2012年广东省高考文科数学试卷及答案

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2012高考广东文科数学试题及答案(高清版)

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(广东卷)本试卷21小题，满分150分，考试用时120分钟．参考公式：柱体的体积公式V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．球的体积公式V ＝43πR 3，其中R 为球的半径．一组数据x 1，x 2，…，x n的标准差s =，其中x 表示这组数据的平均数．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数34i i+=( )A ．－4－3iB ．－4＋3iC ．4＋3iD ．4－3i2．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}，则U M ＝()A ．UB ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6}3．若向量AB＝(1,2)，BC ＝(3,4)，则A C ＝( ) A ．(4,6) B ．(－4，－6) C ．(－2，－2) D ．(2,2) 4．下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x 3C ．y ＝e x D．y =5．已知变量x ，y 满足约束条件1,1,10,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－66．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC =AC ＝( )A．B．C D．27．某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A．72πB．48πC．30πD．24π8．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于()A．B．C D．19．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为()A．105 B．16 C．15 D．110．对任意两个非零的平面向量α和β，定义⋅=⋅αβαβββ.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈(π4，π2)，且a∘b和b∘a都在集合{2n|n∈Z}中，则a∘b＝()A．52B．32C．1 D．12二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．(一)必做题(9～13题)11．函数yx=的定义域为__________．12．若等比数列{a n}满足a2a4＝12，则2135a a a=__________.13．由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为__________．(从小到大排列)(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14． (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数，0≤θ≤π2)和1,22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为__________．15． (几何证明选讲选做题)如图所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，∠PBA ＝∠DBA ．若AD ＝m ，AC ＝n ，则AB ＝__________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．已知函数f (x )＝A cos(π46x +)，x ∈R，且π()3f =.(1)求A 的值； (2)设α，β∈[0，π2]，430(4π)317f α+=-，28(4π)35f β-=，求cos(α＋β)的值．17．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.18E 是PB的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD =FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积；(3)证明：EF ⊥平面P AB ．19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *. (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22221x y ab+=(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．21．设0＜a ＜1，集合A ＝{x ∈R |x ＞0}，B ＝{x ∈R |2x 2－3(1＋a )x ＋6a ＞0}，D ＝A ∩B ． (1)求集合D (用区间表示)；(2)求函数f (x )＝2x 3－3(1＋a )x 2＋6ax 在D 内的极值点．1． D2234i (34i)i3i 4i ii ii++⨯+==⨯＝－(3i －4)＝4－3i.2．C ∵U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}， ∴U M ＝{3,5,6}．3． A A C ＝AB＋BC ＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．4． D ∵函数()f x =R 且f (－x )＝=＝f (x )，∴f (x )是偶函数．5． C 由约束条件作出可行域如图所示，当z ＝x ＋2y 过点A 时z 取得最小值，联立方程组10,1,x x y +=⎧⎨-=⎩得1,2,x y =-⎧⎨=-⎩∴z min ＝－1＋2×(－2)＝－5.6． B 由正弦定理得sin sin B C A C AB=，即sin 60sin 45AC =︒︒，解得AC =7． C 由三视图知该几何体是由一个半球和一个圆锥构成的组合体，∴其体积V ＝14π23⨯×33＋1π3×32×4＝30π.8． B 圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，半径为r ＝2. 所以圆心到直线3x ＋4y －5＝0的距离为1d ==，故弦AB 的长为==.9． C i ＝1，s ＝1；i ＝3，s ＝3；i ＝5，s ＝15；i ＝7时，输出s ＝15. 10． D 由定义可知2cos cos θθ⋅⋅⋅===⋅⋅ a b a a b a b b b bb.2cos cos θθ⋅⋅===⋅⋅ b a b b a b a a aaa.∵a ∘b ，b ∘a ∈{2n |n ∈Z }．设a ∘b ＝2m ，b ∘a ＝2n (m ，n ∈Z )，则cos 2m θ⋅=a b，cos 2n θ⋅=b a，两式相乘，得cos 2θ＝4m n .又∵θ∈(π4，π2)，∴cos θ∈(0，2)，故cos 2θ∈(0，12)，即1042m n <<.∴0＜mn ＜2，又∵m ，n ∈Z ， ∴m ＝n ＝1. ∴a ∘b ＝122m =.11． [－1,0)∪(0，＋∞)要使函数y x=有意义须10,0,x x +≥⎧⎨≠⎩即1,0,x x ≥-⎧⎨≠⎩∴定义域为[－1,0)∪(0，＋∞)． 12．答案：14解析：由等比数列的性质得a 2·a 4＝a 1·a 5＝2312a =，∴21351··4a a a =.13．答案：1,1,3,3解析：设该组数据依次为x 1≤x 2≤x 3≤x 4，则123424x x x x +++=，2322x x +=，∴x 1＋x 4＝4，x 2＋x 3＝4.∵x 1，x 2，x 3，x 4∈N ＋， ∴12341,1,3,3,x x x x =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩或12342,2,2,2,x x x x =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩或12341223x x x x =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩又∵标准差为1，∴x 1＝1，x 2＝1，x 3＝3，x 4＝3.14．答案：(2,1)解析：由C 1得x 2＋y 2＝5①，且00x y ⎧≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩由C 2得x ＝1＋y ②，∴由①②联立得225,1,x y x y ⎧+=⎨=+⎩得2,1.x y =⎧⎨=⎩15．解析：∵直线PB 与圆O 相切于点B ， ∴∠PBA ＝∠ACB又∵∠PBA ＝∠DBA ∴∠ACB ＝∠DBA 又∵∠BAD ＝∠BAC ∴△ABD ∽△ACB ∴A B A D A CA B=，即AB 2＝AC ·AD ＝nm ，∴AB =16．解：(1)由π()3f =得ππcos()126A +=，故A ＝2. (2)∵3017-＝f (4α＋43π)＝14ππ2cos[(4)]436α++＝2cos(α＋π2)＝－2sin α， 85＝f (4β－23π)＝12ππ2cos[(4)]2cos 436ββ-+=，∴15sin 17α=，4cos 5β=.∵α，β∈[0，π2]，∴8cos 17α===，3sin 5β===.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝841531317517585⨯-⨯=-.17．解：(1)由频率分布直方图可知(0.04＋0.03＋0.02＋2a )×10＝1.所以a ＝0.005.(2)该100名学生的语文成绩的平均分约为x ＝0.05×55＋0.4×65＋0.3×75＋0.2×85＋0.05×95＝73.(3)由频率分布直方图及已知的语文成绩、数学成绩分布在各分数段的人数比，可得下表：18．解：(1)由于AB ⊥平面PAD ，PH ⊂平面PAD ，故AB ⊥PH ．又因为PH 为△PAD 中AD 边上的高，故AD ⊥PH ．∵AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD．∴PH⊥平面ABCD．(2)由于PH⊥平面ABCD，E为PB的中点，PH＝1，故E到平面ABCD的距离h＝12PH＝12．又因为AB∥CD，AB⊥AD，所以AD⊥CD，故S△BFC＝12·CF·AD＝1122⋅因此V E－BCF＝12S△BCF·h＝11=32212⋅⋅．(3)证明：过E作EB∥AB交P A于G，连接DG．由于E为PB的中点，所以G为P A的中点，因为DA＝DP，故△DP A为等腰三角形，所以DG⊥PA．∵AB⊥平面PAD，DG⊂平面P AD，∴AB⊥DG．又∵AB∩P A＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴DG⊥平面PAB．又∵GE12AB，DF12AB，∴GE DF．所以四边形DFEG为平行四边形．故DG∥EF，于是EF⊥平面PAB．19．解：(1)由题意有S1＝T1＝2S1－1．故a1＝2a1－1．于是a1＝1．(2)由T n＝2S n－n2得T n－1＝2S n－1－(n－1)2，n≥2．从而S n＝T n－T n－1＝2a n－(2n－1)，n≥2．由于a1＝S1＝1，故对一切正整数n都有S n＝2a n－(2n－1)，①因此S n－1＝2a n－1－(2n－3)，n≥2．②①－②得a n＝2(a n－a n－1)－2，n≥2．于是a n＝2a n－1＋2，故a n＋2＝2(a n－1＋2)，n≥2．∵a1＋2＝3，∴{a n＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列．∴a n＝3·2n－1－2．20．解：(1)由C1的左焦点F1的坐标为(－1,0)知c＝1，因为点P(0,1)在C1上，所以b＝1，于是a故C1的方程为22+=12xy．(2)由题设l同时与C1和C2相切，设切点分别为A和B，点B的坐标为(x0，y0)，显然x0＞0．当点B在第一象限时，点B的坐标为(x0,，考虑抛物线C 2在第一象限的方程y x ＞0．因为1'=y ，所以ll的方程为：=y由假设直线l 与椭圆C 1相切，因此方程组22==1 2y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+⎪⎩①② 有唯一解，将①代入②并整理得：(x 0＋2)x 2＋4x 0x ＋2x 0(x 0－1)＝0，所以∆＝2016x －8(x 0＋2)x 0(x 0－1)＝－8x 0(x 0＋1)(x 0－2)＝0．因为x 0＞0，所以x 0＝2．当x 0＝2时，直线l的方程为：=2y x +易验证l 是C 1的切线．由对称性，当切点B 在第四象限时，可得l的方程为：2y x =--综上所述，同时与C 1和C 2相切的直线方程为：2y x =+2y x =--．21． (1)解：2x 2－3(1＋a )x ＋6a ＞0，∆＝［－3(1＋a )］2－4×2×6a ＝9(a 2＋2a ＋1)－48a ＝9a 2－30a ＋9 ＝3(3a －1)(a －3) ∵0＜a ＜1 ①当a ∈(13，1)时，∆＜0，此时不等式的解集为R ，∴B ＝R ，D ＝A ∩B ＝(0，＋∞)． ②当1=3a 时，∆＝0，此时不等式的解集为{x |x ≠1}，∴B ＝{x |x ≠1}，D ＝A ∩B ＝(0,1)∪(1＋，∞)． ③当a ∈(0，13)时，∆＞0，方程2x 2－3(1＋a )x ＋6a ＝0的两根为1,2=224x ⨯∴不等式的解为<4x 或>4x∴B ＝{x |<4x >4x ．又∵［3(a ＋1)2］＝9a 2＋18a ＋9＞9a 2－30a ＋94∴D ＝A ∩B ＝(04)∪4，＋∞)．(2)f ′(x )＝2×3x 2－3(1＋a )×2x ＋6a＝6［x 2－(a ＋1)x ＋a ］＝6(x －a )(x －1) 又∵a ∈(0,1)∴当x ∈(－∞，a )时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(a,1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． ∴f (x )的极大值点为a ，极小值为1．由(1)可知，当a ∈(13，1)时，D ＝(0，＋∞)此时f (x )在D 内有两个极值点，极大值点a ，极小值点1．当1=3a 时，D ＝(0,1)∪(1，＋∞)，此时f (x )在D 内只有一个极大值点a ．当a ∈(0，13)时，D ＝(04)∪4，＋∞)．与a 的大小．4a即：3－a 两边平方得：a －6a ＋9＞9a －30a ＋9 即8a 2－24a ＜0 也就是8a (a －3)＜0 ∵10<<3a ，∴4a ．又∵1＜a ＋1＜43∴33(1)<<144a +4．4与1的大小，北京天梯志鸿教育科技有限责任公司43a -两边平方得：9a －30a ＋9＜9a 2－6a ＋1 即：24a ＞8 解得1>3a这与已知a ∈(0，13)不符．4恒成立．所以，当a ∈(0，13)时，f (x )在区间D 内只有一个极大值点a ．综上，当a ∈(13，1)时，f (x )在D 内有两个极值点，极大值点a 和极小值点1．当a ∈(0，13］，f (x )在D 内只有一个极大值点a ．。

2012年高考文科数学广东卷(含详细答案)

数学试卷第1页（共33页）数学试卷第2页（共33页）数学试卷第3页（共33页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试卷共6页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式：球的体积公式34π3V R =,其中R 为球的半径.锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高.一组数据12,,,n x x x的标准差s = 其中x 表示这组数据的平均数.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设i 为虚数单位,则复数3+4ii= （）A .43i --B .43i -+C .43i +D .43i - 2. 设集合{1,2,3,4,5,6}U =,{1,3,5}M =,则U M =ð（）A .{2,4,6}B . {1,3,5}C . {1,2,4}D .U3. 若向量(1,2)AB =,(3,4)BC =,则AC = （）A .(4,6)B .(4,6)--C .(2,2)--D .(2,2) 4. 下列函数为偶函数的是（）A .sin y x =B .3y x =C .e x y =D.y =5. 已知变量x ,y 满足约束条件1110 x y x y x +⎧⎪-⎨⎪+⎩≤≤≥,则2z x y =+的最小值为（）A .3B .1C .5-D .6-6. 在△ABC 中,若60A ∠=,45B ∠=,BC =,则AC = （）A. B. CD7. 某几何体的三视图如图1所示,它的体积为（）A .72πB .48πC .30πD .24π8. 在平面直角坐标系xOy 中,直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点,则弦AB 的长等于（）A. B. CD .19. 执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为6,则输出s 的值为（）A .105B .16C .15D .110. 对任意两个非零的平面向量α和β,定义=αβαβββ. 若两个非零的平面向量a ,b 满足a 与b 的夹角ππ()42θ∈，,且a b 和b a 都在集合{|}2n n ∈Z 中,则=a b（） A .52B .32C .1D .12二、填空题：本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. （一）必做题（11～13题）11.函数y =_______. 12.若等比数列{}n a 满足2412a a =,则2135a a a =________.13.由正整数组成的一组数据1x ,2x ,3x ,4x ,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为________.（从小到大排列）（二）选做题（14—15题,考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 和2C 的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数,π02θ≤≤）和1x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,则曲线1C 与2C 的交点坐标为________.15.（几何证明选讲选做题）如图3所示,直线PB 与圆O相切于点B ,D 是弦AC 上的点,PBA DBA ∠=∠.若AD m =,AC n =,则AB =_______.三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数π()cos()46x f x A =+,x ∈R ,且π()3f =. （Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）设π[0,]2αβ,∈,430(4π)317f α+=-,28(4π)35f β-=,求cos()αβ+的值.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷第4页（共33页）数学试卷第5页（共33页）数学试卷第6页（共33页）17.（本小题满分13分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].（Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分；（Ⅲ）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()x 与数学成绩相应分数段的人数()y 之比如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.18.（本小题满分13分）如图5所示,在四棱锥P ABCD -中,AB ⊥平面PAD ,AB CD ∥,PD AD =,E 是PB 的中点,F 是CD 上的点且12DF AB =,PH 为PAD △中AD 边上的高. （Ⅰ）证明：PH ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若1PH =,AD 1FC =,求三棱锥E BCF -的体积；（Ⅲ）证明：EF ⊥平面PAB .19.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列{}n S 的前n 项和为n T ,满足22n n T S n =-,*n ∈N . （Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式.20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b ＞＞）的左焦点为1(1,0)F -,且点(0,1)P 在1C 上. （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：24y x =相切,求直线l 的方程.21.（本小题满分14分）设1a ＜＜,集合{|0}A x x =∈>R ,2{|23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ,D A B =.（Ⅰ）求集合D （用区间表示）；（Ⅱ）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点.3 / 11【答案】A【解析】(1,2)AC AB BC =+=【提示】给出两向量坐标，根据向量加法公式进行计算。

2012年广东省高考数学试卷(文科)答案与解析

2012年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•广东）设i为虚数单位，则复数=（）A．﹣4﹣3i B．﹣4+3i C．4+3i D．4﹣3i2．（5分）（2012•广东）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，3，5}，则∁U M=（）A．{2，4，6} B．{1，3，5} C．{1，2，4} D．U3．（5分）（2012•广东）若向量=（1，2），=（3，4），则=（）A．（4，6）B．（﹣4，﹣6）C．（﹣2，﹣2）D．（2，2）4．（5分）（2012•广东）下列函数为偶函数的是（）A．y=sinx B．y=x3C．y=e x D．5．（5分）（2012•广东）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．3B．1C．﹣5 D．﹣66．（5分）（2012•广东）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（）A．B．C．D．7．（5分）（2012•广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．72πB．48πC．30πD．24π8．（5分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（）A．3B．2C．D．19．（5分）（2012•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．110．（5分）（2012•广东）对任意两个非零的平面向量和，定义°=．若两个非零的平面向量，满足与的夹角，且•和•都在集合中，则•=（）A．B．C．1D．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）11．（5分）（2012•广东）函数的定义域是．12．（5分）（2012•广东）若等比数列{a n}满足a2a4=，则a1a32a5=．13．（5分）（2012•广东）由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为．（从小到大排列）14．（5分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为（θ为参数，）和（t为参数），则曲线C1和C2的交点坐标为．15．（2012•广东）如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA=∠DBA．若AD=m，AC=n，则AB=．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2012•广东）已知函数，x∈R，且（1）求A的值；（2）设，，，求cos（α+β）的值．17．（13分）（2012•广东）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）x：y 1：1 2：1 3：4 4：518．（13分）（2012•广东）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且，PH为△PAD中AD边上的高．（1）证明：PH⊥平面ABCD；（2）若PH=1，，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积；（3）证明：EF⊥平面PAB．19．（14分）（2012•广东）设数列{a n}前n项和为S n，数列{S n}的前n项和为T n，满足T n=2S n ﹣n2，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（14分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），且点P（0，1）在C1上．（1）求椭圆C1的方程；（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．21．（14分）（2012•广东）设0＜a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a ＞0}，D=A∩B．（1）求集合D（用区间表示）（2）求函数f（x）=2x3﹣3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．2012年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•广东）设i为虚数单位，则复数=（）A．﹣4﹣3i B．﹣4+3i C．4+3i D．4﹣3i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，以及虚数单位i的幂运算性质，运算求得结果．解答：解：∵，故选D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）（2012•广东）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，3，5}，则∁U M=（）A．{2，4，6} B．{1，3，5} C．{1，2，4} D．U考点：补集及其运算．专题：集合．分析：直接根据集合的补集的定义以及条件，求出∁U M．解答：解：∵集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，3，5}，则∁U M={2，4，6}，故选A．点评：本题主要考查集合的表示方法、求集合的补集，属于基础题．3．（5分）（2012•广东）若向量=（1，2），=（3，4），则=（）A．（4，6）B．（﹣4，﹣6）C．（﹣2，﹣2）D．（2，2）考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：由，，利用能求出．解答：解：∵，，∴．故选A．点评：本题考查平面向量的坐标运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．（5分）（2012•广东）下列函数为偶函数的是（）A．y=sinx B．y=x3C．y=e x D．考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：结合选项，逐项检验是否满足f（﹣x）=f（x），即可判断解答：解：A：y=sinx，则有f（﹣x）=sin（﹣x）=﹣sinx为奇函数B：y=x3，则有f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3=﹣f（x）为奇函数，C：y=e x，则有f（﹣x）=，为非奇非偶函数．D：y=ln，则有F（﹣x）=ln=f（x）为偶函数故选D点评：本题主要考查了函数的奇偶行的判断，解题的关键是熟练掌握基本定义5．（5分）（2012•广东）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．3B．1C．﹣5 D．﹣6考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出线性约束条件的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最值解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．由，解得，即B（﹣1，﹣2），代入目标函数z=x+2y得z=﹣1+2×（﹣2）=﹣5．即目标函数z=x+2y的最小值为﹣5．故选：C．点评：本题主要考查了线性规划的思想和方法，二元一次不等式表示平面区域的知识，数形结合解决问题的思想方法，属基础题6．（5分）（2012•广东）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：结合已知，根据正弦定理，可求AC解答：解：根据正弦定理，，则故选B点评：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题7．（5分）（2012•广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．72πB．48πC．30πD．24π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：由题意，结合图象可得该几何体是圆锥和半球体的组合体，根据图中的数据即可计算出组合体的体积选出正确选项解答：解：由图知，该几何体是圆锥和半球体的组合体，球的半径是3，圆锥底面圆的半径是3，圆锥母线长为5，由圆锥的几何特征可求得圆锥的高为4，则它的体积V=V圆锥+V半球体==30π故选C点评：本题考查由三视图求体积，解题的关键是由三视图得出几何体的几何特征及相关的数据，熟练掌握相关几何体的体积公式也是解题的关键8．（5分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（）A．3B．2C．D．1考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：由直线与圆相交的性质可知，，要求AB，只要求解圆心到直线3x+4y﹣5=0的距离解答：解：由题意可得，圆心（0，0）到直线3x+4y﹣5=0的距离，则由圆的性质可得，，即．故选B点评：本题主要考查了直线与圆相交性质的应用，点到直线的距离公式的应用，属于基础试题9．（5分）（2012•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．1考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：本循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1），由此能够求出结果．解答：解：如图所示的循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1）∴输入n的值为6时，输出s的值s=1×3×5=15．故选C．点评：本题考查当型循环结构的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．10．（5分）（2012•广东）对任意两个非零的平面向量和，定义°=．若两个非零的平面向量，满足与的夹角，且•和•都在集合中，则•=（）A．B．C．1D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先求出•=，n∈N，•=，m∈N，再由cos2θ=∈（0，），故m=n=1，从而求得•=的值．解答：解：∵°•=====，n∈N．同理可得°•====，m∈N．再由与的夹角，可得cosθ∈（0，），∴cos2θ=∈（0，），故m=n=1，∴•==，故选：D．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求得m=n=1，是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）11．（5分）（2012•广东）函数的定义域是[﹣1，0）∪（0，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据影响定义域的因素知，分母不为零，且被开方式非负，即，解此不等式组即可求得函数的定义域．解答：解：要使函数有意义，须，解得x≥﹣1且x≠0∴函数的定义域是[﹣1，0）∪（0，+∞）．故答案为[﹣1，0）∪（0，+∞）．点评：此题是个基础题．考查函数定义域及其求法，注意影响函数定义域的因素有：分母不等于零，偶次方根的被开方式非负，对数的真数大于零等．12．（5分）（2012•广东）若等比数列{a n}满足a2a4=，则a1a32a5=．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等比数列{a n}的性质可得=，再次利用等比数列的定义和性质可得．解答：解：∵等比数列{a n}满足=，则，故答案为．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，属于基础题．13．（5分）（2012•广东）由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为1，1，3，3．（从小到大排列）考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：由题意，可设x1≤x2≤x3≤x4，，根据题设条件得出x1+x2+x3+x4=8，，再结合中位数是2，即可得出这组数据的值．解答：解：不妨设x1≤x2≤x3≤x4，，依题意得x1+x2+x3+x4=8，，即，所以（x4﹣2）2＜4，则x4＜4，结合x1+x2+x3+x4=8，及中位数是2，只能x1=x2=1，x3=x4=3，则这组数据为1，1，3，3．故答案为：1，1，3，3．点评：本题考查中位数，平均数，标准差，解题的关键是利用相关公式建立方程，作了正确判断．14．（5分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为（θ为参数，）和（t为参数），则曲线C1和C2的交点坐标为（2，1）．考点：圆的参数方程；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：先把曲线C1和C2的参数方程化为普通方程，然后联立直线与曲线方程可求交点坐标解答：解：曲线C1的普通方程为x2+y2=5（），曲线C2的普通方程为y=x﹣1 联立方程x=2或x=﹣1（舍去），则曲线C1和C2的交点坐标为（2，1）．故答案为：（2，1）点评：本题主要考查了直线与曲线方程的交点坐标的求解，解题的关键是要把参数方程化为普通方程15．（2012•广东）如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA=∠DBA．若AD=m，AC=n，则AB=．考点：弦切角；与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：利用题设条件，由弦切角定理得∠PBA=∠C=∠DBA，故△ABD∽△ACB，，由此能求出结果．解答：解：如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∵∠PBA=∠DBA．若AD=m，AC=n，∴由弦切角定理得∠PBA=∠C=∠DBA，∴△ABD∽△ACB，∴，∴AB2=AC•AD=mn，即．故答案为：．点评：本题考查与圆有关的线段的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意弦切角定理的合理运用．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2012•广东）已知函数，x∈R，且（1）求A的值；（2）设，，，求cos（α+β）的值．考点：两角和与差的余弦函数；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的求值．分析：（1）将代入函数解析式，利用特殊角三角函数值即可解得A的值；（2）先将，代入函数解析式，利用诱导公式即可得sinα、cosβ的值，再利用同角三角函数基本关系式，即可求得cosα、sinβ的值，最后利用两角和的余弦公式计算所求值即可解答：解：（1），解得A=2（2），即，即因为，所以，，所以．点评：本题主要考查了三角变换公式在化简求值中的应用，诱导公式、同角三角函数基本关系式的应用，特殊角三角函数值的运用，属基础题17．（13分）（2012•广东）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）x：y 1：1 2：1 3：4 4：5考点：用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解方程即可得到a的值；（2）由平均数加权公式可得平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05，计算出结果即得；（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50，90）之外的人数．解答：解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005；（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5，数学成绩在[60，70）的人数为：，数学成绩在[70，80）的人数为：，数学成绩在[80，90）的人数为：，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．点评：本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解．18．（13分）（2012•广东）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且，PH为△PAD中AD边上的高．（1）证明：PH⊥平面ABCD；（2）若PH=1，，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积；（3）证明：EF⊥平面PAB．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）因为AB⊥平面PAD，所以PH⊥AB，因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD，由此能够证明PH⊥平面ABCD．（2）连接BH，取BH中点G，连接EG，因为E是PB的中点，所以EG∥PH，因为PH⊥平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD，由此能够求出三棱锥E﹣BCF的体积．（3）取PA中点M，连接MD，ME，因为E是PB的中点，所以，因为ME，所以ME DF，故四边形MEDF是平行四边形．由此能够证明EF⊥平面PAB．解答：解：（1）证明：∵AB⊥平面PAD，∴PH⊥AB，∵PH为△PAD中AD边上的高，∴PH⊥AD，∵AB∩AD=A，∴PH⊥平面ABCD．（2）如图，连接BH，取BH中点G，连接EG，∵E是PB的中点，∴EG∥PH，∵PH⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD，则，∴=（3）证明：如图，取PA中点M，连接MD，ME，∵E是PB的中点，∴ME，∵，∴ME DF，∴四边形MEDF是平行四边形，∴EF∥MD，∵PD=AD，∴MD⊥PA，∵AB⊥平面PAD，∴MD⊥AB，∵PA∩AB=A，∴MD⊥平面PAB，∴EF⊥平面PAB．点评：本题考查直线与平面垂直的证明，求三棱锥的体积，解题时要认真审题，注意合理地化立体几何问题为平面几何问题．19．（14分）（2012•广东）设数列{a n}前n项和为S n，数列{S n}的前n项和为T n，满足T n=2S n ﹣n2，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）当n=1时，T1=2S1﹣1．由T1=S1=a1，所以a1=2a1﹣1，能求出a1．（2）当n≥2时，S n=T n﹣T n﹣1=2S n﹣n2﹣[2S n﹣1﹣（n﹣1）2]=2S n﹣2S n﹣1﹣2n+1，所以S n=2S n﹣1+2n﹣1，S n+1=2S n+2n+1，故a n+1=2a n+2，所以=2（n≥2），由此能求出数列{a n}的通项公式．解答：解：（1）当n=1时，T1=2S1﹣1因为T1=S1=a1，所以a1=2a1﹣1，求得a1=1（2）当n≥2时，所以S n=2S n﹣1+2n﹣1①所以S n+1=2S n+2n+1②②﹣①得a n+1=2a n+2所以a n+1+2=2（a n+2），即（n≥2）求得a1+2=3，a2+2=6，则所以{a n+2}是以3为首项，2为公比的等比数列所以所以，n∈N*．点评：本题考查数列的首项和数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意迭代法的合理运用．20．（14分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），且点P（0，1）在C1上．（1）求椭圆C1的方程；（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）因为椭圆C1的左焦点为F1（﹣1，0），所以c=1，点P（0，1）代入椭圆，得b=1，由此能求出椭圆C1的方程．（2）设直线l的方程为y=kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．因为直线l与椭圆C1相切，所以△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0．由此能求出直线l的方程．解答：解：（1）因为椭圆C1的左焦点为F1（﹣1，0），所以c=1，点P（0，1）代入椭圆，得，即b=1，所以a2=b2+c2=2所以椭圆C1的方程为．（2）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y=kx+m，由，消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，因为直线l与椭圆C1相切，所以△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0整理得2k2﹣m2+1=0①由，消去y并整理得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0因为直线l与抛物线C2相切，所以△=（2km﹣4）2﹣4k2m2=0整理得km=1②综合①②，解得或所以直线l的方程为或．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（14分）（2012•广东）设0＜a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a ＞0}，D=A∩B．（1）求集合D（用区间表示）（2）求函数f（x）=2x3﹣3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．考点：利用导数研究函数的极值；交集及其运算；一元二次不等式的解法．专题：导数的综合应用；集合．分析：（1）根据题意先求不等式2x2﹣3（1+a）x+6a＞0的解集，判别式△=9（1+a）2﹣48a=9a2﹣30a+9=3（3a﹣1）（a﹣3），通过讨论△＞0，△=0，△＜0分别进行求解．（2）对函数f（x）求导可得f′（x）=6x2﹣6（1+a）x+6a=6（x﹣a）（x﹣1），由f′（x）=0，可得x=a或x=1，结合（1）中的a的范围的讨论可分别求D，然后由导数的符号判定函数f（x）的单调性，进而可求极值解答：解：（1）令g（x）=2x2﹣3（1+a）x+6a，△=9（1+a）2﹣48a=9a2﹣30a+9=3（3a﹣1）（a﹣3）．①当时，△≥0，方程g（x）=0的两个根分别为，所以g（x）＞0的解集为因为x1，x2＞0，所以D=A∩B=②当时，△＜0，则g（x）＞0恒成立，所以D=A∩B=（0，+∞）综上所述，当时，D=；当时，D=（0，+∞）．（2）f′（x）=6x2﹣6（1+a）x+6a=6（x﹣a）（x﹣1），令f′（x）=0，得x=a或x=1，①当时，由（1）知D=（0，x1）∪（x2，+∞）因为g（a）=2a2﹣3（1+a）a+6a=a（3﹣a）＞0，g（1）=2﹣3（1+a）+6a=3a﹣1≤0 所以0＜a＜x1＜1≤x2，所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：x （0，a） a （a，x1）（x2，+∞）f′（x）+ 0 ﹣+f（x）↗极大值↘↗所以f（x）的极大值点为x=a，没有极小值点．②当时，由（1）知D=（0，+∞）所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：x （0，a） a （a，1） 1 （1，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗极大值↘极小值↗所以f（x）的极大值点为x=a，极小值点为x=1综上所述，当时，f（x）有一个极大值点x=a，没有极小值点；当时，f（x）有一个极大值点x=a，一个极小值点x=1．点评：本题主要考查了一元二次不等式与二次不等式关系的相互转化，体现了分类讨论思想的应用，函数的导数与函数的单调性、函数的极值的关系的应用．。

2012年广东高考文科数学试题答案和解析

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）解析一、选择题 1.【解析】选D 依题意：234(34)43i i ii i i++==- 2．【解析】选A U C M ={,,}246 3.【解析】选A (4,6)AC AB BC =+= 4.【解析】选D sin y x =与3y x =是奇函数,，x y e =是非奇非偶函数 5.【解析】选C 约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：(1,0),(1,2),1A B C --- 则2[5,3]zx y =+∈-6.【解析】选B由正弦定理得：sin sin sin 60sin 45BC AC ACAC A B ︒︒=⇔=⇔=7．【解析】选C 几何体是半球与圆锥叠加而成它的体积为321413330233V πππ=⨯⨯+⨯⨯=8.【解析】选B圆224x y +=的圆心(0,0)O 到直线3450x y +-=的距离515d -== 弦AB的长AB ==9.【解析】选C10. 【解析】选A21cos 0,cos 0()()cos (0,)2a ba b b a a b b a baθθθ=>=>⇒⨯=∈,a b b a 都在集合}2nn Z ⎧∈⎨⎩中得：*12121()()(,)42n n a b b a n n N a b ⨯=∈⇒=二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

(一）必做题（11-13题） 11.【解析】定义域为______[1,0)(0,)-+∞ y =x 满足：10100x x x +≥⎧⇔-≤<⎨≠⎩或0x > 12.【解析】2135a a a =_____142242431353111,224a a a a a a a =⇔===13.【解析】这组数据为_________1,1,3,3不妨设1234x x x x ≤≤≤得：231234144,84x x x x x x x x +=+++=⇒+= 2222212341(2)(2)(2)(2)420,1,2i s x x x x x =⇔-+-+-+-=⇒-= ①如果有一个数为0或4；则其余数为2，不合题意 ②只能取21i x -=；得：这组数据为1,1,3,3（二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题） 14.【解析】它们的交点坐标为_______(2,1)2212:5(,0),:1C x y x y C y x +=≥=- 解得：交点坐标为(2,1) 15.【解析】AB =,PBA DBA ACB BAD CAB BAD CAB ∠=∠=∠∠=∠⇒∆∆得：2AB ADAB AC AD mn AB AC AB=⇔=⨯=⇔=三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

2012年广东高考文数试题版后面带答案

广东2012文科数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i 为虚数单位，则复数34ii+= A ．43i -- B ．43i -+ C ．43i + D ．43i - 2．设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,3,5M =，则U C M =A ．{}2,4,6B ．{}1,3,5C ．{}1,2,4D ．U3．若向量(1,2),(3,4)AB BC ==，则AC =A ． (4,6)B ． (4,6)--C ． (2,2)--D ． (2,2) 4．下列函数为偶函数的是A ．sin y x =B ．3y x =C ．x y e = D．y =5．已知变量,x y 满足约束条件11,10x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最小值为A ．3B ．1C ．5-D 6- 6．在ABC ∆中，若°60A ∠=，°45B ∠=，BC =AC A ．B ．C ．D ．7．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A ． 72πB ． 48πC ． 30πD ． 24π8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于 A ．B ．C ．D ． 19．执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为 A ． 105 B ． 16 C ． 15 D ． 110．对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅ ．若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且αβ 和βα 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b = A ．52 B ． 32 C ． 1 D ． 12二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题） 11．函数xx y 1+=的定义域为________________________． 12．若等比数列}{n a 满足2142=a a ，则=5231a a a _______________． 13．由整数组成的一组数据,,,,4321x x x x 其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据位_______________________．(从小到大排列) （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中xoy 中，曲线1C 和曲线2C 的参数方程分别为⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 5cos 5y x （θ为参数，20πθ≤≤）和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=22221t y tx （t为参数），则曲线1C 和曲线2C 的交点坐标为． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，直线PB 与圆O 相切与点B ，D 是弦AC 上的点，DBA PBA ∠=∠，若,AD mA C n ==，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数),64cos()(π+=x A x f R x ∈,且2)3(=πf ．（1）求A 的值；（2）设],2,0[,πβα∈1730)344(-=+παf ，58)324(=-πβf ，求)cos(βα+的值．17．（本小题满分13分）某学校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[)60,50，[)70,60，[)80,70，[)90,80，[]100,90．(1) 求图中a 的值(2) 根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3) 若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()x 与数学成绩相应分数段的人数()y之比如下表所示，求数学成绩在[)90,50之外的人数．18．（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中,AB ⊥平面PAD,AB CD,PD=AD,E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF=21AB,PH 为∆PAD 中AD 边上的高．（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若PH=1，AD=2,FC=1，求三棱锥E-BCF 的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB ．19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和n s ，数列{}n s 的前n 项和为{}n T ，满足2*2,n n T S n n N =-∈．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式．20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上．（1）求椭圆1C 的方程；（2）设直线l 与椭圆1C 和抛物线22:4C y x =相切，求直线l 的方程．21．（本小题满分14分）设01a <<，集合{}0A x R x =∈>，{}223(1)60A x R x a x a =∈-++>，D A B =．(1) 求集合D （用区间表示）；(2) 求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．选择题参考答案：1-5：DAADC 6-10：BCBCD 第10解析：由定义知：,2cos 21cos ||||2||||cos ||||)1(cos 2||||2||||cos ||||2nn b a n b b b a b b b a b a nb a n a a a b a a a b a b ∈∙⇒∈∙∙=∙∙==⇒=∙∙=∙∙=θθθθθ）代入得：将（因为），（2,4ππθ∈,取3πθ=，n 取1,即可得答案21填空题答案：12：),0()0,1[+∞⋃- （注意，写成集合形式也给分}0{}01|{+∞≤<⋃≤<-x x x13:41 14: 1 1 3 315: 参数方程极坐标：)1,2(几何证明选做题：mn16, 解：分分分4232224cos 1)6341cos()3( =⇒=∙==+⨯=A A A A f ππππ （2）：分分分分，由于分分分分1285135317155417811sin sin cos cos )cos(1053)54(1cos 1sin 9178)1715(1sin 1cos ],2,0[854cos 58cos 2]6)324(41cos[2)324(71715sin 61730sin 25)2cos(2]6)344(41cos[2)344(2222 -=⨯-⨯=-=+=-=-==-=-=∈=⇒==+-=-=⇒-=-=+=++=+βαβαβαββααπβαββππβπβααπαππαπαf f17. 解 (1):分分3005.021)02.003.004.0(10 ==++++⨯a a a(2):50-60段语文成绩的人数为：人5100%100005.010=⨯⨯⨯ 3.5分 60-70段语文成绩的人数为：人40100%10004.010=⨯⨯⨯4分 70-80段语文成绩的人数为：人30100%10003.010=⨯⨯⨯80-90段语文成绩的人数为：分人520100%10002.010 =⨯⨯⨯ 90-100段语文成绩的人数为：5.55100%100005.010 人=⨯⨯⨯分8735.7100595208530754065555 =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x (3):依题意：50-60段数学成绩的人数=50-60段语文成绩的人数为=5人………………………………9分 60-70段数学成绩的的人数为= 50-60段语文成绩的人数的一半=人204021=⨯……10分 70-80段数学成绩的的人数为=人403034=⨯ ………………………………………11分 80-90段数学成绩的的人数为= 人252045=⨯………………………………………12分90-100段数学成绩的的人数为=人102540205100=----……………………13分18（1）：A B C DP H P AD P AD AB P AD 平面所以平面，面又中的高为⊥=⋂⊥∴⊂⊥⊥∴∆A AD AB AB PH PH ADPHPH…………………………………………………………………………4分(2):过B 点做BG G CD BG ，垂足为⊥；连接HB,取HB 中点M ，连接EM ，则EM 是BPH ∆的中位线ABCD )1(平面知：由⊥PHABCD 平面⊥∴EMBCF 平面ＥＭ⊥∴即EM 为三棱锥BCF -E 底面上的高BG FC ∙=∆21S BCF =222121=⨯⨯………………………………………………………………………6分………………………………………………………………………………………………………………………8分（3）：取AB 中点N ，PA 中点Q ，连接EN ，FN ，EQ ，DQ2121=PH ＥＭ＝12221223131=⨯⨯=∙∙=-EMS V BCF BCF ENFN EN FN AB NADF AB21DF //EN P AB EN P AD P AD AB P AD ,//=⋂⊥∴∴=⊥∴∴∆⊥∴⊂⊥∴⊥是距形四边形又的中位线是又平面，平面平面 ENAB PAPAAB PA CD CD AB…………………………………………………………………………………………………………………13分19解：(1):21112-=a a ………………………………………………3分 11=a …………………………………………………………5分（2）①②…………………………6分①-②得：122+-=n a S n n ……………… ③………………………7分在向后类推一次1)1(2211+--=--n a S n n ……… ④…………………………8分③-④得：2221--=-n n n a a a …………………………………………9分221+=-n n a a …………………………………………………10分 )2(221+=+-n n a a ……………………………………………12分的数列公比为是以首项为2,32}2{1=++a a n …………13分NEFAB N NE NF NF AB NADF ABEF NEF EF NEF AB 平面是距形四边形平面又平面⊥∴=⋂⊥∴∴⊥∴⊂⊥∴ 22n S T n n -= 211)1(2--=--n S T n n1232-⨯=+∴n n a2231-⨯=∴-n n a ………………………………………………14分20解：(1):依题意：c=1,…………………………………………………………………………1分则：122+=b a,…………………………………………………………………………2分设椭圆方程为：1122=++by b x ………………………………………………………………3分将)1,0(P 点坐标代入，解得：12=b …………………………………………………………4分所以211122=+=+=b a故椭圆方程为：1222=+y x ……………………………（2）设所求切线的方程为：m kx y +=……………………………………………6分⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222y xmkx y 消除y)22)(12(4)4(2221-+-=∆m k km ………7分化简得：1222=-k m ①………………………………………………………8分同理：联立直线方程和抛物线的方程得：⎩⎨⎧=+=xy mkx y 42消除y 得：0)42(222=+-+m x km x k04)42(2222=--=∆m k km ……………………………………………………………………9分化简得：1=km ② …………………………………………………………………………10分将②代入①解得：01224=-+k k 解得：22,221(,2122-==-==k k k k 或者舍去），故 21,21-=-===m k m k 时，当时，当………………………………………………………12分 0)22(4)12(222=-+++m kmx x k故切线方程为：222222--=+=x y x y 或者…………………………………………………14分 21, 解：（1）集合B 解集：令06)1(322=++-a x a xa a 624)]1(3[2⨯⨯-+-=∆)3)(13(3--=a a (1):当0<∆时，即：时131<<a ，B 的解集为：}|{R x x ∈此时)0|{>∈==⋂=x R x A B A D （2）当)3(,310舍去时，解得===∆a a 此时，集合B 的二次不等式为：02422>+-x x ，0)1(2>-x ，此时，B 的解集为：}1,{≠∈x R x 且故：),1()1,0(+∞⋃=⋂=B A D （3）当时，0>∆即舍去）3(310><<a a 此时方程的两个根分别为：4)3)(31(3)131a a a x ---+=（=2x 4)3)(31(3)13a a a --++（很明显，0,31012>><<x x a 时故此时的),4)3)(31(3)13()4)3)(31(3)13,0(,(),0(21+∞--++⋃---+=+∞⋃=⋂=a a a a a a x x B A D （（）综上所述：当=<<D ,310时a ),4)3)(31(3)13()4)3)(31(3)13,0(+∞--++⋃---+a a a a a a （（当31=a 时，),1()1,0(+∞⋃=⋂=B A D 0)1)((=--x a x此时方程的两个根为：121==x ax （ⅰ）当=<<D ,310时a ),(),0(21+∞⋃x x),4)3)(31(3)13(4)3)(31(3)130+∞--++⋃---+=a a a a a a D （）（，（即： ax a a a a a a a a a a a ax >∴>-∴<<-=--------=-1210)3(8310)3(8)3)(31(3)34)3)(31(33 （将分子做差比较：故当，是一个极值点a x ==-11x 4)3)(31(3)1(314)3)(31(3)13a a a a a a ----=----+（分子做差比较：所以11<x又=-12x 14)3)(31(3)13---++a a a（4)31()3)(31(3a a a ----=分子做差比较法：0)31(8)31()3)(31(32>-=----a a a a ，故12>x ,故此时1=x 时的根取不到，（ⅱ）当31=a 时，),1()1,0(+∞⋃=⋂=B A D ，此时，极值点取不到x=1极值点为(31,)2716-0)13(8)3)(31(3)13(2<-=----a a a a（ⅲ）当时131<<a ，)0|{>∈=x R x D ,极值点为：1 和a 总上所述：当,310时≤<a )(x f 有1个,a 极值点当时131<<a ，)(x f 有2个极值点分别为1 和a当时131<<a ，)0|{>∈=x R x D(2)极值点，即导函数的值为0的点。

2012年广东省高考数学试题(文科)-标准答案和解析

绝密★启用前试卷类型：B２012年普通高等学校招生全国统一试卷(广东卷）数学(文科）本试题共4页，２1小题,满分1５0分,考试用时12０分钟。

注意事项：1．答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用２B 铅笔将试卷类型(A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后,用２B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

４．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

参考公式:球的体积公式343V R π=，其中R 为球的半径. 锥体体积公式13V Sh =,其中Ｓ为锥体的底面积，ｈ为锥体的高．一组数据12,,,n x x x 的标准差()++-n s x x =，其中x 表示这组数据的平均数.一、选择题:本大题共１0小题，每小题5分，满分５０分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，则复数3+4i i= A.43i -- B ．43i -+ Ｃ.43i + ﻩ D.43i -2.设集合{1,2,3,4,5,6}U =,{1,3,5}M =,则U C M =A.{2,4,6}B.{1,3,5}C.{1,2,4}D.U3．若向量()1,2AB =，向量()3,4BC =,则AC =Ａ.(4,6) B ．(4,6)-- C ．(2,2)-- D ．(2,2)４．下列函数为偶函数的是A.sin y x =B.3y x = C ．xy e = D ．2+1y x =５.已知变量,x y 满足约束条件11+10x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最小值为A ．3B ．１C ．5- D.6-6．在ABC ∆中,若60A ∠=︒,45B ∠=︒,32BC =，则AC =Ａ.3 B.3 3ﻩ 37．某几何体的三视图如图１所示,它的体积为Ａ.72π B.48π C ．30π D ．24π8.在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点，则弦 AB 的长等于A ．33 B.23 3 D.19．执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为６，则输出s 的值为A ．105 Ｂ.１6 C.15D ．1１0.对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅．若两个非零的平面向量,a b 满足图2 图1。

2012年广东高考试题(文科数学,word解析版)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求做大的答案无效。

4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高. 球的体积343V R π=，其中R 为球的半径。

一组数据12,,,n x x x L 的标准差s =其中x 表示这组数据的平均数。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设i 为虚数单位，则复数34i i +=( ) ()A 43i -- ()B 43i -+ ()C i 4+3 ()D i 4-3【解析】选D 依题意：234(34)43i i i i i i ++==- 2．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5}U M ==；则U C M =( ) ()A {,,}246 ()B {1,3,5} ()C {,,}124 ()D U【解析】选A U C M ={,,}246 3. 若向量(1,2),(3,4)AB BC ==u u u r u u u r ；则AC =u u u r ( )()A (4,6) ()B (4,6)-- ()C (,)-2-2()D (,)22 【解析】选A (4,6)AC AB BC =+=u u u r u u u r u u u r4. 下列函数为偶函数的是( )()A sin y x = ()B 3y x = ()C x y e = ()D y =【解析】选D sin y x =与3y x =是奇函数,，x y e =是非奇非偶函数5. 已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值为( )()A 3 ()B 1 ()C 5- ()D 6-【解析】选C 约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：(1,0),(1,2),1,2)A B C ---则2[5,3]z x y =+∈-6. 在ABC ∆中，若60,45,32A B BC ︒︒∠=∠==，则AC =( )()A 43 ()B 23 ()C 3 ()D 32【解析】选B由正弦定理得：3223sin sin sin 60sin 45BCACAC AC A B ︒︒=⇔=⇔=7．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( )()A 72π ()B 48π ()C π30 ()D π24【解析】选C 几何体是半球与圆锥叠加而成它的体积为3222141335330233V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯-=8. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于( )()A 33 ()B 23 ()C 3 ()D 1【解析】选B圆224x y +=的圆心(0,0)O 到直线3450x y +-=的距离515d -==弦AB 的长22223AB r d =-=9. 执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为()A 105 ()B 16 ()C 15 ()D 1s 11 3 15 i1 3 5 78. .对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ=g o g ；若两个非零的平面向量,a b r r 满足， a r 与b r 的夹角(,)42ππθ∈，且,a b b a r r r r o o 都在集合}2n n Z ⎧∈⎨⎩中，则a b =r r o ( ) ()A 12()B 1 ()C 32 ()D 52 【解析】选A 21cos 0,cos 0()()cos (0,)2a b a b b a a b b a b aθθθ=>=>⇒⨯=∈r r r r r r r r r r o o o o r r ,a b b a r r r r o o 都在集合}2n n Z ⎧∈⎨⎩中得：*12121()()(,)42n n a b b a n n N a b ⨯=∈⇒=r r r r r r o o o二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试题 (文科) 解析版

绝密★启用前试卷类型：B2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设i 为虚数单位，则复数34ii+= A. 43i -- B. 43i -+ C. 43i + D. 43i -1. D. 34(34)()43()i i i i i i i ++⨯-==-⨯-.2. 设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,5}M =，则U M =ðA. {2,4,6}B. {1,3,5}C. {1,2,4}D. U 2. A. U M =ð{2,4,6}.3. 若向量(1,2)AB =u u u r ，(3,4)BC =u u u r，则AC =u u u rA. (4,6)B. (4,6)--C. (2,2)--D. (2,2)3. A. (4,6)AC AB BC =+=u u u r u u u r u u u r.4. 下列函数为偶函数的是A. sin y x =B. 3y x = C. xy e =D. y = 4. D. 选项A 、B 为奇函数，选项C 为非奇非偶函数.5. 已知变量x ，y 满足约束条件1110 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为A. 3B. 1C. 5-D. 6-5. C. 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，2z x y =+可化为直线1122y x z =-+，则当该直线过点(1,2)A --时，x +z 取得最小值，min 12(2)5z =-+⨯-=-.6. 在△ABC 中，若60A ∠=o ，45B ∠=o，BC =AC =A.B.C.D.6. B. 根据正弦定理，sin sin BC ACA B=，则sin sin BC B AC A ⋅===.7. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A. 72π B. 48π C. 30π D. 24π7. C. 该几何体是圆锥和半球体的组合体，则它的体积2311434330323V V V πππ=+=⋅⋅+⋅⋅=圆锥半球体.8. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y += 相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于A.B.C.D . 18. B. 圆心(0,0)到直线3450x y +-=的距离1d ==，则222()32AB r d =-=，即AB =9. 执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为A. 105B. 16C. 15D. 1 9. C. 13515s =⨯⨯=10. 对任意两个非零的平面向量α和β，定义=⋅⋅o αβαβββ.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，图2图1正视图俯视图侧视图且o a b 和o b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，则=o a bA.52 B. 32 C. 1 D. 1210. D. =⋅⋅o a b a b b b 2cos cos θθ⋅==a b a b b，同理有cos θ=o b b a a o a b 和o b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，即2cos θa b 和2cos θb a 是整数，取3πθ=，则a b和b a是整数，则1==a b ba，则=o a b 12.二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11 ~ 13题）11. 函数y x=的定义域为 .11. [)()1,00,-+∞U . 10100x x x x +≥⎧⇒≥-≠⎨≠⎩且，即函数y x=的定义域为[)()1,00,-+∞U .12. 若等比数列{}n a 满足2412a a =，则2135a a a = . 12. 14. 224312a a a ==，则24135314a a a a ==13. 由正整数组成的一组数据1234,,,x x x x ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为 .（从小到大排列）13. 1,1,3,3. 不妨设1234x x x x ≤≤≤，*1234,,,x x x x ∈N ，依题意得12348x x x x +++=，1s ==，即22221234(2)(2)(2)(2)4x x x x -+-+-+-=，所以43x ≤则只能121x x ==，343x x ==，则这组数据为1,1,3,3（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点坐标为 .14. (2,1). 曲线1C 的方程为225x y +=（0x ≤≤），曲线2C 的方程为1y x =-2251x y y x ⎧+=⇒⎨=-⎩2x =或1x =-（舍去），则曲线1C 和2C 的交点坐标为(2,1).15.（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，PBA DBA ∠=∠. 若AD m =，AC n =，则 AB = .15.由弦切角定理得PBA C DBA ∠=∠=∠，则△ABD ∽△ACB ，AB AD AC AB=，则2AB AC AD mn =⋅=，即AB =.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数()cos 46x f x A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，且3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求A 的值；（2）设0,2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦，4304317f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，28435f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求cos()αβ+的值.16. 解：（1）cos cos 312642f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=+===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2A = （2）43042cos 2cos 2sin 336217f πππαπααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即15sin 17α= 图3gPABCD O2842cos 2cos 3665f ππβπββ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4cos 5β=因为0,2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦，所以8cos 17α==，3sin 5β== 所以8415313cos()cos cos sin sin 17517585αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-17.（本小题满分13分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.17. 解：（1）依题意得，10(20.020.030.04)1a +++=，解得0.005a = （2）这100名学生语文成绩的平均分为：550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）（3）数学成绩在[50,60)的人数为：1000.055⨯=数学成绩在[60,70)的人数为：11000.4202⨯⨯= 数学成绩在[70,80)的人数为：41000.3403⨯⨯=数学成绩在[80,90)的人数为：51000.2254⨯⨯=所以数学成绩在[50,90)之外的人数为：100520402510----=图4PABCH FED 图518.（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是CD 上的点且12DFAB =，PH 为△PAD 中AD 边上的高. （1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若1PH =，AD =1FC =，求三棱锥E BCF -的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB .18. 解：（1）证明：因为AB ⊥平面PAD ，所以PH AB ⊥因为PH 为△PAD 中AD 边上的高所以PH AD ⊥ 因为AB AD A =I所以PH ⊥平面ABCD（2）连结BH ，取BH 中点G ，连结EG 因为E 是PB 的中点，所以//EG PH因为PH ⊥平面ABCD所以EG ⊥平面ABCD则1122EG PH ==111332E BCFBCF V S EG FC AD EG -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=12 （3）证明：取PA 中点M ，连结MD ，ME因为E 是PB 的中点所以1//2ME AB = 因为1//2DF AB =所以//ME DF =所以四边形MEDF 是平行四边形所以//EF MD 因为PD AD = 所以MD PA ⊥因为AB ⊥平面PAD ，所以MD AB ⊥ 因为PA AB A =I所以MD ⊥平面PAB 所以EF ⊥平面PABPABCH F E DGM19. （本小题满分14分）设数列{}n a 前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足22n n T S n =-，*n ∈N .（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式. 19. 解：（1）当1n =时，1121T S =-因为111T S a ==，所以1121a a =-，求得11a =（2）当2n ≥时，221112[2(1)]2221n n n n n n n S T T S n S n S S n ---=-=----=--+所以1221n n S S n -=+- ① 所以1221n n S S n +=++ ② ②-①得 122n n a a +=+ 所以122(2)n n a a ++=+，即1222n n a a ++=+(2)n ≥求得123a +=，226a +=，则21222a a +=+ 所以{}2n a +是以3为首项，2为公比的等比数列所以1232n n a -+=⋅所以1322n n a -=⋅-，*n ∈N20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上. （1）求椭圆1C 的方程；（2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：24y x =相切，求直线l 的方程. 20. 解：（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(1,0)F -，所以1c =，点(0,1)P 代入椭圆22221x y a b +=，得211b=，即1b =，所以2222a b c =+=所以椭圆1C 的方程为2212x y +=. （2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(12)4220k x kmx m +++-= 因为直线l 与椭圆1C 相切，所以2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-= 整理得22210k m -+= ①24y x y kx m⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(24)0k x km x m +-+= 因为直线l 与抛物线2C 相切，所以222(24)40km k m ∆=--= 整理得1km = ②综合①②，解得2k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩或2k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以直线l的方程为y x =或y x =-21.（本小题满分14分）设01a <<，集合{|0}A x x =∈>R ，2{|23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ，D A B =I .（1）求集合D （用区间表示）（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点. 21. 解：（1）令2()23(1)6g x x a x a =-++229(1)4893093(31)(3)a a a a a a ∆=+-=-+=--① 当103a <≤时，0∆≥，方程()0g x =的两个根分别为1334a x +-=，2334a x ++=所以()0g x >的解集为3333(,()44a a ++-∞+∞U因为12,0x x >，所以D A B ==I 3333(0,()44a a +++∞U ② 当113a <<时，0∆<，则()0g x >恒成立，所以D A B ==I (0,)+∞ 综上所述，当103a <≤时，D =3333(0,()44a a +-+++∞U ；当113a <<时，D =(0,)+∞ （2）2()66(1)66()(1)f x x a x a x a x '=-++=--，令()0f x '=，得x a =或1x =① 当103a <≤时，由（1）知D =12(0,)(,)x x +∞U 因为2()23(1)6(3)0g a a a a a a a =-++=->，(1)23(1)6310g a a a =-++=-≤ 所以1201a x x <<<≤，所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：所以()f x 的极大值点为x a =，没有极小值点 ② 当113a <<时，由（1）知D =(0,)+∞ 所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：所以()f x 的极大值点为x a =，极小值点为1x = 综上所述，当103a <≤时，()f x 有一个极大值点x a =，没有极小值点；当113a <<时，()f x 有一个极大值点x a =，一个极小值点1x =。

2012年全国高考文科数学试题及答案-广东卷

2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

参考公式：锥体的体积公式13V Sh=，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高. 球的体积343V R π=，其中R 为球的半径。

一组数据12,,,nx x x L 的标准差222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++-L ，其中x 表示这组数据的平均数。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求。

1. 设i 为虚数单位，则复数34ii +=( )()A 43i -- ()B 43i -+ ()C i 4+3 ()D i 4-3 2．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5}U M ==；则U C M =( )()A {,,}246 ()B {1,3,5} ()C {,,}124 ()D U3. 若向量(1,2),(3,4)AB BC ==u u u r u u u r ；则AC =u u u r ( ) ()A (4,6) ()B (4,6)-- ()C (,)-2-2 ()D (,)224. 下列函数为偶函数的是( )()A sin y x = ()B 3y x = ()C x y e = ()D ln y x 2=+15. 已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值为( )()A 3 ()B 1 ()C 5- ()D 6-6. 在ABC ∆中，若60,45,32A B BC ︒︒∠=∠==，则AC =( )()A43()B23()C3()D327．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( )()A72π()B48π()Cπ30()Dπ248. 在平面直角坐标系xOy中，直线3450x y+-=与圆224x y+=相交于,A B两点，则弦AB的长等于( )()A33()B23()C3()D19. 执行如下图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为( )()A105()B16()C15()D110.对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ=gog；若两个非零的平面向量,a br r满足，ar与br的夹角(,)42ππθ∈，且,a b b ar r r ro o都在集合}2nn Z⎧∈⎨⎩中，则a b=r ro( )()A12()B1()C32()D52二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

2012年高考数学广东卷(文科答案)

2
( x1 − 2 ) + ( x2 − 2 ) + ( x3 − 2 ) + ( x4 − 2 )
2 2 2
2
4
2 2 2
=1，
即 ( x1 − 2 ) + ( x2 − 2 ) + ( x3 − 2 ) + ( x4 − 2 ) = 4 ③，由于 x1 , x 2 , x3 , x 4 , 为整数，所以 ( xi − 2 ) 只能为 0、1、、4， xi 只能取 0、1、2、3、4；
π
2
], f (4α +
word 版 2011 年高考数学广东卷首发于数学驿站：www．maths168．com） 17．（本小题满分 13 分）某学校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 4 所示，其中成绩分组区间是：
[50,60) ， [60,70) ， [70,80) ， [80,90) ， [90,100] ．
12．若等比数列 {a n } 满足 a 2 a 4 =
13 ．由整数组成的一组数据 x1 , x 2 , x3 , x 4 , 其平均数和中位数都是 2 ，且标准差等于 1 ，则这组数据为 _______________________．(从小到大排列) （二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中 xoy 中，曲线 C1 和曲线 C 2 的
3
D． 1
9．执行如图 2 所示的程序框图，若输入 n 的值为 6，则输出 s 的值为 A． 105 B． 16 C． 15 D． 1
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10．对任意两个非零的平面向量 α , β ，定义 α

2012广东文科高考数学数学真题附答案(纯word版)

2012年广东文科数学参考答案本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数34i i+= A ．43i -- B ．43i -+ C ．43i + D ．43i -2．设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,3,5M =，则U C M =A ．{}2,4,6B ．{}1,3,5C ．{}1,2,4D ．U3．若向量(1,2),(3,4)AB BC ==，则AC =A ． (4,6)B ． (4,6)--C ． (2,2)--D ． (2,2)4．下列函数为偶函数的是A ．sin y x =B ．3y x =C ．xy e = D．y = 5．已知变量,x y 满足约束条件11,10x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最小值为A ．3B ．1C ．5-D 6-6．在ABC ∆中，若°60A ∠=，°45B ∠=，BC =ACA ．B ．C ．D ．7．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A ． 72πB ． 48πC ． 30πD ． 24π8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于A ．B ．C ．D ． 19．执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为A ． 105B ． 16C ． 15D ． 110．对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且αβ和βα都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b = A ． 52 B ． 32 C ． 1 D ． 12选择题参考答案：1-5：BAADC 6-10：BCBCD第10解析：由定义知：因为），（2,4ππθ∈,取3πθ=，n 取1,即可得答案 21 二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．函数xx y 1+=的定义域为________________________． 12．若等比数列}{n a 满足2142=a a ，则=5231a a a _______________． 13．由整数组成的一组数据,,,,4321x x x x 其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据位_______________________．(从小到大排列)（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中xoy 中，曲线1C 和曲线2C 的参数方程分别为⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 5cos 5y x （θ为参数，20πθ≤≤）和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=22221t y t x （t 为参数），则曲线1C 和曲线2C 的交点坐标为．15．（几何证明选讲选做题）如图3，直线PB 与圆O 相切与点B ，D 是弦AC 上的点，DBA PBA ∠=∠，若,A D m A C n ==，则AB = ．填空题答案：12：),0()0,1[+∞⋃- （注意，写成集合形式也给分 }0{}01|{+∞≤<⋃≤<-x x x 13:41 14: 1 1 3 315: 参数方程极坐标：)1,2)(2,1(-- 几何证明选做题：mn 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数),64cos()(π+=x A x f R x ∈,且2)3(=πf ．（1）求A 的值；（2）设],2,0[,πβα∈1730)344(-=+παf ，58)324(=-πβf ，求)cos(βα+的值．解：分分分4232224cos 1)6341cos()3( =⇒=∙==+⨯=A A A A f ππππ（2）：分分分分，由于分分分分1285135317155417811sin sin cos cos )cos(1053)54(1cos 1sin 9178)1715(1sin 1cos ],2,0[854cos 58cos 2]6)324(41cos[2)324(71715sin 61730sin 25)2cos(2]6)344(41cos[2)344(2222 -=⨯-⨯=-=+=-=-==-=-=∈=⇒==+-=-=⇒-=-=+=++=+βαβαβαββααπβαββππβπβααπαππαπαf f 17．（本小题满分13分）某学校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[)60,50，[)70,60，[)80,70，[)90,80，[]100,90．(1) 求图中a 的值(2) 根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3) 若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()x 与数学成绩相应分数段的人数()y之比如下表所示，求数学成绩在[)90,50之外的人数．解(1):分分3005.021)02.003.004.0(10 ==++++⨯a a a(2):50-60段语文成绩的人数为：人5100%100005.010=⨯⨯⨯ 3.5分60-70段语文成绩的人数为：人40100%10004.010=⨯⨯⨯4分70-80段语文成绩的人数为：人30100%10003.010=⨯⨯⨯80-90段语文成绩的人数为：分人520100%10002.010 =⨯⨯⨯90-100段语文成绩的人数为：5.55100%100005.010 人=⨯⨯⨯(3):依题意：50-60段数学成绩的人数=50-60段语文成绩的人数为=5人………………………………9分60-70段数学成绩的的人数为= 50-60段语文成绩的人数的一半=人204021=⨯……10分 70-80段数学成绩的的人数为=人403034=⨯ ………………………………………11分 80-90段数学成绩的的人数为= 人252045=⨯………………………………………12分 90-100段数学成绩的的人数为=人102540205100=----……………………13分18．（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中,AB ⊥平面PAD,AB CD,PD=AD,E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF=21AB,PH 为∆PAD 中AD 边上的高．（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若PH=1，AD=2,FC=1，求三棱锥E-BCF 的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB ．解：（1）：A B C DPH PADPAD AB PAD 平面所以平面，面又中的高为⊥=⋂⊥∴⊂⊥⊥∴∆AAD AB ABPH PH AD PH PH…………………………………………………………………………4分(2):过B 点做BG G CD BG ，垂足为⊥；连接HB,取HB 中点M ，连接EM ，则EM 是BPH ∆的中位线即EM 为三棱锥B CF -E 底面上的高BG FC ∙=∆21S BCF =222121=⨯⨯………………………………………………………………………6分………………………………………………………………………………………………………………………8分（3）：取AB 中点N ，PA 中点Q ，连接EN ，FN ，EQ ，DQ …………………………………………………………………………………………………………………13分 19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和n s ，数列{}n s 的前n 项和为{}n T ，满足2*2,n n T S n n N =-∈．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式．解：(1):21112-=a a ………………………………………………3分11=a …………………………………………………………5分（2）① ②…………………………6分①-②得：122+-=n a S n n ……………… ③………………………7分在向后类推一次1)1(2211+--=--n a S n n ……… ④…………………………8分③-④得：2221--=-n n n a a a …………………………………………9分221+=-n n a a …………………………………………………10分)2(221+=+-n n a a ……………………………………………12分的数列公比为是以首项为2,32}2{1=++a a n …………13分2231-⨯=∴-n n a ………………………………………………14分20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上．（1）求椭圆1C 的方程；12221223131=⨯⨯=∙∙=-EM S V BCF BCF E22n S T n n -= 211)1(2--=--n S T n n（2）设直线l 与椭圆1C 和抛物线22:4C y x =相切，求直线l 的方程．解：(1):依题意：c=1,…………………………………………………………………………1分则：122+=b a ,…………………………………………………………………………2分设椭圆方程为：112222=++b y b x ………………………………………………………………3分将)1,0(P 点坐标代入，解得：12=b …………………………………………………………4分所以 211122=+=+=b a 故椭圆方程为：1222=+y x …………………………………………………………………………5分（2）设所求切线的方程为：m kx y +=……………………………………………6分消除y)22)(12(4)4(2221-+-=∆m k km ………7分化简得：1222=-k m ①………………………………………………………8分同理：联立直线方程和抛物线的方程得：消除y 得：04)42(2222=--=∆m k km ……………………………………………………………………9分化简得：1=km ② …………………………………………………………………………10分将②代入①解得：01224=-+k k 解得：22,221(,2122-==-==k k k k 或者舍去），故 21,21-=-===m k m k 时，当时，当………………………………………………………12分故切线方程为：222222--=+=x y x y 或者…………………………………………………14分 21．（本小题满分14分）设01a <<，集合{}0A x R x =∈>，{}223(1)60A x R x a x a =∈-++>，D A B =． (1) 求集合D （用区间表示）；(2) 求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．解：（1）集合B 解集：令06)1(322=++-a x a x(1):当0<∆时，即：时131<<a ，B 的解集为：}|{R x x ∈此时)0|{>∈==⋂=x R x A B A D（2）当)3(,310舍去时，解得===∆a a 此时，集合B 的二次不等式为：02422>+-x x ，0)1(2>-x ，此时，B 的解集为：}1,{≠∈x R x 且故：),1()1,0(+∞⋃=⋂=B A D（3）当时，0>∆即舍去）3(310><<a a 此时方程的两个根分别为：很明显，0,31012>><<x x a 时故此时的综上所述：当=<<D ,310时a ),4)3)(31(3)13()4)3)(31(3)13,0(+∞--++⋃---+a a a a a a （（当31=a 时，),1()1,0(+∞⋃=⋂=B A D 当时131<<a ，)0|{>∈=x R x D (2)极值点，即导函数的值为0的点。

2012年广东省高考文科数学试题及答案(精美Word版)-2

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数34i i+= A ．43i -- B ．43i -+ C ．43i + D ．43i -2．设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,3,5M =，则U C M =A ．{}2,4,6B ．{}1,3,5C ．{}1,2,4D ．U3．若向量(1,2),(3,4)AB BC ==，则AC =A ． (4,6)B ． (4,6)--C ． (2,2)--D ． (2,2)4．下列函数为偶函数的是A ．sin y x =B ．3y x =C ．xy e = D ．2ln 1y x =+ 5．已知变量,x y 满足约束条件11,10x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最小值为A ．3B ．1C ．5-D 6-6．在ABC ∆中，若°60A ∠=，°45B ∠=，32BC =，则ACA ． 43B ． 23C ． 3D ． 327．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A ． 72πB ． 48πC ． 30πD ． 24π8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于A ． 33B ． 23C ． 3D ． 19．执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为A ． 105B ． 16C ． 15D ． 110．对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足0a b ≥>， a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且αβ和βα都在集合|2nn Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b = A ． 52 B ． 32 C ． 1 D ． 12二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．函数xx y 1+=的定义域为________________________． 12．若等比数列}{n a 满足2142=a a ，则=5231a a a _______________． 13．由整数组成的一组数据,,,,4321x x x x 其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据位_______________________．(从小到大排列)（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中xoy 中，曲线1C 和曲线2C 的参数方程分别为⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 5cos 5y x （θ为参数，20πθ≤≤）和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=22221t y t x （t 为参数），则曲线1C 和曲线2C 的交点坐标为．15．（几何证明选讲选做题）如图3，直线PB 与圆O 相切与点B ，D 是弦AC 上的点，DBA PBA ∠=∠，若,A D m A C n ==，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数),64cos()(π+=x A x f R x ∈,且2)3(=πf ．（1）求A 的值；（2）设],2,0[,πβα∈1730)344(-=+παf ，58)324(=-πβf ，求)cos(βα+的值．17．（本小题满分13分）图3 O A B CP D ·某学校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[)60,50，[)70,60，[)80,70，[)90,80，[]100,90．(1) 求图中a 的值(2) 根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3) 若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()x 与数学成绩相应分数段的人数()y之比如下表所示，求数学成绩在[)90,50之外的人数．分数段x ：y 1：1 2：1 3：4 4：518．（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中,AB ⊥平面PAD,AB CD,PD=AD,E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF=21AB,PH 为∆PAD 中AD 边上的高．（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若PH=1，AD=2,FC=1，求三棱锥E-BCF 的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB ．19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和n s ，数列{}n s 的前n 项和为{}n T ，满足2*2,n n T S n n N =-∈．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式．20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上．（1）求椭圆1C 的方程；（2）设直线l 与椭圆1C 和抛物线22:4C y x =相切，求直线l 的方程．21．（本小题满分14分）设01a <<，集合{}0A x R x =∈>，{}223(1)60A x R x a x a =∈-++>，D AB =．(1) 求集合D （用区间表示）；(2) 求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．2012广东高考数学（文科）参考答案一、选择题参考答案：1-5：BAADC 6-10：BCBCD第10解析：由定义知：因为），（2,4ππθ∈,取3πθ=，n 取1,即可得答案 21 二、填空题答案：12：),0()0,1[+∞⋃- （注意，写成集合形式也给分 }0{}01|{+∞≤<⋃≤<-x x x 13:41 14: 1 1 3 3 15: 参数方程极坐标：)1,2)(2,1(-- 几何证明选做题：mn16.、解：分分分4232224cos 1)6341cos()3( =⇒=∙==+⨯=A A A A f ππππ（2）：分分分分，由于分分分分1285135317155417811sin sin cos cos )cos(1053)54(1cos 1sin 9178)1715(1sin 1cos ],2,0[854cos 58cos 2]6)324(41cos[2)324(71715sin 61730sin 25)2cos(2]6)344(41cos[2)344(2222 -=⨯-⨯=-=+=-=-==-=-=∈=⇒==+-=-=⇒-=-=+=++=+βαβαβαββααπβαββππβπβααπαππαπαf f 17.解(1):分分3005.021)02.003.004.0(10 ==++++⨯a a a(2):50-60段语文成绩的人数为：人5100%100005.010=⨯⨯⨯ 3.5分 60-70段语文成绩的人数为：人40100%10004.010=⨯⨯⨯4分 70-80段语文成绩的人数为：人30100%10003.010=⨯⨯⨯80-90段语文成绩的人数为：分人520100%10002.010 =⨯⨯⨯ 90-100段语文成绩的人数为：5.55100%100005.010 人=⨯⨯⨯(3):依题意：50-60段数学成绩的人数=50-60段语文成绩的人数为=5人………………………………9分60-70段数学成绩的的人数为= 50-60段语文成绩的人数的一半=人204021=⨯……10分 70-80段数学成绩的的人数为=人403034=⨯ ………………………………………11分 80-90段数学成绩的的人数为= 人252045=⨯………………………………………12分 90-100段数学成绩的的人数为=人102540205100=----……………………13分18. 解：（1）：A B C DPH PADPAD AB PAD 平面所以平面，面又中的高为⊥=⋂⊥∴⊂⊥⊥∴∆AAD AB ABPH PH AD PH PH…………………………………………………………………………4分(2):过B 点做BG G CD BG ，垂足为⊥；连接HB,取HB 中点M ，连接EM ，则EM 是BPH ∆的中位线即EM 为三棱锥B CF -E 底面上的高 BG FC ∙=∆21S BCF =222121=⨯⨯………………………………………………………………………6分………………………………………………………………………………………………………………………8分（3）：取AB 中点N ，PA 中点Q ，连接EN ，FN ，EQ ，DQ …………………………………………………………………………………………………………………13分 19. 解：(1):21112-=a a ………………………………………………3分11=a …………………………………………………………5分（2）①②…………………………6分①-②得：122+-=n a S n n ……………… ③………………………7分在向后类推一次1)1(2211+--=--n a S n n ……… ④…………………………8分③-④得：2221--=-n n n a a a …………………………………………9分221+=-n n a a …………………………………………………10分)2(221+=+-n n a a ……………………………………………12分12221223131=⨯⨯=∙∙=-EM S V BCF BCF E 22n S T n n -= 211)1(2--=--n S T n n的数列公比为是以首项为2,32}2{1=++a a n …………13分 2231-⨯=∴-n n a ………………………………………………14分20、解：(1):依题意：c=1,…………………………………………………………………………1分则：122+=b a ,…………………………………………………………………………2分设椭圆方程为：112222=++b y b x ………………………………………………………………3分将)1,0(P 点坐标代入，解得：12=b …………………………………………………………4分所以 211122=+=+=b a 故椭圆方程为：1222=+y x …………………………………………………………………………5分（2）设所求切线的方程为：m kx y +=……………………………………………6分消除y)22)(12(4)4(2221-+-=∆m k km ………7分化简得：12222=-k m ①………………………………………………………8分同理：联立直线方程和抛物线的方程得：消除y 得：04)42(2222=--=∆m k km ……………………………………………………………………9分化简得：1=km ② …………………………………………………………………………10分将②代入①解得：01224=-+k k 解得：1,121(,122-==-==k k k k 或者舍去），故 11,11-=-===m k m k 时，当时，当………………………………………………………12分故切线方程为：11--=+=x y x y 或者…………………………………………………14分21. 解：（1）集合B 解集：令06)1(322=++-a x a x(1):当0<∆时，即：时131<<a ，B 的解集为：}|{R x x ∈ 此时)0|{>∈==⋂=x R x A B A D（2）当)3(,310舍去时，解得===∆a a 此时，集合B 的二次不等式为：02422>+-x x ，0)1(2>-x ，此时，B 的解集为：}1,{≠∈x R x 且故：),1()1,0(+∞⋃=⋂=B A D（3）当时，0>∆即舍去）3(310><<a a 此时方程的两个根分别为：很明显，0,31012>><<x x a 时故此时的综上所述：当=<<D ,310时a ),4)3)(31(3)13()4)3)(31(3)13,0(+∞--++⋃---+a a a a a a （（当31=a 时，),1()1,0(+∞⋃=⋂=B A D 当时131<<a ，)0|{>∈=x R x D (2)极值点，即导函数的值为0的点。

2012年6月8日全国各地高考文科数学试题及参考答案广东卷

2012年全国各地高考数学试题普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科)本试题共4页,21小题,满分150分,考试用时120分钟。

参考公式:锥体的体积公式13V Sh=,其中S 为柱体的底面积,h 为柱体的高. 球的体积343V R π=,其中R 为球的半径。

一组数据12,,,nx x x的标准差s =其中x 表示这组数据的平均数。

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出四个选项中,只有一项符合题目要求。

1. 设i 为虚数单位,则复数34ii +=( )()A 43i -- ()B 43i -+ ()C i 4+3 ()D i 4-3 2.设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5}U M ==；则U C M =( )()A {,,}246 ()B {1,3,5} ()C {,,}124 ()D U3. 若向量(1,2),(3,4)AB BC ==；则AC =( )()A (4,6) ()B (4,6)-- ()C (,)-2-2 ()D (,)224. 下列函数为偶函数的是( )()A sin y x = ()B 3y x = ()C x y e = ()D y =5. 已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则2z x y =+的最小值为( )()A 3 ()B 1 ()C 5- ()D 6-6. 在ABC ∆中,若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==,则AC =( ) ()A ()B ()C ()D7.某几何体的三视图如图1所示,它的体积为()()A 72π ()B 48π ()C π30 ()D π248. 在平面直角坐标系xOy 中,直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点,则弦AB 的长等于( )()A ()B ()C ()D 19. 执行如下图所示的程序框图,若输入n 的值为6,则输出s 的值为( ) ()A 105 ()B 16 ()C 15 ()D 110.对任意两个非零的平面向量α和β,定义αβαβββ=；若两个非零的平面向量,a b 满足,a 与b 的夹角(,)42ππθ∈,且,a b b a 都在集合}2nn Z ⎧∈⎨⎩中,则a b =( )()A 12 ()B 1 ()C 32 ()D 52二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分。

2012年高考真题——数学文(广东卷)解析版

绝密★启用前试卷类型：B2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设i 为虚数单位，则复数34ii+=A. 43i --B. 43i -+C. 43i +D. 43i -1. D.34(34)()43()i i i i ii i ++⨯-==-⨯-.2. 设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,5}M =，则U M =ðA. {2,4,6}B. {1,3,5}C. {1,2,4}D. U 2. A. U M =ð{2,4,6}.3. 若向量(1,2)A B = ，(3,4)B C =，则AC =A. (4,6)B. (4,6)--C. (2,2)--D. (2,2)3. A. (4,6)AC AB BC =+=.4. 下列函数为偶函数的是A. sin y x =B. 3y x =C. x y e =D. 2ln 1y x =+4. D. 选项A 、B 为奇函数，选项C 为非奇非偶函数.5. 已知变量x ，y 满足约束条件1110 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为A. 3B. 1C. 5-D. 6-5. C. 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，2z x y =+可化为直线1122y x z =-+，则当该直线过点(1,2)A --时，z 取得最小值，m in 12(2)5z =-+⨯-=-.6. 在△ABC 中，若60A ∠= ，45B ∠=，32BC =，则A C =A. 43B. 23C. 3D.321x y +=1x y -=10x +=xyO A6. B. 根据正弦定理，sin sin B C A C AB=，则232sin 223sin 32B C B A C A⨯⋅===.7. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A. 72π B. 48π C. 30π D. 24π7. C. 该几何体是圆锥和半球体的组合体，则它的体积2311434330323V V V πππ=+=⋅⋅+⋅⋅=圆锥半球体. 8. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y += 相交于A 、B 两点，则弦A B 的长等于 A. 33 B. 23 C.3 D . 18. B. 圆心(0,0)到直线3450x y +-=的距离22005134d +-==+，则222()32A B r d=-=，即23AB =.9. 执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为A. 105B. 16C. 15D. 19. C. 13515s =⨯⨯=10. 对任意两个非零的平面向量α和β，定义=⋅⋅ αβαβββ.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且 a b 和 b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，则= a bA.52B.32C. 1D.1210. D. =⋅⋅ a b a b b b2cos cos θθ⋅==a b a bb，同理有cos θ=b b a aa b 和 b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，即2cos θa b 和2cos θb a 是整数，取3πθ=，则a b和b a是整数，则1==a b ba，则=a b 12.输入n开始输出s1,1i s ==i n < s s i =⨯ 2i i =+结束是否图2图1正视图俯视图侧视图55635563二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11 ~ 13题） 11. 函数1x y x+=的定义域为 .11. [)()1,00,-+∞ . 10100x x x x +≥⎧⇒≥-≠⎨≠⎩且，即函数1x y x+=的定义域为[)()1,00,-+∞ .12. 若等比数列{}n a 满足2412a a =，则2135a a a = .12.14. 224312a a a ==，则24135314a a a a ==13. 由正整数组成的一组数据1234,,,x x x x ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为 .（从小到大排列）13. 1,1,3,3. 不妨设1234x x x x ≤≤≤，*1234,,,x x x x ∈N ，依题意得12348x x x x +++=，222212341[(2)(2)(2)(2)]14s x x x x =-+-+-+-=，即22221234(2)(2)(2)(2)4x x x x -+-+-+-=，所以43x ≤则只能121x x ==，343x x ==，则这组数据为1,1,3,3 （二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为5cos 5sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和21222x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点坐标为 .14. (2,1). 曲线1C 的方程为225x y +=（05x ≤≤），曲线2C 的方程为1y x =-2251x y y x ⎧+=⇒⎨=-⎩2x =或1x =-（舍去），则曲线1C 和2C 的交点坐标为(2,1).15.（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线P B 与圆O 相切于点B ，D 是弦A C 上的点，PBA D BA ∠=∠. 若A D m =，A C n =，则 A B = .15. mn . 由弦切角定理得P B A C D B A ∠=∠=∠，则△ABD ∽△AC B ， A B A D A CA B=，则2AB AC AD mn =⋅=，即AB m n =.图3PAB CDO三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数()cos 46x f x A π⎛⎫=+⎪⎝⎭，x ∈R ，且23f π⎛⎫=⎪⎝⎭（1）求A 的值；（2）设0,2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦，4304317f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，28435f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求cos()αβ+的值.16. 解：（1）2cos cos 2312642f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=+===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2A =（2）43042cos 2cos 2sin 336217f πππαπααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即15sin 17α= 2842cos 2cos 3665f ππβπββ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4cos 5β=因为0,2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦，所以28cos 1sin 17αα=-=，23sin 1cos 5βα=-=所以8415313cos()cos cos sin sin 17517585αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-17.（本小题满分13分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生普利卡电热管语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.分数段[50,60) [60,70) [70,80) [80,90):x y 11:21:34:4:5图4频率组距0.040.030.02a50 60 70 80 90 100 成绩PABCH FE D图517. 解：（1）依题意得，10(20.020.030.04)1a +++=，解得0.005a =（2）这100名学生语文成绩的平均分为：550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）（3）数学成绩在[50,60)的人数为：1000.055⨯=数学成绩在[60,70)的人数为：11000.4202⨯⨯= 数学成绩在[70,80)的人数为：41000.3403⨯⨯= 数学成绩在[80,90)的人数为：51000.2254⨯⨯=所以数学成绩在[50,90)之外的人数为：100520402510----=18.（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P A B C D -中，AB ⊥平面PAD ，//A B C D ，PD AD =，E 是P B 的中点，F 是C D 上的点且12D F A B =，P H 为△PAD 中A D 边上的高.（1）证明：PH ⊥平面A B C D ；（2）若1PH =，2AD =，1F C =，求三棱锥E B C F -的体积；（3）证明：E F ⊥平面P A B .18. 解：（1）证明：因为AB ⊥平面PAD ，所以PH AB ⊥因为P H 为△PAD 中A D 边上的高所以PH AD ⊥ 因为AB AD A =所以PH ⊥平面A B C D（2）连结B H ，取B H 中点G ，连结E G 因为E 是P B 的中点，所以//E G P H因为PH ⊥平面A B C D所以E G ⊥平面A B C D 则1122E G P H ==111332E B C FB C FV S E G F CA D E G -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=212（3）证明：取P A 中点M ，连结M D ，M E 因为E 是P B 的中点所以1//2M E A B = 因为1//2D F A B =PABCH FE DGM所以//M E DF =所以四边形M E D F 是平行四边形所以//E F M D 因为PD AD = 所以M D PA ⊥因为AB ⊥平面PAD ，所以M D AB ⊥ 因为PA AB A =所以M D ⊥平面P A B所以E F ⊥平面P A B19. （本小题满分14分）设数列{}n a 前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足22n n T S n =-，*n ∈N . （1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式. 19. 解：（1）当1n =时，1121T S =-因为111T S a ==，所以1121a a =-，求得11a =（2）当2n ≥时，221112[2(1)]2221n n n n n n n S T T S n S n S S n ---=-=----=--+所以1221n n S S n -=+- ① 所以1221n n S S n +=++ ② ②-①得 122n n a a +=+ 所以122(2)n n a a ++=+，即1222n n a a ++=+(2)n ≥求得123a +=，226a +=，则21222a a +=+所以{}2n a +是以3为首项，2为公比的等比数列所以1232n n a -+=⋅所以1322n n a -=⋅-，*n ∈N在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x ya b+=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上.（1）求椭圆1C 的方程；（2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：24y x =相切，求直线l 的方程. 20. 解：（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(1,0)F -，所以1c =，点(0,1)P 代入椭圆22221x y ab+=，得211b=，即1b =，所以2222a b c =+=所以椭圆1C 的方程为2212xy +=.（2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(12)4220k x km x m +++-= 因为直线l 与椭圆1C 相切，所以2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-= 整理得22210k m -+= ①24y x y kx m⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(24)0k x km x m +-+= 因为直线l 与抛物线2C 相切，所以222(24)40km k m ∆=--= 整理得1km = ②综合①②，解得222k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩或222k m ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ 所以直线l 的方程为222y x =+或222y x =--设01a <<，集合{|0}A x x =∈>R ，2{|23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ，D A B = . （1）求集合D （用区间表示）（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点. 21. 解：（1）令2()23(1)6g x x a x a =-++229(1)4893093(31)(3)a a a a a a ∆=+-=-+=--① 当103a <≤时，0∆≥，方程()0g x =的两个根分别为213393094a a a x +--+=，223393094a a a x ++-+=所以()0g x >的解集为22339309339309(,)(,)44a a a a a a +--+++-+-∞+∞因为12,0x x >，所以D A B == 22339309339309(0,)(,)44a a a a a a +--+++-++∞② 当113a <<时，0∆<，则()0g x >恒成立，所以D A B == (0,)+∞综上所述，当103a <≤时，D =22339309339309(0,)(,)44a a a a a a +--+++-++∞ ；当113a <<时，D =(0,)+∞（2）2()66(1)66()(1)f x x a x a x a x '=-++=--，令()0f x '=，得x a =或1x =① 当103a <≤时，由（1）知D =12(0,)(,)x x +∞因为2()23(1)6(3)0g a a a a a a a =-++=->，(1)23(1)6310g a a a =-++=-≤ 所以1201a x x <<<≤，所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：x(0,)aa1(,)a x 2(,)x +∞()f x ' + 0 -+()f x↗ 极大值↘ ↗所以()f x 的极大值点为x a =，没有极小值点② 当113a <<时，由（1）知D =(0,)+∞所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：x(0,)aa (,1)a 1(1,)+∞()f x ' + 0 -0 +()f x↗ 极大值↘ 极小值↗所以()f x 的极大值点为x a =，极小值点为1x = 综上所述，当103a <≤时，()f x 有一个极大值点x a =，没有极小值点；当113a <<时，()f x 有一个极大值点x a =，一个极小值点1x =。

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(广东卷)(解析版)

绝密★启用前试卷类型：B2012年普通高等学校招生全国统一考试（某某卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设i 为虚数单位，则复数34ii+= A. 43i -- B. 43i -+ C. 43i + D. 43i -1. D.34(34)()43()i i i i i i i ++⨯-==-⨯-. 2.设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,5}M =，则UM =A.{2,4,6}B.{1,3,5}C.{1,2,4}D.U 2.A.UM ={2,4,6}.3.若向量(1,2)AB =，(3,4)BC =，则AC = A.(4,6)B.(4,6)-- C.(2,2)-- D.(2,2) 3.A.(4,6)AC AB BC =+=.4.下列函数为偶函数的是A. sin y x =B.3y x = C.xy e =D. y = 4. D. 选项A 、B 为奇函数，选项C 为非奇非偶函数.5.已知变量x ，y 满足约束条件1110 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为A.3B.1C.5-D.6-5.C.不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，2z x y =+可化为直线1122y x z =-+，则当该直线过点(1,2)A --时，z 取得最小值，min 12(2)5z =-+⨯-=-.6.在△ABC 中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC =A.x +6.B.根据正弦定理，sin sin BC ACA B=，则sin sin BC B AC A ⋅===7.某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A.72π B.48π C.30πD.24π7. C. 该几何体是圆锥和半球体的组合体，则它的体积2311434330323V V V πππ=+=⋅⋅+⋅⋅=圆锥半球体.8.在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y += 相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于A.D .18. B. 圆心(0,0)到直线3450x y +-=的距离1d ==，则222()32AB r d =-=，即AB =9.执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为A.105B.16C.15D.1 9. C.13515s =⨯⨯=10.对任意两个非零的平面向量α和β，定义=⋅⋅αβαβββ.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，则=a bA.52B.32 C.1 D.1210.D.=⋅⋅a b a b b b 2cos cos θθ⋅==a b a b b，同理有cos θ=b b a a a b 和b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，即2cos θa b 和2cos θb a 是整数，图2图1正视图俯视图侧视图取3πθ=，则a b 和b a 是整数，则1==a b b a，则=a b 12.二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11 ~ 13题） 11.函数y x=的定义域为. 11.[)()1,00,-+∞.10100x x x x +≥⎧⇒≥-≠⎨≠⎩且，即函数y x=的定义域为[)()1,00,-+∞.12.若等比数列{}n a 满足2412a a =，则2135a a a =. 12.14.224312a a a ==，则24135314a a a a ==13.由正整数组成的一组数据1234,,,x x x x ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为.（从小到大排列）13.1,1,3,3.不妨设1234x x x x ≤≤≤，*1234,,,x x x x ∈N ，依题意得12348x x x x +++=，1s ==，即22221234(2)(2)(2)(2)4x x x x -+-+-+-=，所以43x ≤则只能121x x ==，343x x ==，则这组数据为1,1,3,3 （二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点坐标为.14.(2,1). 曲线1C 的方程为225x y +=（0x ≤≤，曲线2C 的方程为1y x =-2251x y y x ⎧+=⇒⎨=-⎩2x =或1x =-（舍去），则曲线1C 和2C 的交点坐标为(2,1). 15.（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，PBA DBA ∠=∠.若AD m =，AC n =，则 AB =.PAD O由弦切角定理得PBA C DBA ∠=∠=∠，则△ABD ∽△ACB ，AB AD AC AB=，则2AB AC AD mn =⋅=，即AB =. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数()cos 46x f x A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R，且3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求A 的值；（2）设0,2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦，4304317f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，28435f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求cos()αβ+的值.16. 解：（1）cos cos 312642f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=+===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2A = （2）43042cos 2cos 2sin 336217f πππαπααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即15sin 17α= 2842cos 2cos 3665f ππβπββ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4cos 5β=因为0,2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦，所以8cos 17α==，3sin 5β== 所以8415313cos()cos cos sin sin 17517585αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-17.（本小题满分13分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.图4P ABCH F E D图517. 解：（1）依题意得，10(20.020.030.04)1a +++=，解得0.005a =（2）这100名学生语文成绩的平均分为：550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）（3）数学成绩在[50,60)的人数为：1000.055⨯=数学成绩在[60,70)的人数为：11000.4202⨯⨯= 数学成绩在[70,80)的人数为：41000.3403⨯⨯=数学成绩在[80,90)的人数为：51000.2254⨯⨯=所以数学成绩在[50,90)之外的人数为：100520402510----=18.（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是CD 上的点且12DF AB=，PH 为△PAD 中AD 边上的高. （1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若1PH =，AD =1FC =，求三棱锥E BCF -的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB .18. 解：（1）证明：因为AB ⊥平面PAD ，所以PH AB ⊥因为PH 为△PAD 中AD 边上的高所以PH AD ⊥ 因为AB AD A =所以PH ⊥平面ABCD（2）连结BH ，取BH 中点G ，连结EG 因为E 是PB 的中点，所以//EG PH因为PH ⊥平面ABCD所以EG ⊥平面ABCD则1122EG PH ==111332E BCFBCF V S EG FC AD EG -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=12 （3）证明：取PA 中点M ，连结MD ，MEPABCHF E DGM因为E 是PB 的中点所以1//2ME AB = 因为1//2DF AB =所以//ME DF =所以四边形MEDF 是平行四边形所以//EF MD 因为PD AD = 所以MD PA ⊥因为AB ⊥平面PAD ，所以MD AB ⊥ 因为PA AB A =所以MD ⊥平面PAB 所以EF ⊥平面PAB19. （本小题满分14分）设数列{}n a 前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足22n n T S n =-，*n ∈N .（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式. 19. 解：（1）当1n =时，1121T S =-因为111T S a ==，所以1121a a =-，求得11a =（2）当2n ≥时，221112[2(1)]2221n n n n n n n S T T S n S n S S n ---=-=----=--+所以1221n n S S n -=+-① 所以1221n n S S n +=++② ②-①得 122n n a a +=+ 所以122(2)n n a a ++=+，即1222n n a a ++=+(2)n ≥求得123a +=，226a +=，则21222a a +=+ 所以{}2n a +是以3为首项，2为公比的等比数列所以1232n n a -+=⋅所以1322n n a -=⋅-，*n ∈N20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上.（1）求椭圆1C 的方程；（2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：24y x =相切，求直线l 的方程. 20. 解：（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(1,0)F -，所以1c =，点(0,1)P 代入椭圆22221x y a b +=，得211b=，即1b =，所以2222a b c =+=所以椭圆1C 的方程为2212x y +=. （2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(12)4220k x kmx m +++-= 因为直线l 与椭圆1C 相切，所以2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-= 整理得22210k m -+=①24y x y kx m⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(24)0k x km x m +-+= 因为直线l 与抛物线2C 相切，所以222(24)40km k m ∆=--= 整理得1km =②综合①②，解得k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩或k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以直线l 的方程为y x =或y x =-21.（本小题满分14分）设01a <<，集合{|0}A x x =∈>R ，2{|23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ，D A B =.（1）求集合D （用区间表示）（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点. 21. 解：（1）令2()23(1)6g x x a x a =-++229(1)4893093(31)(3)a a a a a a ∆=+-=-+=--① 当103a <≤时，0∆≥，方程()0g x =的两个根分别为1x =，2x =所以()0g x >的解集为33(()a ++-∞+∞因为12,0x x >，所以D A B ==3333(0,()44a a ++++∞ ②当113a <<时，0∆<，则()0g x >恒成立，所以D A B ==(0,)+∞综上所述，当103a <≤时，D =3333(0,()44a a +-+++∞；当113a <<时，D =(0,)+∞ （2）2()66(1)66()(1)f x x a x a x a x '=-++=--，令()0f x '=，得x a =或1x =① 当103a <≤时，由（1）知D =12(0,)(,)x x +∞ 因为2()23(1)6(3)0g a a a a a a a =-++=->，(1)23(1)6310g a a a =-++=-≤ 所以1201a x x <<<≤，所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：所以()f x 的极大值点为x a =，没有极小值点 ②当113a <<时，由（1）知D =(0,)+∞ 所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：所以()f x 的极大值点为x a =，极小值点为1x = 综上所述，当103a <≤时，()f x 有一个极大值点x a =，没有极小值点；当113a <<时，()f x 有一个极大值点x a =，一个极小值点1x =。