自由度

2.4 平面杆件体系的自由度计算

教学要求

掌握实际自由度分析方法,了解计算自由度的计算方法。

2.4.1 平面杆件体系自由度

（1）实际自由度S（即前面讲的“运动自由度”）：体系运动时，可以独立变化的几何参数数目，也就是确定该体系运动所需要的独立参数数目。之所以称之为实际自由度，是为了与下面讲的计算自由度相区别。

S = （各部件自由度总和a）－（必要约束数总和c）（2-1）（2）计算自由度W

W = （各部件自由度总和a）－（全部约束数总和d）（2-2）

由上式可见，计算自由度是由体系部件的自由度和全部约束计算而得，但没有区别非多余约束和多余约束。因此，一般地说，计算自由度不一定就是实际自由度。

多余约束数n：等于实际自由度与计算自由度之差，即：

n = S －W （2-3）

图2-25

分析：

自由度S=a－c=2－2=0；计算自由度W=a－d=2－4=－2

［讨论］：

W > 0 则S > 0 几何可变

W = 0 则S = n 若n = 0 几何不变

W = 0 则S = n 若n > 0 几何可变

W < 0 则n > 0 体系有多余约束,但不一定几何不变。

结论：

W ≤0只是几何不变的必要条件，不是充分条件。

各部件自由度总和a=2（1个自由点）；约束总数d=4；其中：非多余约束c=2；

2.4.2 约束的计算

（1）刚片内部多余约束。

n=0 n=1 n=2 n=3

图2-8 刚片内部多余约束

［注释］自由端n=0；一根链杆n=1；一个铰n=2；一个刚结n=3；

（2）单约束和复约束

a．铰结点

图2-9a 单铰图2-9b 复铰

1单铰=2个约束复铰=（n－1）单铰＝2（n－1）个约束

b．刚结点

图2-11a 单链图2-11b 复链

1单链杆=1个约束1复链杆= （2×n-3）单链=（2×n-3）个约束杆

2.4.3 平面体系的计算自由度W 的求法

（1）刚片法：体系看作由刚片组成，铰结、刚结、链杆为约束。

刚片数m ；

约束数：单铰数h ，简单刚结数g ，单链杆数b 。

W = 3m - 2h - 3g - b （2-4）

（2）节点法：体系由结点组成，链杆为约束。

结点数j ；

约束数：链杆（含支杆）数b 。

W = 2j – b （2-5）

（3）组合算法

约束对象：刚片数m ，结点数j

约束条件：单铰数h ，简单刚结数g ，单链杆（含支杆）数b

W = （3m + 2j）-（3g + 2h + b）(2-6)

例：求如下图示刚片系的计算自由度。

题1：图2-12

解：

方法1 方法2 方法3

方法1：（刚片法）

m = 7，h = 4，g = 2，b = 6

W = 3×7 - 2×4 - 3×2 - 6 = 1

方法2：（刚片法）

m = 5，h = 4，g = 0，b = 6

W = 3×5 - 2×4 - 6 = 1

方法3：（节点法）――最好

j=6，b=11

Ｗ=2ｊ-ｂ=2*6-11＝1

题2：图2-13

解：

方法1 方法2

方法1：（节点法）――最好

j=7，b=14

Ｗ=2ｊ-ｂ=2*7-14＝0

方法2：（刚片法）

m = 7，h = 9，g = 0，b = 3

W = 3×7 - 2×9 - 3 = 0

题3：图2-14

解：

方法1：（刚片法）

m = 1，h = 0，g = 3，b = 4

W = 3×1- 3×3- 4 = -10

方法2：（节点法）――最好

j=0，b=10

Ｗ=2ｊ-ｂ=0-10＝0