第三节空间点线面位置

第三节空间点、直线、平面之间的位置关系:考点梳理I

1. 平面的基本性质

公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.

公理2:过不共线的三点，有且只有一个平面.

公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

(1)定义：设a, b是两条异面直线，经过空间中任一点 0作直线a'// a, b'// b，把a' 与b'所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角.

(2)范围：(0, n.

4. 平行公理

平行于同一条直线的两条直线平彳____

5. 等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或___________

辨析：

1. 若直线a?平面a直线b?平面a则直线a, b是异面直线，这种说法正确吗？

2. 若一条直线l不在平面a内，则直线l与平面a是否一定平行?

平面的基本性质

1 1

BC//-AD , BE//2FA , G 、H (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么?

图 7 -

3- 6 如图7- 3-6所示，正方体 C i C 的中点，有以下四个结论： ① 直线AM 与CC i 是相交直线; ③直线BN 与MB i 是异面直线; ② 直线AM 与BN 是平行直线； ④直线MN 与AC 所成的角为60°

至一 如图7-3-2所示，四边形 ABEF 和ABCD 都是梯形, 分别为FA 、FD 的中点.⑴证明：四边形 BCHG 是平行四边形; 小结：解答本题的关键是

平行四边形、中位线性质的应用.

变式训练：已知：空间四边形

ABCD （如图7- 3-3所示）,E 、F 分别是AB 、AD 的中

1 1

点，G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且CG = 3BC, CH = 3DC.求证：（1）E 、F 、G 、H 四点共 面；（2）

三直线FH 、EG 、AC 共点

空间两条直线的位置关系

_i;吧 （1）如图

7 — 3-4,在正方体 ABCD — A 1B 1C I D I 中，M , N 分别是B®, 的中

点，则下列判断错误的是（ ）

A. MN 与CC 1垂直

B. MN 与AC 垂直

C. MN 与BD 平行

D. MN 与A 1B 1平行

⑵在图中，G 、N 、M 、H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH 、

MN 是异面直线的图形有 ___________ .（填上所有正确答案的序号）

小结：

1. 判定空间两条直线是异面直线的方法

（1）判定定理：平面外一点 A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点 B 的直线是异

面直线.

（2）反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面. 2•对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直. 3•画出图形进行判断，可化抽象为直观

.

D

图 7 - 3- 4

图 7 - 3 - 7

ABCD — A i B I C1D1 中，M、N 分别为棱 CQ i、其中正确的结论为 ________ （注：把你认为正确的结论序号都填上）.

思想方法 借助正方体判定线面位置关系 异面直线所成的角

A2 （2012上海高考改编题）如图7 — 3 — 7,在三棱锥 P —ABC 中，PA 丄底面 ABC, D 是 PC 的中点.已知/ BAC = n ，AB= 2, AC = 2yf3, FA= 2求: ⑴三棱锥F — ABC 的体积；⑵异面直线BC

与AD 所成角的余弦值.

小结：1 .求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用 图中已有的平行线平移；利用特殊点 （线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移.

2 .求异面直线所成的角的三步曲为：即“一作、二证、三求” •其中空间选点任 意，但要

灵活，经常选择"端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等 进行平移，作出异面直线所成角，转化为解三角形问题，进而求解.

❽弊亢训练直三棱柱ABC — A 1B 1C 1中，若/ BAC = 90° AB= AC =

，则异面直线

BA i 与AC 1所成的角等于（ ）

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

進 （2012四川高考）下列命题正确的是（ ）

A •若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B •若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D .若两个平面都垂直

于第三个平面，则这两个平面平行

自

主体验

1. （2013郑州模拟）11, 12, 13是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是

（ ）

A.

C. 丄I2, I2丄I3? 1

// "// 丨3? h,

I

h丄怯

I2 , I3共面

B. 11 -L I2, 12 I3? h 丄怯

D. I1, I2, I3 共点？ 11, 12, 13 共面

2.已知异面直线a , b 分别在平面 A .与a , b 都相交

3、 C .至少与a , b 中的一条相交

ABCD — A 1B 1C 1D 1 是长方体，O 是 B 1D 1 A . A , M , O 三点共线 C . A , M , C , O 不共面 4.如图是正方体或四面体， P , 个图是（

）

©

5. （2013揭阳模拟）如图7 — 3— 9,正三棱柱 ABC —A 1B 1C 1的各棱长（包括底面边长）都 是2, E , F 分别是AB , A 1C 1的中点，则 EF 与侧棱C 1C 所成的角的余弦值是

A. _5 5

D . 2

图 7— 3— 10

G 、H 、M 、N 分别为 DE 、

2. （2012大纲全国卷）已知正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB“ CCi 的中点, 那么异

面直线 AE 与D 1F 所成角的余弦值为 __________________ .

课后作业

空间点、直线、平面之间的位置关系

、选择题

1. （2013 •州模拟）以下四个命题中 ①

不共面的四点中，其中任意三点不共线；

② 若点A 、B 、C 、D 共面，点A 、B 、C 、E 共面，则点 A 、B 、C 、D 、E 共面; ③ 若直线a 、b 共面，直线a 、c 共面，则直线b 、c 共面； ④

依次首尾相接的四条线段必共面.

正确命题的个数是（ ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

a, B 内，且aCl 3=

C ,那么直线C —定（ B .只能与a, b

中的一条相交 D .与a, b 都平行 的中点，直线 A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列

结论正确的是（ ）

B. A, M , O, A 1 不共面

D . B, B 1, O, M 共面

Q, R, S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一

二、填空题

6. （2012四川高考）如图7— 3 — 1,在正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、 CC 1

的中点，则异面直线 A 1M 与DN 所成的角的大小是 _________________ .

A L

S

Q

BCD