线性系统理论2[1].2

A(t) = A(t + T )，t
其中，T 为正常数。
物理上意味着 A() 的每一个元均是以 T 为周期的一个周期 函数。
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它具有如下属性：
① 设 (t) 是系统
& = A( t ) x , x
A( t ) = A( t + T )
的一个基本解阵，则 (t + T ) 也必是它的一个基本解阵。
或
= (t - )， e At = (t )
G(t - ) = C (t - ) B + D (t - ) G(t) = C (t ) B + D (t )
结论 3 ：两个代数等价的线性定常系统具有相同的脉冲响 应矩阵。其中，代数等价关系为：
A = PAP -1， B = PB,
C = CP -1， D = D
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结论 4 ：两个代数等价的线性定常系统的输出的零状态响 应和零输入响应相同。
三、脉冲响应矩阵和传递函数矩阵
结论 ：
ˆ ( s ) 分别表示给定的线性定常数矩阵，则两者之间成立如下的关系式：
ˆ ( s) = L [ G ( t ) ] , G
g11 (t - ) g12 (t - ) g (t - ) g (t - ) 21 22 G (t - ) = g q1 (t - ) g q 2 (t - )
称为系统的脉冲响应矩阵。
g1 p (t - ) g 2 p (t - ) g qp (t - )
G(t - t )u(t )t
k k k
则系统输出： y (t ) =

t
t0
G (t - )u ( ) d , t t0
如果 t0 =0， 则系统输出： y(t ) =
G(t - )u( )d ,
0
t
t 0
作自变量置换：
0
t - = u

t= +u
y(t ) = G(u)u(t - u)d (-u)
& = Ax 有且仅有 n 个线性无关的解，任取 n 个线性无 说明 ： x
关的解，构成 n n 矩阵函数 (t ) ， 称为 & x = Ax 的一个基本 解阵。 ② 存在一个常值矩阵 A ，使成立
(t + T ) = (t )e AT
&(t) 在 [t0, ∞] 上连续和有界， ③ 对时变系统，设变换阵 p(t) 和 p
则
-2
+ A2s -3 + L
CBs -1 + CABs -2 + CA2Bs -3 + L + D
= CBs -1 + CAB s-2 + CA2Bs-3 + + D
对任意 s 均成立，当且仅当
D = D 和 CAi B = CAi B , i = 0,1, 2,
证毕。
2.5 线性 时变系统的运动分析
注意：
对线性时变系统作李亚普诺夫变换其稳定性保持不变，但一 般的等价变换并不能保持这一点。
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④ 对 A () 为周期变化的线性时变系统，作变换
x = p(t) x，其中变换矩阵取为：
p(t ) = e At -1 (t )
则变换后的状态空间描述具有如下形式：
& = A x + p(t) B(t) u x y = C(t) p-1(t) x + D(t) u
一、状态转移矩阵
时变系统： & x = A(t)
x + B(t) u, x(t0 ) = x0, t [t0, tα ]
y = C( t ) x + D( t ) u
其中， x 为 n 维状态向量，u为 p 维输入向量，y 为 q 维 输出向量，A ( t ) , B ( t ) , C ( t ) 和 D ( t ) 分别为 n n，n p, q n 和 q p 的时变实值矩阵。
y (t ) = G (t , )u ( ) d ,
t0
t
t [t0 , t ]
三、具有周期变化阵 A() 的线性时变系统的运动分析
特殊的线性时变系统，状态空间描述为：
x & = A(t) x + B(t) u y = C(t) x + D(t) u
系统矩阵 A (t) 满足下述关系式：
假定 MIMO系统的输出在输入加入之前的所有瞬时为零：
G (t - τ) = 0
数来逼近，可表为：
和 t <
当输入向量的元为任意形式的时间函数时，用一系列脉冲函
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输入为：
u j u j (tk ) (t - tk )t , j = 1, 2,
k
,p
输出为： y (t ) 令 t 0
其中， A 是一个常阵。
⑤ A ()为周期变化的线性时变系统（a）和变换后的系统（b）
是李亚普诺夫意义下等价的，也即（a）为渐进稳定的充分必要 条件为 ： A 的特征值均具有负实部。
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第 2章 作业
3.2 3.3 3.5 3.8
3.10
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t
= G(u)u(t - u)du
0
t
y(t ) = G( )u(t - )d
0
t
t 0
通常称为卷积。
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二、脉冲响应矩阵和状态空间描述
设系统的状态空间描述为：
& = A x + B u x ( t 0 ) = x0 , t t 0 x y = Cx + Du
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2.4 线性定常系统的脉冲响应矩阵
一、脉冲响应矩阵 设具有 p 个输入端和 q 个输出端的线性定常系统，系 统具有零初始状态。令在 τ 时刻加于第 j 个输入端一个单位 脉冲函数 (t - τ) ，而其它输入端的输入为零，用 g ij(t - τ) 表示第 i 个输出端在 t 时刻的脉冲响应。 则以脉冲响应 g ij (t -τ )，(i =1, 2, L , q; j =1, 2,L , p) ，为元所构成的 q p 矩阵：
其中， A，B ， C 和 D 分别是 n n， n p， q n， q p 的实值常阵。 结论 1 ：上述状态方程的脉冲响应矩阵为
G (t -τ ) = Ce A(t -τ ) B + D (t -τ )
或
G (t) = Ce At B + D (t )
结论 2 ： 由于 e A(t - ) 则
且对 所有 t t0 成立：
det p(t ) > > 0
现作变换：x
其中，为实常数。
= p(t) x ，即导出
&=A(t)x+B(t)u x y=C(t)x+D(t)u
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其中：
& (t ) p-1(t ) A(t ) = p(t ) A(t ) p(t )-1 + p
.
运动规律表达式为：
x(t )
(t ; t0 , x0 , u ) = (t , t0 ) x0
+ (t , ) B ( )u ( ) d , t [t0 , t ]
t0 t
其中，
零输入响应为：
( t ; t0, x0, 0 ) = (t, t0) x0 , t [t0, tα ]
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则满足如下矩阵微分方程和初始条件
( t , t 0 ) = A ( t ) ( t , t 0 ) ， ( t0, t0 ) = I
的 n n 解阵 (t , t0 ) 称为系统的 状态转移矩阵。 二、线性时变系统的运动规律 结论 ：线性时变系统由初始状态和输入作用同时引起的状态
B (t ) = p(t ) B(t )
C (t ) = C(t ) p -1(t )
D(t ) = D(t )
则称系统
(A ( t ), B ( t ), C ( t ), D ( t )) 和 (A ( t ), B ( t ), C ( t ), D ( t ))
之间是李亚普诺夫意义下等价的，并称满足上述条件的变换 矩阵 p (t) 为李亚普诺夫变换阵。
和
t0
ˆ G(t ) = L-1 G( s) ,
t 0
推论 ： 给定两个线性定常系统 ( A, B, C, D) 和 ( A, B , C , D )设 两者具有相同的输出和输入维数，但它们的状态维数可不一 定相同，则此两系统具有相同脉冲响应矩阵（即相同传递函 数矩阵）的充分必要条件是：
D= D
和
CAi B = CAi B， i = 0，1，2，…
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ˆ (s) = G ˆ (s) 成立， 当且仅当 证：若 G(t ) = G(t ) 或 G C ( sI -A ) -1 B + D = C ( sI -A ) -1 B + D
由于 ( sI -A ) -1 = Is -1 + As
零状态响应为：
(t ; t0 , 0, u ) = (t , ) B( )u ( )d
t0
t
t [t0 , t ]
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线性时变系统的脉冲响应矩阵：
G( t, τ ) = C( t ) ( t, τ ) B(τ ) + D(τ) δ( t -τ )
线性时变系统的输出响应：