅱ(附带题)参照答案21．【选做题】A．[选修4—1：几何证明选讲 ]本小题主要考察圆与三角形等根基知识，考察推理论证能力．总分值10分．证明：连接OC．由于PC与圆O相切，所以OC⊥PC．又由于PC=23，OC=2，所以OP= PC2OC2=4．又由于OB=2，进而B为Rt△OCP斜边的中点，所以 BC=2．B．[选修4—2：矩阵与变换]本小题主要考察矩阵的运算、线性变换等根基知识，考察运算求解能力．总分值10分．解：〔1〕由于A 23，det(A)221310，所以A可逆，12进而A123．12〔2〕设P(x，y)，那么23x3，所以x A133，[根源:]12y1y11所以，点P的坐标为(3，–1)．C．[选修4—4：坐标系与参数方程]本小题主要考察曲线的极坐标方程等根基知识，考察运算求解能力．总分值10分．解：由于曲线C的极坐标方程为=4cos，所以曲线C的圆心为〔2，0〕，直径为4的圆．由于直线l的极坐标方程为sin(π) 2，6那么直线l过A〔4，0〕，倾斜角为π，6所以A为直线l与圆C的一个交点．π设另一个交点为B，那么∠OAB= ．连接OB，由于OA为直径，进而∠OBA=π，2π．所以AB4cos236所以，直线l被曲线C截得的弦长为23．D．[选修4—5：不等式选讲]本小题主要考察柯西不等式等根基知识，考察推理论证能力．总分值10分．证明：由柯西不等式，得 (x2y2z2)(122222) (x 2y 2z)2．由于x2y 2222z=6，所以x y z4，当且仅当x y z时，不等式取等号，此时x2，y4，z4，122333所以x2y2z2的最小值为4．22．【必做题】本小题主要考察空间向量、异面直线所成角和线面角等根基知识，考察运用空间向量解决问题的能力．总分值10分．解：如图，在正三棱柱ABC-ABC中，设AC，AC的中点分别为O，O，那么OB⊥OC，OO 1111111uuuruuuruuuurO-xyz．⊥OC，OO⊥OB，以{OB,OC,OO1}为基底，成立空间直角坐标系1由于AB=AA1=2，所以A(0, 1,0),B( 3,0,0),C(0,1,0),A 1(0, 1,2),B 1( 3,0,2),C 1(0,1,2)．〔1〕由于P 为AB 的中点，所以 3, 1 ,2) ，P(1 122uuur(3,1uuuur(0,2,2)，进而BP 22 ,2),AC 1uuur uuuuruuu r uuuu r| |14| 3 10故|cos | |BP AC 1 ．BP,AC 1uuu ruuuur52220|BP||AC 1|所以，异面直线 BP 与AC 所成角的余弦值为 3 10 ．120〔2〕由于Q 为BC 的中点，所以Q(3,1,0)，2 2uuu r3 3uuuur uuuur(0,0,2)．所以AQ(,,0) ，AC 1(0,2,2),CC 1 2n=〔x ，y ，z 〕为平面AQC1的一个法向量，uuu r33AQ n 0,y0,那么 即2 x uuuu rn 0,2AC1 2y 2z 0.不如取n ( 3, 1,1)，设直线CC 与平面 AQC 所成角为 ，11uuuu ruuuur 2 5|CC 1n|，那么sin|cosCC 1,n|uuuur 52 5|CC 1||n|所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为 5．523．【必做题】本小题主要考察计数原理、摆列等根基知识，考察运算求解能力和推理论证能力．总分值 10分．解：〔1〕记 (abc)为摆列abc 的逆序数，对 1，2，3的所有摆列，有(123)=0，(132)=1，(213)=1，(231)=2，(312)=2，(321)=3，所以f3(0)1，f3(1)f3(2)2．1，2，3，4的摆列，利用已有的1，2，3的摆列，将数字4增添去，4在新摆列中的地点只好是最后三个地点．学科￥网所以，f4(2) f3(2) f3(1) f3(0) 5．〔2〕一般的n〔n≥4〕的情况，逆序数0的摆列只有一个：12⋯n，所以f n(0) 1．逆序数1的摆列只好是将摆列12⋯n中的随意相两个数字地点获得的摆列，所f n(1)n1．算f n1(2)，当1，2，⋯，n的摆列及其逆序数确立后，将n+1增添原摆列，n+1在新摆列中的地点只好是最后三个地点．所以，f n1(2) f n(2) f n(1) f n(0) f n(2) n．当n≥5，f n(2)[f n(2)f n1(2)][f n1(2)f n2(2)]⋯[f5(2)f4(2)]f4(2)(n1)(n2)4f4(2)n2n2，22所以，n≥5，f n(2)n n2.2。
2022年江苏省高考数学试卷(新高考I)(含答案)
2022年江苏省高考数学试卷(新高考I)(含答案)一、选择题1. 若函数f(x) = 2x^3 3x^2 + x + 1，则f'(1)的值为多少？A. 6B. 7C. 8D. 9答案：B解析：我们需要求出函数f(x)的导数f'(x)。
根据导数的定义，f'(x) = 6x^2 6x + 1。
将x = 1代入f'(x)中，得到f'(1) = 61^2 6 1 + 1 = 1。
因此，f'(1)的值为1，选项B正确。
2. 若直线y = kx + b与圆(x 2)^2 + (y 3)^2 = 25相切，则k的值是多少？A. 1/2B. 1C. 2D. 3答案：A解析：由于直线与圆相切，它们在切点处具有相同的斜率。
直线的斜率为k，圆的斜率可以通过求导得到。
对圆的方程求导，得到2(x 2) + 2(y 3)y' = 0。
在切点处，x和y的值满足圆的方程，因此可以解出y' = 1/2。
由于直线和圆在切点处斜率相同，所以k = 1/2。
因此，选项A正确。
3. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 2，d = 3，则S10的值为多少？A. 155B. 165C. 175D. 185答案：C解析：等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 (a1 + an)。
由于an = a1 + (n 1)d，代入a1 = 2和d = 3，得到an = 2 + 3(n 1)= 3n 1。
将an代入Sn的公式中，得到Sn = n/2 (2 + 3n 1) =n/2 (3n + 1)。
将n = 10代入，得到S10 = 10/2 (3 10 + 1) = 175。
因此，选项C正确。
4. 若函数f(x) = log2(x) + log2(x + 1)，则f(1)的值为多少？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C解析：将x = 1代入函数f(x)中，得到f(1) = log2(1) +log2(1 + 1) = log2(1) + log2(2) = 0 + 1 = 1。
2020年高考卷理科数学（江苏卷）附答案
2. 3. 4.已知集合如｛一顷封如｛M3｝则刀口=已知i是虚数单位，贝愎数z=（E）（2t）的实部是已知一组数据4,2a.3・a ,5,6的平均数为4,则a的值是.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次观察向上的点数，则点数和为5的概率是o4. S.右图是一个算法流程图,若输出y的值为2则输入x的值为ago6.2在平面宜角坐标系xOy中若以仙线/5=l(a>0)的一条渐近线方w程为'一2二则该双曲线的离心率是—o27.已知y=f（x>是奇函数，当x>0时，/⑴二F，则，（一8）的值是。
sin2（—+«）=—.8.已知43,则sm2a的值是_。
9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的，己知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是cm\* = 3sin 2x + —10.将函数 I 4的图像向右平移M 个单位长度，则T 移后的图像与*轴最近的对称轴方程是—0U.设｛■｝是公差为〃的等差数列，｛如｝是公比为q 的等比数列，己知数列 ｛"心的前项和&顼-"1*^),则d+g 的值是—。
12.已知5xy +/=l(W e/e)t 则x 2+/的最小值是。
13.在△此中，t !B = 4, 4C=3.匕助C=90。
，。
在边AC 延长血坦炉，使得如=9,若是一 O后=血而专_』无(S 为常数),则co 的於度«㈣■14 .在平面直角坐标系H 夕中尸修。
已知I z 4、B 是圆 2)=36上的两个动点，满足PA=PB ,则△ "8的面积的最大值是15.在三棱柱如C —44G 中，ABLAC. B X CL 平面"分别是AC> %7的中点<1)求证：£少〃平面"MG ：< 2)求证：平面^C±平面“时16.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a=3,c=旧,B=45。
2023年江苏高考数学真题及参考答案
2023年江苏高考数学真题及参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21012，，，，--=M ，{}062>--=x x x N ，则M ∩=N （）A .{}1012，，，--B .{}2,1,0C .{}2-D .{}22.已知iiz 221+-=，则=-z z （）A .i -B .iC .0D .13.已知向量()1,1=a，()1,1-=b .若()()b a b a μλ+⊥+，则（）A .1=+μλB .1-=+μλC .1=λμD .1-=λμ4.设函数()()a x x x f -=2在区间()1,0单调递减，则a 的取值范围是（）A .(]2-∞-，B .[)0,2-C .(]2,0D .[)∞+，25.设椭圆12221=+y a x C ：()1>a ，14222=+y x C ：的离心率分别21,e e .若123e e =，则=a （）A .332B .2C .3D .66.过点()20-，与圆01422=--+x y x 相切的两条直线的夹角为α，则=αsin （）A .1B .415C .410D .467.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：⎭⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列，则（）A .甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.已知()31sin =-βα，61sin cos =βα，则()=+βα22cos （）A .97B .91C .91-D .97-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据621,,x x x ，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）A .5432,,,x x x x 的平均数等于621,,x x x 的平均数B .5432,,,x x x x 的中位数等于621,,x x x 的中位数C .5432,,,x x x x 的标准差不小于621,,x x x 的标准差D .5432,,,x x x x 的极差不大于621,,x x x 的极差10.噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级lg20p pL p ⨯=，其中常数()000>p p 是听觉下线的阈值，p 是实际声压.下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为321,,p p p ，则（）A .21p p >B .3210p p >C .03100p p =D .21100p p <11.已知函数()x f 的定义域为R ，()()()y f x x f y xy f 22+=，则（）A .()00=fB .()01=f C .()x f 是偶函数D .0=x 为()x f 的极小值点12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A .直径为m 99.0的球体B .所有棱长均为m 4.1的四面体C .底面直径为m 01.0，高为m 8.1的圆柱体D .底面直径为m 2.1，高为m 01.0的圆柱体声源与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040三、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分.13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选修方案共有种（用数字作答）.14.在正四棱台1111D C B A ABCD -中，2=AB ，111=B A ，21=AA ，则该棱台的体积为.15.已知函数()()01cos >-=ωωx x f 在区间[]π2,0有且仅有3个零点，则ω的取值范围是.16.已知双曲线()0012222>>=-b a by a x C ，：的左、右焦点分别为21F F ，，点A 在C 上.点B 在y 轴上，B F A F 11⊥，B F A F 2232-=，则C 的离心率为.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知在ABC ∆中，C B A 3=+，()B C A sin sin 2=-.（1）求A sin ；（2）设5=AB ，求AB 边上的高.18.如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，2=AB ，41=AA .点2222,,,D C B A 分别在棱1111,,,DD CC BB AA 上，12=AA ，222==DD BB ，32=CC .（1）证明：2222D A C B ∥；（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222D C A P --为150°时，求P B 2.19.已知函数()()x a e a x f x-+=.（1）讨论()x f 的单调性；（2）证明：当0>a 时，()23ln 2+>a x f .20.设等差数列{}n a 的公差为d ，且1>d ，令nn a nn b +=2，记n n T S ,分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和.（1）若31223a a a +=，2133=+T S ，求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等差数列，且999999=-T S ，求d .21.甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为6.0，乙每次投篮的命中率均为8.0，由抽签决定第一次投篮的任选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为5.0.（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()i i i q X P X P ==-==011，n i ,,2,1 =，则()∑∑===ni i ni i q X E11，记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()Y E .22.在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点⎪⎭⎫ ⎝⎛210，的距离，记动点P 的轨迹为W .（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD 的周长大于33.参考答案一、选择题12345678CADDABCB1.解：(][)∞+⋃-∞-∈，，32N ，∴{}2=⋂N M 2.解：i i i z 21221-=+-=，∴i z z -=-3.解：()()b a b aμλ+⊥+∵，∴()()()01222=+=+⋅++λμλμμλb b a a ，∴1-=λμ4.解：由复合函数的单调性可知()a x x y -=在区间()1,0单调递减，∴12≥a，∴a 的取值范围是[)∞+，2.5.解：由题意得：a a e 121-=，232=e ，得2112=-a a ，解得332=a .6.解：易得()5222=+-y x ，故圆心()0,2B ，5=R 记()20-，A ，设切点为N M ,，则22=AB ，5=BM ，可得3=AM 223sin 2sin==∠=AB AM MBA α，2252cos =α∴4152cos 2sin 2sin ααα=7.解：甲：∵{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则()d n n na S n 211++=，∴222111d a n d d n a n S n -+=-+=，211d n S n S n n =-++，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，⎭⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列，即()()()1111111+-=++-=-++++n n S na n n S n nS n S n S n n n n n n 为常数，设为t ，即()t n n S na nn =+-+11，故()11+⋅-=+n n t na S n n ，故()()111-⋅--=-n n t a n S n n ，2≥n ，两式相减有：()tn n a na a n n n 211---=+，即t a a n n 21=-+，对1=n 也成立，故{}n a 为等差数列，∴甲是乙的必要条件综上，甲是乙的充要条件.8.解：∵()31sin cos cos sin sin =-=-βαβαβα，61sin cos =βα，则21cos sin =βα，故()326131sin cos cos sin sin =+=+=+βαβαβα.()()913221sin 2122cos 22=⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=+-=+βαβα.二、选择题9101112BDACDABCABD10.解：∵0lg 20lg 20lg2021020121≥⨯=⨯-⨯=-p p p p p p L L ，∴121≥p p，即21p p >∴A 正确；10lg 203232>⨯=-p p L L ，即21lg 32>p p ，∴213210>p p ，∴B 错误；∵40lg20033=⨯=p p L ，∴10010203==p p，∴C 正确；405090lg202121=-≤⨯=-p p L L ，∴2lg 21≤p p ，∴10021≤p p，∴D 正确.11.解：选项A ，令0==y x ，则()()()000000=⨯+⨯=f f f ，故A 正确；选项B ，令1==y x ，则()()()11111f f f ⨯+⨯=，则()01=f 故B 正确；选项C，令1-==y x ，则()()()()()1111122-⨯-+-⨯-=f f f ，则()01=f ，再令1-=y ，则()()()()1122-+⨯-=-f x x f x f ，即()()x f x f =-，故C 正确；选项D，对式子两边同时除以22yx ()022≠y x，得到：()()()2222xx f y y f y x xy f +=，故可设()()0ln 2≠=x x x x f ，故可以得到()⎩⎨⎧=≠=0,00,ln 2x x x x x f ，故D 错误.12.解：选项A，球直径为199.0<，故球体可以放入正方体容器内，故A 正确；选项B，连接正方体的面对角线，可以得到一个正四面体，其棱长为4.12>，故B 正确；选项C，底面直径m 01.0，可以忽略不计，但高为38.1>，3为正方体的体对角线的长，故C 不正确；选项D，底面直径为32.1<，高为m 01.0的圆柱体，其高度可以忽略不计，故D 正确.三、填空题13.64；14.667；15.32<≤ω；16.55313.解：当从这8门课中选修2门课时，共有161414=C C ；当从这8门课中选修3门课时，共有4814242414=+C C C C ；综上共有64种.14.解：如图，将正四棱台1111D C B A ABCD -补成正四棱锥，则2=AO ，22=SA ，261=OO ，故()()667261212313122222121=⋅⋅++=++=h S S S S V .15.解：令()01cos =-=x x f ω得1cos =x ω，又[]π2,0∈x ，则[]ωπω2,0∈x ，∴ππωπ624<≤，即32<≤ω.16.解：由B F A F 2232-=32=，设x A F 22-=，x B F 32=.由对称性可得x 3=，由定义可得，a x 22+=x 5=，设θ=∠21AF F ，则5353sin ==x x θ，∴xax 52254cos +==θ，解得a x =，∴a x AF 221+=，a AF 22=，在21F AF ∆中，由余弦定理可得54164416cos 2222=-+=a c a a θ，即2295a c =可得553=e .四、解答题17.解：（1）由题意得C B A 3=+，∴，π==++C C B A 4，∴4π=C ∴A C A B -=--=43ππ，∵()B C A sin sin 2=-，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-A A ππ43sin 4sin 2，即A A A A sin 22cos 22cos 22sin 222+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-，整理得：A A cos 3sin =又∵1cos sin 22=+A A ，()π，0∈A ∴0sin >A ，∴0cos >A 解得10103sin =A ，1010cos =A （2）∵()552sin cos cos sin sin sin =+=+=C A C A C A B 由正弦定理可知C c B b sin sin =，即22510103=b ，解得102=b 设AB 边上的高为h ，∵ch A bc S 21sin 21==，∴6sin ==A b h 18.解：以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴建立空间直角坐标系则()2,2,02B ，()3,0,02C ，()1,222，A ，()2,0,22D （1）∵()1,2022-=，C B ，()12022，，-=D A ∴=22C B 22D A ，∴2222D A C B ∥（2）设()t P ,2,0，其中42≤≤t ∴()t P A -=1022，，，()t PC --=3,202，，()1,0,222-=C D ，()12,022-=，A D .设平面22C P A 的一个法向量为()z y x m ,,= ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅022PC m P A m 即()()⎩⎨⎧=-+-=-+032012z t y z t x ，令2=z ，则()2,3,1t t m --=.设平面222C A D 的一个法向量为()z y x n '''=,, ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02222C D n A D n即⎩⎨⎧=-'=+'-0202z y z x ，令2=z ，则()2,1,1=n .∵二面角222D C A P --为150°，∴2314826150cos 2=+-=︒⇒=t t ，解得：1=t （舍去）或3=t .∴12=P B 19.解：（1）由题可得()1-='xae x f ①当0≤a 时，()0<'x f ，()x f 在()∞+∞-，单调递减；②当0>a 时，令()0='x f 得ax ln -=∴当()a x ln ,-∞-∈时，()0<'x f ，()x f 在()a ln ,-∞-单调递减；当()∞+-∈，a x ln 时，()0>'x f ，()x f 在()∞+-，a ln 单调递增.（2）由（1）得当0>a 时，()()a a a f x f ln 1ln 2min ++=-=.设()21ln 23ln 2ln 122--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=a a a a a a g ，则()a a a g 12-='，令()0='a g 可得22=a ∴当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈22,0a 时，()0<'a g ，()a g 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,0上单调递减；当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+∈，22a 时，()0>'a g ，()a g 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+，22上单调递增.∴()02ln 22min >=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=g a g ，故()0>a g ，∴当0>a 时，()23ln 2+>a x f .20.解：（1）∵31223a a a +=，∴d a a d 2313+==，即d a =1，nd a n =故nd a n =，∴d n a n n b n n 12+=+=，()21d n n S n +=，()dn n T n 23+=，又2133=+T S ，即21263243=⨯+⨯dd ，即03722=+-d d ，解得3=d 或21=d （舍），故{}n a 的通项公式为：n a n 3=.（2）若{}n b 为等差数列，则3122b b b +=，即da a d a 24321322111+⨯+⨯=+⨯⋅，即0232121=+-d d a a ，∴d a =1或d a 21=，当d a =1时，nd a n =，故()21d n n S n +=，()dn n T n 23+=.又999999=-T S ，即99210299210099=⨯-⨯dd ，即051502=--d d ，∴5051=d 或1=d （舍）.当d a 21=时，()d n a n 1+=，d n b n =，故()23d n n S n +=，()dn n T n 21+=.又999999=-T S ，即99210099210299=⨯-⨯dd ，即050512=--d d ，∴5051-=d （舍）或1=d （舍）.综上所述：5051=d .21.解：（1）第二次是乙的概率为6.08.05.04.05.0=⨯+⨯.（2）第i 次投篮的人是甲的概率为i p ，则第i 次投篮的人是甲的概率为i p -1，则()2.04.012.06.01+=-+=+i i i i p p p p ，构造等比数列()λλ+=++i i p p 521，解得31-=λ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+3152311i i p p ，又211=p ，∴61311=-p ∴1526131-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-i i p ，则3152611+⎪⎭⎫⎝⎛⋅=-i i p .（3）当*∈N n 时，()352118535215216121n n p p p Y E n nn +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=+++= .11当0=n 时，()0=Y E ，符合上式，故()3521185n Y E n+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-=.22.解：（1）设()y x P ,，∵点P 到x 轴的距离等于点P 到点⎪⎭⎫ ⎝⎛210，的距离，∴2221⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y x y ，化简得412+=x y .故W 的方程为412+=x y .（2）不妨设D B A ,,三点在W 上，且有DA BA ⊥.设⎪⎭⎫ ⎝⎛+41,2a a A ，设DA BA ，的斜率分别为kk 1-，，由对称性不妨设1≤k ，则直线BA 的方程为：()412++-=a a x k y 联立()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+=414122a a x k y x y ，整理可得：022=-+-a ka kx x ，则kx x B A =+∴()()ak k y y x x AB B A B A 21222-+=-+-=同理可得：a kk AD 21112++=∴CD AB +a k k 212-+=a kk 21112+++()232221112121k k k k k a k a k k +=⎪⎭⎫ ⎝⎛++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+≥设()()313123+++=+=m m m mm m f ，则()()()222112132m m m m m m f +-=-+='，可知()m f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛210，上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛021，上单调递增，∴()m f 在()10，上最小值为42721=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，∴()3232≥=+kf CD AB ，由于两处相等的条件不一致，∴矩形ABCD 的周长为()332>+CD AB .。
(2021)高考数学真题试卷(江苏卷)带答案解析
2021年高考数学真题试卷（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．（共14题；共70分）1.已知集合A={−1,0,1,6}，B={x|x>0,x∈R}，则A∩B=________.【答案】{1,6}【考点】交集及其运算【解析】【解答】∵集合A={−1,0,1,6}，B={x|x>0,x∈R}，借助数轴得：A∩B={1,6}【分析】根据已知条件借助数轴，用交集的运算法则求出集合A∩B。
2.已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________.【答案】2【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】设z=(a+2i)×(1+i),∵复数z的实部为0，又∵z=(a−2)+(a+2)i,∴a−2=0,∴a=2【分析】利用复数的乘法运算法则求出复数z，从而求出复数z的实部和虚部，再结合复数z的实部为0的已知条件求出a的值。
3.下图是一个算法流程图，则输出的S的值是________.【答案】5【考点】程序框图【解析】【解答】第一步：x=1,S=0,S=S+x2=0+12=12,1≥4不成立；第二步：x=x+1=1+1=2,S=S+x2=12+22=32,2≥4不成立；第三步：x=x+1=2+1=3,S=S+x2=32+32=62=3,3≥4不成立；第四步：x=x+1=3+1=4,S=S+x2=3+42=5,4≥4成立；∴输出的S=5【分析】根据题中的已知条件结合程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构求出输出的S的值。
4.函数y=√7+6x−x2的定义域是________.【答案】[−1,7]【考点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】∵函数y=√7+6x−x2，∴要使函数有意义，则7+6x−x2≥0,∴x2−6x−7≤0,∴(x+1)(x−7)≤0,∴−1≤x≤7,∴函数的定义域为[-1,7]【分析】利用根式函数求定义域的方法结合一元二次不等式求解集的方法求出函数的定义域。
2020年江苏高考数学试卷及答案(含附加题)
2020年江苏高考数学试卷及答案（含附加题）一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上。
1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}0,2,3B =，则A B = __________。
2.已知i 是虚数单位，则复数()()12z i i =+-的实部是__________。
3.已知一组数据4，2a，3-a，5，6的平均数为4，则a 的值是__________。
4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是。
5.右图是一个算法流程图,若输出y的值为-2,则输入x的值为。
6.在平面直角坐标系xOy中22y =,若双曲线()222105x y a a -=>的一条渐近线方程为52y x =,则该双曲线的离心率是。
7．已知()y f x =是奇函数，当0x >时，23()f x x =，则(8)f -的值是。
8.已知22sin +=43πα（），则sin 2α的值是。
9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的，已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是3cm 。
10.将函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度，则平移后的图像与y 轴最近的对称轴方程是。
11.设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，已知数列{}+n n a b 的前项和()221n n S n n n N *=-+-∈，则d q +的值是。
12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是。
13.在△ABC 中，4AB =，=3AC ，∠=90BAC °，D 在边AC 上，延长AD P 到，使得=9AP ，若32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（m 为常数），则CD 的长度是。
2020年江苏高考数学真题(解析版)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．． 1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____.【答案】{}0,2 【解析】 【分析】 根据集合交集即可计算.【详解】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B = ∴{}0,2A B =I 故答案为：{}0,2.【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____. 【答案】3 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值. 【详解】∵复数()()12z i i =+- ∴2223z i i i i =-+-=+ ∴复数的实部为3. 故答案为：3.【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____. 【答案】2 【解析】 【分析】根据平均数的公式进行求解即可．【详解】∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4 ∴4235620a a ++-++=，即2a =. 故答案为：2.【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 【答案】19【解析】 【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可． 【详解】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个.点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个. ∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==.故答案为：19. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.【答案】3- 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，判断出1y x =+，由此求得x 的值. 【详解】由于20x >，所以12y x =+=-，解得3x =-. 故答案为：3-【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是____. 【答案】32【解析】 【分析】根据渐近线方程求得a ，由此求得c ，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线22215x y a -=，故b =.由于双曲线的一条渐近线方程为2y x =，即22b a a =⇒=，所以3c ===，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：32【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题. 7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x = ，则f (-8)的值是____. 【答案】4- 【解析】 【分析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=- 故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 8.已知2sin ()4πα+ =23，则sin 2α的值是____.【答案】13【解析】 【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.【详解】221sin ())(1sin 2)42παααα+==+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴= 故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】2π【解析】 【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【详解】正六棱柱体积为262⨯圆柱体积为21()222ππ⋅=所求几何体体积为2π故答案为： 2π【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.10.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____. 【答案】524x π=- 【解析】 【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果. 【详解】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=-故答案为：524x π=-【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题. 11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得{}{},n n a b 的公差和公比，由此求得d q +.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意1q ≠. 等差数列{}n a 的前n 项和公式为()2111222n n n d d P na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， 等比数列{}n b 的前n 项和公式为()1111111n n n b q b bQ q qq q-==-+---， 依题意n n n S P Q =+，即22111212211nn b b d d n n n a n q q q ⎛⎫-+-=+--+ ⎪--⎝⎭， 通过对比系数可知111212211dd a q b q⎧=⎪⎪⎪-=-⎪⎨⎪=⎪⎪=-⎪-⎩⇒112021d a q b =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，故4d q +=.故答案为：4【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前n 项和公式，属于中档题.12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．【答案】45【解析】 【分析】根据题设条件可得42215y x y -=，可得4222222114+555y y x y y y y-+=+=，利用基本不等式即可求解.【详解】∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -=∴42222221144+5555y y x y y y y -+=+=≥=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy +的最小值为45. 故答案为：45. 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）. 13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】 【分析】根据题设条件可设()0PA PD λλ=>，结合32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭与,,B D C 三点共线，可求得λ，再根据勾股定理求出BC ，然后根据余弦定理即可求解.【详解】∵,,A D P 三点共线， ∴可设()0PA PD λλ=>， ∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+，若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒， ∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185. 当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出()0PA PD λλ=>． 14.在平面直角坐标系xOy中，已知0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△P AB 面积的最大值是__________．【答案】【解析】 【分析】根据条件得PC AB ⊥,再用圆心到直线距离表示三角形PAB 面积，最后利用导数求最大值. 【详解】PA PB PC AB =∴⊥Q设圆心C 到直线AB 距离为d，则||1AB PC ==所以11)2PAB S d ≤⋅+=V 令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=（负值舍去） 当04d ≤<时，0y '>；当46d ≤<时，0y '≤，因此当4d =时，y 取最大值，即PABS 取最大值为故答案为：【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1； （2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析. 【解析】 【分析】（1）通过证明1//EF AB ，来证得//EF 平面11AB C .（2）通过证明AB ⊥平面1AB C ，来证得平面1AB C ⊥平面1ABB . 【详解】（1）由于,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB . 由于EF ⊂/平面11AB C ,1AB ⊂平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C . （2）由于1B C ⊥平面ABC ，AB Ì平面ABC ，所以1B C AB ⊥.由于1,AB AC AC B C C ⊥⋂=，所以AB ⊥平面1AB C , 由于AB Ì平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1ABB .【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题.16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【答案】（1）sin C ；（2）2tan 11DAC ∠=. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sin C .（2）根据cos ADC ∠的值，求得sin ADC ∠的值，由（1）求得cos C 的值，从而求得sin ,cos DAC DAC ∠∠的值，进而求得tan DAC ∠的值.【详解】（1）由余弦定理得2222cos 92235b a c ac B =+-=+-⨯=，所以b =由正弦定理得sin sin sin sin c b c B C C B b =⇒==.（2）由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5ADC ∠==.由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos C == 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅3455⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos DAC ∠==所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题. 17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低? 【答案】（1）120米（2）20O E '=米 【解析】 【分析】（1）根据A,B 高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果. 【详解】（1）由题意得2311||40640||8040800O A O A ''=-⨯+⨯∴= ||||||8040120AB O A O B ''∴=+=+=米（2）设总造价为()f x 万元，21||8016040O O '=⨯=，设||O E x '=， 32131()(1606)[160(80)],(040)800240f x k x x k x x =+-+--<<3221336()(160),()()0208008080080f x k x x f x k x x x '∴=+-∴=-=∴=(0舍去)当020x <<时，()0f x '<；当2040x <<时，()0f x '>，因此当20x =时，()f x 取最小值，答：当20O E '=米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低.【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标． 【答案】（1）6；（2）-4；（3）()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义可得124AF AF +=，从而可求出12AF F △的周长；（2）设()0,0P x ，根据点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥，求出31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，根据准线方程得Q 点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；（3）设出设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d ，由点O 到直线AB 的距离与213S S =，可推出95d =，根据点到直线的距离公式，以及()11,M x y 满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.【详解】（1）∵椭圆E 的方程为22143x y +=∴()11,0F -,()21,0F由椭圆定义可得：124AF AF +=. ∴12AF F △的周长为426+=（2）设()0,0P x ，根据题意可得01x ≠.∵点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥ ∴31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭∵准线方程为4x = ∴()4,Q Q y∴()()()()200000,04,4244Q OP QP x x y x x x ⋅=⋅--=-=--≥-，当且仅当02x =时取等号.∴OP QP ⋅的最小值为4-.（3）设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d . ∵31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，()11,0F - ∴直线1AF 的方程为()314y x =+ ∵点O 到直线AB 的距离为35，213S S =∴2113133252S S AB AB d ==⨯⨯⨯=⋅ ∴95d =∴113439x y -+=①∵2211143x y +=②∴联立①②解得1120x y =⎧⎨=⎩，1127127x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ∴()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据213S S =推出95d =是解答本题的关键. 19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； （2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；（3）若()422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[], D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -【答案】（1）()2h x x =；（2）[]0,3k ∈；（3）证明详见解析 【解析】 【分析】（1）求得()f x 与()g x 的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得()h x 的表达式. （2）先由()()0h x g x -≥，求得k 的一个取值范围，再由()()0f x h x -≥，求得k 的另一个取值范围，从而求得k 的取值范围.（3）先由()()f x h x ≥，求得t 的取值范围，由方程()()0g x h x -=的两个根，求得n m -的表达式，利用导数证得不等式成立.【详解】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立. 令0x =，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =. 故()2h x x =.（2）令()()()()()1ln 0F x h x g x k x x x =-=-->，()01F =. 又()1x F x k x-'=⋅. 若k 0<，则()F x 在()0,1上递增，在()1,+?上递减，则()()10F x F ≤=，即()()0h x g x -≤，不符合题意.当0k =时，()()()()()0,F x h x g x h x g x =-==，符合题意. 当0k >时， ()F x 在()0,1上递减，在()1,+?上递增，则()()10F x F ≥=，即()()0h x g x -≥，符合题意. 综上所述，0k ≥.由()()()21f x h x x x kx k -=-+--()()2110x k x k =-+++≥当102k x +=<，即1k <-时，()211y x k x k =-+++在()0,+?为增函数，因为()()0010f h k -=+<，故存在()00,x ∈+∞，使()()0f x h x -<，不符合题意.当102k x +==，即1k =-时，()()20f x h x x -=≥，符合题意. 当102k x +=>，即1k >-时，则需()()21410k k ∆=+-+≤，解得13k -<≤. 综上所述，k 的取值范围是[]0,3k ∈.（3）因为()423422243248x x t t x t t x -≥--+≥-对任意[,][x m n ∈⊂恒成立，()423422432x x t t x t t -≥--+对任意[,][x m n ∈⊂恒成立，等价于()222()2320x t xtx t -++-≥对任意[,][x m n ∈⊂恒成立.故222320x tx t ++-≥对任意[,][x m n ∈⊂恒成立 令22()232M x x tx t =++-，当201t <<，2880,11t t ∆=-+>-<-<，此时1n m t -≤<<，当212t ≤≤，2880t ∆=-+≤，但()234248432x t t x t t -≥--+对任意的[,][x m n ∈⊂恒成立.等价于()()()2322443420x t t x t t --++-≤对任意的[,][x m n ∈⊂恒成立.()()()2322443420x t t x t t --++-=的两根为12,x x ，则4231212328,4t t x x t t x x --+=-⋅=，所以12=n m x x --==令[]2,1,2t λλ=∈，则n m -=构造函数()[]()325381,2P λλλλλ=-++∈，()()()23103331P λλλλλ'=-+=--，所以[]1,2λ∈时，()0P λ'<，()P λ递减，()()max 17P P λ==.所以()max n m -=n m -≤【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.20.已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111kk kn n n SS a λ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是2”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由， 【答案】（1）1（2）21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩（3）01λ<< 【解析】 【分析】（1）根据定义得+11n n n S S a λ+-=，再根据和项与通项关系化简得11n n a a λ++=，最后根据数列不为零数列得结果；（2）根据定义得111222+1+1)3n n n n S S S S -=-，根据平方差公式化简得+1=4n n S S ，求得n S ，即得n a ； （3）根据定义得111333+11n n n SS a λ+-=，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果【详解】（1）+111111101n n n n n n S S a a a a a λλλ++++-=∴==∴≡∴=/Q （2）11221100n n n n na S S S S ++>∴>∴->Q111222+1+1)n nn n S S S S -=-Q 1111112222222+1+1+11()()()3n n n n n n S S S S S S ∴-=-+1111111222222+1+1+1+11()=2=443n n nn n n n n n n S S S S S S S S S -∴-=+∴∴∴= 111S a ==，14n n S -=1224434,2n n n n a n ---∴=-=⋅≥21,134,2n n n a n -=⎧∴=⎨⋅≥⎩（3）假设存在三个不同的数列{}n a 为"3"λ-数列.111113333333+11+1+1()()n n n n n n n S S a S S S S λλ+-=∴-=- 1133+1n n S S ∴=或11221123333333+1+1+1()()n n n n n n S S S S S S λ-=+++1n n S S ∴=或22113333333+1+1(1)(1)(2)0n n n n SS S S λλλ-+-++=∵对于给定的λ，存在三个不同的数列{}n a 为"3"λ-数列，且0n a ≥1,10,2n n a n =⎧∴=⎨≥⎩或()22113333333+1+1(1)(1)(2)01n n n n S S S S λλλλ-+-++=≠有两个不等的正根.()22113333333+1+1(1)(1)(2)01n n n n S S S S λλλλ-+-++=≠可转化为()2133333+1+12133(1)(2)(1)01n n nnS S S S λλλλ-++-+=≠，不妨设()1310n n S x x S +⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则()3233(1)(2)(1)01x x λλλλ-+++-=≠有两个不等正根，设()()3233(1)(2)(1)01f x x x λλλλ=-+++-=≠.① 当1λ<时，32323(2)4(1)004λλλ∆=+-->⇒<<，即01λ<<，此时()3010f λ=-<，33(2)02(1)x λλ+=->-对，满足题意.② 当1λ>时，32323(2)4(1)004λλλ∆=+-->⇒<<，即1λ<<()3010f λ=->，33(2)02(1)x λλ+=-<-对，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.综上，01λ<<【点睛】本题考查数列新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步，考查综合分析求解能力，属难题.数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -． （1）求实数a ，b 的值； （2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．【答案】（1）22a b =⎧⎨=⎩；（2）121 5512 55M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数,a b 的值； （2）设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解.【详解】（1）∵平面上点()2,1A -在矩阵 11 a M b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下得到点()3,4B -∴ 1 2 31 14a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴21324a b -=⎧⎨--=-⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩（2）设1m n Mc d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则12 2 1 0=2 20 1m c n d MM m c n d -++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦∴21202021m c n d m c n d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩，解得25151525m n c d ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩∴121 5512 55M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查矩阵变换的应用，考查逆矩阵的求法，解题时要认真审题，属于基础题．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）． （1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标． 【答案】（1）1242ρρ==，（2）)4π【解析】 【分析】(1)将A,B 点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果. 【详解】（1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，11cos2,43πρρ=∴=，因为点B为直线6πθ=上，故其直角坐标方程为y x =，又4sin ρθ=对应的圆的直角坐标方程为：2240x y y +-=，由2240y x x y y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩解得00x y ==⎧⎨⎩或1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 对应的点为())0,0,，故对应的极径为20ρ=或22ρ=. （2）cos 2,4sin ,4sin cos 2,sin 21ρθρθθθθ==∴=∴=，5[0,2),,44ππθπθ∈∴=， 当4πθ=时ρ= 当54πθ=时0ρ=-<，舍；即所求交点坐标为当),4π 【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题. C ．[选修4-5：不等式选讲]23.设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤． 【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【详解】1224x x x <-⎧⎨---≤⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-≤⎩或0224x x x >⎧⎨++≤⎩21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203x <≤所以解集为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CDBD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值．【答案】（1（2【解析】【分析】 （1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果. 详解】（1）连,CO BC CD BO OD CO BD ==∴⊥Q以,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1)A B C D E -∴(1,0,2),(1,1,1)cos ,15AB DE AB DE ∴=-=∴<>==-uu u r uuu r uu u r uuu r从而直线AB 与DE所成角的余弦值为15（2）设平面DEC 一个法向量为1(,,),n x y z =11200(1,2,0),00x y n DC DC x y z n DE ⎧+=⋅=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎪⎩⎩ 令112,1(2,1,1)y x z n =∴=-=∴=-u r设平面DEF 一个法向量为2111(,,),n x y z =u u r 11221117100171(,,0),4244200x y n DF DF DB BF DB BC n DE x y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪=+=+=∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪++=⎩ 令111272,5(2,7,5)y x z n =-∴==∴=-u ur12cos ,n n ∴<>==u r u u r 因此sin θ== 【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题. 25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ． （1）求p 1·q 1和p 2·q 2； （2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示) ．【答案】（1）112212716,,332727p q p q ====；；（2）()111222+33n n n n p q p q --+=+ 【解析】【分析】（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；（2）根据操作，依次求n n p q ，，即得递推关系，构造等比数列求得2n n p q +，最后根据数学期望公式求结果.【详解】（1）11131232,333333p q ⨯⨯====⨯⨯， 211131211227++3333333927p p q ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯， 211231122222516+0+3333333927q p q ⨯⨯+⨯=⨯⨯+=⨯⨯=⨯⨯ （2）1111131212++333339n n n n n p p q p q ----⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯， 111112*********+(1)+33333393n n n n n n q p q p q q -----⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+--⨯=-⨯⨯⨯， 因此112122+333n n n n p q p q --+=+， 从而11111212(2+),21(2+1)333n n n n n n n n p q p q p q p q ----+=+∴+-=-， 即1111121(2+1),2133n n n n n n p q p q p q -+-=-∴+=+. 又n X 的分布列为故1()213n n n nE X p q =+=+. 【点睛】本题考查古典概型概率、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式，考查综合分析求解能力，属难题.。
历年江苏数学高考试题及答案(2014-2003)
2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）如果函数2y ax bx a =++的图象与x 轴有两个交点，则点(,)a b aOb 在平面上的区域（不包含边界）为（ c ）（2）抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为 （ b ）（A ）81 （B ）－81 （C ）8 （D ）－8 （3）已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（ ）（A ）247 （B ）－247 （C ）724 （D ）－724 （4）设函数0021,1)(0,,0,12)(x x f x x x x f x 则若>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-的取值范围是（ ） （A ）（－1，1） （B ）(1,)-+∞（C ）（－∞，－2）∪（0，+∞） （D ）（－∞，－1）∪（1，+∞）（5）O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,,AB AC OP OA P ABACλλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心（6）函数1ln,(1,)1x y x x +=∈+∞-的反函数为（ ）a (A)(B) (C) (D)（A ）1,(0,)1x x e y x e -=∈+∞+ （B ）1,(0,)1x xe y x e +=∈+∞- （C ）1,(,0)1x x e y x e -=∈-∞+ （D ）1,(,0)1x xe y x e +=∈-∞- （7）棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）（A ）33a （B ）34a （C ）36a （D ）312a（8）设20,()a f x ax bx c >=++，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的倾斜角的取值范围为0,,4P π⎡⎤⎢⎥⎣⎦则到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围为 （ ） （A ）10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）10,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）0,2b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）10,2b a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦（9）已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）83（10）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x （11）已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）（12）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）（A ）π3（B ）4π（C ）π33（D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上（13）92)21(xx -的展开式中9x 系数是（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___________，__________，___________辆（15）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有___________________种（以数字作答）（16）对于四面体ABCD ，给出下列四个命题①,,AB AC BD CD BC AD ==⊥若则②,,AB CD AC BD BC AD ==⊥若则③,,AB AC BD CD BC AD ⊥⊥⊥若则④,,AB CD AC BD BC AD ⊥⊥⊥若则 其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤（17）（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）（18）（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0)f x x R ωϕωϕπ=+>≤≤是上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数ωϕ和的值 （19）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G （Ⅰ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （Ⅱ）求点1A 到平面AED 的距离E GD CBAC 1B 1A 1（20）（本小题满分12分）已知常数0,(0,),a c a i >==向量经过原点O 以c i λ+为方向向量的直线与经过定点(0,)2A a i c λ-以为方向向量的直线相交于P ，其中R λ∈试问：是否存在两个定点E 、F ，使得PE PF +为定值若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由（21）（本小题满分12分）已知0,a n >为正整数（Ⅰ）设()n y x a =-，证明1'()n y n x a -=-；（Ⅱ）设()()n nn f x x x a =--，对任意n a ≥，证明1'(1)(1)'(n n f n n f n ++>+（22）（本小题满分14分）设0a >，如图，已知直线:l y ax =及曲线2:,C y x C =上的点1Q 的横坐标为11(0).(1)n a a a C Q n <<≥从上的点作直线平行于x 轴，交直线11n n l P P ++于点，再从点作直线平行于y 轴，交曲线1.(1,2,3,n n C Q Q n +=于点 …）的横坐标构成数列{}n a（Ⅰ）试求1n n a a +与的关系，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）当111,2a a =≤时，证明1211()32n k k k k a a a ++=-<∑ （Ⅲ）当1a =时，证明1211()3nk k k k a a a ++=-<∑2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．221- 14．6,30,10 15．120 16．①④三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C. （Ⅰ）95.0)()(,90.0)(===C P B P A P ， .50.0)()(,10.0)(===C P B P A P因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为176.095.095.010.005.095.090.02)()()()()()()()()()()()(=⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为)()()()(C B A P C B A P C B A P C B A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅012.005.010.095.005.010.0205.090.022=⨯+⨯⨯⨯+⨯= 解法二：三件产品都合格的概率为812.095.090.0)()()()(2=⨯=⋅⋅=⋅⋅C P B P A P C B A P由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为.012.0)176.0812.0(1]176.0)([1=+-=+⋅⋅-C B A P答：至少有两件不合的概率为0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。
历年江苏高考数学试卷(1999-2012)(含详细答案)
解决实际问题的能力.
Ⅰ.解：厚度为 的带钢经过减薄率均为 r0 的 n 对轧辊后厚度为
a1 r0 n.
为使输出带钢的厚度不超过 ，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足
a1 r0 n
即 1
r0 n
a
.
由于 1
r0 n
0,
a
0, 对比上式两端取对数，得
n
lg1
r0
lg
a
.
由于 lg1 r0 0,
① 4x 2y 1 0 ② x2 y2 3 ③ x2 y2 1 ④ x2 y2 1
2
2
在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是
()
(A) ①③
(B) ②④
(C) ①②③
(D) ②③④
14.某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件
17.若正数
a
、
b
满足
ab
a
b
3,
则
ab
的取值范围是______________
新疆 王新敞
奎屯
18. 、 是两个不同的平面， m 、 n 是平面 及 之外的两条不同直线，给出四
个论断：
①m⊥n
② ⊥
③n⊥
④m ⊥
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一．个．命题：
________________________________
分
.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
新疆 王新敞
奎屯
1.如图，I 是全集，M、P、S 是 I 的 3 个子集，则阴
影部分所表示的集合是
2021年高考数学真题试卷(江苏卷)27带答案解析
2021年高考数学真题试卷（江苏卷）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1.已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=________.【答案】{﹣1，2}【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：∵集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，∴A∩B={﹣1，2}.【分析】根据已知中集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，结合集合交集的定义可得答案.2.复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是________.【答案】5【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】由复数乘法可得z=（1+2i）（3﹣i）=5+5i，则的实部是5.【分析】利用复数的运算法则即可得出3.在平面直角坐标系xOy中，双曲线x27−y23=1的焦距是________.【答案】2√10【考点】双曲线的标准方程【解析】【解答】，因此焦距为2√10【分析】确定双曲线的几何量，即可求出双曲线﹣=1的焦距.4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________【答案】0.1【考点】极差、方差与标准差【解析】【解答】，【分析】先求出数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数，由此能求出该组数据的方差.5.函数y= √3−2x−x2的定义域是________.【答案】[﹣3，1]【考点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】，解得，因此定义域为[﹣3，1]【分析】根据被开方数不小于0，构造不等式，解得答案6.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是________.【答案】9【考点】程序框图【解析】【解答】a=1时，b=9,1<9;a=5时，b=7,5<7;a=9时，b=5，9>5,则输出时a=9【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________.【答案】56【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】【解答】将先后两次点数记为(x,y)，则共有6×6=36个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6）六种，则点数之和小于10共有30种，概率为3036=56【分析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10的概率8.已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和.若a1+a22= - 3，S5=10，则a9的值是________.【答案】20【考点】等差数列的前n项和，等差数列的性质【解析】【解答】设公差为，则由题意可得，，解得，，则【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a9的值．9.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是________.【答案】7【考点】正弦函数的图象，余弦函数的图象【解析】【解答】画出函数图象草图，共7个交点．【分析】画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象即可得到答案10.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=b2与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90° ,则该椭圆的离心率是________.【答案】√63【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】由题意得 F(c,0) ，直线 y =b 2 与椭圆方程联立可得 B(−√3a 2,b 2) ， C(√3a 2,b2) ，由∠BFC =90° 可得 BF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ， BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(c +√3a2,−b 2) ， CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(c −√3a 2,−b 2) ，则 c 2−34a 2+14b 2=0 ，由 b 2=a 2−c 2 可得 34c 2=12a 2 ，则 e =c a=√23=√63【分析】设右焦点F （c ，0），将y= b2 代入椭圆方程求得B ，C 的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合离心率公式，计算即可得到所求值11.设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[ −1,1)上， f(x)={x +a,−1≤x ＜0|25−x|,0≤x ＜1 其中a ∈R 若f(−52)=f(92) ，则f （5a ）的值是________.【答案】 −25【考点】分段函数的应用【解析】【解答】由题意得 f(−52)=f(−12)=−12+a ， f(92)=f(12)=|25−12|=110 ，由 f(−52)=f(92) 可得 −12+a =110 ，则 a =35 ，则 f(5a)=f(3)=f(−1)=−1+a =−1+35=−25【分析】根据已知中函数的周期性，结合f （﹣ 52 ）=f （ 92 ），可得a 值，进而得到f （5a ）的值 12.已知实数x ， y 满足 {x −2y +4≥02x +y −2≥03x −y −3≤0 ，则x 2+y 2的取值范围是________.【答案】 [45,13] 【考点】简单线性规划【解析】【解答】在平面直角坐标系中画出可行域如下x 2+y 2 为可行域内的点到原点距离的平方．可以看出图中 A 点距离原点最近，此时距离为原点 A 到直线 2x +y −2=0 的距离， d =√4+1=2√55，则 (x 2+y 2)min =45 ，图中 B 点距离原点最远， B 点为 x −2y +4=0 与 3x −y −3=0 交点，则 B(2,3) ， 则 (x 2+y 2)max =13【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可13.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ， F 是AD 上的两个三等分点， BC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4， BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =﹣1，则 BE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是________.【答案】 78【考点】平面向量数量积的性质及其运算律，平面向量数量积的运算【解析】【解答】令 DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ， DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则 DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ⃗ ， DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ， DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a ，则 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a −b ⃗ ， CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a +b ⃗ ， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −b ⃗ ， A ∩B =∅ ， BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −b ⃗ ， CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b ⃗ ， 则 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =9a 2−b ⃗ 2 ， BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2−b ⃗ 2 ， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a 2−b⃗ 2 ， 由 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4 ， BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1 可得 9a 2−b ⃗ 2=4 ， a 2−b ⃗ 2=−1 ，因此 a 2=58,b ⃗ 2=138， 因此 BE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a 2−b ⃗ 2=4×58−138=78【分析】由已知可得 = + ， =﹣+， =+3 ， =﹣ +3 ， =+2，=﹣+2，结合已知求出 2= ， 2= ，可得答案14.在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________.【答案】8【考点】三角函数的最值，解三角形【解析】【解答】由sinA=sin(π−A)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC（*），由三角形ABC为锐角三角形，则cosB>0,cosC>0，在（*）式两侧同时除以cosBcosC,可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=−tan(π−A)=−tan(B+C)=−tanB+tanC1−tanBtanC(#)，则tanAtanBtanC=−tanB+tanC1−tanBtanC×tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=−2(tanBtanC)21−tanBtanC，令tanBtanC=t，由A,B,C为锐角可得tanA>0,tanB>0,tanC>0，由(#)得1−tanBtanC<0，解得t>1tanAtanBtanC=−2t21−t =−21t2−1t，1 t2−1t=(1t−12)2−14，由t>1则0>1t2−1t≥−14，因此tanAtanBtanC最小值为8，当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+√2,tanC=2−√2,tanA=4（或tanB,tanC互换），此时A,B,C均为锐角【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，进而得到tanB+tanC=2tanBtanC，结合函数特性可求得最小值二、解答题（本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在△ABC中，AC=6，cosB=45, C=π4（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣π6）的值.【答案】（1）解：∵cosB=45，B为三角形的内角∴sinB=3 5∵ABsinC=ACsinB∴√22=635，即：AB=5√2（2）解：cosA=−cos(C+B)=sinBsinC−cosBcosC∴cosA=−√2 10又∵A为三角形的内角∴sinA=7√2 10∴cos(A−π6)=√32cosA+12sinA=7√2−√620【考点】解三角形，正弦定理，余弦定理【解析】【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的长；（2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A﹣）的值16.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.【答案】（1）证明∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F，∴DE∥A1C1F；（2）证明∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥平面AA1B1B，∵DE∥A1C1，∴DE⊥平面AA1B1B，又∵A1F⊂平面AA1B1B，∴DE⊥A1F，又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D⊂平面B1DE，∴A1F⊥平面B1DE，又∵A1F⊂平面A1C1F，∴平面B1DE⊥平面A1C1F．【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定【解析】【分析】（1）通过证明DE∥AC，进而DE∥A1C1，据此可得直线DE∥平面A1C1F1；（2）通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D，进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F17.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m,则仓库的容积是多少？（2）若正四棱柱的侧棱长为6m,则当PO1为多少时，仓库的容积最大？【答案】（1）解：PO1=2 m，则OO1=8 m，V P−A1B1C1D1=13S ABCD⋅PO1=13×62×2=24 m3，V ABCD−A1B1C1D1=S ABCD⋅OO1=62×8=288 m3，V=V P−A1B1C1D1+V ABCD−A1B1C1D1=312 m3，故仓库的容积为312 m3（2）解：设PO1=xm，仓库的容积为V(x)则OO1=4x m，A1O1=√36−x2 m，A1B1=√2⋅√36−x2 m，V P−A1B1C1D1=13S ABCD⋅PO1=13×(√72−2x2)2×x=13(72x−2x3) =24x−23x3 m3，V ABCD−A1B1C1D1=S ABCD⋅OO1=(√72−2x2)2×4x=288x−8x3 m3，V(x)=V P−A1B1C1D1+V ABCD−A1B1C1D1=24x−23x3+288x−8x3=−263x3+312x(0<x<6)，V′(x)=−26x2+312=−26(x2−12)(0<x<6)，当x∈(0,2√3)时，V′(x)>0，V(x)单调递增，当x∈(2√3,6)时，V′(x)<0，V(x)单调递减，因此，当x=2√3时，V(x)取到最大值，即PO1=2√3 m时，仓库的容积最大【考点】组合几何体的面积、体积问题，棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【分析】（1）由正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，可得PO1=2m时，O1O=8m，进而可得仓库的容积；（2）设PO1=xm，则O1O=4xm，A1O1= m，A1B1= m，代入体积公式，求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC=OA,求直线l 的方程；（3）设点T （t,0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q,使得 TA ⃗⃗⃗⃗⃗ +TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求实数t 的取值范围。
2020年江苏省高考数学试卷及答案详解,
2020年江苏省高考数学试卷一、填空题1. 已知集合B={0,2,3}，A={−1,0,1,2}，则A∩B=________.2. 已知i是虚数单位，则复数z=(1+i)(2−i)的实部是________.3. 已知一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则a的值是________.4. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________.5. 下图是一个算法流程图，若输出y值为−2，则输入x的值是________.6. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2−y25=1(a>0)的一条渐近线方程为y=√52x，则该双曲线的离心率是________.7. 已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x 23，则f(−8)的值是________.8. 已知sin2(π4+α)=23，则sin2α的值是________.9. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正________cm 2.10. 将函数y =3sin (2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是________.11. 设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列.已知{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，则d +q 的值是________.12. 已知5x 2y 2+y 4=1(x,y ∈R )，则x 2+y 2的最小值是________.13. 在△ABC 中，AB =4， AC =3， ∠BAC =90∘，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9.若PA →=mPB →+(32−m)PC →(m 为常数），则CD 的长度是________.14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P (√32,0)，A ，B 是圆C:x 2+(y −12)2=36上的两个动点，满足PA =PB ，则△PAB 面积的最大值是________. 二、解答题15. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中， AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．(1)求证： EF//平面AB 1C 1；(2)求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1.16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，己知a=3，c=√2，∠B=45∘.(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC=−45，求tan∠DAC的值.17. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线（O′在AB上）．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离ℎ1（米）与D到OO′的距离a（米）之间满足关系式ℎ1=140a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离ℎ2（米）与F到OO′的距离b（米）之间满足关系式ℎ2=−1800b3+6b．已知点B到OO′的距离为40米．(1)求桥AB的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF. 且CE为80米，其中C，E在AB上（不包括端点）. 桥墩EF每米造价k（万元），桥墩CD每米造价32k（万元）(k>0)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？18. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．(1)求△AF1F2的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP →⋅QP →的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19. 已知关于x 的函数y =f (x ) ，y =g (x )与ℎ(x )=kx +b (k,b ∈R )在区间D 上恒有f (x )≥ℎ(x )≥g (x ).(1)若f (x )=x 2+2x ，g (x )=−x 2+2x ，D =(−∞,+∞)，求ℎ(x )的表达式；(2)若f (x )=x 2−x +1，g (x )=k ln x ，ℎ(x )=kx −k ，D =(0,+∞)，求k 的取值范围；(3)若f (x )=x 4−2x 2，g (x )=4x 2−8，ℎ(x )=4(t 3−t )x −3t 4+2t 2(0<|t|≤√2)，D =[m,n ]⊂[−√2,√2]，求证：n −m ≤√7.20. 已知数列{a n }(n ∈N ∗)的首项a 1=1，前n 项和为S n .设λ和k 为常数，若对一切正整数n ，均有S n+11k−S n 1k=λa n+11k成立，则称此数列为“λ−k ”数列. (1)若等差数列是“λ−1”数列，求λ的值；(2)若数列{a n }是“√33−2”数列，且a n >0，求数列{a n }的通项公式；(3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案与试题解析2020年江苏省高考数学试卷一、填空题1.【答案】{0,2}【考点】交集及其运算【解析】集合论中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B．【解答】解：集合B={0,2,3}，A={−1,0,1,2}，则A∩B={0,2}.故答案为：{0,2}.【点评】此题暂无点评2.【答案】3【考点】复数代数形式的混合运算复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解：z=(1+i)(2−i)=3+i，则实部为3.故答案为：3.【点评】此题暂无点评3.【答案】2【考点】众数、中位数、平均数【解析】此题暂无解析【解答】=4，解：由4+2a+(3−a)+5+65可知a=2.故答案为：2.此题暂无点评4.【答案】19【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】此题暂无解析【解答】解：总事件数为6×6=36，满足条件的事件为(1, 4)，(2, 3)，(3, 2)，(4, 1)为共4种，则点数和为5的概率为436=19.故答案为：19.【点评】此题暂无点评5.【答案】−3【考点】程序框图【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知当y=−2时，当x>0时，y=2x=−2，无解；当x<0时，y=x+1=−2，解得：x=−3. 故答案为：−3.【点评】此题暂无点评6.【答案】32【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：由x 2a2−y25=1得渐近线方程为y=±√5ax.∴c2=a2+5=9，∴c=3，∴离心率e=ca =32.故答案为：32. 【点评】此题暂无点评7.【答案】−4【考点】函数奇偶性的性质函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x 2 3，则f(−8)=−f(8)=−823=−4.故答案为：−4.【点评】此题暂无点评8.【答案】13【考点】二倍角的余弦公式运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：因为sin2(π4+α)=23，由sin2(π4+α)=12[1−cos(π2+2α)]=12(1+sin2α)=23，解得sin2α=13.故答案为：13.9.【答案】12√3−π2【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：记此六角螺帽毛坯的体积为V，正六棱柱的体积为V1，内孔的体积为V2，则V1=6×12×2×2×sin60∘×2=12√3，V2=π×(0.5)2×2=π2，所以V=V1−V2=12√3−π2.故答案为：12√3−π2.【点评】此题暂无点评10.【答案】x=−5π24【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的对称性【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(x)=3sin(2x+π4)，将函数f(x)=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度得：g(x)=f(x−π6)=3sin(2x−π3+π4)=3sin(2x−π12)，则y=g(x)的对称轴为2x−π12=π2+kπ,k∈Z，即x=7π24+kπ2,k∈Z.当k=0时，x=7π24，当k=−1时，x=−5π24，故答案为：x =−5π24. 【点评】 此题暂无点评 11.【答案】 4【考点】等差数列与等比数列的综合 数列的求和【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为{a n +b n }的前n 项和为： S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)， 当n =1时，a 1+b 1=1，当n ≥2时，a n +b n =S n −S n−1 =2n −2+2n−1， 所以当n ≥2时，a n =2(n −1)，b n =2n−1，且当n =1时，a 1+b 1=0+1=1成立， 则d =a 2−a 1=2−0=2， q =b 2b 1=21=2，则d +q =4. 故答案为：4. 【点评】 此题暂无点评 12. 【答案】45【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：4=(5x 2+y 2)⋅4y 2≤[(5x 2+y 2)+4y 22]2=254(x 2+y 2)2，故x 2+y 2≥45，当且仅当5x 2+y 2=4y 2=2， 即x 2=310，y 2=12时取(x 2+y 2)min =45.【点评】 此题暂无点评 13. 【答案】 185【考点】二倍角的正弦公式 正弦定理 向量的共线定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由向量系数m +(32−m)=32为常数， 结合等和线性质可知|PA →||PD →|=321，故PD =23PA =6，AD =PA −PD =3=AC ，故∠C =∠CDA ，故∠CAD =π−2C . 在△ABC 中，cos C =ACBC =35.在△ADC ，由正弦定理CDsin ∠CAD =ADsin C ， 即CD =sin (π−2C)sin C⋅AD =sin 2C sin C⋅AD =2AD cos C=2×35×3=185.故答案为：185. 【点评】 此题暂无点评 14. 【答案】10√5 【考点】与圆有关的最值问题 利用导数研究函数的最值【解析】 此题暂无解析 【解答】解：如图，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，∵PA=PB，CA=CB=R=6，∴PC⊥AB.∵EF为直径，要使面积S△PAB最大，则P，D位于C点两侧，并设CD=x，计算可知PC=1，故PD=1+x, AB=2BD=2√36−x2，故S△PAB=12AB⋅PD=(1+x)⋅√36−x2.令x=6cosθ，其中θ∈(0, π2)，S△PAB=(1+x)√36−x2=(1+6cosθ)⋅6sinθ=6sinθ+18sin2θ.记函数f(θ)=6sinθ+18sin2θ，则f′(θ)=6cosθ+36cos2θ=6(12cos2θ+cosθ−6).令f′(θ)=6(12cos2θ+cosθ−6)=0，解得cosθ=23或cosθ=−34<0(舍去)，显然，当0≤cosθ<23时，f′(θ)<0，f(θ)单调递减；当23<cosθ<1时，f′(θ)>0，f(θ)单调递增.结合cosθ在(0,π2)递减，故cosθ=23时，f(θ)最大，此时sinθ=√1−cos2θ=√53，故f(θ)max=6×√53+36×√53×23=10√5，即△PAB面积的最大值是10√5.故答案为：10√5.【点评】此题暂无点评二、解答题15.【答案】证明：(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF//AB1.因为EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF//平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂面ABC，所以B1C⊥AB.又因为AB⊥AC，AC∩B1C=C，AC⊂面AB1C，B1C⊂面AB1C，所以AB⊥面AB1C.因为AB⊂面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF//AB1.因为EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF//平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂面ABC，所以B1C⊥AB.又因为AB⊥AC，AC∩B1C=C，AC⊂面AB1C，B1C⊂面AB1C，所以AB⊥面AB1C.因为AB⊂面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.【点评】此题暂无点评16.【答案】解：(1)由余弦定理，得cos B=cos45∘=a2+c2−b22ac=26√2=√22，因此b2=5，即b=√5.由正弦定理csin C =bsin B，得√2sin C=√5√22，因此sin C=√55.(2)因为cos∠ADC=−45，所以sin∠ADC=√1−cos2∠ADC=35，因为∠ADC∈(π2, π)，所以C∈(0, π2)，所以cos C=√1−sin2∠C=2√55，所以sin∠DAC=sin(π−∠DAC)=sin(∠ADC+∠C) =sin∠ADC cos C+cos∠ADC sin C=2√525.因为∠DAC∈(0, π2)，所以cos∠DAC=√1−sin2∠DAC=11√525，故tan∠DAC=sin∠DACcos∠DAC =211.【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由余弦定理，得cos B=cos45∘=a2+c2−b22ac=26√2=√22，因此b2=5，即b=√5.由正弦定理csin C =bsin B，得√2sin C=√5√22，因此sin C=√55.(2)因为cos∠ADC=−45，所以sin∠ADC=√1−cos2∠ADC=35，因为∠ADC∈(π2, π)，所以C∈(0, π2)，所以cos C=√1−sin2∠C=2√55，所以sin∠DAC=sin(π−∠DAC)=sin(∠ADC+∠C) =sin∠ADC cos C+cos∠ADC sin C=2√525.因为∠DAC∈(0, π2)，所以cos∠DAC=√1−sin2∠DAC=11√525，故tan∠DAC=sin∠DACcos∠DAC =211.【点评】此题暂无点评17.【答案】解：(1)过A，B分别作MN的垂线，垂足为A1，B1，则AA 1=BB 1=−1800×403+6×40=160. 令140a 2=160，得a =80，所以AO ′=80，AB =AO ′+BO ′=80+40=120(米). 故桥AB 的长度为120米.(2)设O ′E =x ，则CO ′=80−x ， 由{0<x <40，0<80−x <80， 解得：0<x <40， 则总造价y =3k 2[160−140(80−x )2]+k [160−(−1800x 3+6x)] =k 800(x 3−30x 2+160×800)(0<x <40)，则y ′=k800(3x 2−60x )=3k800x (x −20).因为k >0，所以令y ′=0，得x =0或20， 所以当0<x <20时， y ′<0，y 单调递减； 当20<x <40时， y ′>0，y 单调递增，所以，当x =20时，y 取最小值155k ，此时造价最低． 答： O ′E 为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低． 【考点】利用导数研究函数的最值 函数模型的选择与应用【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)过A ，B 分别作MN 的垂线，垂足为A 1，B 1，则AA 1=BB 1=−1800×403+6×40=160. 令140a 2=160，得a =80，所以AO ′=80，AB =AO ′+BO ′=80+40=120(米). 故桥AB 的长度为120米.(2)设O ′E =x ，则CO ′=80−x ， 由{0<x <40，0<80−x <80， 解得：0<x <40， 则总造价y =3k 2[160−140(80−x )2]+k [160−(−1800x 3+6x)] =k 800(x 3−30x 2+160×800)(0<x <40)，则y ′=k800(3x 2−60x )=3k800x (x −20).因为k >0，所以令y ′=0，得x =0或20， 所以当0<x <20时， y ′<0，y 单调递减； 当20<x <40时， y ′>0，y 单调递增，所以，当x =20时，y 取最小值155k ，此时造价最低． 答： O ′E 为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低． 【点评】 此题暂无点评 18.【答案】解：(1)由题意知，△AF 1F 2的周长l =2a +2c =6. (2)由椭圆方程得A (1,32)， 设点P (t,0)，则直线AP 方程为y =321−t(x −t ).令x =a 2c=4，得y Q =6−32t 1−t，即Q(4,12−3t2−2t)，则QP →=(t −4,12−3t 2t−2)，所以OP →⋅QP →=t 2−4t =(t −2)2−4≥−4， 即OF →⋅QP →的最小值为−4.(3)设O 到直线AB 的距离为d 1，M 到直线AB 的距离为d 2. 若S 2=3S 1，则12×|AB|×d 2=12×|AB|×d 1×3， 即d 2=3d 1.由题意可得直线AB 方程为y =34(x +1)，即3x −4y +3=0， 所以d 1=35,d 2=95.由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点.设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95，所以√9+16=95，即m =−6或12． 当m =−6时，直线l 为3x −4y −6=0，即y =34(x −2). 联立{y =34(x −2),x 24+y 23=1,可得(x −2)(7x +2)=0，即{x M =2,y M =0,或{x M =−27,y M =−127,所以M(2,0)或(−27,−127).当m =12时，直线l 为3x −4y +12=0，即y =34(x +4). 联立{y =34(x +4),x 24+y 23=1,可得214x 2+18x +24=0，Δ=9×(36−56)<0，所以无解． 综上所述，M 点坐标为(2,0)或(−27,−127).【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题 椭圆中的平面几何问题 直线与椭圆结合的最值问题【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意知，△AF 1F 2的周长l =2a +2c =6. (2)由椭圆方程得A (1,32)，设点P (t,0)，则直线AP 方程为y =321−t(x −t ).令x =a 2c=4，得y Q =6−32t 1−t，即Q(4,12−3t 2−2t)，则QP →=(t −4,12−3t 2t−2)，所以OP →⋅QP →=t 2−4t =(t −2)2−4≥−4， 即OF →⋅QP →的最小值为−4.(3)设O 到直线AB 的距离为d 1，M 到直线AB 的距离为d 2. 若S 2=3S 1，则12×|AB|×d 2=12×|AB|×d 1×3， 即d 2=3d 1.由题意可得直线AB 方程为y =34(x +1)，即3x −4y +3=0，所以d 1=35,d 2=95.由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点. 设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95， 所以√9+16=95，即m =−6或12． 当m =−6时，直线l 为3x −4y −6=0，即y =34(x −2). 联立{y =34(x −2),x 24+y 23=1,可得(x −2)(7x +2)=0，即{x M =2,y M =0或{x M =−27,y M=−127,所以M(2,0)或(−27,−127).当m =12时，直线l 为3x −4y +12=0，即y =34(x +4).联立{y =34(x +4),x 24+y 23=1,可得214x 2+18x +24=0，Δ=9×(36−56)<0，所以无解． 综上所述，M 点坐标为(2,0)或(−27,−127). 【点评】 此题暂无点评 19. 【答案】(1)解：由f(x)=g(x)，得x=0,f′(x)=2x+2，g′(x)=−2x+2，所以f′(0)=g′(0)=2，所以，函数ℎ(x)的图像为过原点，斜率为2的直线，所以ℎ(x)=2x，经检验：ℎ(x)=2x符合题意.(2)解：ℎ(x)−g(x)=k(x−1−ln x)，设φ(x)=x−1−ln x，则φ′(x)=1−1x =x−1x，可得φ(x)≥φ(1)=0，所以当ℎ(x)−g(x)≥0时，k≥0.令p(x)=f(x)−ℎ(x)=x2−x+1−(kx−k) =x2−(k+1)x+(1+k)≥0，得当x=k+1≤0时，f(x)在(0,+∞)上递增，所以p(x)>p(0)=1+k≥0，所以k=−1；当k+1>0时，Δ≤0，即(k+1)2−4(k+1)≤0，(k+1)(k−3)≤0，−1<k≤3.综上，k∈[0,3]．(3)证明：因为f(x)=x4−2x2，所以f′(x)=4x3−4x=4x(x+1)(x−1)，所以函数y=f(x)的图像在x=x0处的切线为y=(4x03−4x0)(x−x0)+(x04−2x02)=(4x03−4x0)x−3x04+2x02，可见直线y=ℎ(x)为函数y=f(x)的图像在x=t(0<|t|≤√2)处的切线.又因为由函数y=f x的图像可知，当f(x)≥ℎ(x)在区间D上恒成立时，|t|∈[1,√2].又由g(x)−ℎ(x)=0，得4x2−4(t3−t)x+3t4−2t2−8=0.设方程g(x)−ℎ(x)=0的两根为x1,x2，则x1+x2=t3−t，x1x2=3t4−2t2−84，所以|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√(t3−t)2−(3t4−2t4−8)=√t6−5t4+3t2+8.令t2=λ，则λ∈[1,2]，由图像可知n−m=|x1−x2|=√λ3−5λ2+3λ+8，设φ(λ)=λ3−5λ2+3λ+8，则φ′(λ)=3λ2−10λ+3=(λ−3)(3λ−1)，所以当λ∈[1,2]时，φ′(λ)<0，φ(λ)单调递减，所以φ(λ)max=φ(1)=7，故(n−m)max=|x1−x2|max=√φ(λ)max=√7，即n−m≤√7.【考点】利用导数研究不等式恒成立问题函数与方程的综合运用利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性导数的几何意义【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：由f(x)=g(x)，得x=0,f′(x)=2x+2，g′(x)=−2x+2，所以f′(0)=g′(0)=2，所以，函数ℎ(x)的图像为过原点，斜率为2的直线，所以ℎ(x)=2x，经检验：ℎ(x)=2x符合题意.(2)解：ℎ(x)−g(x)=k(x−1−ln x)，设φ(x)=x−1−ln x，则φ′(x)=1−1x =x−1x，可得φ(x)≥φ(1)=0，所以当ℎ(x)−g(x)≥0时，k≥0.令p(x)=f(x)−ℎ(x)=x2−x+1−(kx−k) =x2−(k+1)x+(1+k)≥0，得当x=k+1≤0时，f(x)在(0,+∞)上递增，所以p(x)>p(0)=1+k≥0，所以k=−1；当k+1>0时，Δ≤0，即(k+1)2−4(k+1)≤0，(k+1)(k−3)≤0，−1<k≤3.综上，k∈[0,3]．(3)证明：因为f(x)=x4−2x2，所以f′(x)=4x3−4x=4x(x+1)(x−1)，所以函数y=f(x)的图像在x=x0处的切线为y=(4x03−4x0)(x−x0)+(x04−2x02)=(4x03−4x0)x−3x04+2x02，可见直线y=ℎ(x)为函数y=f(x)的图像在x=t(0<|t|≤√2)处的切线.又因为当f(x)≥ℎ(x)在区间D上恒成立时，|t|∈[1,√2].又由g(x)−ℎ(x)=0，得4x2−4(t3−t)x+3t4−2t2−8=0.设方程g(x)−ℎ(x)=0的两根为x1,x2，则x1+x2=t3−t，，x1x2=3t4−2t2−84所以|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√(t3−t)2−(3t4−2t4−8)=√t6−5t4+3t2+8.令t2=λ，则λ∈[1,2]，由图像可知n−m=|x1−x2|=√λ3−5λ2+3λ+8，设φ(λ)=λ3−5λ2+3λ+8，则φ′(λ)=3λ2−10λ+3=(λ−3)(3λ−1)，所以当λ∈[1,2]时，φ′(λ)<0，φ(λ)单调递减，所以φ(λ)max=φ(1)=7，故(n−m)max=|x1−x2|max=√φ(λ)max=√7，即n−m≤√7.【点评】此题暂无点评20.【答案】解：(1)k=1时，a n+1=S n+1−S n=λa n+1，由n为任意正整数，且a1=1，a n≠0，可得λ=1.(2)√S n+1−√S n=√3√a n+1，3a n+1=S n+1−S n=√3√a n+1(√S n+1+√S n)，3因此√S n+1+√S n=√3√a n+1，√3a n+1，即√S n+1=23S n+1=43a n+1=43(S n+1−S n )， 所以S n+1=4S n .又S 1=a 1=1，S n =4n−1， a n =S n −S n−1=3⋅4n−2，n ≥2.综上，a n ={1，n =1，3⋅4n−2，n ≥2.(n ∈N ∗) (3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列， 则S n+113−S n 13=λa n+113，则S n+1−3S n+123S n 13+3S n+113S n 23−S n =λ3a n+1=λ3(S n+1−S n ). 由a 1=1，a n ≥0，且S n >0， 令p n =(S n+1S n )13>0，则(1−λ3)p n 3−3p n 2+3p n −(1−λ3)=0，λ=1时，p n =p n 2，由p n >0可得p n =1，则S n+1=S n ，即a n+1=0，此时{a n }唯一，不存在三个不同的数列{a n }； λ≠1时，令t =31−λ3，则p n 3−tp n 2+tp n −1=0，则(p n −1)[p n 2+(1−t)p n +1]=0，①t ≤1时，p n 2+(1−t)p n +1>0，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }；②1<t <3时，Δ=(1−t)2−4<0，p n 2+(1−t)p n +1=0无解，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }； ③t =3时，(p n −1)3=0， 则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }； ④t >3即0<λ<1时，Δ=(1−t)2−4>0， p n 2+(1−t)p n +1=0有两解α，β. 设α<β，α+β=t −1>2，αβ=1>0， 则0<α<1<β， 则对任意n ∈N ∗，S n+1S n =1或S n+1S n =α3或S n+1S n =β3，此时S n =1，S n ={1，n =1，α3，n ≥2，S n ={1,n =1,2β3，n ≥3均符合条件， 对应a n ={1,n =1,0,n ≥2，a n ={1,n =1,α3−1,n =2,0,n ≥3，a n ={1,n =1,β3−1,n =3,0,n =2,n ≥4,则存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0. 综上，0<λ<1.【考点】数列递推式一元二次方程的根的分布与系数的关系 等比数列的通项公式等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)k =1时，a n+1=S n+1−S n =λa n+1， 由n 为任意正整数，且a 1=1，a n ≠0， 可得λ=1.(2)√S n+1−√S n =√33√a n+1， a n+1=S n+1−S n =√33√a n+1(√S n+1+√S n )，因此√S n+1+√S n =√3√a n+1， 即√S n+1=23√3a n+1， S n+1=43a n+1=43(S n+1−S n )， 所以S n+1=4S n .又S 1=a 1=1，S n =4n−1， a n =S n −S n−1=3⋅4n−2，n ≥2.综上，a n ={1，n =1，3⋅4n−2，n ≥2.(n ∈N ∗) (3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列， 则S n+113−S n 13=λa n+113，则S n+1−3S n+123S n 13+3S n+113S n 23−S n =λ3a n+1=λ3(S n+1−S n ). 由a 1=1，a n ≥0，且S n >0， 令p n =(S n+1S n )13>0，则(1−λ3)p n 3−3p n 2+3p n −(1−λ3)=0，λ=1时，p n =p n 2，由p n >0可得p n =1，则S n+1=S n ，即a n+1=0，此时{a n }唯一，不存在三个不同的数列{a n }； λ≠1时，令t =31−λ3，则p n 3−tp n 2+tp n −1=0，则(p n −1)[p n 2+(1−t)p n +1]=0，①t ≤1时，p n 2+(1−t)p n +1>0，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }；②1<t <3时，Δ=(1−t)2−4<0，p n 2+(1−t)p n +1=0无解，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }； ③t =3时，(p n −1)3=0， 则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }；④t >3即0<λ<1时，Δ=(1−t)2−4>0， p n 2+(1−t)p n +1=0有两解α，β. 设α<β，α+β=t −1>2，αβ=1>0， 则0<α<1<β，则对任意n ∈N ∗，S n+1S n =1或S n+1S n =α3或S n+1S n =β3，此时S n =1，S n ={1，n =1，α3，n ≥2，S n ={1,n =1,2β3，n ≥3均符合条件， 对应a n ={1,n =1,0,n ≥2，a n ={1,n =1,α3−1,n =2,0,n ≥3，a n ={1,n =1,β3−1,n =3,0,n =2,n ≥4,则存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0. 综上，0<λ<1.【点评】此题暂无点评。
2022年江苏省高考数学试卷(新高考Ⅰ)及答案解析
2022年江苏省高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）A ．{2}B ．{1，2}C ．{2，3}D ．{1，2，3}1．（5分）已知集合P ={x ∈N |1≤x ≤10}，集合Q ={x ∈R |x 2+x -6=0}，则P ∩Q 等于（ ）A ．48个B ．36个C ．24个D ．18个2．（5分）用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）若cosθ>0，且sin 2θ<0，则角θ的终边所在象限是（ ）A ．y ′=x 2+1x 2B ．y ′=x 2−1x C ．y ′=x 2−1x 2D ．y ′=1−x2x 24．（5分）函数y =x 2−1x的导数是（ ）A．B．C．D．5．（5分）已知二次函数f （x ）的图象如图所示，则其导函数f ′（x ）的图象大致形状是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．96．（5分）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA +FB +FC =0，则|FA |+|FB |+|FC |的值为（ ）→→→→→→→7．（5分）已知-9，a 1，a 2，-1四个实数成等差数列，-9，b 1，b 2，b 3，-1五个实数成等比数列，则b 2（a 2-a 1）=（ ）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）三、解答题：（本大题共6小题，共75分）A ．8B ．-8C ．±8D ．98A ．3B ．6C ．9D ．128．（5分）若对于任意实数x ,有x 3=a 0+a 1（x -2）+a 2（x -2）2+a 3（x -2）3，则a 2的值为（ ）A ．h 2>h 1>h 4B ．h 1>h 2>h 3C ．h 3>h 2>h 4D ．h 2>h 4>h 19．（5分）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h 1，h 2，h 3，h 4，则它们的大小关系正确的是（ ）A ．7，6，1，4B ．6，4，1，7C ．4，6，1，7D ．1，6，4，710．（5分）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a ,b ,c ,d 对应密文a +2b ,2b +c ,2c +3d ,4d .例如明文1，2，3，4对应加密文5，7，18，16，当接受方收到密文14，9，23，28时，则解密得明文为（ ）11．（5分）已知0≤x ≤2，则函数y =4x -3×2x -4的最小值．12．（5分）若数列{a n }（n ∈N +）为等差数列，则数列b n =a 1+a 2+a 3+…+a n n (n ∈N +)也为等差数列，类比上述性质，相应地，若数列{c n }是等比数列且c n >0（n ∈N +），则有数列d n =（n ∈N +）也是等比数列．13．（5分）在（x +1x ）5展开式中，含x 项的系数为 ．14．（5分）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为 ．15．（5分）求圆ρ=cosθ+23sinθ圆心的极坐标．√16．（12分）已知sinθ+cosθ=22，求sin 4θ+cos 4θ和sin 3θ+cos 3θ的值．√17．（12分）甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是13，25，12．（Ⅰ）现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；（Ⅱ）用ξ表示乙投篮3次的进球数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ．18．（12分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，M 为D1D的中点．（Ⅰ）求证：异面直线B1O与AM垂直；（Ⅱ）求二面角B1-AM-B的大小；（Ⅲ）若正方体的棱长为a,求三棱锥B1-AMC的体积．19．（14分）已知数列{log2（a n-1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明1a2−a1+1a3−a2+…+1a n+1−a n<1．20．（12分）已知直角三角形ABC的顶点A（-2，0），直角顶点B（0，-22），顶点C在x轴上．（1）求BC所在直线方程的一般式；（2）求△ABC外接圆M的标准方程．√21．（13分）设函数f（x）=lnx+x2+ax时，f（x）取得极值，求a的值；（1）若x=12（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围．。
2020年江苏省高考数学试卷(包括附加题)【含详答】
2020年江苏省高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共16小题，共100.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2}，B={0,2，3}，则A∩B=______．2.已知i是虚数单位，则复数z=(1+i)(2−i)的实部是______．3.已知一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则a的值是______．4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是______．5.如图是一个算法流程图，若输出y的值为−2，则输入x的值是______．6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2−y25=1(a>0)的一条渐近线方程为y=√52x，则该双曲线的离心率是______．7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x23，则f(−8)的值是______．8.已知sin2(π4+α)=23，则sin2α的值是______．9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是______cm3．10.将函数y=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是______．11.设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列．已知数列{a n+b n}的前n项和S n=n2−n+2n−1(n∈N∗)，则d+q的值是______．12.已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值是______．13. 在△ABC 中，AB =4，AC =3，∠BAC =90°，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9.若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ (m 为常数)，则CD 的长度是______．14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P(√32,0)，A 、B 是圆C ：x 2+(y −12)2=36上的两个动点，满足PA =PB ，则△PAB 面积的最大值是______．15. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO′为铅垂线(O′在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离ℎ1(米)与D 到OO′的距离a(米)之间满足关系式ℎ1=140a 2；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离ℎ2(米)与F 到OO′的距离b(米)之间满足关系式ℎ2=−1800b 3+6b.已知点B 到OO′的距离为40米．(1)求桥AB 的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k(万元)，桥墩CD 每米造价32k(万元)(k >0)，问O′E 为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．(1)求△AF 1F 2的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．二、解答题（本大题共9小题，共112.0分）17.在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．(1)求证：EF//平面AB1C1；(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1．18.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=3，c=√2，B=45°．(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC=−4，求tan∠DAC的值．519. 已知关于x 的函数y =f(x)，y =g(x)与ℎ(x)=kx +b(k,b ∈R)在区间D 上恒有f(x)≥ℎ(x)≥g(x)．(1)若f(x)=x 2+2x ，g(x)=−x 2+2x ，D =(−∞,+∞)，求ℎ(x)的表达式； (2)若f(x)=x 2−x +1，g(x)=klnx ，ℎ(x)=kx −k ，D =(0,+∞)，求k 的取值范围；(3)若f(x)=x 4−2x 2，g(x)=4x 2−8，ℎ(x)=4(t 3−t)x −3t 4+2t 2(0<|t|≤√2)，D =[m,n]⊂[−√2,√2]，求证：n −m ≤√7．20. 已知数列{a n }(n ∈N ∗)的首项a 1=1，前n 项和为S n .设λ和k 为常数，若对一切正整数n ，均有S n+11k−S n 1k =λa n+11k成立，则称此数列为“λ−k ”数列．(1)若等差数列{a n }是“λ−1”数列，求λ的值；(2)若数列{a n }是“√33−2”数列，且a n >0，求数列{a n }的通项公式；(3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．21. 平面上的点A(2,−1)在矩阵M =[a 1−1b]对应的变换作用下得到点B (3,−4)． (1)求实数a ，b 的值；(2)求矩阵M 的逆矩阵M −1．22. 在极坐标系中，已知A(ρ1,π3)在直线1：ρcosθ=2上，点B(ρ2,π6)在圆C ：ρ=4sinθ上(其中ρ≥0，0≤θ<2π)． (1)求ρ1，ρ2的值；(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．23.设x∈R，解不等式2|x+1|+|x|<4．24.在三棱锥A−BCD中，已知CB=CD=√5，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC中点．(1)求直线AB与DE所成角的余弦值；BC，设二面角F−DE−C的大小为θ，求sinθ的(2)若点F在BC上，满足BF=14值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n，恰有2个黑球的概率为p n，恰有1个黑球的概率为q n．(1)求p1，q1和p2，q2；(2)求2p n+q n与2p n−1+q n−1的递推关系式和X n的数学期望E(X n)(用n表示)．2020年江苏省高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共16小题，共100.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2}，B={0,2，3}，则A∩B=______．【答案】{0,2}【解析】解：集合B={0,2，3}，A={−1,0，1，2}，则A∩B={0,2}，故答案为：{0,2}．运用集合的交集运算，可得所求集合．本题考查集合的交集运算，考查运算能力，属于基础题．2.已知i是虚数单位，则复数z=(1+i)(2−i)的实部是______．【答案】3【解析】解：复数z=(1+i)(2−i)=3+i，所以复数z=(1+i)(2−i)的实部是：3．故答案为：3．利用复数的乘法的运算法则，化简求解即可．本题考查复数的乘法的运算法则以及复数的基本概念的应用，是基本知识的考查．3.已知一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则a的值是______．【答案】2【解析】解：一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则4+2a+(3−a)+5+6=4×5，解得a=2．故答案为：2．运用平均数的定义，解方程可得a的值．本题考查平均数的定义的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是______．【答案】19【解析】解：一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，可得基本事件的总数为6×6=36种，而点数和为5的事件为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种，则点数和为5的概率为P=436=19．故答案为：19．分别求得基本事件的总数和点数和为5的事件数，由古典概率的计算公式可得所求值．本题考查古典概率的求法，考查运算能力，属于基础题．5.如图是一个算法流程图，若输出y的值为−2，则输入x的值是______．【答案】−3【解析】解：由题意可得程序框图表达式为分段函数y ={2x ,x >0x +1,x ≤0，若输出y 值为−2时，由于2x >0， 所以解x +1=−2， 即x =−3，故答案为：−3，由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用程序框图表达式为分段函数计算并输出变量y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2−y 25=1(a >0)的一条渐近线方程为y =√52x ，则该双曲线的离心率是______． 【答案】32【解析】解：双曲线x 2a2−y 25=1(a >0)的一条渐近线方程为y =√52x ，可得√5a=√52，所以a =2，所以双曲线的离心率为：e =c a =√4+52=32， 故答案为：32．利用双曲线的渐近线方程，求出a ，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．7. 已知y =f(x)是奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 23，则f(−8)的值是______． 【答案】−4【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性的定义和运用：求函数值，考查转化思想和运算能力，属于基础题．由奇函数的定义可得f(−x)=−f(x)，由已知可得f(8)，进而得到f(−8)．【解答】解：y=f(x)是奇函数，可得f(−x)=−f(x)，当x≥0时，f(x)=x23，可得f(8)=823=4，则f(−8)=−f(8)=−4，故答案为：−4．8.已知sin2(π4+α)=23，则sin2α的值是______．【答案】13【解析】解：因为sin2(π4+α)=23，则sin2(π4+α)=1−cos(π2+2α)2=1+sin2α2=23，解得sin2α=13，故答案为：13根据二倍角公式即可求出．本题考查了二倍角公式，属于基础题．9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是______cm3．【答案】12√3−π2【解析】【分析】本题考查柱体体积公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．通过棱柱的体积减去圆柱的体积，即可推出结果．【解答】解：六棱柱的体积为：6×12×2×2×sin60°×2=12√3，圆柱的体积为：π×(0.5)2×2=π2，所以此六角螺帽毛坯的体积是：(12√3−π2)cm3，故答案为：12√3−π2．10.将函数y=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是______．【答案】x =−5π24【解析】【分析】本题考查三角函数的平移变换，对称轴方程，属于中档题．利用三角函数的平移可得新函数g(x)=f(x −π6)，求g(x)的所有对称轴x =7π24+kπ2，k ∈Z ，从而可判断平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程， 【解答】解：因为函数y =3sin(2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度可得 g(x)=f(x −π6)=3sin(2x −π3+π4)=3sin(2x −π12)， 则y =g(x)的对称轴为2x −π12=π2+kπ，k ∈Z ， 即x =7π24+kπ2，k ∈Z ，当k =0时，x =7π24，当k =−1时，x =−5π24，所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是x =−5π24， 故答案为：x =−5π24．11. 设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，则d +q 的值是______． 【答案】4【解析】解：因为{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，因为{a n }是公差为d 的等差数列，设首项为a 1；{b n }是公比为q 的等比数列，设首项为b 1，所以{a n }的通项公式a n =a 1+(n −1)d ，所以其前n 项和S a n =n[a 1+a 1+(n−1)d]2=d 2n 2+(a 1−d2)n ，当{b n }中，当公比q =1时，其前n 项和S b n =nb 1，所以{a n +b n }的前n 项和S n =S a n +S b n =d2n 2+(a 1−d2)n +nb 1=n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，显然没有出现2n ，所以q ≠1， 则{b n }的前n 项和为S b n =b 1(q n −1)q−1=b 1q n q−1+b 1q−1，所以S n =S a n +S b n =d2n 2+(a 1−d2)n +b 1q n q−1−b1q−1=n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，由两边对应项相等可得：{d2=1a 1−d 2=−1q =2b 1q−1=1解得：d =2，a 1=0，q =2，b 1=1，所以d +q =4， 故答案为：4．由{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，由{a n }是公差为d 的等差数列，设首项为a 1；求出等差数列的前n 项和的表达式；{b n }是公比为q 的等比数列，设首项为b 1，讨论当q 为1和不为1时的前n 项和的表达式，由题意可得q ≠1，由对应项的系数相等可得d ，q 的值，进而求出d +q 的值．本题考查等差数列及等比数列的综合及由前n 项和求通项的性质，属于中档题．12. 已知5x 2y 2+y 4=1(x,y ∈R)，则x 2+y 2的最小值是______． 【答案】45【解析】解：方法一、由5x 2y 2+y 4=1，可得x 2=1−y 45y 2，由x 2≥0，可得y 2∈(0,1]， 则x 2+y 2=1−y 45y 2+y 2=1+4y 45y 2=15(4y 2+1y 2)≥15⋅2√4y 2⋅1y 2=45，当且仅当y 2=12，x 2=310， 可得x 2+y 2的最小值为45； 方法二、4=(5x 2+y 2)⋅4y 2≤(5x 2+y 2+4y 22)2=254(x 2+y 2)2，故x 2+y 2≥45，当且仅当5x 2+y 2=4y 2=2，即y 2=12，x 2=310时取得等号， 可得x 2+y 2的最小值为45． 故答案为：45．方法一、由已知求得x 2，代入所求式子，整理后，运用基本不等式可得所求最小值； 方法二、由4=(5x 2+y 2)⋅4y 2，运用基本不等式，计算可得所求最小值．本题考查基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和化简运算能力，属于中档题．13. 在△ABC 中，AB =4，AC =3，∠BAC =90°，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9.若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ (m 为常数)，则CD 的长度是______．【答案】0或185【解析】解：如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则B(4,0)，C(0,3)，由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(32−m)(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )， 整理得：PA⃗⃗⃗⃗⃗ =−2m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2m −3)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2m(4,0)+(2m −3)(0,3)=(−8m,6m −9)．由AP =9，得64m 2+(6m −9)2=81，解得m =2725或m =0．当m =0时，PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−9)，此时C 与D 重合，|CD|=0； 当m =2725时，直线PA 的方程为y =9−6m 8mx ，直线BC 的方程为x4+y3=1，联立两直线方程可得x =83m ，y =3−2m ． 即D(7225,2125)，∴|CD|=√(7225)2+(2125−3)2=185．∴CD 的长度是0或185． 故答案为：0或185．以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，求得B 与C 的坐标，再把PA⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标用m 表示．由AP =9列式求得m 值，然后分类求得D 的坐标，则CD 的长度可求．本题考查向量的概念与向量的模，考查运算求解能力，利用坐标法求解是关键，是中档题．14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P(√32,0)，A 、B 是圆C ：x 2+(y −12)2=36上的两个动点，满足PA =PB ，则△PAB 面积的最大值是______． 【答案】10√5【解析】解：圆C ：x 2+(y −12)2=36的圆心C(0,12)，半径为6，如图，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，因为PA =PB ，CA =CB =R =6，所以PC ⊥AB ，EF 为垂径，要使面积S △PAB 最大，则P ，D 位于C 的两侧， 并设CD =x ，可得PC =√14+34=1，故PD =1+x ，AB =2BD =2√36−x 2，可令x =6cosθ，S △PAB =12|AB|⋅|PD|=(1+x)√36−x 2=(1+6cosθ)⋅6sinθ=6sinθ+18sin2θ，0<θ≤π2，设函数f(θ)=6sinθ+18sin2θ，0<θ≤π2， f′(θ)=6cosθ+36cos2θ=6(12cos 2θ+cosθ−6)，由f′(θ)=6(12cos 2θ+cosθ−6)=0，解得cosθ=23(cosθ=−34<0舍去)， 显然，当0≤cosθ<23，f′(θ)<0，f(θ)递减；当23<cosθ<1时，f′(θ)>0，f(θ)递增，结合cosθ在(0,π2)递减，故cosθ=23时，f(θ)最大，此时sinθ=√1−cos 2θ=√53，故f(θ)max =6×√53+36×√53×23=10√5，则△PAB 面积的最大值为10√5． 故答案为：10√5．求得圆的圆心C 和半径，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，运用垂径定理和勾股定理，以及三角形的面积公式，由三角换元，结合函数的导数，求得单调区间，计算可得所求最大值．本题考查圆的方程和运用，以及圆的弦长公式和三角形的面积公式的运用，考查换元法和导数的运用：求单调性和最值，属于中档题．15. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO′为铅垂线(O′在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离ℎ1(米)与D 到OO′的距离a(米)之间满足关系式ℎ1=140a 2；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离ℎ2(米)与F 到OO′的距离b(米)之间满足关系式ℎ2=−1800b 3+6b.已知点B 到OO′的距离为40米．(1)求桥AB 的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k(万元)，桥墩CD 每米造价32k(万元)(k >0)，问O′E 为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？【答案】解：(1)ℎ2=−1800b3+6b，点B到OO′的距离为40米，可令b=40，可得ℎ2=−1800×403+6×40=160，即为|O′O|=160，由题意可设ℎ1=160，由140a2=160，解得a=80，则|AB|=80+40=120米；(2)可设O′E=x，则CO′=80−x，由{0<x<400<80−x<80，可得0<x<40，总造价为y=32k[160−140(80−x)2]+k[160−(6x−1800x3)]=k800(x3−30x2+160×800)，y′=k800(3x2−60x)=3k800x(x−20)，由k>0，当0<x<20时，y′<0，函数y递减；当20<x<40时，y′>0，函数y递增，所以当x=20时，y取得最小值，即总造价最低．答：(1)桥|AB|长为120米；(2)O′E为20米时，桥墩CD与EF的总造价最低．【解析】(1)由题意可令b=40，求得ℎ2，即O′O的长，再令ℎ1=|OO′|，求得a，可得|AB|=a+b；(2)可设O′E=x，则CO′=80−x，0<x<40，求得总造价y=32k[160−140(80−x)2]+k[160−(6x−1800x3)]，化简整理，应用导数，求得单调区间，可得最小值．本题考查函数在实际问题中的应用，考查导数的应用：求最值，考查运算能力和分析问题与解决问题的能力，属于中档题．16.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．(1)求△AF1F2的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．【答案】解：(1)由椭圆的标准方程可知，a 2=4，b 2=3，c 2=a 2−b 2=1， 所以△AF 1F 2的周长=2a +2c =6．(2)由椭圆方程得A(1,32)，设P(t,0)，则直线AP 方程为y =321−t(x −t)，椭圆的右准线为：x =a 2c =4，所以直线AP 与右准线的交点为Q(4,32⋅4−t1−t )，OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,0)⋅(t −4,0−32⋅4−t 1−t)=t 2−4t =(t −2)2−4≥−4， 当t =2时，(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−4．(3)若S 2=3S 1，设O 到直线AB 距离d 1，M 到直线AB 距离d 2，则12×|AB|×d 2=12×|AB|×d 1，即d 2=3d 1，A(1,32)，F 1(−1,0)，可得直线AB 方程为y =34(x +1)，即3x −4y +3=0，所以d 1=35，d 2=95， 由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点， 设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95， 所以|m−3|√9+16=95，即m =−6或12，当m =−6时，直线l 为3x −4y −6=0，即y =34(x −2)，联立{y =34(x −2)x 24+y 23=1，可得(x −2)(7x +2)=0，即{x M =2y N =0或{x M =−27y M =−127， 所以M(2,0)或(−27,−127).当m =12时，直线l 为3x −4y +12=0，即y =34(x +4)，联立{y =34(x +4)x 24+y 23=1，可得214x 2+18x +24=0，△=9×(36−56)<0，所以无解，综上所述，M 点坐标为(2,0)或(−27,−127).【解析】(1)由椭圆标准方程可知a ，b ，c 的值，根据椭圆的定义可得△AF 1F 2的周长=2a +2c ，代入计算即可．(2)由椭圆方程得A(1,32)，设P(t,0)，进而由点斜式写出直线AP 方程，再结合椭圆的右准线为：x =4，得点Q 为(4,32⋅4−t1−t )，再由向量数量积计算最小值即可．(3)在计算△OAB 与△MAB 的面积时，AB 可以最为同底，所以若S 2=3S 1，则O 到直线AB 距离d 1与M 到直线AB 距离d 2，之间的关系为d 2=3d 1，根据点到直线距离公式可得d 1=35，d 2=95，所以题意可以转化为M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95，根据两平行直线距离公式可得，m =−6或12，然后在分两种情况算出M 点的坐标即可．本题考查椭圆的定义，向量的数量积，直线与椭圆相交问题，解题过程中注意转化思想的应用，属于中档题．二、解答题（本大题共9小题，共112.0分）17. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．(1)求证：EF//平面AB 1C 1；(2)求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【答案】证明：(1)E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．所以EF//AB 1，因为EF ⊄平面AB 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1， 所以EF//平面AB 1C 1；(2)因为B 1C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABB 1， 所以B 1C ⊥AB ，又因为AB ⊥AC ，AC ∩B 1C =C ，AC ⊂平面AB 1C ，B 1C ⊂平面AB 1C ， 所以AB ⊥平面AB 1C ， 因为AB ⊂平面ABB 1，所以平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【解析】(1)证明EF//AB 1，然后利用直线与平面平行的判断定理证明EF//平面AB 1C 1；(2)证明B 1C ⊥AB ，结合AB ⊥AC ，证明AB ⊥平面AB 1C ，然后证明平面AB 1C ⊥平面ABB 1．本题考查直线与平面垂直的判断定理以及平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，是中档题．18. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =3，c =√2，B =45°．(1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos∠ADC =−45，求tan∠DAC 的值．【答案】解：(1)因为a =3，c =√2，B =45°.，由余弦定理可得：b =√a 2+c 2−2accosB =√9+2−2×3×√2×√22=√5，由正弦定理可得csinC =bsinB ，所以sinC =cb ⋅sin45°=√2√5⋅√22=√55， 所以sinC =√55；(2)因为cos∠ADC =−45，所以sin∠ADC =√1−cos 2∠ADC =35， 在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由(1)可得cosC =√1−sin 2C =2√55， 所以在三角形ADC 中，sin∠DAC =sin(∠ADC +∠C)=sin∠ADCcos∠C +cos∠ADCsin∠C =2√525，因为∠DAC ∈(0,π2)，所以cos∠DAC =√1−sin 2∠DAC =11√525，所以tan∠DAC =sin∠DAC cos∠DAC =211．【解析】(1)由题意及余弦定理求出b 边，再由正弦定理求出sin C 的值； (2)三角形的内角和为180°，cos∠ADC =−45，可得∠ADC 为钝角，可得∠DAC 与∠ADC +∠C 互为补角，所以sin∠DAC =sin(∠ADC +∠C)展开可得sin∠DAC 及cos∠DAC ，进而求出tan∠DAC 的值．本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用，及两角和的正弦公式的应用，属于中档题．19. 已知关于x 的函数y =f(x)，y =g(x)与ℎ(x)=kx +b(k,b ∈R)在区间D 上恒有f(x)≥ℎ(x)≥g(x)．(1)若f(x)=x 2+2x ，g(x)=−x 2+2x ，D =(−∞,+∞)，求ℎ(x)的表达式； (2)若f(x)=x 2−x +1，g(x)=klnx ，ℎ(x)=kx −k ，D =(0,+∞)，求k 的取值范围；(3)若f(x)=x4−2x2，g(x)=4x2−8，ℎ(x)=4(t3−t)x−3t4+2t2(0<|t|≤√2)，D=[m,n]⊂[−√2,√2]，求证：n−m≤√7．【答案】解：(1)由f(x)=g(x)得x=0，又f′(x)=2x+2，g′(x)=−2x+2，所以f′(0)=g′(0)=2，所以，函数ℎ(x)的图象为过原点，斜率为2的直线，所以ℎ(x)=2x，经检验：ℎ(x)=2x，符合任意，(2)ℎ(x)−g(x)=k(x−1−lnx)，设φ(x)=x−1−lnx，设φ′(x)=1−1x =x−1x，在(1,+∞)上，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，在(0,1)上，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，所以φ(x)≥φ(1)=0，所以当ℎ(x)−g(x)≥0时，k≥0，令p(x)=f(x)−ℎ(x)所以p(x)=x2−x+1−(kx−k)=x2−(k+1)x+(1+k)≥0，得，当x=k+1≤0时，即k≤−1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以p(x)>p(0)=1+k≥0，k≥−1，所以k=−1，当k+1>0时，即k>−1时，△≤0，即(k+1)2−4(k+1)≤0，解得−1<k≤3，综上，k∈[0,3]．423所以函数y=f(x)的图象在x=x0处的切线为：y=(4x03−4x0)(x−x0)+(x04−2x03)=(4x03−4x0)x−3x04+2x02，可见直线y=ℎ(x)为函数y=f(x)的图象在x=t(0<|t|≤√2)处的切线．由函数y=f(x)的图象可知，当f(x)≥ℎ(x)在区间D上恒成立时，|t|∈[1,√2]，又由g(x)−ℎ(x)=0，得4x2−4(t3−t)x+3t4−2t2−8=0，设方程g(x)−ℎ(x)=0的两根为x1，x2，则x1+x2=t3−t，x1x2=3t4−2t2−84，所以|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√(t3−t)2−(3t4−2t2−8)=√t6−5t4+3t2+8，t2=λ，则λ∈[1,2]，由图象可知，n−m=|x1−x2|=√λ3−5λ2+3λ+8，设φ(λ)=λ3−5λ2+3λ+8，则φ′(λ)=3λ2−10λ+3=(λ−3)(3λ−1)，所以当λ∈[1,2]时，φ′(λ)<0，φ(λ)单调递减，所以φ(λ)max=φ(1)=7，故(n−m)max=|x1−x2|max=√7，即n−m≤√7．【解析】(1)由f(x)=g(x)得x=0，求导可得f′(0)=g′(0)=2，能推出函数ℎ(x)的图象为过原点，斜率为2的直线，进而可得ℎ(x)=2x，再进行检验即可．(2)由题可知ℎ(x)−g(x)=k(x−1−lnx)，设φ(x)=x−1−lnx，求导分析单调性可得，φ(x)≥φ(1)=0，那么要使的ℎ(x)−g(x)≥0，则k≥0；令p(x)=f(x)−ℎ(x)为二次函数，则要使得p(x)≥0，分两种情况，当x=k+1≤0时，当k+1>0时进行讨论，进而得出答案．(3)因为f(x)=x4−2x2，求导，分析f(x)单调性及图象得函数y=f(x)的图象在x=x 0处的切线为：y =(4x 03−4x 0)x −3x 04+2x 02，可推出直线y =ℎ(x)为函数y =f(x)的图象在x =t(0<|t|≤√2)处的切线．进而f(x)≥ℎ(x)在区间D 上恒成立；在分析g(x)−ℎ(x)=0，设4x 2−4(t 3−t)x +3t 4−2t 2−8=0，两根为x 1，x 2，由韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，所以n −m =|x 1−x 2|=√t 6−5t 4+3t 2+8，再求最值即可得出结论．本题考查恒成立问题，参数的取值范围，导数的综合应用，解题过程中注意数形结合思想的应用，属于中档题．20. 已知数列{a n }(n ∈N ∗)的首项a 1=1，前n 项和为S n .设λ和k 为常数，若对一切正整数n ，均有S n+11k−S n 1k =λa n+11k成立，则称此数列为“λ−k ”数列．(1)若等差数列{a n }是“λ−1”数列，求λ的值；(2)若数列{a n }是“√33−2”数列，且a n >0，求数列{a n }的通项公式；(3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】解：(1)k =1时，a n+1=S n+1−S n =λa n+1，由n 为任意正整数，且a 1=1，a n ≠0，可得λ=1； (2)√S n+1−√S n =√33√a n+1，则a n+1=S n+1−S n =(√S n+1−√S n )⋅(√S n+1+√S n )=√33⋅√a n+1(√S n+1+√S n )，因此√S n+1+√S n =√3⋅√a n+1，即√S n+1=23√3a n+1，S n+1=43a n+1=43(S n+1−S n )，从而S n+1=4S n ，又S 1=a 1=1，可得S n =4n−1， a n =S n −S n−1=3⋅4n−2，n ≥2， 综上可得a n ={1,n =13⋅4n−2,n ≥2，n ∈N ∗；(3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列， 则S n+113−S n 13=λa n+113，则S n+1−3S n+123S n 13+3S n+113S n 23−S n =λ3a n+1=λ3(S n+1−S n )， 由a 1=1，a n ≥0，且S n >0，令p n =(S n+1S n)13>0，则(1−λ3)p n 3−3p n 2+3p n −(1−λ3)=0，λ=1时，p n =p n 2，由p n >0，可得p n =1，则S n+1=S n ， 即a n+1=0，此时{a n }唯一，不存在三个不同的数列{a n }，λ≠1时，令t =31−λ3，则p n 3−tp n 2+tp n −1=0，则(p n −1)[p n 2+(1−t)p n +1]=0，①t ≤1时，p n2+(1−t)p n +1>0，则p n =1，同上分析不存在三个不同的数列{a n }；②1<t <3时，△=(1−t)2−4<0，p n2+(1−t)p n +1=0无解， 则p n =1，同上分析不存在三个不同的数列{a n }；③t =3时，(p n −1)3=0，则p n =1，同上分析不存在三个不同的数列{a n }.④t >3时，即0<λ<1时，△=(1−t)2−4>0，p n2+(1−t)p n +1=0有两解α，β，设α<β，α+β=t −1>2，αβ=1>0，则0<α<1<β， 则对任意n ∈N ∗，S n+1S n=1或S n+1S n=α3或S n+1S n=β3，此时S n =1，S n ={1,n =1β3,n ≥2，S n ={1,n =1,2β3,n ≥3均符合条件．对应a n ={1,n =10,n ≥2，a n ={1,n =1β3−1,n =20,n ≥3，a n ={1,n =1β3−1,n =30,n =2,n ≥4，则存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0，综上可得0<λ<1．【解析】(1)由“λ−1”数列可得k =1，结合数列的递推式，以及等差数列的定义，可得λ的值；(2)运用“√33−2”数列的定义，结合数列的递推式和等比数列的通项公式，可得所求通项公式；(3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，则Sn+113−S n 13=λa n+113，由两边立方，结合数列的递推式，以及t 的讨论，二次方程的实根分布和韦达定理，即可判断是否存在λ，并可得取值范围．本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，以及数列的递推式的运用，考查分类讨论思想，以及运算能力和推理论证能力，是一道难题．21. 平面上的点A(2,−1)在矩阵M =[a 1−1b]对应的变换作用下得到点B (3,−4)． (1)求实数a ，b 的值；(2)求矩阵M 的逆矩阵M −1．【答案】解：(1)由题意，知[a 1−1b ]⋅[2−1]=[2a −1−2−b ]=[3−4]， 则{2a −1=3−2−b =−4，解得a =2，b =2； (2)由(1)知，矩阵M =[21−12]，设矩阵M 的逆矩阵为M −1=[mn p q ]，∴M ⋅M −1=[21−12]⋅[mn pq ]=[2m +p 2n +q −m +2p −n +2q ]=[1001]， ∴{2m +p =12n +q =0−m +2p =0−n +2q =1，解得m =25，n =−15，p =15，q =25， ∴M −1=[25−151525]．【解析】(1)由[a 1−1b ]⋅[2−1]=[3−4]，列方程组，求出a 、b 的值； (2)设矩阵M 的逆矩阵为M −1=[mn pq ]，利用M ⋅M −1=[1001]，列方程组求出m 、n 、p 和q 的值即可．本题考查了矩阵的变换与计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．22. 在极坐标系中，已知A(ρ1,π3)在直线1：ρcosθ=2上，点B(ρ2,π6)在圆C ：ρ=4sinθ上(其中ρ≥0，0≤θ<2π)． (1)求ρ1，ρ2的值；(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标． 【答案】解：(1)∵A(ρ1,π3)在直线1：ρcosθ=2上， ∴ρ1cos π3=2，解得ρ1=4．∵点B(ρ2,π6)在圆C ：ρ=4sinθ上， ∴ρ2=4sin π6，解得ρ2=2．(2)由直线l 与圆C 得，方程组{ρcosθ=2ρ=4sinθ，则sin2θ=1．∵θ∈[0,2π]，∴2θ=π2，∴θ=π4． ∴ρ=4×sin π4=2√2．故公共点的极坐标为(2√2,π4).【解析】(1)直接根据点A 在直线l 上，列方程求出ρ1的值，点B 在圆C 上，列方程求出ρ2的值；(2)联立直线l 与圆C 的方程，然后求出其公共点的极坐标即可．本题考查的知识要点：极坐标与极坐标方程的关系和根据简单曲线极坐标方程求交点坐标，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．23. 设x ∈R ，解不等式2|x +1|+|x|<4． 【答案】解：2|x +1|+|x|={3x +2,x >0x +2,−1≤x ≤0−3x −2,x <−1．∵2|x +1|+|x|<4，∴{3x +2<4x >0或{x +2<4−1≤x ≤0或{−3x −2<4x <−1，∴0<x <23或−1<x <0或−2<x <−1，∴−2<x <23， ∴不等式的解集为{x|−2<x <23}.【解析】先将2|x +1|+|x|写为分段函数的形式，然后根据2|x +1|+|x|<4，利用零点分段法解不等式即可．本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想，属基础题．24. 在三棱锥A −BCD 中，已知CB =CD =√5，BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 中点．(1)求直线AB 与DE 所成角的余弦值；(2)若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F −DE −C 的大小为θ，求sinθ的值．【答案】解：(1)如图，连接OC ，∵CB =CD ，O 为BD 的中点，∴CO ⊥BD ．以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． ∵BD =2，∴OB =OD =1，则OC =√BC 2−OB 2=√5−1=2．∴B(1,0，0)，A(0,0，2)，C(0,2，0)，D(−1,0，0)，∵E 是AC 的中点，∴E(0,1，1)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,2)，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)． 设直线AB 与DE 所成角为α，则cosα=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|−1+2|√1+4⋅√1+1+1=√1515， 即直线AB 与DE 所成角的余弦值为√1515； (2)∵BF =14BC ，∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设F(x,y ，z)，则(x −1,y ，z)=(−14，12，0)，∴F(34,12,0)．∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(74,12,0)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0)． 设平面DEF 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1+y 1+z 1=0m ⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =74x 1+12y 1=0，取x 1=−2，得m ⃗⃗⃗ =(−2,7,−5)；设平面DEC 的一个法向量为n⃗ =(x 2,y 2,z 2)， 由{n ⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2+z 2=0n⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+2y 2=0，取x 2=−2，得n ⃗ =(−2,1,1)． ∴|cosθ|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√4+49+25⋅√4+1+1=√1313． ∴sinθ=√1−cos 2θ=√1−113=2√3913． 【解析】(1)由题意画出图形，连接OC ，由已知可得CO ⊥BD ，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,2)，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，设直线AB 与DE 所成角为α，由两向量所成角的余弦值，可得直线AB 与DE 所成角的余弦值；(2)由BF =14BC ，得BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设F(x,y ，z)，由向量等式求得F(34,12,0)，进一步求出平面DEF 的一个法向量与平面DEC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得cosθ，再由同角三角函数基本关系式求解sinθ．本题考查利用空间向量求空间角，考查空间想象能力与逻辑思维能力和运算求解能力，是中档题．25. 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．(1)求p 1，q 1和p 2，q 2；(2)求2p n +q n 与2p n−1+q n−1的递推关系式和X n 的数学期望E(X n )(用n 表示)．【答案】解：(1)由题意可知：p 1=13，q 1=23，则p 2=13p 1+23×13q 1=727； q 2=23p 1+(23×23+13×13)q 1=1627． (2)由题意可知：p n+1=13p n +23×13q n =13p n +29q n ，q n+1=23p n +(23×23+13×13)q n +23(1−p n −q n )=−19q n +23， 两式相加可得2p n+1+q n+1=23p n +13q n +23=13(2p n +q n )+23，则：2p n +q n =13(2p n−1+q n−1)+23，所以，2p n +q n −1=13(2p n−1+q n−1−1)，因为2p 1+q 1−1=13，数列{2p n +q n −1}是首项为13，公比为13的等比数列， 所以2p n +q n −1=(13)n ，即2p n +q n =(13)n +1，所以E(X n )=2p n +q n +0×(1−p n −q n )=(13)n +1．【解析】(1)利用已知条件求出p 1=13，q 1=23，推出p 2；q 2即可．(2)推出p n+1=13p n +29q n ，q n+1=−19q n +23，得到2p n+1+q n+1=13(2p n +q n )+23，推出2p n +q n −1=13(2p n−1+q n−1−1)，说明数列{2p n +q n −1}是首项为13，公比为13的等比数列，然后求解的通项公式以及期望即可．本题考查数列与概率相结合，期望的求法，数列的递推关系式以及通项公式的求法，考查转化首项以及计算能力，是难题．。
2021年高考数学真题试卷(江苏卷)170带答案解析
2021年高考数学真题试卷（江苏卷）一、填空题1. 已知集合A={0,1,2,8},B={−1,1,6,8},那么A∩B=________.【答案】{1，8}【考点】交集及其运算【解析】【解答】解:因为A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},则A∩B={1，8}【分析】找出集合A,B公共元素即可2. 若复数z满足i⋅z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________. 【答案】2【考点】复数的基本概念【解析】【解答】解:∵i·z=1+2i得：z=1+2ii =(1+2i)(−i)−i2=2−i∴实部为2【分析】Z=a+bi,(a,b∈R),则a为实部，b为虚部。
3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________.【答案】90【考点】众数、中位数、平均数【解析】【解答】解：89+89+90+91+915=90【分析】将所有数字加起来除以总个数。
4.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为________.【答案】8【考点】循环结构，程序框图【解析】【解答】解：i=1,s=1,i=3,s=2,i=5,s=4,i=7,s=8【分析】模拟程序运行，即可得出运行后输出S的值。
5.函数 f(x)=√log 2x −1 的定义域为________.【答案】 [2,+∞)【考点】对数函数的定义域，不等式【解析】【解答】解： log 2x −1≥0⇒x ≥2 ,即 [2,+∞) 。
【分析】偶次被开方数非负，得到不等式，解对数不等式。
6.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率是________. 【答案】 310【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】【解答】解： P =C 32C 52=310【分析】从5合产生中选2名 C 52 ，是2名女生 C 32 。
7.已知函数 y =sin(2x +φ)(−π2<φ<π2) 的图像关于直线 x =π3 对称,则 φ 的值是________. 【答案】 −π6【考点】正弦函数的图象【解析】【解答】解： 2×π3+φ=π2+kπ,k ∈δ ⇒φ=−π6+kπ,k ∈δ，又−π2<φ<π2φ=−π6【分析】将 2x +φ 作整体看，正弦对称轴方程为 π2+kπ,k ∈δ ，解出 φ ，由 φ 的范围，得出 φ 的值。
2020年江苏省高考数学试卷（含详细解析）
保密★启用前2020年江苏省高考数学试卷—.■总分得分注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分1.已知集合A=(—l,0,l,2},g=(0,2,3},则AC\B=.2.己知i是虚数单位，则复数Z=(l+i)(2-i)的实部.3.己知一组数据4.2劣3—",5,6的平均数为4,则。
的值是______.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是______.5.如图是一个算法流程图.若输出)'的值为-2,则输入.1的值是•6.在平而直角坐标系X。
)，中，若双曲线竺-22=l(a>0)的一条渐近线方程为y=2^/52 x,则该双曲线的离心率是—・7.己知.汽心)是奇函数，当官时，门刁=指，则直罚的值是8.已知sin'U+a)=二.则sin2tz的值是____.439.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.己知螺帽的底面正六边形边长为2cm.高为2cm.内孔半轻为0.5cm.则此六角螺帽右坯的体枳是—cm.10,将函数y=3sin(2wf)的图象向右平移兰个单位长度，则平移后的图象中与y轴最46近的对称轴的方程是—.11.设｛叫｝是公差为，的等差数列，(加J是公比为g的等比数列.已知数列｛”〃+“｝的前〃项和/一〃+2〃一1(〃£FT),则d+q的值是12.已知5亍八寸=1(矽苗),则J2的最小值是________.13.在△ABC中，仙=4AC=3,ZBAC=90°,D在边8C上，延长AO到F,使得AP=9.14.在平而直角坐标系xOy中.己知,0),1△是圆G”+。
-或)・=36上的两个动点，满足PA=PB，则△用8而积的最大值是二、解答题评卷人得分15.在三棱柱ABC-A\B\C｝中，AB1AC.&C1平而ABC,E,F分别是AC,3C的中点......O...........O.....I-.....O.....滨......O............O ※※寒※※即※※田※※s?I※※II※※堞※※I※※群※※点※※军浓※（1）求证：段〃平而/IF i C i：（2）求证：平面AB.CL平而ABB,.16.在△ABC中,角A. B.C的对边分别为〃，b,c,己知”=3.c=JI b=45Q.1）⑴求sinC的值:4（2）在边8C上取一点。
江苏省高考数学试卷含解析
2021年江苏省高考数学试卷(含答案解析)2021年江苏省高考数学试卷一.填空题1．〔5分〕集合A={1，2}，B={a，a2+3}．假设A∩B={1}，那么实数a的值为．2．〔5分〕复数z=〔1+i〕〔1+2i〕，其中i是虚数单位，那么z的模是．3．〔5分〕某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，那么应从丙种型号的产品中抽取件．4．〔5分〕如图是一个算法流程图：假设输入x的值为，那么输出y的值是．5．〔5分〕假设tan〔α﹣〕= ．那么tanα=．6．〔5分〕如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，那么的值是．7．〔5分〕记函数f〔x〕=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个第2页〔共37页〕数x，那么x∈D的概率是．8．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，那么四边形F1PF2Q的面积是．9．〔5分〕等比数列{an}的各项均为实数，其前n项为Sn，S3=，S6= ，那么a8=．10．〔5分〕某公司一年购置某种货物600吨，每次购置x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么x的值是．11．〔5分〕函数f〔x〕=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．假设f〔a﹣1〕+f〔2a2〕≤0．那么实数a的取值范围是．12．〔5分〕如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．假设=m +n〔m，n∈R〕，那么m+n=．13．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，A〔﹣12，0〕，B〔0，6〕，点P在圆O：x2+y2=50上．假设≤20，那么点P的横坐标的取值范围是．14．〔5分〕设f〔x〕是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1〕上，f〔x〕=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，那么方程f〔x〕﹣lgx=0的解的个数是．二.解答题15．〔14分〕如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，第3页〔共37页〕点E、F〔E与A、D不重合〕分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：〔1〕EF∥平面ABC；〔2〕AD⊥AC．16．〔14分〕向量=〔cosx，sinx〕， =〔3，﹣〕，x∈[0，π]．〔1〕假设∥，求x的值；〔2〕记f〔x〕=，求f〔x〕的最大值和最小值以及对应的x的值．第4页〔共37页〕17．〔14分〕如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1〔a＞b＞0〕的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆（E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．1〕求椭圆E的标准方程；2〕假设直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．第5页〔共37页〕18．〔16分〕如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．〔容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计〕〔1〕将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中局部的长度；第6页〔共37页〕〔2〕将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E，另一端置于棱GG1上，求l没入水中局部的度．19．〔16分〕于定的正整数k，假设数列{an}足：an﹣k+an﹣k+1+⋯+an﹣1+an+1+⋯+an+k1+an+k=2kan任意正整数n〔n＞k〕成立，称数列{an}是“P〔k〕数列〞．〔1〕明：等差数列{an}是“P〔3〕数列〞；〔2〕假设数列{an}既是“P〔2〕数列〞，又是“P〔3〕数列〞，明：{an}是等差数列．第7页〔共37页〕20．〔16分〕函数f〔x〕=x3+ax2+bx+1〔a＞0，b∈R〕有极值，且导函数f′x〕的极值点是f〔x〕的零点．〔极值点是指函数取极值时对应的自变量的值〕1〕求b关于a的函数关系式，并写出定义域；2〕证明：b2＞3a；〔3〕假设f〔x〕，f′〔x〕这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．第8页〔共37页〕.非选择题，附加题〔21-24选做题〕【选修4-1：几何证明选讲】〔本小题总分值0分〕21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：〔1〕∠PAC=∠CAB；2〔2〕AC=AP?AB．第9页〔共37页〕[选修4-2：矩阵与变换]22．矩阵A=，B=．1〕求AB；〔2〕假设曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系 xOy中，直线l的参数方程为〔t为参数〕，曲线C的参数方程为〔s为参数〕．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．第10页〔共37页〕［选修4-5：不等式选讲］24．a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．第11页〔共37页〕【必做】25．如，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．1〕求异面直A1B与AC1所成角的余弦；2〕求二面角BA1DA的正弦．26．一个口袋有m个白球，n个黑球〔m，n∈N*，n≥2〕，些球除色外全部相同．将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如所示的号1，2，3，⋯，m+n的抽内，其中第k次取出的球放入号k的抽〔k=1，2，3，⋯，m+n〕．123⋯m+n〔1〕求号2的抽内放的是黑球的概率p；〔2〕随机量x表示最后一个取出的黑球所在抽号的倒数，E〔X〕是X的数学期望，明E〔X〕＜．第12页〔共37页〕2021年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．〔5分〕〔2021?江苏〕集合A={1，2}，B={a，a2+3}．假设A∩B={1}，那么实数a的值为1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，a=1或a2+3=1，解得a=1．故答案为：1．【点评】此题考查实数值的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．2．〔5分〕〔2021?江苏〕复数z=〔1+i〕〔1+2i〕，其中i是虚数单位，那么z的模是．【分析】利用复数的运算法那么、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=〔1+i〕〔1+2i〕=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴|z|==．故答案为：．【点评】此题考查了复数的运算法那么、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．3．〔5分〕〔2021?江苏〕某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，那么应从丙种型号的产品中抽取18件．第13页〔共37页〕【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为=，那么应从丙种型号的产品中抽取300×=18件，故答案为：18【点评】此题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．4．〔5分〕〔2021?江苏〕如图是一个算法流程图：假设输入x的值为，那么输出y的值是﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x=，不满足x≥1，所以y=2+log2 =2﹣=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】此题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于根底题．第14页〔共37页〕5．〔5分〕〔2021?江苏〕假设tan〔α﹣〕= ．那么tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan〔α﹣〕===6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα=，故答案为：．【点评】此题考查了两角差的正切公式，属于根底题6．〔5分〕〔2021?江苏〕如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，那么的值是．【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R，那么球的体积为：R3，23圆柱的体积为：πR?2R=2πR．那么==．故答案为：．【点评】此题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计第15页〔共37页〕算能力．7．〔5分〕〔2021?江苏〕记函数f〔x〕=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，那么x∈D的概率是．【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．22【解答】解：由6+x﹣x≥0得x﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，那么D=[﹣2，3]，那么在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，那么x∈D的概率P==，故答案为：【点评】此题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是解决此题的关键．8．〔5分〕〔2021?江苏〕在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，那么四边形F1PF2Q的面积是．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x= ，双曲线渐近线方程为：y=x，所以P〔，〕，Q〔，﹣〕，F1〔﹣2，0〕．F2〔2，0〕．那么四边形F1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．【点评】此题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9．〔5分〕〔2021?江苏〕等比数列{an}的各项均为实数，其前n项为Sn，S3=，S6=，那么a8=32．第16页〔共37页〕【分析】设等比数列{an}的公比为q≠1，S3=，S6= ，可得=，，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q≠1，∵S3=，S6= ，∴=，=，解得a1=，q=2．那么a8==32．故答案为：32．【点评】此题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．〔5分〕〔2021?江苏〕某公司一年购置某种货物600吨，每次购置x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么x的值是30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x，利用根本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240〔万元〕．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【点评】此题考查了根本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．11．〔5分〕〔2021?江苏〕函数f〔x〕=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数第17页〔共37页〕的底数．假设f〔a﹣1〕+f〔2a2〕≤0．那么实数a的取值范围是[﹣1，]．【分析】求出f〔x〕的导数，由根本不等式和二次函数的性质，可得f〔x〕在R上递增；再由奇偶性的定义，可得f〔x〕为奇函数，原不等式即为2a2≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数f 〔x〕=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′〔x〕=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0，可得f〔x〕在R上递增；又f〔﹣x〕+f〔x〕=〔﹣x〕3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0，可得f〔x〕为奇函数，那么f〔a﹣1〕+f〔2a2〕≤0，2即有f〔2a〕≤﹣f〔a﹣1〕=f〔1﹣a〕，解得﹣1≤a≤，故答案为：[﹣1，]．【点评】此题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．12．〔5分〕〔2021?江苏〕如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．假设=m +n〔m，n∈R〕，那么m+n=3．【分析】如下图，建立直角坐标系．A〔1，0〕．由与的夹角为α，且第18页〔共37页〕tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos〔α+45°〕=．sin°〔α+45〕=．B．利用=m+n〔m，n∈R〕，即可得出．【解答】解：如下图，建立直角坐标系．A〔1，0〕．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos〔α+45°〕=〔cosα﹣sinα〕=．sin〔α+45°〕=〔sinα+cosα〕=．∴B．=m+n〔m，n∈R〕，∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．那么m+n=3．故答案为：3．【点评】此题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．〔5分〕〔2021?江苏〕在平面直角坐标系xOy中，A〔﹣12，0〕，B〔0，6〕，点P在圆O：x2+y2=50上．假设≤20，那么点P的横坐标的取值范围是[﹣5，1]．第19页〔共37页〕【分析】根据题意，设P〔x0，y0〕，由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+50，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P〔x0，y0〕，那么有x02+y02=50，=〔﹣12﹣x0，﹣y0〕?〔﹣x0，6﹣y0〕=〔12+x0〕x0﹣y〔06﹣y0〕=12x0+6y+x02+y0220，化为：12x0﹣6y0+30≤0，即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．【点评】此题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式．14．〔5分〕〔2021?江苏〕设f〔x〕是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1〕上，f〔x〕=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，那么方程f〔x〕﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由中f〔x〕是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1〕上，f〔x〕=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，分析f〔x〕的图象与y=lgx第20页〔共37页〕图象交点的个数，进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0，1〕上，f〔x〕=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f〔x〕是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间[1，2〕上，f〔x〕=，此时f〔x〕的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2，3〕上，f〔x〕的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3，4〕上，f 〔x〕的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4，5〕上，f〔x〕的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5，6〕上，f〔x〕的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6，7〕上，f〔x〕的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7，8〕上，f〔x〕的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8，9〕上，f〔x〕的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞〕上，f〔x〕的图象与y=lgx无交点；故f〔x〕的图象与y=lgx有8个交点；即方程f〔x〕﹣lgx=0的解的个数是8，故答案为：8【点评】此题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．（二.解答题15．〔14分〕〔2021?江苏〕如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F〔E与A、D不重合〕分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：〔1〕EF∥平面ABC；2〕AD⊥AC．第21页〔共37页〕【分析】〔1〕利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；2〕通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，那么EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：〔1〕因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；2〕在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，那么EG∥AC，因为BC⊥BD，所以FG∥BC，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．【点评】此题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．16．〔14分〕〔2021?江苏〕向量=〔cosx，sinx〕，=〔3，﹣〕，x∈[0，第22页〔共37页〕]．〔1〕假设∥，求x的值；〔2〕记f〔x〕=，求f〔x〕的最大值和最小值以及对应的x的值．【分析】〔1〕根据向量的平行即可得到tanx=﹣，问题得以解决，〔2〕根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：〔1〕∵=〔cosx，sinx〕，=〔3，﹣〕，∥，∴﹣cosx=3sinx，∴tanx=﹣，∵x∈[0，π]，∴x=，〔2〕f〔x〕==3cosx﹣ sinx=2〔cosx﹣sinx〕=2 cos〔x+〕，x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos〔x+〕≤，当x=0时，f〔x〕有最大值，最大值3，当x=时，f〔x〕有最小值，最大值﹣2．【点评】此题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于根底题17．〔14分〕〔2021?江苏〕如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1〔a＞b＞0〕的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．〔1〕求椭圆E 的标准方程；第23页〔共37页〕〔2〕假设直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．【分析】〔1〕由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=±，那么2×=8，即可求得a和c的值，那么b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程；2〔2〕设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，那么即可求得l22及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y0=x0﹣1，联立即可求得P点坐标；方法二：设P〔m，n〕，当m≠1时，=，=，求得直线l1及l1的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得=±n2，联立椭圆方程，即可求得P点坐标．【解答】解：〔1〕由题意可知：椭圆的离心率e==，那么a=2c，①椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1，那么b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；〔2〕方法一：设P〔x0，y0〕，那么直线PF2的斜率=，那么直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣〔x﹣1〕，直线PF1的斜率=，第24页〔共37页〕那么直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣〔x+1〕，联立，解得：，那么Q〔﹣x0，〕，由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，那么y0=，y02=x02﹣1，那么，解得：，那么，又P在第一象限，所以P的坐标为：P〔，〕．方法二：设P〔m，n〕，由P在第一象限，那么m＞0，n＞0，当m=1时，不存在，解得：Q与F1重合，不满足题意，当m≠1时，=，=，由l1⊥PF1，l2⊥PF2，那么=﹣，=﹣，直线l1的方程y=﹣〔x+1〕，①直线l2的方程y=﹣〔x﹣1〕，②第25页〔共37页〕联立解得：x=﹣m，那么Q〔﹣m，〕，由Q在椭圆方程，由对称性可得：=±n2，2222即m﹣n=1，或m+n=1，由P〔m，n〕，在椭圆方程，，解得：，或，无解，又P在第一象限，所以P的坐标为：P〔，〕．【点评】此题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．18．〔16分〕〔2021?江苏〕如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．〔容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计〕〔1〕将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中局部的长度；〔2〕将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中局部的长度．【分析】〔1〕设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP第26页〔共37页〕MC，交AC于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中局部的长度．〔2〕设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=，由此能求出玻璃棒l没入水中局部的长度．【解答】解：〔1〕设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，又∵AC?平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，222∴NP=12cm，且AM=AC+MC，解得MC=30cm，∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，∴=，，得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中局部的长度为16cm．2〕设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，∴sin∠EE1G1=，sin∠EGM=sin∠EE1G1= ，cos，根据正弦定理得：=，∴sin，cos，sin∠GEM=sin〔∠EGM+∠EMG〕=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=，∴EN===20cm．第27页〔共37页〕∴玻璃棒l没入水中局部的度20cm．【点】本考玻璃棒l没入水中局部的度的求法，考空中、面、面面的位置关系等基知，考推理能力、运算求解能力、空想象能力，考数形合思想、化与化思想，是中档．19．〔16分〕〔2021?江〕于定的正整数 k，假设数列{an}足：an﹣k+an﹣k+1+⋯+an1+an+1+⋯+an+k﹣1+an+k=2kan任意正整数n〔n＞k〕成立，称数列{an}是“P〔k〕数列〞．〔1〕明：等差数列{an}是“P〔3〕数列〞；〔2〕假设数列{an}既是“P〔2〕数列〞，又是“P〔3〕数列〞，明：{an}是等差数列．【分析】〔1〕由意可知根据等差数列的性，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=〔an﹣3+an+3〕+〔an﹣2+an+2〕+〔an﹣1+an+1〕═2×3a n，根据“P〔k〕数列〞的定，可得数列{an}是“P〔3〕数列〞；〔2〕由“P〔k〕数列〞的定，an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an，形整理即可求得2an=an﹣1+an+1，即可明数列{an}是等差数列．【解答】解：〔1〕明：等差数列{an}首a1，公差d，an=a1+〔n 1〕第28页〔共37页〕d，那么an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3，=〔an﹣3+an+3〕+〔an﹣2+an+2〕+〔an﹣1+an+1〕，=2an+2an+2an，=2×3a n，∴等差数列{an}是“P〔3〕数列〞；2〕证明：由数列{an}是“P〔2〕数列〞那么an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an，①数列{an}是“P〔3〕数列〞an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an，②由①可知：an﹣3+an﹣2+an+an+1=4an﹣1，③a n﹣1+an+an+2+an+3=4an+1，④由②﹣〔③+④〕：﹣2an=6an﹣4an﹣1﹣4an+1，整理得：2an=an﹣1+an+1，∴数列{an}是等差数列．【点评】此题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．20．〔16分〕〔2021?江苏〕函数f〔x〕=x3+ax2+bx+1〔a＞0，b∈R〕有极值，且导函数f′〔x〕的极值点是f〔x〕的零点．〔极值点是指函数取极值时对应的自变量的值〕1〕求b关于a的函数关系式，并写出定义域；2〕证明：b2＞3a；〔3〕假设f〔x〕，f′〔x〕这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．【分析】〔1〕通过对f〔x〕=x3+ax2+bx+1求导可知g〔x〕=f′〔x〕=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′〔x〕=6x+2a，通过令g′〔x〕=0进而可知f′〔x〕的极小值点为x=﹣，从而f〔﹣〕=0，整理可知b=+〔a＞0〕，结合f〔x〕=x3+ax2+bx+1〔a＞0，b∈R〕有极值可知f′〔x〕=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．第29页〔共37页〕〔2〕通过〔1〕构造函数h〔a〕=b2﹣3a=﹣+=〔4a3﹣27〕〔a3﹣27〕，结合a＞3可知h〔a〕＞0，从而可得结论；〔3〕通过〔1〕可知f′〔x〕的极小值为f′〔﹣〕=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f〔x〕的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因式分解即得结论．【解答】〔1〕解：因为f〔x〕=x3+ax2+bx+1，所以g〔x〕=f′〔x〕=3x2+2ax+b，g′〔x〕=6x+2a，令g′〔x〕=0，解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′〔x〕＞0，g〔x〕=f′〔x〕单调递增；当x＜﹣时g′x〕＜0，g〔x〕=f′〔x〕单调递减；所以f′〔x〕的极小值点为x=﹣，由于导函数f′〔x〕的极值点是原函数f〔x〕的零点，所以f〔﹣〕=0，即﹣+﹣+1=0，所以b=+〔a＞0〕．因为f〔x〕=x3+ax2+bx+1〔a＞0，b∈R〕有极值，所以f′〔x〕=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，22所以4a﹣12b＞0，即a﹣+＞0，解得a＞3，所以b=+〔a＞3〕．〔2〕证明：由〔1〕可知h〔a〕=b2﹣3a=﹣+=〔4a3﹣27〕〔a3﹣27〕，由于a＞3，所以h〔a〕＞0，即b2＞3a；〔3〕解：由〔1〕可知f′〔x〕的极小值为f′〔﹣〕=b﹣，设x1，x2是y=f〔x〕的两个极值点，那么x1+x2=，x1x2=，第30页〔共37页〕所以f〔x1〕+f〔x2〕=++a〔+〕+b〔x1+x2〕+2=〔x1+x2〕[〔x1+x2〕2﹣3x1x2]+a[〔x1+x2〕2﹣2x1x2]+b〔x1+x2〕+2=﹣+2，又因为f〔x〕，f′〔x〕这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，3因为a＞3，所以2a﹣63a﹣54≤0，2所以2a〔a﹣36〕+9〔a﹣6〕≤0，2所以〔a﹣6〕〔2a+12a+9〕≤0，2由于a＞3时2a+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是〔3，6]．【点评】此题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．.非选择题，附加题〔21-24选做题〕【选修4-1：几何证明选讲】〔本小题总分值0分〕21．〔2021?江苏〕如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，为垂足．求证：〔1〕∠PAC=∠CAB；2〔2〕AC=AP?AB．【分析】〔1〕利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．〔2〕由〔1〕可得：△APC∽△ACB，即可证明．【解答】证明：〔1〕∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．第31页〔共37页〕AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．AP⊥PC，∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，∴∠PAC=∠CAB．〔2〕由〔1〕可得：△APC∽△ACB，∴=．2∴AC=AP?AB．【点评】此题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．〔2021?江苏〕矩阵A=，B=．〔1〕求AB；〔2〕假设曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．【分析】〔1〕按矩阵乘法规律计算；〔2〕求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：〔1〕AB==，2〕设点P〔x，y〕为曲线C1的任意一点，点P在矩阵AB的变换下得到点P′〔x0，y0〕，那么=，即x0=2y，y0=x，∴x=y0，y=，第32页〔共37页〕∴，即x02+y02=8，∴曲线C2的方程为x2+y2=8．【点评】此题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．〔2021?江苏〕在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为〔t为参数〕，曲线C的参数方程为〔s为参数〕．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数，从而得出最短距离．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，∴P到直线l的距离d==，∴当s=时，d取得最小值=．【点评】此题考查了参数方程的应用，属于根底题．［选修4-5：不等式选讲］24．〔2021?江苏〕a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd8．【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：〔ac+bd〕2≤〔a2+b2〕〔c2+d2〕，即可得出．【解答】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8〔cosαcosβ+sinαsinβ〕=8cos〔α﹣β〕≤8．当且仅当cos〔α第33页〔共37页〕﹣β〕=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：〔ac+bd〕2≤〔a2+b2〕〔c2+d2〕=4×16=64，当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【点评】此题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【必做题】25．〔2021?江苏〕如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．1〕求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；2〕求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合求出A，B，C，D，A1，C1的坐标，进一步求出，，，的坐标．1〕直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；2〕求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax?平面ABCD，AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标第34页〔共37页〕系．AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°，∴A〔0，0，0〕，B〔〕，C〔，1，0〕，D〔0，2，0〕，A1〔0，0，〕，C1〔〕．=〔〕，=〔．1〕∵cos＜＞=∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为〔2〕设平面BA1D的一个法向量为〕，，=．；，由，得，取x= ，得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为，那么二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．【点评】此题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，是中档题．第35页〔共37页〕26．〔2021?江〕一个口袋有m个白球，n个黑球〔m，n∈N*，n≥2〕，些球除色外全部相同．将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如所示的号1，2，3，⋯，m+n的抽内，其中第k 次取出的球放入号k的抽k=1，2，3，⋯，m+n〕．123⋯m+n〔1〕求号2的抽内放的是黑球的概率p；〔2〕随机量x表示最后一个取出的黑球所在抽号的倒数，E〔X〕是X的数学期望，明E〔X〕＜．【分析】〔1〕事件Ai表示号i的抽里放的是黑球，p=p〔A2〕=P〔A2|A1〕P〔A1〕+P〔A2|〕P〔〕，由此能求出号2的抽内放的是黑球的概率．〔2〕X的所有可能取，⋯，，P〔x= 〕=，k=n，n+1，n+2，⋯，n+m，从而E〔X〕=〔〕=，由此能明E〔X〕＜．【解答】解：〔1〕事件Ai表示号i的抽里放的是黑球，p=p〔A2〕=P〔A2|A1〕P〔A1〕+P〔A2|〕P〔〕===．明：〔2〕∵X的所有可能取，⋯，，P〔x=〕=，k=n，n+1，n+2，⋯，n+m，∴E〔X〕=〔〕==＜==?〔〕第36页〔共37页〕==，∴E〔X〕＜．【点评】此题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等根底知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．第37页〔共37页〕。
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2008年普通高校招生全国统一考试（江苏卷）数学1.()cos()6f x wx π=-的最小正周期为5π，其中0w >，则w =▲。
【解读】本小题考查三角函数的周期公式。
2105T w w ππ==⇒=。
答案102.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为▲。
【解读】本小题考查古典概型。
基本事件共66⨯个，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，故316612P ==⨯。
答案112 3.11i i-+表示为a bi +(,)a b R ∈，则a b +=▲。
【解读】本小题考查复数的除法运算，1,0,11ii a b i-=∴==+，因此a b +=1。
答案14.{}2(1)37,A x x x =-<-则AZ 的元素个数为▲。
【解读】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式。
由2(1)37x x -<-得2580x x -+< 因为0∆<，所以A φ=，因此A Z φ=，元素的个数为0。
答案05.,a b 的夹角为0120，1,3a b ==，则5a b -=▲。
【解读】本小题考查向量的线形运算。
因为1313()22a b ⋅=⨯⨯-=-，所以22225(5)2510a b a b a b a b -=-=+-⋅=49。
因此5a b -=7。
答案76.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为▲。
【解读】本小题考查古典概型。
如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内部，因此214416Pππ⨯==⨯。
答案16π7.某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查。
下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。
序号（i）分组（睡眠时间）组中值（iG）频数（人数）频率（iF）1 [4,5) 4.5 6 0.122 [5,6) 5.5 10 0.203 [6,7) 6.5 20 0.404 [7,8) 7.5 10 0.205 [8,9) 8.5 4 0.08在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S的值是▲。
【解读】本小题考查统计与算法知识。
答案6.428.直线12y x b=+是曲线ln(0)y x x=>的一条切线，则实数b=▲。
【解读】本小题考查导数的几何意义、切线的求法。
1yx'=，令112x=得2x=，故切点为(2,ln2)，代入直线方程，得1ln222b=⨯+，所以ln21b=-。
答案ln21b=-9.在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为(0,),(,0),(,0)A aB bC c，点(0,)P p在线段OA上（异于端点），设,,,a b c p均为非零实数，直线,BP CP分别交,AC AB于点E，F，一同学已正确算出OE的方程：1111x yb c p a⎛⎫⎛⎫-+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF的方程：▲。
【解读】本小题考查直线方程的求法。
画草图，由对称性可猜想1111()()0x yc b p a-+-=。
事实上，由截距式可得直线:1x yAB a b+=，直线:1x y CD c p +=，两式相减得1111()()0x y c b p a-+-=，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求的直线OF 的方程。
答案1111()()0x y c b p a-+-=。
10.将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为▲。
【解读】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式。
前1n -行共用了123(1)n +++-(1)2n n-个数，因此第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数是全体正整数中的第(1)32n n-+个，即为262n n -+。
答案262n n -+11.2,,,230,y x y z R x y z xz*∈-+=的最小值为▲。
【解读】本小题考查二元基本不等式的运用。
由230x y z -+=得32x zy +=，代入2y xz 得229666344x z xz xz xzxz xz+++≥=，当且仅当3x z =时取“=”。
答案3。
12.在平面直角坐标系中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2(,0)ac 作圆的两切线互相垂直，则离心率e =▲。
【解读】本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。
如图，切线,PA PB 互相垂直，又OA PA ⊥，所以OAP ∆是等腰直角三角形，故2a c=，解得2c e a ==。
13.若2,AB AC ==，则ABC S ∆的最大值▲。
【解读】本小题考查三角形面积公式及函数思想。
因为AB=2（定长），可以以AB 所在的直线为x 轴，其中垂线为y 轴建立直角坐标系，则(1,0),(1,0)A B -，设(,)C x y ，由AC ==化简得22(3)8x y -+=，即C 在以（3，0）为圆心，为半径的圆上运动。
又12ABC c c S AB y y ∆=⋅⋅=≤答案14.3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，则a =▲。
【解读】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。
要使()0f x ≥恒成立，只要min ()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立。
22()333(1)f x ax ax '=-=-01当0a =时，()31f x x =-+，所以min ()20f x =-<，不符合题意，舍去。
02当0a <时22()333(1)0f x ax ax '=-=-<，即()f x 单调递减，min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，舍去。
03当0a >时()0f x x '=⇒=① 11a ≤⇒≥时()f x 在1,⎡-⎢⎣和⎤⎥⎦上单调递增，在11,a a ⎛ ⎝上单调递减。
所以min1()min (1),()f x f f a ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭(1)400411(120f a a f a a -=-+≥⎧⎪≥⇒⇒=⎨=-≥⎪⎩② 111a a>⇒<时()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减， min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，不符合题意，舍去。
综上可知a=4.答案4。
15.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 225。
（1） 求tan()αβ+的值；（2）求2αβ+的值。
【解读】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。
由条件得225cos αβ==α为锐角， 故2sin 0sin 10αα>=且。
同理可得5sin 5β=，因此1tan 7,tan 2αβ==。
（1）17tan tan 2tan()11tan tan 172αβαβαβ+++==--⨯=-3。
（2）132tan(2)tan[()]11(3)2αβαββ-++=++=--⨯=-1， 0,0,22ππαβ<<<<3022παβ∴<+<，从而324παβ+=。
16．在四面体ABCD 中，CB=CD ，AD BD ⊥，且E ，F 分别是AB ，BD 的中点， 求证（I ）直线EF D 面AC ；（II ）EFC D ⊥面面BC 。
证明：（I ）E ，F 分别为AB ，BD 的中点EF AD ⇒EF ADAD ACD EF ACD EF ACD ⎫⎪⇒⊂⇒⎬⎪⊄⎭面面面。
（II ）EF AD EF BDAD BD CD CB CF BD BD EFC F BD EF CF F⎫⎫⇒⊥⎬⎪⊥⎭⎪⎪=⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬⎭⎪⎪=⎪⎪⎭面为的中点又BD BCD ⊂面，所以EFC D ⊥面面BC17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B ，及CD 的中点P 处，已知20AB =km, 10CD km =,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A ，B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO ，BO ，OP ，设排污管道的总长为ykm 。
（I ）按下列要求写出函数关系式：① 设()BAO rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式； ② 设()OP x km =，将y 表示成x 的函数关系式。
（II ）请你选用（I ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。
【解读】本小题考查函数最值的应用。
（I ）①由条件可知PQ 垂直平分AB ，()BAO rad θ∠=，则10AQ OA COS BAO COS θ==∠ 故10OB COS θ=，又1010tan OP θ=-，所以10101010tan y OA OB OP COS COS θθθ=++=++-2010sin 10(0)cos 4θπθθ-=+<<。
DEFCAB②()OP x km =，则10OQ x =-，所以OA OB ===所以所求的函数关系式为10)y x x =+<<。
（I ）选择函数模型①。
22210cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)cos cos y θθθθθθ-----'==。
令0y '=得1sin 2θ=，又04πθ<<，所以6πθ=。
当06πθ<<时，0y '<，y 是θ的减函数；64ππθ<<时，0y '>，y 是θ的增函数。
所以当6πθ=时min 10y =。
当P 位于线段AB 的中垂线上且距离AB km 处。
18.设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C 。
（1） 求实数b 的取值范围； （2） 求圆C 的方程；（3） 问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论。
【解读】本小题考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法。
（1）010(0)0b b f ∆>⎧⇒<≠⎨≠⎩且（2） 设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=。
令202,x Dx F D F b ++=⇒==0y =得202,x Dx F D F b ++=⇒== 又0x =时y b =，从而1E b =--。