离散数学课件 第一章

离 散 数 学
主讲教师 李红军 北京林业大学 理学院
BEIJING FOREST UNIVERSITY
教材及参考资料
教材：
1耿素云，屈婉玲，张立昂编著，离散数学，清华大学出版 社, 2008年3月（第4版） 2耿素云,屈婉玲编著.离散数学(修订版).高等教育出版社, 2004年
参考资料：
1 左孝凌编著，离散数学，上海科学技术出版社
1.1 命题与联结词 命题：能判断真假而不是可真可假的陈述句。 命题的真值：命题为真或者假的判断。 真命题：真值为真的命题。 假命题：真值为假的命题。 注：任何命题的真值都是惟一的；
用“1”表示真，用“0”表示假。
例 1.1 ：判断下列句子哪些是命题.
(1)
3 是有理数。
(2) 2是素数。 (3) X＋Y>10。
1 3
m z 1 r m 1
z m 1
1 2
1
3
比赛结束，三位观众各猜对了一半，并且没有并列名次.问：中 国、美国、日本的各排名第几？ 设z1:中国第一;z2 :中国第三；r1:日本第一； m1:美国第一；m2:美国第二； m3:美国第三.
例1的参考答案 m1 z3 1 r1 m3 1 z1 m2 1
对偶原理
A和A*是互为对偶式，P1， P2 ，……Pn是出现在A和A*的原子变元，则 A（P1，…，Pn） A*（ P1，…， Pn） A（ P1，…， Pn） A*（P1，…，Pn）
即公式的否定等值于其变元否定的对偶式。 例：A为PQ，则A*为PQ， 则（PQ） PQ
真值表
将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表
试考虑求公式A的真值表的步骤？ 例1 求下列公式的真值表，并求出成真赋值和成假赋值. 1) p(¬ r∧q) 2) (p∨q)(¬ p q)
3) ¬ p ∧ (p∨(¬ q∧p))
命题公式的类型
永真式（重言式）：公式在一切赋值下的真值均为真 永假式（矛盾式）：公式在一切赋值下的真值均为假
求主合取范式的方法：
1、等值演算法； 2、真值表法；
3、利用主析取范式来得出主合取范式。
主范式有何作用？ 永真式、永假式的主析取和主合取范 式有何特点？
补充 应用举例
例1 奥运会短跑比赛现场，三位观众预测比赛结果： 甲：“美国第一，中国第三.” 乙：“日本第一，美国第三.” 丙：“中国第一，美国第二.”
{, } {, }
{ }
{ }
1.5 对偶式与范式
一 对偶式
1 定义 在仅含有联结词 , ，，的命令题公式A中， 将换成，将换成，同时T和F（既0和1）互相 替代，所得公式A*称为A的对偶式。显然A与A*互 为对偶式。
例1 试写出下列命题公式的对偶式 A：（pq） r， 则A*为（pq） r A：（pq）（p（qs）） 则A*为（pq）（p（qs））
同类关联词语：q是p的必要条件，只有…才，只要…就， 除非…才，
练习： 1） 如果它是鸟，就能飞。 2) 只有是鸟，它才能飞。 3) 除非它是鸟，否则它就不能飞。
4) 除非明天不下雨，否则我就不去香山. 5) 我不玩游戏，除非我情绪不稳定.
5 等价 符号：↔，p ↔ q读作“p等价于q”，“ p当且仅 当q”，“p是q的充要条件”。 p ↔ q的真值表为 p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p↔q 1 0 0 1
q 0 p∨q 0
p ∨ q 真值表
0
1 1
1
0 1
1
1 1
同类关联词语有：要么…要么， 注：“或”分为“相容或”和 “排斥或”两种.
4 蕴含 符号： ， p q 读作“p蕴含q”，“如果P则q”， “当p，则q”，“p是q的充分条件”。 P Q的真值表 p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 pq 1 1 0 1
学习要求：
1. 上课时关闭手机或作静音处理，并且 不能打电话。 2. 必须独立完成作业。 3. 教师补充内容和例题需做笔记
联系方式:
Email: lihongjun_2002@ Tel: 62338357 基础楼：204
知识结构图
离散数学
数理逻辑
集合论
代数结构
图
论
第一章 命题逻辑
例1 判定下列两公式是否等值？
1) p 与 ┑( ┑P)
2) (p q) r 与 p (q r)
常见的等值式
1)双重否定律 ： ┑( ┑A)A
2) 幂等律: A ∨A A, 3) 交换律: A∨B B∨A, A∧AA
4) 结合律: (A∨B)∨CA∨(B∨C)，
5) 分配律： A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C) A ∧(B∨C) (A ∧ B)∨(A ∧ C) 6)德.摩根律: ┑(A ∨ B) ┑A∧┑B, ┑(A ∧ B) ┑A∨┑B


全功能集
一个联结词集合，若对于任何一个公式均可以用该 集合中的联结词来等值比较，就称他为全功能联 结词组（功能完备集）
如:{ ¬ ，∧，∨
}
极小的全功能集
如果一个联结词的功能完备集中不含冗余的联结词， 就不再具备这种特性，就称为极小全功能联结词组 （极小的功能完备集） 如：{ ┓, }
1)、P P 2)、p Q 3. P Q R 4. P (Q R) 5. P Q R S 简单析取式 简单合取式 简单合取式 都不是 简单合取式 都不是
6. P Q பைடு நூலகம் R
3 范式的概念
析取范式：由有限个简单合取式的析取构成的析取 式称为析取范式。 合取范式：由有限个简单析取式的合取构成的合取 式称为合取范式。
7) 吸收律 : 8) 零律 :
A ∧(A ∨ B) A, A∨(A∧B) A A ∨ 1 1 , A ∧00 A ∧1 A
9) 同一律： A ∨ 0 A, 10) 排中律： A ∨ ┑A 1 11) 否定律： A ∧ ┑A 0
12) 蕴含等值式：AB ¬ A∨B
13) 等价等值式：A↔B (AB)∧(BA)


q→p
1.2 命题公式及其赋值
命题常项(命题常元)：真值惟一确定的命题. 记为：p,q,… 命题变项(命题变元)：真值可以变化的陈述句. 记为:p,q,… 如 p: 海子是诗人.
q 命题变元
命题常元
命题公式 将命题常项和命题变项，用逻辑联结 词和圆括号按照一定的逻辑关系连接起来的符号 串称为合式公式，简称公式。 命题公式的递归定义如下：
2、内移或消去否定号；
3、利用分配律。 注：公式的范式不唯一。
5 主析取范式
极小项 公式中共有n个命题变项p1，……，pn 这n个变项的合取式中，每个变项pi和其否定 pi，均出现且两者仅出现一个，并且按命题变 项的下标排列（字母按字典序列）这样的简单 合取式称为极小项，又称布尔合取。 主析取范式 若干个不同的极小项的析取式， 称为主析取范式 。 定理 任何一个命题公式均存在一个与之等值的主 析取范式，而且是唯一的。
设A* ，B*分别是A和B的对偶式， 如果A B，则A* B*。 这就是对偶原理。如果证明了一个等值公式，其对 偶式的等值式同时也成立。可以起到事半功倍的效 果。 例如：A（PQ）（P（PQ）） B PQ 可以证明AB 而A的对偶式为A*（PQ）（P（PQ））
对偶原理2
B的对偶式为B* PQ
根据对偶原理，则A* B*也成立。
二 范式
1 文字:命题变项及其否定统称作文字。 2 简单析取式 仅由有限个文字的析取构成的析 取式称为简单析取式。
简单合取式 仅由有限个文字的合取构成的合 取式称为简单合取式。
注：单个文字既是简单析取式，又是简单合取式。
例：指出下列式子哪些是简单析取式哪 些是简单合取式？
m m 1 m (r m )
1 1 1 1 3
(m r ) (m m )
000
3
1
1
1
3
z 1 z 0从而m 1
14) 假言易位： AB ┑B ┑A 15) 等价否定等值式： A↔B ¬ A ¬ B 16) 归缪论: (AB) ∧( A ¬ B) ┑A
例2 用等值演算法验证等值式
教材p10—12 例1.9，1.10，1.11
1.4 联结词全功能集
n元真值函数 称F:{0,1}n{0,1}为n元真值函数. 至多可以定义多少个二元联结词？ 排斥或联结词 与非联结词 或非联结词
命题符号化练习
1 晓红和元元是朋友 p:晓红和元元是朋友.（简单命题）
2 老王或小李中有一人去上海 p:老王去上海，q:小李去上海 ┑q) (┑ p q) (p

3 除非天下大雨，否则她不在室内运动 p:天下大雨 q:她在室内运动 ┑p→┑q q→p 或者 4 不经一事，不长一智 ┑p→┑q 或者 p:经一事 q:长一智
∧,∨,
→，
其次；
最低.
3 对于优先级相同的联结词，按从左到右 的顺序运算.
命题公式的赋值
指派（赋值）：命题公式中出现n个不同的命题变 项P1Pn ，对这n个命题给定一组真值指定称为 这个公式的一个指派或赋值或解释。 若一个公式中出现n个不同的命题变项，每个变项 分别可以取成1、0，那么该公式共有个2n不同的指 派。 成真赋值 成假赋值
1. 单个命题变项（或常项）是合式公式。
2. 如果A是合式公式，则┒A是合式公式。
3. 如果A、B是合式公式，则A∨B、A∧B、 A→B、A↔B也是合式公式。
当且仅当有限次运用（1）（2）（3）所得到的 符号串是合式公式。
括号与联结词的优先级
1 公式的最外层括号可以省略； 2 联结词的优先级： ┓ 最高；

1. 否定 符号：┑ P是命题， ┑ P读作“非P”。 P真值表为