三角函数公式大全(很详细)

高中三角函数公式大全[图]1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数：•正弦函数•余弦函数•正切函数•余切函数•正割函数•余割函数1.2 直角坐标系中的定义图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数：•正弦函数r•余弦函数•正切函数•余切函数•正割函数•余割函数2 转化关系2.1 倒数关系2.2 平方关系2 和角公式3 倍角公式、半角公式3.1 倍角公式3.2 半角公式3.3 万能公式4 积化和差、和差化积4.1 积化和差公式证明过程首先，sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（已证。

证明过程见《和角公式与差角公式的证明》）因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（正弦和角公式）则sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα于是sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα（正弦差角公式）将正弦的和角、差角公式相加，得到sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ则sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2（“积化和差公式”之一）同样地，运用诱导公式cosα=sin(π/2-α)，有cos(α+β)=sin[π/2-(α+β)]=sin(π/2-α-β)=sin[(π/2-α)+(-β)]=sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α)=cosαcosβ-sinαsinβ于是cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ（余弦和角公式）那么cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ（余弦差角公式）将余弦的和角、差角公式相减，得到cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ则sinαsinβ=cos(α-β)/2-cos(α+β)/2（“积化和差公式”之二）将余弦的和角、差角公式相加，得到cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ则cosαcosβ=cos(α+β)/2+cos(α-β)/2（“积化和差公式”之三）这就是积化和差公式：sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2sinαsinβ=cos(α-β)/2-cos(α+β)/2cosαcosβ=cos(α+β)/2+cos(α-β)/24.2 和差化积公式部分证明过程：sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosαcos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβtan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)=(sinαcosβ+sinβcosα)/(cosαcosβ-sinαsinβ)=(cosαtanαcosβ+cosβtanβcosα)/(cosαcosβ-c osαtanαcosβtanβ)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=tan[α+(-β)]=[tanα+tan(-β)]/[1-tanαtan(-β)]=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)诱导公式•sin(-a)=-sin(a)•cos(-a)=cos(a)•sin(pi/2-a)=cos(a)•cos(pi/2-a)=sin(a)•sin(pi/2+a)=cos(a)•cos(pi/2+a)=-sin(a)•sin(pi-a)=sin(a)•cos(pi-a)=-cos(a)•sin(pi+a)=-sin(a)•cos(pi+a)=-cos(a)•tgA=tanA=sinA/cosA两角和与差的三角函数•sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)•cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)•sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)•cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)•tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))•tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))三角函数和差化积公式•sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)•sin(a)−sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)•cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)•cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)积化和差公式•sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]•cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]•sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]二倍角公式•sin(2a)=2sin(a)cos(a)•cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)半角公式•sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2•cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2•tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))万能公式•sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))•cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))•tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))其它公式•a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a]• a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b] • 1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 •1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2其他非重点三角函数• csc(a)=1/sin(a) •sec(a)=1/cos(a)双曲函数• sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2 • cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2 •tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)常用公式表（一）1。

乘法公式（1）（a+b ）²=a 2+2ab+b 2 (2)(a-b)²=a ²-2ab+b ² (3)(a+b)(a-b)=a ²-b ²(4)a ³+b ³=(a+b)(a ²-ab+b ²) (5)a ³-b ³=(a-b)(a ²+ab+b ²)2、指数公式：(1)a 0=1 （a ≠0） （2）a P -=P a 1（a ≠0） （3）a mn=m n a （4）a m a n =a n m + （5）a m ÷a n =n ma a =a n m - （6）（a m ）n =a mn（7）（ab ）n =a n b n（8）（b a）n =n nb a （9）（a ）2=a（10）2a =|a| 3、指数与对数关系：（1）若a b =N ，则N b a log = （2）若10b=N ，则b=lgN（3）若b e =N ，则b=㏑N4、对数公式：（1）b a b a =log , ㏑e b=b （2）N a aN =log ，eNln =N（3）aNN a ln ln log =（4）a b b e a ln = （5）N M MN ln ln ln += （6）N M N M ln ln ln -= （7）M n M nln ln = （8）㏑n M =M nln 15、三角恒等式：（1）（Sin α）²+（Cos α）²=1 （2）1+（tan α）²=(sec α)²（3）1+(cot α)²=(csc α)² （4）αααtan cos sin = （5）αααcot sin cos = （6）ααtan 1cot = （7）ααcos 1csc = （8）ααcos 1sec =6、特殊角三角函数值：7.倍角公式：（1）αααcos sin 22sin = （2）ααα2tan 1tan 22tan -=（3）ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=8.半角公式（降幂公式）：（1）（2sin α）2=2cos 1a - （2）（2cos α）2=2cos 1a +（3）2tan α=a a sin cos 1+=a a cos 1sin +9、三角函数与反三角函数关系：（1）若x=siny ，则y=arcsinx （2）若x=cosy ，则y=arccosx （3）若x=tany ，则y=arctanx （4）若x=coty ，则y=arccotx10、函数定义域求法：（1）分式中的分母不能为0， （a 1α≠0）（2）负数不能开偶次方， （a α≥0） （3）对数中的真数必须大于0， （N a log N>0） （4）反三角函数中arcsinx ，arccosx 的x 满足：（--1≤x ≤1） （5）上面数种情况同时在某函数出现时，此时应取其交集。

11、直线形式及直线位置关系： （1） 直线形式：点斜式：()00x x k y y -=-斜截式：y=kx+b两点式：121121x x x x y y y y --=--（2）直线关系：111:b x k y l += 222:b x k y l +=平行：若21//l l ，则21k k = 垂直：若21l l ⊥，则121-=⋅k k常用公式表（二）1、求导法则：（1）（u+v ）/=u /+v / （2）（u-v ）/=u /-v /（3）（cu ）/=cu /（4）（uv ）/=uv /+u /v （5）2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛ 2、基本求导公式：（1）（c ）/=0 （2）（x a）/=ax1-a （3）（a x ）/=a xlna（4）（e x ）/=e x （5）（㏒a x ）/=a x ln 1 （6）（lnx ）/=x 1（7）（sinx ）/=cosx （8）（cosx ）/=-sinx（9）（tanx ）/=2)(cos 1x =（secx ）2 （10）（cotx ）/=-2)(sin 1x =-（cscx ）2(11)(secx)/=secx*tanx (12)(cscx)/=-cscx*cotx(13)(arcsinx)/=211x - (14)(arccosx)/=-211x -(15)(arctanx)/=211x + (16)()211cot x x arc +-='3、微分（1）函数的微分：dy=y /dx（2）近似计算：|Δx|很小时，f ()x x ∆+0=f （x 0）+f /（x 0）*x ∆4、基本积分公式（1）kdx=kx+c （2）C x a dx x a a ++=+⎰111 （3）c x dx x +=⎰ln 1（4）C aa dx a x x+=⎰ln （5）⎰+=c e dx e xx （6）⎰+-=C x xdx cos sin（7）⎰+=C x xdx sin cos （8）C x dx xxdx +==⎰⎰tan cos 1sec 22 （9）c x dx x xdx +-==⎰⎰cot sin 1csc 22（10）⎰+=-cx dx x arcsin 112（11）c x dx x +=+⎰arctan 1125、定积分公式：（1）⎰⎰=babadtt f dx x f )()( （2）⎰=aadx x f 0)(（3）()()dx x f dx x f abb a⎰⎰-= （4）⎰⎰⎰+=bacabcdxx f dx x f dx x f )()()(（5）若f （x ）是[-a,a]的连续奇函数，则⎰-=aadx x f 0)(（6）若f （x ）是[-a,a]的连续偶函数，则:6、积分定理：（1）()()x f dt t f xa ='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ ()()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰2 （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f bab a -==⎰7.积分表()C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec 1 ()C x x xdx +-=⎰cot csc ln csc 2 ()C a xa dx x a +=+⎰arctan 11322 ()C a x dx xa +=-⎰arcsin 1422 ()C a x ax a dx ax ++-=-⎰ln 211522 8．积分方法()()b ax x f +=1；设：t b ax =+()()222x a x f -=；设：t a x sin =()22a x x f -=；设：t a x sec = ()22x a x f +=；设：t a x tan =()3分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv⎰ ⎰ - = a a adxx f dx x f 0 ) ( 2 ) (。