cht10 相关系数与Copula函数

f (V2 V1 x ) f (V2 )
where f(.) denotes the probability density function
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3
Independence is Not the Same as Zero Correlation

Suppose V1 = –1, 0, or +1 (equally likely) If V1 = -1 or V1 = +1 then V2 = 1 If V1 = 0 then V2 = 0 V2 is clearly dependent on V1 (and vice versa) but the coefficient of correlation is zero
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12

N元联合正态分布的随机抽样生成 n 个相互独立，并 且服从正态分布的随机抽样 Zi 1 i N ，则n元正态
随机分布变量为：
i
i ik zk , 其中 ik =1， ik z jk ij i j
2 k 1 k 1 k 1

Conditional on the value of V1, V2 is normal with mean
V1 m1 m 2 s 2 s1
and standard deviation s 2 1 2 where m1,, m2, s1, and s2 are the unconditional means and SDs of V1 and V2 and is the coefficient of correlation between V1 and V2
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单一因子模型的优点是这一模型对于相关结构做了某 种假设，在没有因子模型的前提下，我们必须对 N 个 变量之间的相关性进行估计，这就造成我们需要估计 N (N-l) /2 个参数，而在因子模型的前提下，我们只需 要估计ai an 等 N 个参数。资本资产定价模型是单 一因子模 型的特例，其中股票的回报与某单一市场变 量及若干相互独立的特殊( idiosyncratic) 非系统变量 有关。 单一因子模型可以被推广到 M 个因子模型，在 M 个 因子模型中
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V2 Mapping to U2
V2 0.2 0.4 0.6 0.8
Percentile 8 32 68 92
U2 −1.41 −0.47 0.47 1.41
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假定 U1及U2服从正态分布，他们的联合分布为二元 正态分布，由此可以推导出 V1及V2的联合分布以及 相关结构。其相关性，我们将出 V1及V2映射到状态 较好( well- behaved) 的分布上。 假定 U1及U2的相关系统为 0.5 ， 10-3 显示出 U1及U2的联合分布。为了说明计算 过程，我们首先 考虑如何计算 V1 <0.1 及V2 <0.1的概率，从表 10-1 及表 10-2 出发，我们知道这一概率同U1 < - 1.64 及 U2 < - 2. 05 的概率相同，通过两元正态分布， 我们可以得出在 ρ=0.5的情形下这一概率数值为 0. 006 ( =0 的情形下，这一概率仅仅为 0.02 x0. 05 =0.001) 。
;变量Y 的最新波动率估计为 ，X 及 Y 的最新相关系数为
0.00041125=2.2028%
0.00012025 =0.6044 0.00981 0.02028
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9
Positive Finite Definite Condition
A variance-covariance matrix, W, is internally consistent if the positive semidefinite condition wTWw ≥ 0 holds for all vectors w
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The Correlation Structure Between the V’s is Defined by that Between the U’s
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-0.2
0
0.2
0.4
V1
V2
0.6
0.8
1
1.2
One-to-one mappings
2 2 Ui ai1F1 ai 2 F2 aiM FM 1 a12 a2 aM Zi

F 因子 F 1 ， M 服从标准正态分布，并且相互独立，因 子 Zi 之间相互独立，并且每一个Zi与所有的 F 因子也 相互独立，这时U iU j 的相关系数为 M im jm
m 1
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16
Gaussian Copula Models



假定已经 对 V1 及 V2 的边际分布有所估计，那么如何确定 变量之间的联合分布。 当 V1 及V2 的边际分布均为正态分布时，一种方便的做法是 假设V1 及V2 服从二元正态分布。 但是对于两个不同的边际分布，并没有一个自然的方式来 定义相关结构，这就是我们需要引人Copula 函数的原因。
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23
Example of Calculation of Joint Cumulative Distribution
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10
Example
The variance covariance matrix
1 0 0.9 0 1 0.9 0.9 0.9 1
is not internally consistent
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V1 and V2 Bivariate Normal

The covariance is E(V1V2)−E(V1 )E(V2)
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2
Independence

V1 and V2 are independent if the knowledge of one does not affect the probability distribution for the other
-6
-4
-2
0
2
4
6
-6
-4
-2
0
2
4
6
U1 Correlation Assumption
U2
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19
Example (page 241)
V1
V2
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20
V1 Mapping to U1
V1 0.2 0.4 0.6 0.8
Percentile 20 55 80 95
U1 -0.84 0.13 0.84 1.64
Define xi=(Xi−Xi-1)/Xi-1 and yi=(Yi−Yi-1)/Yi-1 Also varx,n: daily variance of X calculated on day n-1 vary,n: daily variance of Y calculated on day n-1 covn: covariance calculated on day n-1 The correlation is
covn varx,n vary ,n
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6
Covariance


The covariance on day n is E(xnyn)−E(xn)E(yn) It is usually approximated as E(xnyn)
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7
Monitoring Correlation continued
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14
One-Factor Model continued

If Ui have standard normal distributions we can set
U i ai F 1 ai2 Z i

where the common factor F and the idiosyncratic component Zi have independent standard normal distributions Correlation between Ui and Uj is ai aj
EWMA:
covn covn1 (1 ) xn1 yn1
GARCH(1,1)
covn xn1 yn1 covn1
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8
假设 λ=0.95 ，m变量X 及 Y 在第 n -1 天的相关系数估计为 0.6 ，同 时我们又假设变量X 及 Y 在第n -1天的技动率估计分别为 1% 及 2% 。 由协方差及 相关系数的关系式，在第 n -1 天的协方差估计为0.6 x 0. 01 x 0. 02 = 0.00012 假定变量X及 Y 在第 n -1 天的百分比变化分别为0.5% 及 2.5% ， 在第n 天的方差及协方差的估计分别为 σ2X，n = 0. 95 x 0. 012 + 0. 05 x 0. 005= 0. 000096 25 σ2Y，n = 0. 95 x 0 . 02+ 0. 05 x 0. 0252= 0.000411 25 COVn = 0.95 x 0.00012 + 0. 05 x 0. 005 x 0. 025= 0.000 12025 变量 X 的最新波动率估计为 0.00009625=0.981%

i
j
这个过程称为Cholesky分解方法，此过程产生的方
差协方差矩阵需要满足一致性条件，矩阵必须为半正 定矩阵。b
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13
因子模型


When there are N variables, Vi (i = 1, 2,..N), in a multivariate normal distribution there are N(N−1)/2 correlations We can reduce the number of correlation parameters that have to be estimated with a factor model
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17
Gaussian Copula Models:
Creating a correlation structure for variables that are not normally distributed




Suppose we wish to define a correlation structure between two variable V1 and V2 that do not have normal distributions We transform the variable V1 to a new variable U1 that has a standard normal distribution on a “percentile-to-percentile” basis. We transform the variable V2 to a new variable U2 that has a standard normal distribution on a “percentile-to-percentile” basis. U1 and U2 are assumed to have a bivariate normal distribution
相关系数与 Copula 函数
Chapter 10
,金融风险管理
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1
Correlation and Covariance

The coefficient of correlation between two variables V1 and V2 is defined as
பைடு நூலகம்
E (VV 1 2 ) E (V1 ) E (V2 ) = SD(V1 ) SD(V2 )
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4
Types of Dependence (Figure 11.1, page 235)
E (Y ) X E (Y ) X
(a)
E (Y )
(b)
X
(c)
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5
Monitoring Correlation Between Two Variables X and Y