3-4切比雪夫不等式与大数定律

∑
1 n 1 ≥ P{ X E ( X ) < ε } = P{ ∑ X i < ε } n i =1
σ2 D(X ) = 1 n→∞ →∞ 1 → ≥ 1 2 2 nε ε
1 n 即 得 : lim P { X < ε } = lim P { ∑ X i < ε } = 1 n →∞ n →∞ n i =1
备选1 已知P(A)= 0.75.求n需要多大时,才能使在 次 需要多大时, 备选 已知 . 需要多大时 才能使在n次 独立重复试验中,事件A出现的频率在 出现的频率在0.74~0.76之间的概 独立重复试验中,事件 出现的频率在 之间的概 率至少为0.90? 率至少为
出现的次数, 解:设X为n 次试验中事件 出现的次数, 则 X~B(n, 0.75) 为 次试验中事件A出现的次数
则 E(X)=0.75n,
D(X)=0.75*0.25n=0.1875n
X 即求满足 P(0.74 < < 0.76) ≥ 0.90 的最小n. n X P(0.74 < < 0.76) = P(0.74n < X < 0.76n) n
故 C = e 1
本节重点总结
三个大数定律的核心
本章重点: 本章重点:
1,数学期望的定义,性质,计算; ,数学期望的定义,性质,计算; 2,方差的定义,性质,计算; ,方差的定义,性质,计算; 3,协方差,相关系数的定义,性质及计算. ,协方差,相关系数的定义,性质及计算. 4,三个大数定律的核心. ,三个大数定律的核心.
1 例 2 {X n }( n = 1, 2, ...)相 互 独 立 ,P { X n = ± n } = , n 2 P { X n = 0} = 1 ( n = 2, 3, ...), 证 明{X n }服 从 大 数 定 律 . n 2 1 1 证 明 : E ( X n ) = 0 * (1 ) + n * + ( n ) * = 0 n n n 2 1 1 2 2 D( X n ) = E ( X n ) = 0 * (1 ) + n * + n * = 2 n n n
P{ X ≥ ε } ≤ E( X )
+∞
改 写为 :
ε
2,切比雪夫不等式 , , >0,有 设随机变量X的E( X )存在 D( X ) = σ 2 , 则对ε >0,有
σ2 σ2 P{| X E( X )|≥ ε } ≤ 2 , 或 P{| X E( X )|< ε } ≥ 1 2 ε ε
说明: 说明:
(1) 与(切)大数定律区别: 不要求 X1 , X2 ,..., Xn方差存在,但要求分布相同.
P (2) X , →
1 n 1 n P X i ∑ E ( X i ) 形式二: → ∑ n i =1 n i =1
(3) 伯努 利 大数 定 律为 辛钦 定 律特 例 (X i b(1, p ), E ( X i ) = p ) 辛 钦定 律 为切 比 雪夫 大数 定 律特 例 (D( X i )相同, 分布 不 一定 相 同).
一,切比雪夫不等式
1,马尔科夫不等式 ,
设X是只取非负值的随机变量,且具有数学期望E( X), 则 E( X) 对于任意正数 ε , 有 P{X ≥ ε } ≤
ε
(证明见下页) 证明见下页) 说明: 说明:
要 在 不 道 分 (f(x),pk )情 下 通 )情 重 性 于 知 X的 布 况 , 过 E(X)估 计 件 }的 E(X)估 事 {X ≥ ε}的 率 限 概 下 .
{ X n }满 足 切 比 雪 夫 大 数 定 律 即 P { X E ( X ) < ε } = 1
又 E( X ) = E( Xn ) = 0
1 n P 故 X = ∑ X i 0 → n i =1
2,伯努利大数定律 , 设 n A 为 n 次 独 立 重 复 试 验 中 随 机 事 件 A 发 生 的 次 数 , p是
第四节
切比雪夫不等式与大数定律
主要内容( 学时 学时) 主要内容(1.5学时)
一,切比雪夫不等式. 切比雪夫不等式. 二,依概率收敛简介. 依概率收敛简介. 三,大数定律(难点). 大数定律(难点). 1,切比雪夫大数定律. ,切比雪夫大数定律. 2,伯努利大数定律. ,伯努利大数定律. 3,辛钦大数定律. ,辛钦大数定律.
例 3 {X k }( k = 1, 2, ...)独 立 同 分 布 , 且 X k U (0,1), 令 Yn = ( ∏ X k )
k =1 n
1 n
P 证 明 : Yn C , 并 求 C . →
证 明 : { X k }独 立 同 分 布, 故{ln X k }也 独 立 同 分 布.
X k U (0,1),
E (lnX k ) = ∫ ln xdx = 1
0
1
{ln X k }满 足 辛 钦 大 数 定 律 ,
令 Z n = ln Yn
1 n P 则 Z n = ln Yn = ∑ ln X i 1 → n i =1
又函数 f ( x ) = e x 连续
P 故 Yn = e Z n e 1 →
P
P (2) X , X为总体均值的一致无偏估计,数理统计用 X 估计E( X ). →
1 n 1 证明 : E ( X ) = E ( ∑ X i ) = n i =1 n
1 ∑ E ( X i ) = n * n = i =1
n
1 n 1 2 n 1 σ2 D( X ) = D( ∑ X i ) = ( ) D ( X i ) = 2 * nσ 2 = n i =1 n i =1 n n 由切比雪夫不等式,可得: 由切比雪夫不等式,可得:
事 件 A 在 每 次 试 验 中 发 生 的 概 率 , 则 对 任 意 ε > 0, 成 立 nA lim P { p < ε } = 1, 即 n→ ∞ n nA P → p( A ) n
(证明见下页 证明见下页) 证明见下页
说明: 说明:
nA P (1) n重伯努利试验中, 事件A发生的频率Rn ( A) = p( A) → n nA (2) 试验次数充分大时,可用频率 近 似 代 替 概 率 p( A ) n nA 5 例抛 硬币试 验 : 若ε =0.01, n=10 时, P { 0.5 < 0.01} ≥ 97.5% n
nA 1 n , 又 X = ∑ Xi = n i =1 n 1 n E( X ) = E( ∑ Xi ) = p n i =1
又 X 1 , X 2 , ..., X n 相 互 独 立 , 根 据 切 比 雪 夫 大 数 定 律
nA lim P { X < ε } = 1, 即 lim P { p < ε}= 1 n →∞ n →∞ n
)情 重要性: 不知道X的分布(f(x),pk )情况下,通过E(X),D(X) 估计事件{ | X E( X)|< ε}的概率下限.
σ2 如取ε = 3σ , 则P{| X E( X)|≥ 3σ } ≤ 2 ≈ 0.111 9σ
证明 : P {| X E ( X ) |≥ ε } = P {[ X E ( X )]2 ≥ ε 2 }
P P (4) 设X n a, 函数y = g( x )在x = a处连续, 则g( X n ) g(a ). → →
P P (5) 设X n a , Yn b, 函数g ( x , y )在点(a , b )处连续, 则 → → P g ( X n , Yn ) g(a , b ). →
说明:(1) 另一种形式 lim P{ X n a ≥ ε } = 0
n →∞
(2) 对N ,n > N时, 落在邻域U (a , ε )外的X n个数有限,测度为0.
(3) 设 X n P a , Y n P b , 则 X n ± Y n P a ± b . → → → X n .Y n P a .b , → X n / Y n P a / b ( b ≠ 0) →
核心: X1 , X 2 ,..., X n满足什么条件时,
1 n 1 n P X i ∑ E( X i ) → ∑ n i =1 n i =1
P
即满足什么条件时, X E ( X ) →
1,切比雪夫大数定律 ,
设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , ..., X n 相 互 独 立 , 且 数 学 期 望 和 方 差 相 同 . 1 n ,令 即 E ( X i )= , D ( X i )= σ (比 P 89条 件 弱 ), 令 X = ∑ X i , 则 对 于 n i =1
证明: 以连续型X证明, 设X的概率密度为f(x).
X 只取非负值, 故x < 0时, f ( x ) = 0
E( X ) = ( x )dx = ∫ x f ( x )dx + ∫
0
ε
+∞
ε
x f ( x )dx
≥∫
+∞
ε
x f ( x )dx ≥ ∫ε ε f ( x )dx = ε P{ X ≥ ε }
证 明 : n A 代 表 n重 伯 努 利 试 验 中 A发 生 的 次 数 , n A b( n, p )
i A 生 第次 发 1 (i=1,2,...,n) X 令 i = i A 发 0 第 次 没 生
则
n A = X 1 + X 2 + ... + X n
X i b(1, p ), E ( X i ) = p, D( X i ) = p(1 p) (i=1,2,...,)
E {[ X E ( X )]2 ) = D( X ) ≤ 2 2
ε
ε
例1 已知正常男性成人每毫升血液中的白细胞数平均 是7300,均方差是 ,均方差是700 .利用切比雪夫不等式估计每毫升白 细胞数在5200~9400之间的概率下界. 之间的概率下界. 细胞数在 之间的概率下界 依题意, 解:设每毫升白细胞数为X. 依题意,E(X)=7300,D(X)=7002 设每毫升白细胞数为 ,
2
1 n 任 意 ε > 0, lim P { X < ε } = 1或 lim P { ∑ X i < ε } = 1 n→ ∞ n→ ∞ n i =1
(证明见下页 证明见下页) 证明见下页
说明: 说明:
1 n 1 n P (1) X1 , X 2 ,..., X n的算术平均值X , 即 ∑ X i ∑ E ( X i ). → → n i =1 n i =1
3,辛钦大数定律 ,
设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , ..., X n 相 互 独 立 , 服 从 同 一 分 布 , 且 数 学 期 望 1 n E ( X i )= ( k = 1, 2, ...). 令 X = ∑ X i , 则 对 于 任 意 ε > 0, 成 立 n i =1 1 n lim P { X < ε } = 1 或 lim P { ∑ X i < ε } = 1 n→ ∞ n→ ∞ n i =1
即估计每毫升白细胞数在5200 9400间的概率不小于8/9 即估计每毫升白细胞数在5200~9400间的概率不小于8/9 . 5200 9400间的概率不小于
二,依概率收敛简介
设 {X n }为一随机变量序列(n=1, 2,...), a ∈ R, 若对ε > 0,
P lim P{ X n a < ε } = 1, 则称{X n }依概率收敛于a.记作 : X n a. → n→∞
P(5200 ≤ X ≤ 9400) = P(5200 7300 ≤ X 7300 ≤ 9400 7300)
= P(2100 ≤ X E( X ) ≤ 2100) = P( X E( X ) ≤ 2100)
D( X ) 700 2 1 8 ≥ 1 = 1( ) = 1 = (2100)2 2100 9 9
三,大数定律(难点) 大数定律(难点)
背景: 背景:
大数定律研究在什么条件下随机变量序列的算术平均值 大数定律研究在什么条件下随机变量序列的算术平均值 收敛于其均值的算术平均值. 收敛于其均值的算术平均值.
nA 1 n n →∞ = ∑ X i p( A) → 特例:频率的稳定性. 特例:频率的稳定性. Rn ( A) = n n i =1