切比雪夫大数定律共28页文档
切比雪夫不等式及切比雪夫大数定律
第5 章
知识点名称：切比雪夫不等式及切比雪夫大数定律 主讲人：秦旭
切比雪夫大数定律
一、回顾
实验者
抛掷次数n
出现正面次数m
德·摩根 德·摩根 德·摩根 德·摩根 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊 维尼
2048 2048 2048 2048 4040 12000 24000 30000
n
X
i 1
n
i
1 n
i 1
E( Xi
)
| ε}
1 n
1
D( n i1 ε2
Xi )
1
C nε2
1,
(as n ).
切比雪夫大数定律 五、切比雪夫(Chebyshev)不等式
设随机变量 X 的数学期望 E(X ) 和方差D(X )都存在, 则对于
任意的 > 0, 有
P{| X E(X ) | ε}
变量, 若对于任意的＞ 0, 有
lim
n
P {| X n
X
| ε }
0
或
lim P{| X n X | ε} 1
n
称随机变量序列{Xn}依概率收敛于X，记为
X n P X
或者
lim
n
Xn
X,
( P)
切比雪夫大数定律
注1 在定义中, 随机变量 X也可以是常数 a, 称随机变量序列 {Xn} 依概率收敛于常数 a .
注2 随机变量序列依概率收敛不同于微积分中数列或函数列的 收敛性.
结论 随机变量序列{Xn}依概率收敛于X，指当 n 足够大时, 有
足够大的概率保证Xn 任意接近于X , 但Xn仍然有可能与X相差很大.
切比雪夫不等式及大数定律 PPT课件
P{20 X 100 20} P{| X 100 | 20}
10 1 202 0.975
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
例2 在每次试验中事件A发生的概率为0.5 .试用切比
雪夫不等式估计在1000次独立的试验中,事件A发生的 的次数在450至550次之间的概率.
1
2
(x
)2
f
( x)dx
2 2
.
证毕.
例1 已知随机变量 X 的数学期望为 E( X ) 100 , 方差为 D( x) 10 2 ,试估计 X 落在( 80 , 120 )内的概率.
解: 由切比雪夫不等式有: P{80 X 120} P{80 100 X 100 120 100}
由切比雪夫不等式 ，对任意 0,
有：
0
P{|
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E( Xi ) |
}
1 1 n
C
2
D( n
i 1
Xi)
n 2
.
从而：lim n
P{|
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E(Xi
)
|
0}
0
证毕 .
推论： 设相互独立的随机变量 X1, X2L , Xn,L 服从相同
即在进行精密测量时，为减少测量误差，可以重复 测量多次，然后用测量值的平均值来代替实际的真值. 当测量次数充分大时，这一平均值与其真值差的绝对 值大于任一小的正数几乎是不可能的,这样就保证了测 量的精度.
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
的分布，且 E( Xi ) , D( Xi ) 2, i 1, 2L ,
切比雪夫不等式与大数定律
第六讲切比雪夫不等式与大数定律主讲教师叶宏副教授概率论与数理统计的研究内容是随机现象的统计规律性，而随机现象的规律性是通过大量的重复试验才呈现出来的.研究大量的随机现象，常常采用极限方法，利用极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:大数定律与中心极限定理.设随机变量X 的期望E (X )与方差D (X )存在，则对于任意实数ε> 0,2)()|)((|εεX D X E X P ≤≥-切比雪夫不等式或2)(1)|)((|εεX D X E X P -≥<-理论价值证明大数定律等等实用价值估计概率例已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.解：设每毫升白细胞数为X ，则EX =7300, DX =7002≤P (5200 X 9400)≤= P (-2100 X -E (X ) 2100)≤≤= P ( |X -E (X )| 2100)≤≤=P (5200-7300 X -7300 9400-7300)≤2)2100()(1X D -≥98911=-=估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/92)(1)|)((|εεX D X E X P -≥<-2)()|)((|εεX D X E X P ≤≥-22140.5{6}_____X Y P X Y +≥≤例设随机变量和的数学期望分别为－和，方差分别为和，而相关系数为－，则{6}{()()6}P X Y P X Y E X Y +≥=+-+≥由切比雪夫不等式()()()220,E X Y E X E Y +=+=-+=解: ()()()2cov(,)D X Y D X D Y X Y +=++()()2()()3XY D X D Y D X D Y ρ=++=2()1612D X Y +≤=大数定律大量的随机现象中平均结果的稳定性大数定律的客观背景：大量抛掷硬币正面出现频率伯努利大数定律设n A 是n 次独立重复试验中事件A 发生的次数, p 是每次试验中A 发生的概率,则0>∀ε有0lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-∞→εp n n P A n 或1lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∞→εp n n P A n 依概率收敛频率p伯努利大数定律的意义理论价值给概率的统计定义提供了理论依据在概率的统计定义中, 事件A发生的频率“稳定于”事件A在一次试验中发生的概率实用价值如命中率等在n足够大时, 可以用频率近似代替p. 这种稳定称为依概率稳定.切比雪夫大数定律且具有相同的数学期望和方差,2,1,)(,)(2===k X D X E k k σμ则0>∀ε有01lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-∑=∞→εμn k k n X n P 或11lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∑=∞→εμn k kn X n P ,,,,21n X X X 相互独立，设随机变量序列辛钦大数定律且具有数学期望(),1,2,k E X k μ==,,,,21n X X X 相互独立同分布，设随机变量序列当n 足够大时, 算术平均值几乎是一常数.具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.算术均值数学期望近似代替可被定理的意义平均数法则12~(2),(,,),,1_______n n i X E X X n Y X n→∞=∑ 例设总体为其简单随机样本则时依概率收敛于12,,,n X X X 因为独立同分布，22212,,,n X X X 所以也独立同分布，22()i i i E X DX EX =+（）2111=()422+=因此根据大数定律有∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于21.2i EX =。
切比雪夫大数定理
83 6 P(| X 1000 | 60) 1 2 0.7685 108 60
6
例2 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 Chebyshev 不等式估计, n 多大 时, 才能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出 现的频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90? 解 设 X 表示 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数 , 则 X ~ B(n,0.75)
14
例2：从某工厂的产品中任取200件来检查，结果发现 其中有6件次品，能否相信该工厂产品的次品率 p 1% ? 解：假设该工厂的次品率 p 1% ，则检查200件产品 其中次品率 X 6 的概率
x X P( X 6) C 200 (0.01) x (0.99) 200 x 1 C 200 (0.01) X (0.09) 200 X 200 5
并且方差是一致有上界的，即存在常数C，使得
DX i C, i 1,2,..., n,..., 则对于任意的正数
，有
1 n 1 n lim P(| X i EX i | ) 1 n n i 1 n i 1
10
证：我们用切比雪夫不等式证明该定理。
1 n 1 n E ( X i ) EX i n i 1 n i 1
因为n=200很大，且p=0.01较小，所以可按近似公式计 算，我们有 200 0.01 2 ；从而得到
2 x 2 P( X 6) 1 e 1 (0.1353 0.2707 0.2707 0.1804 x 0 x! 0.0902 0.0361) 0.0166
切比雪夫不等式及大数定律
随机变量的数字特征
切比雪夫不等式及大数定律
1.1 切比雪夫不等式
在随机变量 X 分布未知的情况下，可以利用切比雪夫不等式对随机事件 {| X E(X ) | } 的概率进行估计．例如，当 3 D( X ) 时，有
P{| X E(X ) | 3 D(X )} 8 0.888 9． 9
也就是说，随机变量 X 落在以 E(X ) 为中心，以 3 D( X ) 为半径的邻域内的概率很大，而 落在该邻域之外的概率很小．当 D( X ) 较小时，随机变量 X 的取值就越集中在 E(X ) 附 近，而这正是方差这个数字特征的意义所在．
概率论与数理统计
随机变量的数字特征
切比雪夫不等式及大数定律
随机事件在某次试验中可能发生也可能不发生， 但在大量的重复试验中随机事件的发生呈现出明显 的规律性．实际上，大量随机现象的结果均具有稳 定性，大数定律以严格的数学形式阐述了这种稳定 性，揭示了随机现象的偶然性与必然性之间的内在 联系．下面，我们先来介绍证明大数定律的重要工 具—切比雪夫（Chebyshev）不等式．
1， 在第k次试验中事件A发生， X k 0 ， 在第k次试验中事件A不发生，
其中， k 1，2， ，则
Xk
~
n
B(1，p) ，
k 1
Xk
nA
，1 n
n
Xk
k 1
nA n
，1 n
n
E(Xk )
k 1
p，
并且 X1 ，X2 ， ，Xn ， 满足切比雪夫大数定律的条件，于是由切比雪夫大数定律可证明伯努利大数 定律．
1，2 ，
)
，
由辛钦大数定律得
Yn
1 n
n k 1
大数定律公式切比雪夫不等式伯努利大数定律的计算公式
大数定律公式切比雪夫不等式伯努利大数定律的计算公式大数定律是概率论中的一项重要定理，用于描述大样本情况下随机变量的稳定性和收敛性。
其中，切比雪夫不等式和伯努利大数定律是两种常用的计算公式。
下面将分别介绍并推导这两个公式。
一、切比雪夫不等式切比雪夫不等式是描述随机变量与其均值之间关系的一种不等式。
设随机变量X的均值为μ，方差为σ^2，则对于任意正数ε，有：P(|X - μ| ≥ ε) ≤ σ^2 / ε^2其中，P表示概率。
该不等式说明随机变量与其均值相差较大的概率是有限的，且与方差的平方成反比。
推导过程如下：首先，对任意正数ε，可以得到以下不等式：P(|X - μ| ≥ ε) = P((X - μ)^2 ≥ ε^2)再利用方差的定义，有：σ^2 = E[(X - μ)^2]由期望的性质可得：E[(X - μ)^2] ≥ ε^2 * P((X - μ)^2 ≥ ε^2)化简后得到：P(|X - μ| ≥ ε) ≤ σ^2 / ε^2这就是切比雪夫不等式的推导过程。
二、伯努利大数定律伯努利大数定律是概率论中的一项重要定理，用于描述在独立重复试验中事件发生的频率趋于其概率的情况。
设事件A在一次试验中发生的概率为p，进行n次独立重复试验，则对于任意正数ε，有：lim(n→∞) P(|X/n - p| ≥ ε) = 0其中，X表示事件A在n次试验中发生的次数。
推导过程如下：首先，根据事件发生的频率，可以得到以下关系：X/n → p （n→∞）对于任意正数ε，可以得到以下等式：P(|X/n - p| ≥ ε) = P((X/n - p)^2 ≥ ε^2)再利用方差的定义，有：σ^2 = Var(X/n) = E[(X/n - p)^2]由期望的性质可得：E[(X/n - p)^2] ≥ ε^2 * P((X/n - p)^2 ≥ ε^2)化简后得到：P(|X/n - p| ≥ ε) ≤ σ^2 / (nε^2)由于n在趋于无穷大时，分母nε^2趋于无穷大，所以概率P(|X/n - p| ≥ ε)趋于0。
3.5 切比雪夫不等式与大数定理
Probability and Statistics
伯努利大数定理 设 nA 是 n 次独立重复试验中事件A 发生
的次数, p 是事件 A 在每次试验中发生的概 率, 则对于任意正数 0, 有 nA nA lim P p 1 或 lim P p 0. n n n n
Born: 19 Jul. 1894 in Kondrovo, Kaluzhskaya guberniya, Russia Died: 18 Nov. 1959 in Moscow, USSR
1 n 则对于任意正数 , 有 lim P X k 1. n n k 1
关于辛钦定理的说明: (1) 与定理1相比, 不要求方差存在; (2) 伯努利定理是辛钦定理的特殊情况.
Probability and Statistics
辛钦资料
Aleksandr Yakovlevich Khinchin
注：在不知道随机变量的分布，仅知道随机变 量的数学期望或者同时知道数学期望及方差时， 可以用Markov不等式和Chebyshev不等式来估 计概率值的界限.
Pafnuty Chebyshev
Born: 16 May. 1821 in Okatovo, Russia Died: 8 Dec. 1894, in St. Petersburg, Russia
Probability and Statistics
3.5 切比雪夫不等式与大数定理 一、马尔可夫（Markov)不等式
设X是只取非负值的随机变量，且具有数学期 望E(X),则对于任意正数ε ，有
概率论与数理统计 切比雪夫不等式和大数定律
3、定理5.3(辛钦定理): 设随机变量 X1 ,X2 , … , Xn , … 相互独立 , 服从 同一分布, 具有数学期望
E( Xk ) = (k = 1, 2,L ) ,
则对于任意正数 ε , 有
lim P n
1 n
n k =1
Xk
=1
.
伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况 . 在实际
问题的处理中辛钦定理十分有用也很重要 .
事实上, 由辛钦定理可知, 如果随机变量
X1 ,X2 , … , Xn … 相互独立, 服从同一分布且具有数
学期望 μ , 则前 n 个随机变量的算术平均值
依概率收敛于它们的数学期望 μ .
1 n
n
= lim P n
1n n k=1 X k
=
1
.
证 由于
E( 1 n
n k =1
Xk )
=
1 n
n k =1
E(Xk )
=
1 gn
n
=
D( 1 n
n k =1
Xk )
=
1 n2
n k =1
D( Xk )
=
1 gn 2
n2
=
12
n
由切比雪夫不等式, 得
= P X 7300 2100
1 7002 = 1 1 = 8
21002
99
注 切比雪夫不等式虽然不能准确地求出某事件 的概率, 只是给出一个估计值, 但这在实际 问题的处理中仍然十分有用 .
切比雪夫大数定律条件
切比雪夫大数定律条件
切比雪夫大数定律说的是一列独立变量（可以不同分布）的均值收敛到一个常数，但前提是每个变量的期望和方差均存在且有限，并且满足方差的平均值是样本数n的高阶无穷小这一额外条件。
切必雪夫大数定理成立的条件：期望存在，方差存在且有界。
取实数值的随机变量的数学定义可确切地表述如下：概率空间(Ω,F,p)上的随机变量x是定义于Ω上的实值可测函数，即对任意ω∈Ω，X(ω)为实数，且对任意实数x，使X(ω)≤x的一切ω组成的Ω的子集{ω:X(ω)≤x}是事件，也即是F中的元素。
事件{ω:X(ω)≤x}常简记作{x≤x}，并称函数F(x)=p(x≤x)，-∞<x<∞，为x的分布函数。
设X,Y是概率空间(Ω,F,p)上的两个随机变量，如果除去一个零概率事件外，X(ω)与Y(ω)相同，则称X=Y以概率1成立，也记作p(X=Y)=1或X=Y,α.s.（α.s.意即几乎必然）。
切比雪夫大数定律方差有一致界
切比雪夫大数定律方差有一致界切比雪夫大数定律是数学中一个重要的定理，它可以用来预测一系列随机变量的行为。
该定理说明，当一系列随机变量的数量增加时，它们的方差也会增加，但有一个上界。
使当这系列随机变量的数量再增加，它们的方差也不会超过这个上界。
这一定理被称为切比雪夫大数定律的方差有一致界。
它的原理可以用一个理论模型来解释，即方差的最大值是由前一个随机变量和下一个随机变量之间的联系决定的。
换句话说，如果已知前一个随机变量和后一个随机变量之间的联系，则可以确定方差的上界。
实验研究也证明了切比雪夫大数定律的方差有一致界。
如Hemmingsen在《前沿的研究》一文中指出：“有各种实验方法可以用来证明切比雪夫大数定律的方差有一致界。
” Hemmingsen指出，“可以测量已知随机变量之间的关系，绘制他们的频率分布直方图，然后计算它们的标准差。
在大多数情况下，标准差不会超过切比雪夫大数定律的预测值，说明方差确实有一致界。
”切比雪夫大数定律的方差有一致界可以应用于多种领域。
例如，它可以用来构建概率模型，以便更好地预测市场行为；也可以用来研究物理系统中的随机现象，进而提出建议，帮助我们更好地理解和利用自然界中的运动。
此外，它还可以用于研究医学疾病的传播和治疗方法的发展。
切比雪夫大数定律的方差有一致界也可以应用于社会科学领域。
例如，它有助于研究社会结构的变化，揭示不同社会群体的社会行为特征，以及更好地理解这些社会群体之间的关系。
同样，切比雪夫大数定律的方差有一致界也可以帮助我们探索经济投资中复杂市场行为的规律，以避免投资风险。
总之，切比雪夫大数定律的方差有一致界是一个重要的数学定理，可以用来描述一系列随机变量的行为，并可以被广泛应用于不同的领域中。
因此，有关这一定理的研究仍然值得继续深入探讨。
切比雪夫求积公式PPT课件
Ak , 从而有
14
第14页/共57页
定理得证.
Ak
b a
lk2
(x) (x)dx
0.
由本定理及定理2，则得
推论
高斯求积公式(5.1)是稳定的.
定理7 即
设 f (x) C[a, b], 则高斯求积公式(5.1)收敛，
n
lim
n
k 0
Ak
f
( xk )
b f ( x) ( x)dx.
a
15
1 0.5773503 0.7745967
2 0.0000000
0.8611363 3
0.3399810
0.9061798
4 0.5384693
0.0000000
Ak 2.0000000
1.0000000 0.5555556
0.8888889 0.3478548
0.6521452 0.2369269
( )
(1,1).
带权的高斯求积公式可用于计算奇异积分.
（5.14）
26
解
令公式(5.3)对于
f (x准)确成1立, x，, x2 , x3
得
2
A0 x0 A0
A1
; 3
x0 A0
2; 5
x02 A0
x12 A1
2; 7
x03 A0
x13 A1
2. 9
（5.3） （5.4）
4
第4页/共57页
由于
x0 A0 x1 A1 x0 ( A0 A1) (x1 x0 ) A1,
xk 及Ak
(k 0,1,, n), 使（5.1）具有 2n次代1数精度.
定义4
如果求积公式(5.1)具有 次代数2精n度，1
切比雪夫大数定律
1 n 1 n lim P X i E ( X i ) 1 x n i 1 n i 1
切比雪夫大数定律表明，当n充分大时，差不多不再是随机的了， 取值接近于其数学期望的概率接近于1。该定律给出了平均值稳定 性的科学描述。
7
独立同分布大数定律
设X1,X2,…是独立同分布的随机变量序列，且， E(Xi)=μ，D(Xi)=σ2 ， i=1,2,… ，则对任意的ε>0 ，存在
8
贝努利大数定律
设Sn是n重贝努利试验中事件A发生的次数，p是事件A 发生的概率，则对任意的ε>0 ，存在
Sn lim P p 1 n n
该定律表明事件发生的频率具有稳定性。当试验次数n 很大时，事件发生的频率与其真实概率有较大偏差的可 能性很小.
9
泊松大数定律
（1）计算纯费率
纯费率 保额损失率 （ 1 稳定系数）
保额损失率 赔偿金额 100% 保险金额
稳定系数
损失率的均方差 平均保额损失率x
（2）计算附加费率
附加费率由营业费率、营业税率和营业利润率构成
18
4.2 财产保险费率计算过程
（3）计算毛费率
毛费率 纯费率+附加费率
19
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
二、大数法则及其在保险中的应用
大数法则
用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消，事件发生的 频率将趋近于一个常数。大数法则是一系列定理的统称。 — 切比雪夫大数定律 — 贝努利大数定律 — 泊松大数定律
6
切比雪夫大数定律
设X1,X2,…是两两不相关的随机变量序列，其期望值E(X1), E(X2),…及方差σ2(X1), σ2(X2), …都存在，且这些方差有共同的上界, 即σ2(Xi)≤K，i=1,2,… ，则对任意的ε>0，存在
切比雪夫大数定律意义
切比雪夫大数定律意义摘要：一、引言二、切比雪夫大数定律的定义和含义三、切比雪夫大数定律的应用四、切比雪夫大数定律与其他大数定律的比较五、结论正文：一、引言切比雪夫大数定律是概率论中的一个重要定理，它对于随机变量的收敛性提供了一种判断方法。
在实际应用中，切比雪夫大数定律可以帮助我们更好地理解和预测随机现象，从而为决策提供科学依据。
本文将从切比雪夫大数定律的定义和含义、应用、与其他大数定律的比较等方面进行详细介绍。
二、切比雪夫大数定律的定义和含义切比雪夫大数定律是指，在一定条件下，随机变量的平均值随着试验次数的增加而趋于稳定。
具体来说，当随机变量X 的方差存在时，随着试验次数n 的增加，随机变量X 的平均值将趋于一个常数，即数学期望E(X)。
三、切比雪夫大数定律的应用切比雪夫大数定律在实际应用中有广泛的应用，例如在统计学、概率论、机器学习等领域。
在统计学中，切比雪夫大数定律可以帮助我们根据样本数据估计总体参数；在概率论中，切比雪夫大数定律可以判断随机变量的收敛性；在机器学习中，切比雪夫大数定律可以为模型的选择和优化提供理论依据。
四、切比雪夫大数定律与其他大数定律的比较切比雪夫大数定律与其他大数定律（如马尔科夫大数定律、伯努利大数定律）有相似之处，但也有区别。
切比雪夫大数定律适用于随机变量方差存在的情况，而马尔科夫大数定律适用于随机变量独立且服从二点分布的情况，伯努利大数定律则适用于随机变量独立且服从伯努利分布的情况。
因此，切比雪夫大数定律可以看作是马尔科夫大数定律和伯努利大数定律的推广和发展。
五、结论切比雪夫大数定律是概率论中一个重要的定理，它为我们研究和预测随机现象提供了有力的工具。
切比雪夫大数定理的条件
切比雪夫大数定理的条件引言：切比雪夫大数定理是概率论中的一项重要定理，它描述了随机变量与其均值之间的关系。
本文将介绍切比雪夫大数定理的条件以及其在现实生活中的应用。
一、切比雪夫大数定理的条件切比雪夫大数定理是由俄罗斯数学家切比雪夫于1867年提出的。
该定理表明，对于任意一个随机变量X，无论它的分布是什么样的，只要该随机变量的方差有限，那么当样本容量足够大时，随机变量X与其均值之间的差异将会趋于无穷小。
具体而言，切比雪夫大数定理的条件如下：1. 随机变量X的方差存在且有限；2. 样本容量足够大。
二、切比雪夫大数定理的应用切比雪夫大数定理在现实生活中有着广泛的应用。
以下列举了几个常见的应用场景：1. 投资风险评估在金融领域，投资者经常需要评估不同投资品种的风险程度。
切比雪夫大数定理可以用于估计投资组合的风险。
通过计算投资组合中每个资产的方差和协方差，可以得出投资组合整体的方差。
根据切比雪夫大数定理，当投资组合的样本容量足够大时，投资组合的实际风险将逼近于理论风险。
2. 品质控制在制造业中，品质控制是一个关键的环节。
切比雪夫大数定理可以用于评估产品的品质。
通过收集一定数量的样本，并计算样本的方差，可以估计整体产品群体的方差。
根据切比雪夫大数定理，当样本容量足够大时，产品的实际品质将逼近于理论品质。
3. 调查统计在社会科学研究中，调查统计是常用的研究方法之一。
切比雪夫大数定理可以用于估计调查结果的可靠性。
通过对调查样本进行分析，可以得出总体的特征参数估计。
根据切比雪夫大数定理，当样本容量足够大时，调查结果的准确性将逼近于总体参数的真实值。
4. 随机模拟在计算机科学领域，随机模拟是一种常用的求解复杂问题的方法。
切比雪夫大数定理可以用于评估随机模拟的精度。
通过增加模拟次数，可以提高模拟结果的准确性。
根据切比雪夫大数定理，当模拟次数足够大时，模拟结果与真实值之间的误差将趋于无穷小。
结论：切比雪夫大数定理是概率论中的重要定理，它描述了随机变量与其均值之间的关系。