几何中线段的最值问题

几何中线段的最值问题

一、 一条线段的最值问题一

（1）借助旋转求最值

2013通州一模

24．已知：2AD =，4BD =，以AB 为一边作等边三角形ABC .使C 、D 两点落在直线

AB 的两侧.

（1）如图，当∠ADB=60°时，求AB 及CD 的长；

（2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求CD 的最大值，及相应∠ADB 的大小.

2011丰台一模

25.已知:在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD.探究下列问题

: （1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD=；

（2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD=； （3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.

图1图2图3

（2）借助直角三角形性质求最值 （1） 勾股定理

（2） 直角三角形斜边中线等于斜边一半

（3） 直角三角形斜边的两条重要的线段，一是斜边上的高，另一个是

斜边上的中线，直角三角形斜边上的高是直角顶点到斜边上所有

点之中距离最短的，其长度可以用两直角边乘积除以斜边求得．

【例1】 如图，在ΔABC 中，∠C=90°，AC=2,BC=1,点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当

点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是

【例2】 如图，△ABC 是边长为定值m 的正三角形，C 点与原点重合，点B 在第一象限点，

点A 在x 轴上。

② 求出AC 边上的高线BD 的长度；

③ 当点C 在y 轴的正半轴滑动时，试求出点O 到CA 距离的最大值；

A D

B C

④已知点P是△ABC内切圆的圆心，请求出OP的最大值。

2011海淀一模

25．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=1

2

.点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.

（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1．设CF kEF

=，则k=；

（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．

求证：BE-DE=2CF；

（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．

2010海淀一模

25.已知：AOB

△中，2

AB OB

==，COD

△中，3

CD OC

==,ABO DCO

=

∠∠.连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点.

图1图2

(1)如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且60

ABO=o

∠，则PMN

△的形状是

________________，此时AD

BC

=________；

(2)如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且2

ABOα

=

∠，证明PMN BAO

△∽△，并

计算AD

BC

的值（用含α的式子表示）；

(3)在图2中，固定AOB

△，将COD

△绕点O旋转，直接写出PM的最大值.

28．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，

作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.

（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是；

（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立

给出证明；若不成立，说明理由；

（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH 的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．（3）与圆相关

2014燕山

24.如图1，已知ABC ∆是等腰直角三角形，︒=∠90BAC ,点D 是BC

的中点．作正方形DEFG ，使点A 、C 分别在DG 和DE 上，连接

AE ，BG ．

（1）试猜想线段BG 和AE 的数量关系是；

（2）将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转)3600(︒≤<︒αα，

①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；

②若4==DE BC ，当AE 取最大值时，求AF 的值．

2013昌平一模

24．在△ABC 中，AB =4，BC =6，∠ACB =30°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1．

（1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数；

（2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△CBC 1的面积为3，求△ABA 1的面积；

（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，点P 的对应点是点P 1，直接写出线段EP 1长度的最大值与最小值．

2015房山一模

28．如图1，已知线段BC =2，点B 关于直线AC 的对称点是点D ，点E 为射线CA 上一点，且ED =BD ，连接DE ，BE .

(1) 依题意补全图1，并证明：△BDE 为等边三角形；

(2) 若∠ACB =45°，点C 关于直线BD 的对称点为点F ，连接FD 、FB .将△CDE 绕点D 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△''C DE ，点E 的对应点为E ′，点C 的对应点为点C ′.

①如图2，当α=30°时，连接'BC ．证明：EF ='BC ；

②如图3，点M 为DC 中点，点P 为线段''C E 上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM 长度的取值范围？

ABC 是等腰直角三角形，︒=∠90BAC ，点D 是BC 的中点．作C A 、分别在DG 和DE 上，连接BG AE,．

图1

图2 图3