实验四 常微分方程初值问题数值解法

佛山科学技术学院

实 验 报 告

课程名称 数值分析

实验项目 常微分方程初值问题数值解法 专业班级 12.数学与应用数学（师范） 姓名 叶楚欣 学号 2012214103 指导教师 黄国顺 成 绩 日 期

一. 实验目的

1、理解如何在计算机上实现用Euler 法、改进Euler 法、Runge －Kutta 算法求一阶常微分方程初值问题

⎩⎨

⎧=∈='1

)(]

,[),,()(y a y b a x y x f x y 的数值解。

2、利用图形直观分析近似解和准确解之间的误差。

3、学会Matlab 提供的ode45函数求解微分方程初值问题。

二、实验要求

（1） 按照题目要求完成实验内容； （2） 写出相应的Matlab 程序；

（3） 给出实验结果(可以用表格展示实验结果)； （4） 分析和讨论实验结果并提出可能的优化实验。 （5） 写出实验报告。 三、实验步骤

1、用编好的Euler 法、改进Euler 法计算书本P167 的例1、P171例题3。 （1）取0.1h =，求解初值问题

⎪⎩

⎪

⎨

⎧=∈-='

1)0(],1,0[,2)(y x y x y x y （2）取0.1h =，求解初值问题

⎩⎨

⎧=∈++-='1

)0(],

5.0,0[,1)(y x x y x y 2、用Runge －Kutta 算法计算P178例题、P285实验任务（2） （1）取0.1h =，求解初值问题

⎩

⎨

⎧=∈='1)0(],

5.0,0[,)(2y x y x y （2）求初值问题

⎪⎩⎪⎨

⎧=∈-++-='0

)0(],

5.0,0[),14(21)(2

y x x x y x y 的解)(x y 在)05.0(==h ih x i 处的近似值i y ，并与问题的解析解1

)(22

-+=-

x e x y x

相比较。

3、用Matlab 绘图函数plot(x,y)绘制P285实验任务（2）的精确解和近似解的图形。

4、使用matlab 中的ode45求解P285实验任务（2），并绘图。

四、实验结果

1、Euler 算法程序、改进Euler 算法程序；

2、用Euler 算法程序、改进Euler 算法求解P167例题1的运行结果；

3、Runge －Kutta 算法程序；

4、用Runge －Kutta 算法求解P178例题、P285实验任务（2），计算结果如下（其中i y 表示数值解，)(i x y 表示解析解，结果保留八位有效数字）：

5、P285实验任务（2）精确解与近似解的图形比较 （

图

片

贴到此处）

00.0

50.10.1

50.20.250.30.350.40.45

0.5-

-----000

6、用matlab 中的ode45求解P285实验任务（2）

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>> ydot_fun=inline('y-2*x./y','x','y');

>> [x,y]=euler_f(ydot_fun,0,1,0.1,10)

x =

Columns 1 through 4

0 0.100000000000000 0.200000000000000 0.300000000000000

Columns 5 through 8

0.400000000000000 0.500000000000000 0.600000000000000 0.700000000000000

Columns 9 through 11

0.800000000000000 0.900000000000000 1.000000000000000

y =

Columns 1 through 4

1.000000000000000 1.100000000000000 1.191818181818182 1.277437833714722

Columns 5 through 8

1.358212599560289 1.435132918657796 1.508966253566332 1.580338237655217

Columns 9 through 11

1.649783431047711 1.717779347860087 1.784770832497982

>> ydot_fun=inline('y-2*x./y','x','y');

>> [x,y]=euler_r(ydot_fun,0,1,0.1,10)

x =

Columns 1 through 4

0 0.100000000000000 0.200000000000000 0.300000000000000

Columns 5 through 8

0.400000000000000 0.500000000000000 0.600000000000000 0.700000000000000

Columns 9 through 11

0.800000000000000 0.900000000000000 1.000000000000000

y =

Columns 1 through 4

1.000000000000000 1.095909090909091 1.184096569242997