近世代数讲义(电子教案)

《近世代数》课程教案

第一章 基本概念

教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。

教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。

教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。

教学措施：网络远程。 教学时数：8学时。 教学过程：

§1 集合

定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集

合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。

定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为∅，且∅是任一集合的子集。 （1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。 （2）集合表示：

习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合，

习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。

若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ∉∈否则记为,。 表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）： 例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。 2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。 例：{}41≤≤∈=a Z a a A 且。显然例6中的A 就是例5的A 。

3、绘图法：用文氏图（Diagram Venn ）可形象地表现出集合的特征及集合之

间的关系。

（3）集合的蕴含（包含）

定义：若集B 中每个元素都属于集A ，则称B 是A 的子集，记为A B ⊂，否则说

B 是A 的子集，记为A B ⊄. 定义：设A B ⊂，且存在B a A a ∉∈但，那么称B 是A 的真子集，否则称B 不是

A 的真子集。

定义：若集合A 和B 含有完全一样的元素，那么称A 与B 相等，记为A =B . 结论：显然，A B B A B A ⊂⊂⇔=且. （4）集合的运算

①集合的并：{}

B x A x x B A ∈∈=或 ②集合的交：{}B x A x x B A ∈∈=且 ③集合的差：{}B x A x x B A ∉∈=-且 ④集合在全集内的补：{}A x E x x A ∉∈=且 ⑤集合的布尔和（对称差）：

{})()()()( B A B A A B B A B A x B x A x x B A -=--=∉∈∈=⊕但或 ⑥集合的卡氏积：{}B b A a b a B A ∈∈=⨯且),(

注：B A ⨯中的元素可看成由A 和B 坐标轴所张成的平面上的点。 卡氏积的推广：

{}

m i A a a a a A A A A m A A A i i m m m

i i m ,,2,1,),,,( ,,,21211

21 =∈=⨯⨯⨯=∏=：

成的卡氏积为个集合，那么由它们做是令

对上述集合运算，可以得到一批基本公式：

A

B A A A B A A A A A A A A A E E A A A E A A A E A A A

C A B A C B A C A B A C B A C

B A

C B A C B A C B A A B B A A B B A ================)(;)()6(;;;)5(.;;;)4()()()();()()()3()()(;)()()2(.

;)1( 吸收律：φφφφ

例题：

例1 A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B={2}

A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A ∩B=空集合.

例2 A={1.2.3} B={2.4.6} 那么A ∪B={1.2.3.4.6} A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A ∪B={1.2.3.4.5.6}

§2 映射

定义：设φ是集合A 到B 的一个对应法则：对于任何一个12n A A A ⨯⨯

⨯的元

12()()n i i a a a a A ⨯⨯

⨯∈，都能够得到一个唯一的D 的元d ，那么这个法则φ

叫做集合12n A A A ⨯⨯

⨯到集合D 的一个映射。

其中，元d 是12()n a a a ⨯⨯

⨯在映射φ的象，a 是b 在φ下的逆象。

例1：A1=A2=....=An=D=所有实数作成的集合. φ：（a 1,a 2,……,a n ）→ a 12+a 22+……+a n 2=φ(a 1,a 2,…,a n )是一个 A 1×A 2×…×A N 到D 的映射.

例2 ：A 1={东,西},A 2={南}，D={高,低}

φ1：（西,南）→高=φ1（西,南）不是一个A 1×A 2到D 的映射. φ2:(西,南）→高，（东,南）→低，则φ2是一个A 1×A 2到D 的映射.

例3：A 1=D=所有实数所成的集合. φ：a →a 若a ≠1 1→b 这里b 2=1 不是一个A 1到D 的映射.

例4：A 1=D=所有实数所成的集合.

φ：a →a-1不是一个A 1到D 的映射. 定义：我们说，12n A A A ⨯⨯

⨯到集合D 的两个映射φ1与φ2是相同的，假如对任何一个元12()n a a a ⨯⨯⨯来说，φ112()n a a a ⨯⨯

⨯=φ212()n a a a ⨯⨯

⨯。

例5：A=D=所有正整数的集合. φ1：a →1=φ1（a ）

φ2: a →0a =φ2（a ） 则φ1与φ2是相同的.