二年级数学 奥数讲座 一笔画问题

二年级一笔画问题
一天，小明做完作业正在休息，收音机中播放着轻松、悦耳的音乐。

他拿了支笔，信手在纸上写了“中”、“日”、“田”几个字。

突然，他脑子里闪出一个念头，这几个字都能一笔写出来吗？他试着写了写，“中”和“日”可以一笔写成（没有重复的笔划），但写到“田”字，试来试去也没有成功。

下面是他写的字样。

（见下图）
这可真有意思！由此他又联想到一些简单的图形，哪个能一笔画成，哪个不能一笔画成呢？下面是他试着画的图样。

（见下图）
经过反复试画，小明得到了初步结论：图中的（1）、（3）、（5）能一笔画成；（2）、（4）、（6）不能一笔画成。

真奇怪！小明发现，简单的笔画少的图不一定能一笔画得出来。

而复杂的笔画多的图有时反倒能够一笔画出来，这其中隐藏着什么奥秘呢？小明进一步又提出了如下问题：
如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度，那么这事又决定于什么呢？
能不能找到一条判定法则，依据这条法则，对于一个图形，不论复杂与否，也不用试画，就能知道是不是能一笔画成？
先从最简单的图形进行考察。

一些平面图形是由点和线构成的。

这里所说的“线”，可以是直线段，也可以是一段曲线。

而且为了明显起见，图中所有线的端点或是几条线的交点都用较大的黑点“●”表示出来了。

首先不难发现，每个图中的每一个点都有线与它相连；有的点与一条线相连，有的点与两条线相连，有的点与3条线相连等等。

其次从前面的试画过程中已经发现，一个图能否一笔画成不在于图形是否复杂，也就是说不在于这个图包含多少个点和多少条线，而在于点和线的连接情况如何——一个点在图中究竟和几条线相连。

看来，这是需要仔细考察的。

第一组（见下图）
（1）两个点，一条线。

每个点都只与一条线相连。

（2）三个点。

两个端点都只与一条线相连，中间点与两条线连。

第一组的两个图都能一笔画出来。

（但注意第（2）个图必须从一个端点画起）第二组（见下图）
（1）五个点，五条线。

A点与一条线相连，B点与三条线相连，其他的点都各与两条线相连。

（2）六个点，七条线。

（“日”字图）
A点与B点各与三条线相连，其他点都各与两条线相连。

第二组的两个图也都能一笔画出来，如箭头所示那样画。

即起点必需是A点（或B点），而终点则定是B点（或A点）。

第三组（见下图）
（1）四个点，三条线。

三个端点各与一条线相连，中间点与三条线相连。

（2）四个点，六条线。

每个点都与三条线相连。

（3）五个点，八条线。

点O与四条线相连，其他四个顶点各与三条线相连。

第三组的三个图形都不能一笔画出来。

第四组（见下图）
（1）这个图通常叫五角星。

五个角的顶点各与两条线相连，其他各点都各与四条线相连。

（2）由一个圆及一个内接三角形构成。

三个交点，每个点都与四条线相连（这四条线是两条线段和两条弧线）。

（3）一个正方形和一个内切圆构成。

正方形的四个顶点各与两条线相连，四个交点各与四条线相连。

（四条线是两条线段和两条弧线）。

第四组的三个图虽然比较复杂，但每一个图都可以一笔画成，而且画的时候从任何一点开始画都可以。

第五组（见下图）
（1）这是“品”字图形，它由三个正方形构成，它们之间没有线相连。

（2）这是古代的钱币图形，它是由一个圆形和中间的正方形方孔组成。

圆和正方形之间没有线相连。

第五组的两个图形叫不连通图，显然不能一笔把这样的不连通图画出来。

进行总结、归纳，看能否找出可以一笔画成的图形的共同特点，为方便起见，把点分为两种，并分别定名：
把和一条、三条、五条等奇数条线相连的点叫做奇点；把和两条、四条、六条等偶数条线相连的点叫偶点，这样图中的要么是奇点，要么是偶点。

提出猜想：一个图能不能一笔画成可能与它包含的奇点个数有关，对此列表详查：
从此表来看，猜想是对的。

下面试提出几点初步结论：
①不连通的图形必定不能一笔画；能够一笔画成的图形必定是连通图形。

②有0个奇点（即全部是偶点）的连通图能够一笔画成。

（画时可以任一点为起点，最后又将回到该点）。

③只有两个奇点的连通图也能一笔画成（画时必须以一个奇点为起点，而另一个奇点为终点）；
④奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画成。

最后，综合成一条判定法则：
有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成，否则不能一笔画成。

能够一笔画成的图形，叫做“一笔画”。

用这条判定法则看一个图形是不是一笔画时，只要找出这个图形的奇点的个数来就能行了，根本不必用笔试着画来画去。

看看下面的图可能会加深你对这条法则的理解。

从画图的过程来看：笔总是先从起点出发，然后进入下一个点，再出去，然后再进出另外一些点，一直到最后进入终点不再出来为止。

由此可见：
①笔经过的中间各点是有进有出的，若经过一次，该点就与两条线相连，若经过两次则就与四条线相连等等，所以中间点必为偶点。

②再看起点和终点，可分为两种情况：如果笔无重复地画完整个图形时最后回到起点，终点和起点就重合了，那么这个重合点必成为偶点，这样一来整个图形的所有点必将都是偶点，或者说有0个奇点；如果笔画完整个图形时最后回不到起点，就是终点和起点不重合，那么起点和终点必定都是奇点，因而该图必有2个奇点，可见有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成。