求变力做功的方法总结

［变式训练］1、如图7所示，质量为m的滑块可以在光滑水平面上滑动，滑块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一光滑的定滑轮（滑轮大小不计），另一端被人拉着，人的拉力大小、方向均不变，大小为，已知滑轮到水平面的高度为，的长度

，求滑块从A被拉到B的过程中，外力对它所做的功。

分析与解：在本题中，只有绳子拉力对滑块做功，该拉力大小

虽然不变，但方向时刻改变（与水平方向的夹角逐渐增大），故属

于变力做功，不能直接求解。但如果将研究对象由滑块转变为绳的

另一端，因为人的拉力为恒力，所以是恒力做功，显然这个恒力做功与绳子对滑块拉

力做功是相等的，故可以用人对绳子做的功代换绳子拉力对滑块的功。则有。由几何关系可求得s,联

立即得。

小结：变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可把曲线运动或往复运动的路线拉

直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和，化曲为直的思想在物理学研究中有很重要的应用，研究平抛运动和单摆的运动时，都用到了这种思想。

［变式训练］2、木块A做匀速圆周运动，向心力F大小保持不变的作用，且10牛，木块A位于半径为1米的转盘的边缘上，则转动一周力F做的总功应为：

A、0焦耳

B、20 n焦耳

C、10焦耳

D、20焦耳

分析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故△△ S,则转一周中各

个小元段做功的代数和为X 2 n 10X 2 n 20 n J,故B

3、平均力法

例3、用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成正比。在铁锤击

第一次时，能把铁钉击入木块内1,问击第二次时，能击入多深？（设铁锤每次做功都相等）

1、将变力转化为恒力做功

在某些情况下，通过等效变换可以将变力做功转换成恒力做功，于是可以用求解。例1、如图1所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体。开始时与物体相连的

轻绳和水平面间的夹角为a,当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为B。已知图中的高度是h,绳与滑轮间的摩擦不计，求绳的拉力对物体所做的功。

分析：拉力在对物体做功的过程中大小不变，但方向时刻改变，所以这是个变力做功问题。由题意

可知，人对绳做的功等于拉力对物体做的功，且人对绳的拉力F是恒力，于是问题转化为求恒力做功。由可知，在绳与水平面的夹角由a变到B的过程中，拉力F的作用点的位移为：2、微元求和法

例2、如图所示，某人用力F转动半径为R的转盘，力F的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做多少功。

分析与解：在转动转盘一周过程中，力F的方向时刻变化，但每一瞬时力

F总是与该瞬时的速度同向（切线方向），即F在每瞬时与转盘转过的极小

位移……都与当时的F方向同向，因而在转动一周过

程中，力F做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和，即:

，可用平均阻力来代替。 如图所示，第一次击入深度为 ，平均阻力为 ，做功为:

第二次击入深度为 到，平均阻力为：

位移为

做功为:

例5、如图所示，质量为 2kg 的物体从A 点沿半径为R 的粗糙半球内表面以 10m/s 的速度开始

下滑，到达E 点时的速度变为 2m/s ，求物体从A 运动到E 的过程中，摩擦力所做的功是多少

'

（2）用能量守恒求解

分析与解：铁锤每次做功都是克服铁钉阻力做功， 但摩擦阻力不是恒力， 其大小与深度成正比。

5

［变式训练］3、一辆汽车质量为 10千克，从静止开始运动，其阻力为车重的 0.05倍。其牵引力的 大小与车前进的距离变化关系为 103

0, f o 是车所受的阻力。当车前进 100米时，牵引力做的功是多

少？（用两种方法求解）

（平均力法）分析：由于车的牵引力和位移的关系为

103

0,是线性关系，故前进 100米过程中的牵

引力做的功可看作是平均牵引力 F 所做的功。由题意可知 f o = 0.05 X 105

x 10N= 5X 104

N,所以前进 100米过程中的平均牵引力

_ 了 xlO 4+（10・100 + 5皿）

二

N= 1 X 105

N,

•••

S = 1 X 105

X 100J = 1 X 107

J 。

（图像法）如果力 F 随位移的变化关系明确，始末位置清楚，可在平面直角坐标系内画出 F — x 图

图4所示，函数线与x 轴所夹阴影部分面积的值等于 F 对铁钉做的功。

由于两次做功相等，故有： （面积）

即

小结：一个看似复杂的变力做功问题，

用常规方法无从下手，但通过

图象变换，就使得解题过程简单、明了。可见，图象法是一个很好的 解题方法，值

得掌握。

（1）用动能定理求解

例6、一条长链的长度为a,置于足够高的光滑桌面上，如图所 示•链的下垂部分长度为b,并由静止开始从桌上滑下，问：当 链的最后一节离开

桌面时，链的速度及在这一过程中重力所做的 功为多少？ 解 取桌面为零势能面，设整个链条质量为m,桌面高度为h, 下垂部分质量为m o .则有

两次做功相等: 解后有:

小结：当已知力为线性变化的力时，我们可以求平均力，然后再利用功的公式进行求解。类似的例 子还有很多，像求弹簧弹力做功时，就可以用这种办法。 象，图象下方与坐标轴所围的“面积”即表示功。

例如：对于例3除可用平均力法计算外也可用图象 法。由

103

0可知，当x 变化时，F 也随着变化，故本题 是属于变力做功

问题，下面用图象求解。牵引力表达式

3

5

为10 0.5 X 10，其函数表达图象

如图3。根据图象所围的面积表示牵引力所做 的功，故牵引力所做的功等于梯形的“面积”。

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4、图象法

例4、例题同例3 分析与解：因为阻力 ，以F 为纵坐标，F 方向上的位移x 为横坐标，作出

图象，如

所以

S3

5、用功能关系或能量守恒解题