最新应用概率统计期末复习题及答案

第七章课后习题答案

7.2 设总体12~(12,4),,,

,n X N X X X 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之

差的绝对值大于1的概率. 解:由于~(12,4)X N ,

~(0,1)X N

{1}1{1}1P X P X P μμ⎫->=--≤=-≤

112(11(20.86861)0.262822P ⎡⎤=-≤=-Φ-=-⨯-=⎢⎥⎣⎦⎪⎭

7.3 设总体~(0,0.09),X N 从中抽取10n =的简单随机样本，求1021 1.44i i P X =⎧⎫

>⎨⎬⎩⎭

∑.

解：由于~(0,0.09),X N 所以~(0,0.09),i X N 故

~(0,1)0.3

i i X X N σ

--=

所以

10

2

21

(

)~(10)0.3

i i X χ=∑ 所以{}1010222

11 1.441.44()160.10.3

0.09i i i i X P X P P χ==⎧⎫⎧⎫>=>=>=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∑∑

7.4 设总体2

~(,),X N μσ12,,

,n X X X 为简单随机样本, X 为样本均值，2S 为样

本方差，问2

X U n μσ⎛⎫

-= ⎪⎝⎭

服从什么分布？

解：

2

2

2

X X X U n μσ⎛⎫⎛⎫-=== ⎪⎝⎭,由于2

~(,)X N μσ，

~(0,1)N

，故2

2

~(1)X U χ⎛⎫=。

7.6 设总体2~(,),X N μσ2

~(,)Y N μσ且相互独立，从,X Y 中分别抽取

1210,15n n ==的简单随机样本，它们的样本方差分别为22

12,S S ，求2212(40)P S S ->。

解： 22

22211

2

1

2

22(40)(4)4S P S S P S S P S ⎛⎫

->=>=> ⎪⎝⎭

由于2~(,),X N μσ2

~(,)Y N μσ且相互独立

所以2

122

~(101,151)S F S --，又由于0.01(9,14) 4.03F =

即()40.01P F >=

第八章课后习题答案

8.1 设总体X 的密度函数为(1)

,

()010,

C x x C f x C x C 为已知，θθθθ-+⎧>=>>⎨

≤⎩

。

12,,

,n X X X 为简单随机样本,（1）求θ的矩估计量。（2）求θ的极大似然估计量。

解：（1）(1)

[1(1)]()()C

C

C

E X xf x dx x C x

dx C

x dx θθθ

θμθθ+∞

+∞

+∞

-+-+==

==⎰

⎰

⎰

11(0)11

C

C x dx C C C X θθθ

θθ

θθθθ+∞

--==-==--⎰

故X

X C

θ=

-。 （2） 似然函数

121

(,,

;)()n n i i L x x x f x θ==∏(1)

(1)1

1

()n

n

n

n i

i i i C x C x θ

θθ

θθθ-+-+====∏∏

取对数

12ln (,,

;)n L x x x θ=1

ln ln (1)ln n

i i n n C x θθθ=+-+∑

方程两侧对θ求导得

1

ln ln ln n

i i d L n

n C x d θθ==+-∑ 令

1

ln ln ln 0n

i i d L n

n C x d θθ==+-=∑ 得 1

ln ln n

i

i n

x n C

θ==-∑

即极大似然估计量为1

ln ln n

i

i n

X

n C

θ==

-∑

8.4 设总体X 的密度函数为10,()00,

x

x e x f x x α

αλλα--⎧>⎪=⎨

≤⎪⎩

其中0α>是已知常

数，0λ>是未知参数，12,,

,n X X X 为简单随机样本,求λ的极大似然估计量。

解：似然函数

121

(,,

;)()n n i i L x x x f x λ==∏1

11

1

1

()

n

i i i n

n

x x n

n

i

i i i x e

x e

α

α

λ

λααλαλα=----==∑==∏∏

取对数

12ln (,,

;)n L x x x λ=1

1

ln ln (1)ln n n

i i i i n n x x αλααλ==+---∑∑

方程两侧对λ求导得

1

ln n i i d L n x d α

λλ==-∑ 令

1

ln 0n i i d L n x d α

λλ==-=∑ 得 1

n

i

i n

x

αλ==∑

即极大似然估计量为1

n

i

i n

X α

λ==

∑

8.6 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（单位：h ）分别为

6.0，5.7,5.8,6.5,

7.0,6.3,5.6,6.1,5.0

设干燥时间2

~(,),T N μσ就下面两种情况μ的置信度为0.95的双侧置信区间。 （1）0.6()h σ= （2）σ未知

解：由已知可得2

6,0.574,0.33x s s ===

（1）由于0.6σ=，9n =，0.05α=，0.025 1.96z =

取统计量~(0,1)X Z N =

所以μ

的置信区间为2

2

(X z X z α

α

-+

即0.60.6(6 1.96,6 1.96)(5.608,6.392)33

-⨯

+⨯=