线性代数二次型习题及答案 2
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线性代数二次型习题及答案 2
第六章 二次型
1.设方阵1A 与1B 合同,2A 与2B 合同,证明1
2A ⎛⎫
⎪⎝⎭A 与12⎛⎫ ⎪⎝⎭B B 合同、 证:因为1A 与1B 合同,所以存在可逆矩1C ,使T
1111=B C A C ,
因为2A 与2B 合同,所以存在可逆矩2C ,使T
2222=B C A C 、
令 12⎛⎫
= ⎪⎝⎭
C C C ,则C 可逆,于就是有
T
T 1111111
T 2222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B C A C C AC B C A C C A C 1T 2⎛⎫
= ⎪⎝⎭
A C C A 即 12A ⎛⎫ ⎪⎝
⎭A 与12⎛⎫
⎪⎝⎭B B 合同、 2、设A 对称,B 与A 合同,则B 对称
证:由A 对称,故T =A A .
因B 与A 合同,所以存在可逆矩阵C ,使T
=B C AC ,于就是
T T T T T T ()====B C AC C A C C AC B
即B 为对称矩阵.
3、设A 就是n 阶正定矩阵,B 为ｎ阶实对称矩阵,证明:存在n 阶可逆矩阵P ,使
BP P AP P T T 与均为对角阵、
证:因为A 就是正定矩阵,所以存在可逆矩阵M ,使
E AM M =T
记T
1=B M BM ,则显然1B 就是实对称矩阵,于就是存在正交矩阵Q ,使
T 11diag(,
,)n D μμ==Q B Q
T 11,
,.
n μμ=B M BM 其中为的特征值
令P=MQ ,则有
D BP P
E AP P ==T T ,
,A B 同时合同对角阵、
4.设二次型211
1
()m
i in n i f a
x a x ==
+
+∑,令()ij m n a ⨯=A ,则二次型f 的秩等于()r A 、
证:方法一 将二次型f 写成如下形式:
2111
()m
i ij j in n i f a x a x a x ==+
++
+∑
线性代数二次型习题及答案 2 设Ａi = 1(,
,,,)i ij in a a a ),,1(m i =
则 111111
1
j
n i ij in i m mj mj m a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A A
于就是 1T T T T
T 11(,,,,)m
i m i i i i m =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
∑A A A A A A A A A A
故 2111()m i ij j in n i f a x a x a x ==++++∑=12
11
[(,,)]i m
j n ij i in a x x x a a =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
∑
＝
111
11
[(,
,
)(,,
)]i m
j n ij i ij in j i in n a x x x x a a a a x a x =⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
∑=1T
11
(,,
)()m
j n i i j i n x x x x x x =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
∑A A
=X T
(ＡT A )X
因为A A T
为对称矩阵,所以A A T
就就是所求的二次型f 的表示矩阵、 显然
r (A A T )=r (A ),故二次型ｆ的秩为r (A ) 、
方法二 设11,1,
,i i in n y a x a x i n =++=、 记T 1(,,)m y y =Y ,于就是
=Y AX ,其中T 1(,
,)n x x =X ,则
222T T T 11
()m
i m i f y y y ===+
+==∑Y Y X A A X 、
因为A A T
为对称矩阵,所以A A T
就就是所求的二次型f 的表示矩阵、 显然
r (A A T )=r (Ａ),故二次型f 的秩为r (Ａ) 、 5.设A 为实对称可逆阵,T
f x x =A 为实二次型,则A 为正交阵⇔可用正交变换将f 化成规范形、
证:⇒设i λ就是A 的任意的特征值,因为A 就是实对称可逆矩阵,所以i λ就是实数,且
0,1,,i i n λ≠=、
因为A 就是实对称矩阵,故存在正交矩阵P ,在正交变换=X PY 下,f 化为标准形,
即
T T T T T
1()diag(,
,,,)i n f λλλ====X AX Y P AP Y Y DY Y Y
222
11i i n n y y y λλλ=++++
(＊)
因为A 就是正交矩阵,显然T
1diag(,,,
,)i n λλλ==D P AP 也就是正交矩阵,由
D 为对角实矩阵,故21i λ=即知i λ只能就是1+或1-,这表明(＊)恰为规范形、 ⇐因为A 为实对称可逆矩阵,故二次型f 的秩为n 、 设在正交变换=X QY 下二次型f 化成规范形,于就是
T T ()f ==X AX Y Q AQ Y 222211r r n y y y y +=++---T
=Y DY 其中r 为f 的正惯性指数,diag(1,,1,1,,1)=--D 、
显然D 就是正交矩阵,由T =D Q AQ ,故T =A QDQ ,且有T T
==A A AA E ,故A
就是正交矩阵.
6、设A 为实对称阵,||0 0<ξAξ、 证:方法一 因为A 为实对称阵,所以可逆矩阵P ,使 T 1diag(, ,,,)i n λλλ==P AP D 其中(1, ,)i i n λ=就是A 的特征值,由||0 010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ξP ,则有 T T 0(0,,1,,0)10⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭ ξAξP AP 1(0,,1,0,0)k n λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎭010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 0k λ=< 方法二(反证法) 若∀≠X 0,都有T 0≥X AX ,由A 为实对称阵,则A 为半正定矩阵,故||0≥A 与 ||0 7、设n 元实二次型AX X T =f ,证明f 在条件12 2221=+++n x x x 下的最大值恰 为方阵Ａ的最大特征值.