数列的递推公式

（2）试猜想这个数列 {an }的通项公式
。
。
解法一： Q an = an- 1 + n \ an - an- 1 = n(n ? 2)
\ a2 - a1 = 2, a3 - a2 = 3, a4 - a3 = 4,鬃 鬃 鬃 , an - an- 1 = n
若将上述n-1个式子左右两边分别相加，便可得：
a3 6 5 1 a2 1
a1 4
依此类推：
an = an- 1 + 1(n > 1)
三、递推公式： 如果已知数列an 的第1项（或前n项），且 任一项 an与它的前一项 a n （或前 n项）间 1
的关系可以用一个公式来表示，那么这个 公式就叫做这个数列的递推公式。
例3：已知数列{an } 满足：a1=5,an=an－1+3（n≥2） （1）写出这个数列{an }的前五项为 5，8，11，14，17 。 （2）这个数列 {an } 的通项公式是 an=3n+2 。
例3：已知数列{an } 满足：a1=5,an=an－1+3（n≥2）
{an } （1）写出这个数列 的前五项为
• 及两个初始项 a1 , a2 所确定的数列，叫二阶 递推数列 • 比如斐波那契数列
an an1 an2 , a1 1, a2 1
5 2 5 • 再如an 2 an 1 an , a1 1, a2 3 3 3
递推数列分类
（按递推方程各项所含数列连续项的次数 ） 分为线性的和非线性的递推数列 若递推方程中，各 an 都是一次的，
以上n式相加得 an 1 2 22 2n2 2n1 2n 1(n 2)
即 : an = 2n - 1(n ? 2), 又由a1 = 2满足上式 \ an = 2n - 1(n ? 1)
解法三：（迭代法） 由 a1 1， an1 2an 1 可得：
2 2 2 2
{an } 满足：a1=2,an=2an－1（n≥2） 例5．已知数列 {an }的前五项为 2，4，8，16，32 。 （1）写出数列 {an }的通项公式是 an （2）这个数列
2
n
。
解：迭积法（逐积法） a n
由an = 2an- 1 (n ? 2), 得 an- 1
2(n ? 2), 且a1
\ an = 5 + 3(n - 1) = 3n + 2(n ? 2)
又 Q n = 1时, a1 = 5满足上式 \ an = 3n + 2(n ? )
\ 这个数列的前5项为:5,8,11,14,17.
例4．已知数列 {an }满足：a1=1,an=an－1+n（n≥2）
（1）写出这个数列{an }的前七项为
n 猜想 an 2 1
以下用数学归纳法加以证明 （1）当 n 1 时，猜想显然成立； （2）假设 n k (k 2)时，猜想成立，就是ak 2 1 k k 1 那么 ak 1 2ak 1 2 2 1 1 2 1 这就是说，当 n k 1 时猜想也成立。
第6层钢管数为9:即 9＝6+3
第7层钢管数为10:即 10＝7+3 若用 an 表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管 数为一数列.且 an = n + 3
请同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？
模型二：上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都 比上一层钢管数多1。即:
a2 5 4 1 a1 1
●递推公式也是给出数列的一种方法。 ●注意定义中的逻辑联结词“且”所给出的含义。
ì 初始条件 ï ï í ï ï î 递推关系
如 上述数列
{an } 可表示成：

a1 4 an an1 1( n 1)
递推数列分类
（按递推方程所含数列连续项的个数 ）
• 由三个连续项的关系
an f (an1 , an2 )(n 3, 4,5 )
二、知识都来源于实践，最后还要应用于生活。用其来 解决一些实际问题．观察钢管堆放示意图，寻其规律， 建立数学模型 模型一：自上而下：
第1层钢管数为4:即 4＝1+3
第2层钢管数为5:即 5＝2+3 第3层钢管数为6:即 6＝3+3 第4层钢管数为7:即 7＝4+3 第5层钢管数为8:即 8＝5+3
例4．已知数列{an } 满足：a1=1,an=an－1+n（n≥2）
（1）写出这个数列{an } 的前七项为1，3，6，10，15，21,28 。
（2）试猜想这个数列{an } 的一个通项公式
an
20 18 16 14 12
。
。 。
10
8 6 4 2
。
。
。 。 。 O 1 2 3
4
5
6
7
n
例4．已知数列{an } 满足：a1=1,an=an－1+n（n≥2）
an - a1 = 2 + 3 + 4 + 鬃 鬃 鬃 +n \ an = (2 + 3 + 4 + 鬃 鬃 鬃 + n) + a1
即:an = (2 + 3 + 4 + 鬃 鬃 鬃 + n) + 1
n(1 + n) 1 2 1 \ an = = n + n(n ? 2) 2 2 2 1 1 又 Q n = 1时, a1 = 1满足上式 \ an = n 2 + n(n ? 1) 2 2 \ a1 = 1, a2 = 3, a3 = 6, a4 = 10, a5 = 15, a6 = 21, a7 = 28
（1）写出这个数列{an } 的前七项为1，3，6，10，15，21,28 。
（2）试猜想这个数列{an } 的一个通项公式 解法二：（待定系数法） 设:an = an 2 + bn + c, 。
ì 1 ï ï a= ï ï 2 ì ï a+ b+ c = 1 ï ï ï ï 1 ï 镲 则:眄 4a + 2b + c = 3 解之得 b = 镲 2 镲 镲 ï î 9a + 3b + c = 6 ï c= 0 ï ï ï 1 2 1 ï î 时,a = 1 n 2 + 1 n成立. \ 猜想:an = n + n, 经检验:n=4,5,6,7 n
k


根据（1）和（2），可知猜想对任何 n N *都成立。
解法二：（迭加法） 由 a1 1 ， an1 2an 1 可得：
an 2an1 1(n 2)
2an1 22 an2 2
2 2 an2 23 an3 2 2 ………
2 n2 a2 2 n1 a1 2 n2 2 n1 a1 2 n1
2
an n- 1 = 2 若将上述n-1个式子左右两边分别相乘，便可得： a1
即: an = 2n (n 砛2), 又由a1 = 2满足上式 an = 2n (n ? 1)
a3 an- 1 an a2 a4 则 : = 2, = 2, = 2,鬃 鬃 鬃 , = 2, =2 a1 a2 a3 an- 2 an- 1
n
n
2an 1 an 2 ,
n
即 : an = 2n - 1(n ? 2), 又由a1 = 2满足上式 \ an = 2n - 1(n ? 1)
五、课时小结： 我们主要学习了数列的另一种表示方法：递 推法——用递推公式表示。应注意理解并注意它 与通项公式的区别在于：
1. 通项公式反映的是项与项数之间的关系，而 递推公式反映的是相邻两项（或 n 项）之间的关 系。 2.对于通项公式，只要将公式中的n依次取1，2， 3…即可得到相应的项。 3.而递推公式则要已知首项（或前n项),依据递 推关系才可求得其他的项。
一、请回答下列概念：
1. 数列的定义： 按一定顺序排列的一列数叫做数列. 2. 数列的通项公式： 如果数列 an 的第n项 an 与n之间的 关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个 数列的通项公式. 3.数列的图像：都是一群孤立的点. 4.数列表示形式： 列举法、通项公式法、图象法.
an 2an 1 1(n 2)
2
2 2an 2 1 1 22 an 2 2 1 2 2an 3 1 2 1 2 an 3 2 2 1
3 2
2n 1 a1 2n 2 2n 1 2n 2 2n 1(n 2)
1 3 8 a5 = 1 + = 1+ = 项是1,2, , , . 2 3 5
例2：已知数列｛an｝中，a1=1,a2=2,an=3an－1+an－2（n≥3)，
试写出数列 {an }的前4项. 解：由已知得a1=1,a2=2，a3=3a2+a1=7，a4=3a3+a2=23 \ {an }的前4项是1,2,7,23.
则叫线性递推数列。 如二阶线性递推方程an
an1 an2
an a
否则就是非线性的，如
2 n 1
an2 , an an 1an 2
都是二阶非线性递推数列。
例1：已知数列｛an｝的第1项是1，以后的各项由公式 1 an = 1+ 给出，写出这个数列的前5项. an- 1 分析：题中已给出｛an｝的第1项即a1=1，递推关系： 1 an = 1+ an- 1 1 1 = 1 + = 2, 解：据题意可知：a1=1, a2 = 1 + a1 1 1 2 5 1 1 3 = 1+ = , a3 = 1 + = 1 + = , a4 = 1 + a3 3 3 a2 2 2