一类反三角恒等式的几何证法
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２ ａ ｒ ｃ ｔ ｇ ｌ ＋ｘ＋ａ ｒ
ｎ ＝ 丌．
证 构 造 等 腰／ Ｘ Ａ Ｂ Ｃ ， 底 边 Ｂ Ｃ ＝ ２ （ １ 一 ． Ｔ ｇ ） ， Ｂ Ｃ 边 上 的 高Ａ Ｄ： １ ＋ ｚ （ 如 图 ３ ） ， 则 Ａ Ｂ ： Ａ Ｃ ： ．
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由 （ ｉ ｉ ） 有 ａ ｒ ｃ ｓ １ ｎ （ 一 ） ＋ ａ ｒ ｃ ｃ ｏ ｓ （ 一 ） ： 薹 ．
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６ ０
高 中 数 学 教 与 学
２ ０ ０ ０ 年
即
一 ａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｎ ｘ ＋ ７ ｆ — ａ ｒ ｃ １ ２ ０ ｓ ｚ＝ ，
ｓ ｌ ｎ ‘ ＋
Ｃ Ｏ Ｓ ￣ ＂ ＝
＝１ ．
ｔ ＋ｌ
二 、 添 加 辅 助 角
例２ 求 函 数 ＝ ２ ｓ ｉ ｎ Ｚ ｘ ＋ ２ ｓ ｉ ｎ ｘ ｃ ｏ ｓ ｘ — ｃ ｏ Ｓ ２ ｚ 的 最 值 ．
解 原 式 ＝ １ 一 ｃ ｏ ｓ ２ ｚ ＋ ｓ ｉ ｎ ２ ｚ 一
， Ｂ Ａ ｃ＝
ｎ 雨
故２ ａ 心
＋ ｎ
： ．
例４ 设ｎ ， ｂ ， Ｃ 为Ｒ ｔ Ａ Ａ Ｂ Ｃ 的 三 边 ， 其 中Ｃ 为 斜 边 ，
求 证 ： ａ ｒ ｃ ｃ ｔ ｇ ＋ ａ ｒ ｃ ｃ ｔ ｇ ＝ 号 ．
证 作 Ｒ ｔ ／ Ｘ Ａ Ｂ Ｃ （ ￣ ［ Ｉ 图 ４ ） ， 延 长 Ｃ Ａ Ｎ Ｊ Ｄ 使 Ａ Ｄ＝ ｃ ， 延
至 好 象 隔 着 一 条 难 以 逾 越 的 鸿 沟 ， 此 时 我 们 若 恰 当 地 使 用 添
加 技 巧 ， 则 能 沟 通 已 知 与 未 知 之 间 的 联 系 ， 出 奇 制 胜 ．
一
、
添 加 分 母
例１ 已 知ｔ ｇ Ｏ ： ２ ， 求ｓ ｉ ｎ ２ ０ ＋ ｃ ｏ Ｓ ２ ０ 的 值 ． 解 原 式＝ ｓ ｉ ｎ ２ ０ ＋ ｃ ｏ ｓ Ｚ Ｏ
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第３ 期
高 中 数 学 教 与 学
５ ９
ｏ 短 文 集 锦 。
一
类 反 三 角 恒 等 式 的 几 何 证 法
湖 南 省 东 安 一 中 陈 世 明
证 明 反 三 角 恒 等 式 的 常 用 方 法 是 三 角 法 与 复 数 法 ． 然 而
证 分 三 种 情 况 讨 论 ： （ ｉ ） 当 ＝ 一 １ ， ０ ， １ 时 ， 等 式 显 然 成 立 ．
（ ｉ ｉ ） 当 ０ ＜ ＜ １ 时 ， 构 造 Ｒ ｔ △ Ａ Ｂ ｃ ， 使 Ｃ ： － 竺 － ， Ａ Ｃ ＝
３ ２ １ ， Ａ Ｂ ＝ １ （ 如 图１ ） ， 则
１ 一
，
图２
：
南趣 Ｂ ＝
ｎ ，
一
Ａ
Ｂ ａ ｒ ｃ ｔ ｇ ｉ 。
又２ （ Ａ＋ Ｂ ） ＝７ ｆ ．
ｉ ￣ ａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｎ 丽 １ － ３ ２ ２ ＋ ａ ｒ ｃ ｃ ｏ ｓ 南＋ ２ ａ ｒ ｃ ｔ ｇ ２ ｘ 一
例３ 设０ ＜３ ２ ＜１ ， 求 证：
２ ０ ０ ０ 年
即 Ｄ＋ Ｅ＝ ４ ．
百度文库
故 ａ ｒ ｃ ｃ ｔ ｇ ＋ ａ ｒ ｃ ｃ ｔ ｇ 丁 ａ ＋ ｃ ＝ 号
曼 遛 绚 添 渡
四 川 省 苍 溪 中 学林 明 成
在 某 些 三 角 问 题 中 ， 已 知 与 未 知 之 间 的 联 系 并 不 明 显 ， 甚
第３ 期
高 中 数 学 教 与 学
６ １
Ａ Ｃ ： ＿ ２ ． 一 从 而 ” … 有
ｔ ｇ ｃ 面 Ａ Ｄ ｌ ＋ ｘ
Ｂ
Ｄ 图３
Ｃ
ｓ ｉ ｎ Ｌ Ｂ Ａ Ｃ ＝ Ｂ Ｅ＝
，
．
１ ～ｚ ２
・ ．
．
Ｚ Ａ Ｂ Ｃ：ａ ｒ ｃ ｔ ｇ
长Ｃ Ｂ 到 Ｅ 使 Ｂ Ｅ ＝ Ｃ ， 连 结Ｄ Ｂ ， Ａ Ｅ ．
在Ｒ ｔ Ａ Ｄ Ｂ Ｃ 中 ，
ｃ ｔ Ｄ＝
・ ． ．
． ．
ｃ
Ｄ ＝ａ ｒ ｃ ｃ ｔ ｇ
Ⅱ
在Ｒ ｔ Ａ Ｅ Ａ Ｃ 中 ，
Ｄ ｃ Ａ ｂ Ｃ
图 ４
ｃ ｔ ｇ Ｅ ＝ 字，
ｃ ｏ ｓ Ａ＝ｓ ｉ ｎ Ｂ＝ ．
‘ ．
．
Ａ＝ａ ｒ ｃ ｃ ｏ ｓ ｘ ，
Ｂ ａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｎ ｘ ．
又 Ａ ＋ Ｂ ＝ 量 ， Ａ 图１ 一 ｓ ｉ 舭 ＋ ａ ｒ ｃ ｃ ｏ ｓ ｘ ＝ 薹 ．
‘
Ｃ
（ ｉ ｉ ｉ ） 当 一 １ ＜ ＜ ０ 时 ， 贝 Ｕ ０ ＜ 一 ＜１ ．
＝
Ｉ ｔ ＋ Ｉ ｔ （ 一 ３ ｃ ｏ ｓ ２ ｘ ＋ ２ ｓ ｉ ｎ ２ ｘ ） ．
添 加 辅 助 角 ， 使 ０ ＝ ａ ｒ ｃ ｔ ｇ （ 一 号 ） ， 于 是 Ｉ
原 式： １ ＋ ｓ ｉ ｎ （ ２ ｚ ＋ ）
． ．
１
；
１
；
一 一
有 许 多 反 三 角 恒 等 式 蕴 含 着 丰 富 的 几 何 直 观 ， 此 时 ， 若 能 由 数 思 形 ， 数 形 结 合 ， 便 可 开 辟 解 题 新 径 ， 现 举 例 如 下 ．
例 １ 已 知 一 １ ≤ ≤ １ ， 求 证 ａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｎ ｘ ＋ ａ ｒ ｃ ｃ ｏ ｓ ｘ ： － 鸶 － ．
十 Ｔ， Ｙ ｍ ｉ ｎ 一 ２ 一 丁‘
＋ａ ｒ ｃ ｃ ｏ ｓ
证 明 构 造 Ｒ ｔ △ Ａ Ｂ Ｃ ， 使 Ｃ Ａ
＝
号 ， Ａ Ｃ ＝ ２ ｘ ， Ｂ Ｃ ＝ 卜 ２ ． Ｃ ２ ， 则
于 是 ， 在 Ｒ ｔ ／ Ｘ Ａ Ｂ Ｃ 中 ，
ｓ ｉ 以 ：
．
Ａ Ｂ ： １ ＋ ｌ ｚ （ 如 图 ２ ） ． Ｃ
・ ． ．
Ｅ＝ａ ｒ ｃ ｃ ｔ ｇ
由 作 法 知 Ｂ Ａ Ｃ ＝ ２ Ｄ ， Ａ Ｂ Ｃ ＝ ２ Ｅ ．
又 Ｂ Ａ ｃ ＋ Ｚ Ａ Ｂ Ｃ ＝ 考 ， ． ・ ． ２ Ｄ ＋ ２ Ｌ Ｅ ＝ 号
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６ ２
高 中 数 学 教 与 学
故ａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｎ ｘ ＋ ａ ｒ ｃ ｃ ｏ ｓ ｘ 要 ．
综 上 所 述 ， 等 式 得 证 ．
例２ 设０ ＜ ３ ２ ＜ １ ， 求 证 ：
ａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｎ １ －３ ２ ２
ａ ｒ ｃ Ｓ ｍ ■ ＋ ａ ｒ ｃ ｃ ｏ 南＋ ■ ＋ ２ ａ ｒ ｃ ｔ ｇ ＝ 丌 ＝ 丌
ｎ ＝ 丌．
证 构 造 等 腰／ Ｘ Ａ Ｂ Ｃ ， 底 边 Ｂ Ｃ ＝ ２ （ １ 一 ． Ｔ ｇ ） ， Ｂ Ｃ 边 上 的 高Ａ Ｄ： １ ＋ ｚ （ 如 图 ３ ） ， 则 Ａ Ｂ ： Ａ Ｃ ： ．
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由 （ ｉ ｉ ） 有 ａ ｒ ｃ ｓ １ ｎ （ 一 ） ＋ ａ ｒ ｃ ｃ ｏ ｓ （ 一 ） ： 薹 ．
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２ ０ ０ ０ 年
即
一 ａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｎ ｘ ＋ ７ ｆ — ａ ｒ ｃ １ ２ ０ ｓ ｚ＝ ，
ｓ ｌ ｎ ‘ ＋
Ｃ Ｏ Ｓ ￣ ＂ ＝
＝１ ．
ｔ ＋ｌ
二 、 添 加 辅 助 角
例２ 求 函 数 ＝ ２ ｓ ｉ ｎ Ｚ ｘ ＋ ２ ｓ ｉ ｎ ｘ ｃ ｏ ｓ ｘ — ｃ ｏ Ｓ ２ ｚ 的 最 值 ．
解 原 式 ＝ １ 一 ｃ ｏ ｓ ２ ｚ ＋ ｓ ｉ ｎ ２ ｚ 一
， Ｂ Ａ ｃ＝
ｎ 雨
故２ ａ 心
＋ ｎ
： ．
例４ 设ｎ ， ｂ ， Ｃ 为Ｒ ｔ Ａ Ａ Ｂ Ｃ 的 三 边 ， 其 中Ｃ 为 斜 边 ，
求 证 ： ａ ｒ ｃ ｃ ｔ ｇ ＋ ａ ｒ ｃ ｃ ｔ ｇ ＝ 号 ．
证 作 Ｒ ｔ ／ Ｘ Ａ Ｂ Ｃ （ ￣ ［ Ｉ 图 ４ ） ， 延 长 Ｃ Ａ Ｎ Ｊ Ｄ 使 Ａ Ｄ＝ ｃ ， 延
至 好 象 隔 着 一 条 难 以 逾 越 的 鸿 沟 ， 此 时 我 们 若 恰 当 地 使 用 添
加 技 巧 ， 则 能 沟 通 已 知 与 未 知 之 间 的 联 系 ， 出 奇 制 胜 ．
一
、
添 加 分 母
例１ 已 知ｔ ｇ Ｏ ： ２ ， 求ｓ ｉ ｎ ２ ０ ＋ ｃ ｏ Ｓ ２ ０ 的 值 ． 解 原 式＝ ｓ ｉ ｎ ２ ０ ＋ ｃ ｏ ｓ Ｚ Ｏ
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５ ９
ｏ 短 文 集 锦 。
一
类 反 三 角 恒 等 式 的 几 何 证 法
湖 南 省 东 安 一 中 陈 世 明
证 明 反 三 角 恒 等 式 的 常 用 方 法 是 三 角 法 与 复 数 法 ． 然 而
证 分 三 种 情 况 讨 论 ： （ ｉ ） 当 ＝ 一 １ ， ０ ， １ 时 ， 等 式 显 然 成 立 ．
（ ｉ ｉ ） 当 ０ ＜ ＜ １ 时 ， 构 造 Ｒ ｔ △ Ａ Ｂ ｃ ， 使 Ｃ ： － 竺 － ， Ａ Ｃ ＝
３ ２ １ ， Ａ Ｂ ＝ １ （ 如 图１ ） ， 则
１ 一
，
图２
：
南趣 Ｂ ＝
ｎ ，
一
Ａ
Ｂ ａ ｒ ｃ ｔ ｇ ｉ 。
又２ （ Ａ＋ Ｂ ） ＝７ ｆ ．
ｉ ￣ ａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｎ 丽 １ － ３ ２ ２ ＋ ａ ｒ ｃ ｃ ｏ ｓ 南＋ ２ ａ ｒ ｃ ｔ ｇ ２ ｘ 一
例３ 设０ ＜３ ２ ＜１ ， 求 证：
２ ０ ０ ０ 年
即 Ｄ＋ Ｅ＝ ４ ．
百度文库
故 ａ ｒ ｃ ｃ ｔ ｇ ＋ ａ ｒ ｃ ｃ ｔ ｇ 丁 ａ ＋ ｃ ＝ 号
曼 遛 绚 添 渡
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在 某 些 三 角 问 题 中 ， 已 知 与 未 知 之 间 的 联 系 并 不 明 显 ， 甚
第３ 期
高 中 数 学 教 与 学
６ １
Ａ Ｃ ： ＿ ２ ． 一 从 而 ” … 有
ｔ ｇ ｃ 面 Ａ Ｄ ｌ ＋ ｘ
Ｂ
Ｄ 图３
Ｃ
ｓ ｉ ｎ Ｌ Ｂ Ａ Ｃ ＝ Ｂ Ｅ＝
，
．
１ ～ｚ ２
・ ．
．
Ｚ Ａ Ｂ Ｃ：ａ ｒ ｃ ｔ ｇ
长Ｃ Ｂ 到 Ｅ 使 Ｂ Ｅ ＝ Ｃ ， 连 结Ｄ Ｂ ， Ａ Ｅ ．
在Ｒ ｔ Ａ Ｄ Ｂ Ｃ 中 ，
ｃ ｔ Ｄ＝
・ ． ．
． ．
ｃ
Ｄ ＝ａ ｒ ｃ ｃ ｔ ｇ
Ⅱ
在Ｒ ｔ Ａ Ｅ Ａ Ｃ 中 ，
Ｄ ｃ Ａ ｂ Ｃ
图 ４
ｃ ｔ ｇ Ｅ ＝ 字，
ｃ ｏ ｓ Ａ＝ｓ ｉ ｎ Ｂ＝ ．
‘ ．
．
Ａ＝ａ ｒ ｃ ｃ ｏ ｓ ｘ ，
Ｂ ａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｎ ｘ ．
又 Ａ ＋ Ｂ ＝ 量 ， Ａ 图１ 一 ｓ ｉ 舭 ＋ ａ ｒ ｃ ｃ ｏ ｓ ｘ ＝ 薹 ．
‘
Ｃ
（ ｉ ｉ ｉ ） 当 一 １ ＜ ＜ ０ 时 ， 贝 Ｕ ０ ＜ 一 ＜１ ．
＝
Ｉ ｔ ＋ Ｉ ｔ （ 一 ３ ｃ ｏ ｓ ２ ｘ ＋ ２ ｓ ｉ ｎ ２ ｘ ） ．
添 加 辅 助 角 ， 使 ０ ＝ ａ ｒ ｃ ｔ ｇ （ 一 号 ） ， 于 是 Ｉ
原 式： １ ＋ ｓ ｉ ｎ （ ２ ｚ ＋ ）
． ．
１
；
１
；
一 一
有 许 多 反 三 角 恒 等 式 蕴 含 着 丰 富 的 几 何 直 观 ， 此 时 ， 若 能 由 数 思 形 ， 数 形 结 合 ， 便 可 开 辟 解 题 新 径 ， 现 举 例 如 下 ．
例 １ 已 知 一 １ ≤ ≤ １ ， 求 证 ａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｎ ｘ ＋ ａ ｒ ｃ ｃ ｏ ｓ ｘ ： － 鸶 － ．
十 Ｔ， Ｙ ｍ ｉ ｎ 一 ２ 一 丁‘
＋ａ ｒ ｃ ｃ ｏ ｓ
证 明 构 造 Ｒ ｔ △ Ａ Ｂ Ｃ ， 使 Ｃ Ａ
＝
号 ， Ａ Ｃ ＝ ２ ｘ ， Ｂ Ｃ ＝ 卜 ２ ． Ｃ ２ ， 则
于 是 ， 在 Ｒ ｔ ／ Ｘ Ａ Ｂ Ｃ 中 ，
ｓ ｉ 以 ：
．
Ａ Ｂ ： １ ＋ ｌ ｚ （ 如 图 ２ ） ． Ｃ
・ ． ．
Ｅ＝ａ ｒ ｃ ｃ ｔ ｇ
由 作 法 知 Ｂ Ａ Ｃ ＝ ２ Ｄ ， Ａ Ｂ Ｃ ＝ ２ Ｅ ．
又 Ｂ Ａ ｃ ＋ Ｚ Ａ Ｂ Ｃ ＝ 考 ， ． ・ ． ２ Ｄ ＋ ２ Ｌ Ｅ ＝ 号
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故ａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｎ ｘ ＋ ａ ｒ ｃ ｃ ｏ ｓ ｘ 要 ．
综 上 所 述 ， 等 式 得 证 ．
例２ 设０ ＜ ３ ２ ＜ １ ， 求 证 ：
ａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｎ １ －３ ２ ２
ａ ｒ ｃ Ｓ ｍ ■ ＋ ａ ｒ ｃ ｃ ｏ 南＋ ■ ＋ ２ ａ ｒ ｃ ｔ ｇ ＝ 丌 ＝ 丌