数值分析第五章
清华第五版数值分析第5章课件
第一步：选 ai ,1 max ai 1 ,交换第1行和第i1行，
1 i n
然后进行消元，得
( a111 ) [ A( 2 ) , b ( 2 ) ]
( 1 a121 ) a1( n ) ( (2 a222 ) a2 n )
( an 2 ) 2
(2 ann )
三
高斯列主元消去法
基本思想：在每轮消元之前，选列主元素 （绝对值最大的元素）
设方程组 AX b的增广矩阵为 a11 a (1) (1) 21 [ A , b ] [ A , b] an1 具体步骤为：
1
b1 a22 a2 n b2 an 2 ann bn a12 a1 n
如此至多经过n-1步,就得到与之同解的上三角形方 程组的增广矩阵,再用回代过程即可得方程组的解.
例：用Gauss列主元消去法解方程组 2 4 6 x1 3 4 9 2 x 5 2 1 1 3 x3 4
(1)
1 2 n
a (1) 0 0
a (1) a (1)
12 1n
(2 ( a22 ) a22 ) n
( (2 an22) ann)
b(1) ( 2) b2 ( 2) bn
1
则
a 令m i 1 , i 2,3,...,n a
n
a (1) 0 0
11
a (1) a (1)
12
(2 ( a22 ) a22 ) n
( (2 an22) ann)
数值分析第五章插值法
数值分析第五章插值法插值法是数值分析中常用的一种数值逼近方法，它的目的是通过已知数据点之间的插值多项式来逼近未知数据点的函数值。
插值法可以在信号处理、图像处理、计算机图形学等领域中广泛应用。
在插值法中，最常用的方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。
拉格朗日插值法是一种利用拉格朗日插值多项式来逼近函数的方法。
对于n个已知数据点(xi, yi)，拉格朗日插值多项式L(x)可以表示为：L(x) = ∑(yi * li(x))其中，li(x)表示拉格朗日基函数，定义为：li(x) = ∏[(x - xj)/(xi - xj)] (j≠i)可以证明，在给定的n个数据点上，拉格朗日插值多项式L(x)满足：L(xi) = yi牛顿插值法是另一种常用的插值方法，它利用差商的概念来逼近函数。
对于n个已知数据点(xi, yi)，差商可以定义为：f[xi] = yif[xi, xi+1] = (f[xi+1] - f[xi]) / (xi+1 - xi)f[xi, xi+1, ..., xi+k] = (f[xi+1, ..., xi+k] - f[xi, ...,xi+k-1]) / (xi+k - xi)通过差商的递归定义，可以得到牛顿插值多项式N(x)的表达式，其中：N(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...与拉格朗日插值法类似，牛顿插值多项式N(x)也满足：N(xi) = yi这两种插值方法都有自己的优点和缺点。
拉格朗日插值法简单易懂，计算量小，但当数据点较多时，多项式的次数会很高，容易出现龙格现象。
而牛顿插值法可以通过求差商一次次递推得到插值多项式，计算效率较高，且具备局部逼近性，不易出现龙格现象。
除了拉格朗日插值法和牛顿插值法，还有其他插值方法，如分段线性插值、样条插值等。
分段线性插值是利用线性多项式逼近函数，将数据点之间的区间分为若干段，每段内使用一条线性多项式进行插值。
数值分析5PPT课件
x Euler方法 n
0
1
0.1 1.000000
0.2 1.010000
0.3 1.029000
0.4 1.056100
0.5 1.090490
表5-1
隐式Euler方法
梯形法
准确解
1 1.009091 1.026446 1.051315 1.083013 1.120921
别是 1.4 102 和1.6 102，而梯形方法的误差却是 2.5104。
在例5.1中，由于f（x，y）对y是线性的，所以对隐式公式也可以方便地计
算 yn1。但是，当f（x，y）是y的非线性函数时，如 y 5x 3 y，其隐式
Euler公式为 yn1 yn h(5xn1 3 yn1。) 显然，它是 yn1的非线性方程，可以选择 非线性方程求根的迭代求解 yn1 。以梯形公式为例，可用显式Euler公式提供
反复迭式，直到
y y (k 1)
(k )
n 1
n 1
，
其中，步长h成为迭代参数，它需要满足一定的条件，才能收敛。若将 （5.1.4）式减去该迭代公式，得
yn1
y (k 1) n 1
h 2
f
xn1，yn1
f
xn 1，yn( k1)
假设f（x，y）关于y满足Lipschiz条件，则有
yn1
替的导数得
y ( xn
h) h
y(xn )
f (xn，y(xn ))，
y ( xn
h) h
y(xn )
f (xn1，y(xn1))。
令 yn为 y(xn的) 近似值，将上面两个近似写成等式，整理后得
yn1 yn hf (xn，yn )，n 0，1， yn1 yn hf (xn1，yn1)，n 0，1，。
数值分析第5章1-3节
a12
a22
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
,
am1 am2 amn xn bm
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（2.1）
17
简记为Ax b. 例1 用消去法解方程组
x1 x2 x3 6, 4x2 x3 5,
2x1 2x2 x3 1.
(2.2) (2.3) (2.4)
(10) 初等置换阵
由单位矩阵 交I换第 行i与第 行(或j 交换第 列与第i 列)，
得到j 的矩阵记为 ,且
I ij
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10
Iij A A~（为交换 A第 i 行与第 j 行得到的矩阵）；
AIij B（为交换 A第 i列与第 j列得到的矩阵）；
(11) 置换阵
由初等置换阵的乘积得到的矩阵.
定理1 设 A R，nn 则下述命题等价：
(1) 对任何 b 方R程n ,组 有A惟x 一 b解.
(2) 齐次方程组 A只x 有 0惟一解 . x 0
(3) det( A) 0.
(4) A存1在.
(5) 的A秩 rank ( A) n.
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11
定理2 设 A R为n对n 称正定阵，则
解 第1步. 将方程(2.2)乘上 加2到方程(2.4)上去，
消去(2.4)中的未知数 x得1, 到
4x2 x3 11.
(2.5)
第2步. 将方程(2.3)加到方程(2.5)上去，消去方程
(218
得到与原方程组等价的三角形方程组
x1
x2 4 x2
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21
xi , 得到与(2.1)等价的方程组
a (1) 11
数值分析第五章
输出：有根区间为（3.3，3. 4）且区间（3.6，3.7）内无实根 。
8
§2
设有非线性方程
二 分 法
其中，f (x)为 [a,b] 上连续函数且设 f (a) ⋅ f (b) < 0 （不妨设方程（2.1）于 （2.1）
f (x) = 0
（2.1） 2.1）
[a,b] 内仅有一个实根。
y
求方程（2.1）实根 x* 的二分法过程，就是将含根区间 [a,b] 逐步分 （2.1） 半，检查函数符号的变化，以便确定含根的充分小区间。
a ←x
k ≤ N0
否
输出
图5-3
分半 N0 次还没有到 达精度要求信息
15
§3 迭代法
迭代法是一种逐次逼近法。它是求解代数方法，超越方程及方程组 的一种基本方法，但存在收敛性及收敛快慢问题。 为了用迭代法求非线性方程 f (x) = 0的近似值，首先需要将此方 程转化为等价的方程 3.1） （3.1）
x >b
≤
f1 ← f2
＜ 输出有根区间
(x − ∆x, x)
L2
图 5-1
L 1
7
+ 若 f (x) 于 [a, ∞) 某点 xs 分为两支曲线且 x → xs 时 f (x) →+∞或 − ∞ ， − 当 x → xs 时 f (x) → −∞ 或
[注] 当 f (x) 于 [a,b] 连续时，输出区间 (x − ∆x, x) 内一定有实根， 注
f (xk ) < ε1 或 h < ε2则输出 xk , f (xk ), k;
ak+1 = xk ,bk+1 = bk
其中 N0 表示给定的最大分半次数，当 f (x) < ε1 或 h < ε2 时分半终止， fmax为一大数。
数值分析课件第5章
(i3 , ,m ;j3 , ,n ) (i3 , ,m )
工科研究生公共课程数学系列
机动 上页 下页 首页 结束
(k)
a1(11)
A(k) : b(k)
a (1) 12
a (2) 22
a (1) 1k
a (2) 2k
a(k) kk
a (1) 1n
a (2) 2n
b1(1) b2(2)
()
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高斯消去法的条件
定理5 设Axb,其中ARnn
(1) 如果ak(kk) 0(k 1,2,,n)，则可通过高斯消 将去法 Axb约 化 为 等 价 的 三 角 组(方 )，程且 计 算 公 ( 式 )。
(2) 如果A为非奇异矩阵，则 过可 高通 斯消去法（及
交 换 两 行 的 初 等 变 将A换x） b约 化 为 ()。
mik
a2( kk) ak(kk )
(ak(kk ) 0)
a(k) kn
bk(k )
(ik 1,,m)
a(k) mk
a(k) mn
bm(k )
a1(11)
a (1(2) 2k
a (1) 1n
a (2) 2n
b1(1) b2(2)
a(k) kk
a2(21) a2(22)
(a2(22) 0)
(i3,,m)
a1(11) 0
a(1) 12
a(2) 22
a1(1n)
a2(2n)
b(1) 1
b(2) 2
A(3)
: b(3)
0
0
am(3n)
b(3) n
a b ii((3 3 j)) a b ii((2 2 j)) m m ii2 a jb 2 (2 (2 2 j))
数值分析第五章%282012%29
( a , b )， 时 ：
b a
f ( x)dx
a
i0
i
f ( xi )
h
n2
f
( n 1)
( )
( n 1) !
n 0
t ( t 1)...( t n ) d t
结论是什么？
b
结论：应用高阶型插值求积公式计算 f ( x )d x 会出现 数值不稳定，而低阶公式（如梯形、辛普生公式） 又因积分区间步长过大使得离散误差大
二次插值求积公式（即Simpson公式）
先 将[a, b] 区 间 二 等 分 ： a , 再 作 二 次 la g ra n g e插 值 P2 ( x ) (x (a
抛物型求积公式： ab
, b 2
2
f ( x k )l k ( x ) )( x b ) f (a ) )( a b ) ( ( x a )( x ) ( b a )( b ab 2 ab 2 ) f (b ) )
第五章 数值积分
问题的提出：
f(x)的原函数没有具体的解析表达式或表达式 很复杂不适宜计算，只有f(x)的离散数据点。 如何求
a f ( x )d x ？
I
b
寻找近似计算方法
a f ( x )d x
f (x)
b
思路： 利用插值多项式Pn ( x )
，则积分易算。
5.1 插值型积分公式
b a
b-a ab P2 ( x ) d x f (b ) f (a ) 4 f 6 2
当 f ( x ) 1时
b a
f ( x ) ( b - a )，
《数值分析》第五章
(1)左矩形公式： a f(x)dx f(a)(ba)(2)右矩形公式： a f(x)dxf (b)(b a)⑶中矩形公式：b af(x)dxf(a b2)(b a)习题51 •导出如下3个求积公式，并给出截断误差的表达式 解：⑴f(x)a f(x)dxa f ( )(xf (a)， b f (x)dx b f (a)dx f (a)(b a)aa””Kf(a)(b a) a f (x)dx a f (a)dx a (f(x)2a) f (), f (a))dx⑵ f(x)bia)dx f ( ) a (x a)dx ^(ba f(x)dx a f(b)dxf(b)，f(a)(b a) (a,b)a f(x)dxf(b)(ba) a f (x)dx:f (b )dx b f (x)f (b)]dxb a f( )(xb)dxbf ( ) a (x b)dx2(ba)2f ()，(a,b)⑶法1 f (x)f (专ba f(x)dx"(叮)dxa2f(aa)(x)dxf (宁)(b a)ba f(x)dxb a a f (-b)dx2f(X )咛) dxf (专)(x2f()(x 旦b )2dx2f()>U)2dx2于是13r ()(b a)3可以验证所给公式具有1次代数精度。
作一次多项式H(x)H (— )f( -)，H (2 2…a b 、 …a b H(x) f( ) f (-2 2f(x)1 H(x) -f ()(x满足)(x 叮)2a b a b r, 亍)f (丁)，则有a b )2〒丿，(a,b)ba H(x)dxH (兮)(b a)f (丁)(ba)ba f(x)dxf(¥)(b a)ba f(x)dxba H(x)dxb b f ()a f (X)盹心 a~2H(X"dx2 f ( ) ^ a b 、2」 (x ) dx2 a' 22 •考察下列求积公式具有几次代数精度: 24f ()(b a)3(1) 1 10f(x)dx f(0) J(1)； 1 1f (x)dx f (f( 13)。
数值分析第五版第5章习题答案
第5章
）矩阵行列式的值很小。
）矩阵的范数小。
）矩阵的范数大。
（7）奇异矩阵的范数一定是零。
答：错误，
∞
•可以不为0。
（8）如果矩阵对称，则|| A||1 = || A||∞。
答：根据范数的定义，正确。
（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。
答：错误，不选主元时，可能除数为0。
（10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。
答：错误。
对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。
（11）|| A ||1 = || A T||∞。
答：根据范数的定义，正确。
（12）若A是n n的非奇异矩阵，则
)
(
cond
)
(
cond1-
=A
A。
答：正确。
A是n n的非奇异矩阵，则A存在逆矩阵。
根据条件数的定义有：
1
111111 cond()
cond()()
A A A
A A A A A A A
-
------
=•
=•=•=•
习题
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
数值分析 第5章haha
, 其中
1 m k 1, k m n ,k 1
1
最后， L n 1 L 2 L1 A
(1 )
A
(n)
U ， L n 1 L 2 L1b
(1 )
b
(n)
.
A L1 L 2 L n 1U LU ，其中 1 m 21 m 31 m n1 1
2
结束
关于线性方程组的解法一般分为两大类,一类是直接法, 即经过有限次的算术运算,可以求得(5.1)的精确解(假定计 算过程没有舍入误差).如线性代数课程中提到的克莱姆算
法就是一种直接法.但该法对高阶方程组计算量太大,不是
一种实用的算法.实用的直接法中具有代表性的算法是高斯 消元法,其它算法都是它的变形和应用. 另一类是迭代法,它将(5.1)变形为某种迭代公式,给出初 始解 x0 ,用迭代公式得到近似解的序列｛xk｝,k=0,1,2, ,在一定的条件下 xk→x* (精确解).迭代法显然有一个收 敛条件和收敛速度问题. 这两种解法都有广泛的应用,我们将分别讨论,本章介绍 直接法. 3 结束
(5.3) (5.6) (5.8)
回代:解(5.8)得x3,将x3 代入(5.6)得x2,将x2, x3 代入(5.3) 得x1,得到解 x*=(2,1,-1)T
容易看出第一步和第二步相当于增广矩阵［Ａ:b］在作 行变换,用ri表示增广阵［A:b］的第i行: 6 结束
1 A : b 2 1
(1)
(1) x1 b1 (k ) xk b k ( k 1) . x k 1 bk 1 ( k 1) x n bn
数值分析容第五章
第五章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数y = f (x )在一系列点x 0, x 1,…, x n 处的值y 0, y i ,…, y n ，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数P (x )作为y = f (x )的近似表达式；或者y = f (x )虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一个比较简单且易于计算的函数P (x )去近似代替它；本章所介绍的插值法就是建立这种近似公式的基本方法。
§1 代数插值 设已知某个函数关系y = f (x )在某些离散点上的函数值：nn y y y y yx x x x x 21210 （6.1）插值问题就是根据这些已知数据来构造函数y = f (x )的一种简单的近似表达式，以便于计算点i x x ≠的函数值)(x f ，或计算函数的一阶、二阶导数值。
一种常用的方法就是从多项式中选一个P n (x )，使得n i y x P i i n ,,2,1,0,)( ==（6.2）作为f (x )的近似。
因为多项式求值方便，且还有直到n 阶的导数。
我们称满足关系（6.2）的函数P n (x )为f (x )的一个插值函数，称x 0, x 1,…, x n 为插值节点，并称关系（6.2）为插值原则。
这种用代数多项式作为工具来研究插值的方法叫做代数插值。
设 x 0 < x 1< …< x n记a = x 0, b = x n ，则 [a, b] 为插值区间。
插值多项式存在的唯一性： 设所要构造的插值多项式为：n n n x a x a x a a x P ++++= 2210)(由插值条件n i y x P ii n ,,1,0)( ==得到如下线性代数方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++⋅=+++⋅=+++⋅n n n n n n nn nya x a x a y a x a x a y a x a x a101111000100111 此方程组的系数行列式为∏≤<≤-==ni j j innnnnnx xx x x x x x x x x D 0212110200)(111此为范得蒙行列式，在线性代数课中，已经证明当j i x x ≠，;,2,1n i = n j ,2,1=时，D ≠ 0，因此，P n (x )由a 0, a 1,…, a n 唯一确定。
数值分析第五章-矩阵分析基础1
定理5.2.5 （对角优势定理） 若矩阵 A 为严格对角占优阵，
或者为不可约且弱对角占优阵，则
det(A) 0
历史与注记
阿尔斯通·豪斯霍德(Alston Scott Householder，1904–1993 )Householder 1904 年生于美国伊利诺州的洛克福特。1937 年取得了芝加哥大学博士学位之后他获得洛克菲勒基金会的 资助，在芝加哥大学从事研究， 1944年被提升为数学和生物 物理学的副教授。二战后他为美国海军研究实验室作数学顾
h1n
h2
n
H
h32 h33 L OO
hM3n
hnn1 hnn
的矩阵 H 为上Hessenberg（海森伯格）阵，或拟上三角阵。
如果次对角线元素hi,i1(i 2,3,L , n)全不为零，则称该矩阵为 不可约的上Hessenberg阵。
定理5.2.4 对任意矩阵A Rnn，总存在正交阵Q使得 Q1AQ
1
O
Li Li (li ) E(li , ei ;1) I lieiT
1 li1,i 1
为初等下三角阵。
M
O
lni
1
定理5.2.1 初等下三角阵 Li具有如下性质： (1) Li1(li ) Li (li ), Li 1 ；
lim
k
Ak
A
定理6 设B∈Rn×n，则由B的各幂次得到的
矩阵序列Bk, k=0,1,2…)收敛于零矩阵
（
lim）B的k 充0要条件
k
为
。(B) 1Βιβλιοθήκη 4. 矩阵的条件数定义5 设矩阵 A 为非奇异矩阵，则称
数值分析 第五章
第五章 插值法与最小二乘法第一节 问题的提法和多项式插值一、问题提法函数是描述客观规律的重要工具。
在实际应用中许多函数是通过科学实验或观测得到的，通常是一个列表函数或复杂函数的解析表达式的列表形式。
设)(x f y =在已知点b x x x a n ≤<<<≤ 10上的函数值为0y ，1y ，n y ，记为(){}n i y x i i ,,1,0,, =，如何用一个简单的函数)(x p 近似，使得在[]b a ,上，)()(x f x p ≈，这就是本章要解决的问题。
通常有两类提法：1） 通过给定点()n i y x i i ,,1,0,, =，作一曲线，其方程为)(x p y =，)(x p 为一简单函数，n i y x p i i ,,1,0,)( ==。
)(x p 为插值函数，i x 为插值点，[]b a ,为插值区间，)(i i x f y =为样本值。
2）作一指定类型的曲线)(x p y =，使曲线在“一定意义”下逼近给定的列表函数(){}n i y x i i ,,1,0,, =，此为曲线的拟合问题。
本章采用做小二乘法解决。
二、多项式插值通过两个插值点()00,y x 和()11,y x 的为一条直线，方程为：10100101y x x x x y x x x x y --+--=推广到在[]b a ,上的1+n 个插值点b x x x a n ≤<<<≤ 10，对应的函数值为0y ，1y ，n y ，求次数不超过n 的多项式n n x a x a a x p +++= 10)(，其中0a ，1a ，n a 为待定系数。
使n i y x p i i ,,1,0,)( ==即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn n n n nn nn y x a x a a y x a x a a y x a x a a 101111000010，i x 互异，故由Vandermande 定理知方程组方程组的解0a ，1a ，n a 唯一存在。
数值分析第5章
主讲 张学莹
zhangxy@
1
第五章 线性方程组的直接解法
n 阶线性方程组： a 11 x1 a 12 x 2 a 1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n b n
(1 (1 ( a11) x1 a12) x2 a11) xn n (1) (1) (1) a21 x1 a22 x2 a2 n xn a (1) x a (1) x a (1) x 11 1 n 2 2 nn n
b1 b2 bn
lnn
计算量（乘除法的主要部分）为 n2/2.
14
5.2 高斯消去法
一、 Gauss顺序消
元法—按自然 顺序进行的消 元法。
记 Ax=b 为 A(1)x=b (1) ，即
a11 x1 a12 x2 a1n xn a21 x1 a22 x2 a2 n xn a x a x a x n1 1 n 2 2 nn n
0.0003x1 3.0000x2 2.0001 9999.0 x2 6666.0
29
因而再回代，得 6666.0 x2 .06667 9999.0 2.0001 3.0000 .06667 x1 0 0.0003 1 2 而精确值为 x1 3 , x2 3 显然该解与精确值相差太 远，为了控制误差，采用另一种消元过程。
a (1) a (1) n1 n 2
l 2 r ri i2 i 3,, n
(1 (1 ( ( a11) a12) a11) b11) n ( 2) ( 2) ( 2) a22 a2 n b2 li1r1 ri i 2, , n ( 2) ( 2) ( 2) (1 ( an 2 ann bn ann) bn1) (1 (1 ( ( a11) a12) a11) b11) n ( 2) ( 2) ( 2) a22 a2 n b2 ln( n1)rn1 rn ( n) ( n) ann bn
最新(完美版)第五章习题解答_数值分析
第五章习题解答1、给出数据点:013419156i i x y =⎧⎨=⎩(1)用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ,并计算15.x =的近似值215(.)L 。
(2)用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ,并计算15.x =的近似值215(.)N 。
(3)用事后误差估计方法估计215(.)L 、215(.)N 的误差。
解: (1)利用012013,,x x x ===,0121915,,y y y ===作Lagrange 插值函数2202130301191501031013303152933()()()()()()()()()()()()()()i i i x x x x x x L x l x y x x =------==⨯+⨯+⨯-------++=∑代入可得2151175(.).L =。
(2)利用134,,x x x ===,9156,,y y y ===构造如下差商表：229314134196()()()()()N x x x x x x =+-+---=-+- 代入可得215135(.).N =。
(3)用事后误差估计的方法可得误差为()()()0222203-x 150x x x -=117513506563-04.()()()(..).x f L R L x N x x x --≈=-≈- ()()()3222203-154x x -=1175135-1.0938-04.()()()(..)x x f N R x L x N x x x --≈=-≈-2、设Lagrange 插值基函数是0012()(,,,,)nj i j i jj ix x l x i n x x =≠-==-∏试证明:①对x ∀,有1()nii l x ==∑②00110001211()()(,,,)()()nki i i n n k l x k n x x x k n =⎧=⎪==⎨⎪-=+⎩∑其中01,,,n x x x 为互异的插值节点。
数值分析 第五章学习小结
第五章 插值与逼近--------学习小节一． 本章学习体会本章学习了插值与逼近，经过本章的学习我对插值法有了进一步的认识。
插值与逼近就是寻找一个简单的函数来代替表达式复杂甚至无法写出表达式的函数。
可以说我们现在学习推导出来的方法公式等都是前人的辛苦钻研的结果，本章除了学到了许多的插值与逼近方法，更重要的是了解了许多科学前辈的故事以及他们许多做研究的态度与方法。
我感觉了解一下数学家的人生故事对我们学习数值分析或别的数学知识有很大的帮助。
上课时王老师给我们讲了数学奇才Hermite 的传奇故事，一个不会考试，基本上每次考数学都不及格的‘笨学生’，后来成为了伟大的数学家。
不是每个数学家都特别聪明，他们所具有的是作为一名科学家的品质，想别人没有想过的问题，在研究中创新，我们应该学习他们那种做研究的态度与精神。
学习这章时有一个小小的困惑，在曲线拟合的求法时，求多元函数的极小值*2200[()()]min [()()]im nm njj i i j j i i c i j i j cx f x c x f x φφ====-=-∑∑∑∑2010(,,,)[()()]mnn j j i i i j F c c c c x f x φ===-∑∑ 老师讲时说用0kFc ∂=∂求得，那万一求出的是极大值呢？ 二．本章知识梳理数值分析中的插值是一种有力的工具，它最终得出的曲线图像都是过节点的，我们的目的使用它得出的图像来近似估计插值点的函数值。
我们首先学了代数插值中的一元函数插值，一元函数插值中学了拉格朗日插值但其插值公式没有延续性，后来学了牛顿插值，其优点是插值公式具有延续性，但前两者都有缺点，就是插值节点一般不超过三个，否则会有很大误差。
但实际工程中我们会测的许多的数据，也就有许多的节点，这样前两种差值方法就不能用了，后来我们又引进了分段线性插值，就是将这许多的节点进行分段，在每段中应用拉格朗日插值或牛顿差值。
《数值分析》第五章课件
取 h = 0.2 ，要求保留六位小数.
校正： cn+1 = y n + 2 ( y n' + mn' +1 )
解：Euler 迭代格式为
校正的改进：
1 y n +1 = c n +1 + ( p n +1 − c n+1 ) 5
yk +1 = yk + 0.2(− yk − xk yk2 ) = 0.8 yk − 0.2 xk yk2
差分方程：关于未知序列的方程.
例如： y n +3 = 5 y n + 2 − 3 y n +1 + 4 y n
例如： y ' ' ( x) − a ( x) y '+b( x) y + c( x) = 0
3
4
微分方程的应用情况
实际中，很多问题的数学模型都是微分方程. 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在 理论研究与工程实际上应用很广泛. 很多问题 的数学模型都可以归结为常微分方程. 很多偏 微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来 近似求解.
且
可得，
y(xn+1) − yn+1 = hf y (xn+1,η)[ y(xn+1) − yn+1] − h2 '' y (xn ) + O(h3 ) 2
f (xn+1, y(xn+1)) = y' (xn+1) = y' (x n ) + hy'' (xn ) + O(h2 )
19
20
2 考虑到 1 − hf y ( xn+1 ,η ) = 1 + hf y ( xn+1 ,η ) + O(h ) ，则有
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第五章 解线性方程组的直接方法
课本176页 习题 第二次作业
7、用列主元消去法解线性方程组
{12x 1−3x 2+3x 3=15,−18x 1+3x 2−x 3=−15,x 1+x 2+x 3=6,
并求出系数矩阵A 的行列式（即det A ）的值.
解：系数行列式A 可表示为：
(12−3
3−183−1111
) A|b =(12
−33−18
3−11
1
115−156
) 用列主元消去法解线性方程组为：
(12−33−183−111
1 15−156)=(−183−112−33111 −15156)=( −183−10−1730761718 −15 5316
) =( −183−1
0−173 00113 −15
511 )
由此可得此方程组可表示为
{
−18x 1+3x 2−x 3=−15−x 2−7/3x 3=511/3x 3=11
解得此方程组为: x 3=3,x 2=2,x 1=1,det (A )=−66
8、用直接三角分解（杜利特尔（Doolittle ）分解）求线性方程组
{ 11+12+13=9,13x 1+14x 2+1
5x 3=8,12x 1
+x 2+2x 3
=8,
的解.
解：
A =( 11111111
2) L =( 10013
101
211) U =(
1110
11130
957540)
9、用追赶法解三对角方程组Ax=b ，其中
A =( 21-0001-21-0001-21-0001-21-0
1
-2
) ，b =( 00001
)
解：设A 有分解
(
21
1
2
1
1211
211
2--------) =(
54
32
1
1111ααααα----)
=(
11
1
1
14
3
2
1
ββββ)
由公式
{b 1=α1,c 1=α1β1
b i =αi βi−1,i =2,3,4,5
c i =αi βi ,i =2,3,4
其中b i (i =1,2⋯4),c i (i =1,2⋯4)分别是系数矩阵的主对角元素及其下边和上边的次对角元素。
由此可得：α1=2，α2=3
2
，α3=4
3
，α4=5
4
，α5=6
5
β1=−12，β2=−23,β3=−3
4
,β4=−4/5
由：
(
5/614
/513/412/312
----) ( 5432
1
y y y y y ) =( 00
001
)
得：y 1=12
,y 2=13
,y 3=14
,y 5=15
,y 5=16
;再由
(
15/414/313/21
2
/11----) ( 54321x x x x x ) =( 6/15
/14/13/12
/1)
得：x 1=16
,x 2=13
,x 3=12
,x 4=23
,x 5=5
6
;
15、设A ∈R n×n 为对称正定矩阵，定义
‖x ‖A =
(Ax,x)1
2
证明‖x ‖A 为R n 上向量的一种范数.
证明：（1）因A 正定对称，故当 x =0时，‖x ‖A =(Ax,x)12
=0；而当x ≠0时，‖x ‖A =(Ax,x)12
>0, （2）对任意α∈R ，有
‖αx ‖A =
(Aαx,αx)1
2
=√(αx )T A(αx)=|α|√x T Ax =|α|‖x ‖A
（3）因A 正定，故有分解A =LL T ，因而
‖x ‖A =(x
T Ax)12
=(x T LL
T
x)12
=((L T x)T (L
T
x))12
=‖L T x‖2
对任意x,y ∈R n ,由‖∙‖2的三角不等式有
‖x +y ‖A =‖(L T (x +y)‖2=‖L T x +L T y‖2≤‖L T x‖2+‖L T y‖
2
=‖x ‖A +‖y ‖A
故‖x ‖A 为R n 上的向量范数.
17、矩阵第一行乘以一数，成为
A =(
2λλ1
1
) 证明当λ=±2
3时，cond(A)∞有最小值.
证明:设λ≠0,则‖A ‖∞={3|λ|,|λ|>
2
3
2,|λ|<
23
A −1=1/λ(
1−λ
−12λ)
∴‖A −1
‖∞=2|λ|+1||
∴cond(A)∞=‖A −1‖∞‖A ‖∞={6|λ|+3,|λ|≥
2
3
2(2+1|λ|),|λ|<
23
从而当|λ|=2
3
时，即|λ|=±2
3
时，cond(A)∞有最小值.。