第三章 n维向量组 PPT课件

组成的向量组称为 n 维单位向量组，且任意 n 维向量都可以被该
向量组线性表出。（有的书上用1 (1,0, ,0)，2 (0,1, ,0)， ， n (0,0, ,1) 表示单位向量组。） （4）向量组1,2 , ,m 中任意向量都可以用这个向量组线性 表出，即 i 0 1 0 2 0 i1 1i 0 i1 0 m
则向量 (b1, b2 , , bm ) 可由向量组 1,2 , ,n 线性表出的充
分必要条件是线性方程组
a11k1 a21k2 an1kn b1
a12k1
a22k2
an2kn
b2
a1mk1 a2mk2 anmkn bm
有解。
【注】定理3.2.1和命题1的区别是，定理3.2.1中向量组是 1, 2 ,
（2）分量都是零的向量称为零向量，记作 O，即O (0,0, ,0)
（3）向量(a1,a2 , ,an ) 称为向量 (a1, a2 , , an ) 的负
向量，记作
2. 向量的线性运算 （1）向量的加法
定义3.1.2：设 (a1, a2 , , an )， (b1,b2 , ,bn ) ，那么向 量 (a1 b1, a2 b2 , , an bn ) 称为 与 的和，记为 ，即
n
把原始向量的序号 1,2 , ,n , 标注在矩阵右侧；
第二步：对矩阵 A 作初等行变换，化为行阶梯形矩阵，且
将每次变换的过程标注在右侧；
第三步：若最后的行阶梯形矩阵中，标注有 的行不是零行， 则向量 不能被向量组1,2, ,n 线性表出；若标注有 的行
是零行，则令标注的表达式为零，通过移项化简，则能用向量组
3
1 1 0
0
2
1
0 2
3
1 1 1 1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1 1 1 2
4 r1 r2 r1r3
0
4
2
2
4
2
1
1 2r2
0
2 1 1 22 1/ 21
0
0
2 2
1 1
1
2
2
3
0
0
2 1 1
2
1
2
2 3
1 1 1 1
2
r2 r3 r2 r4
0
2 1 1
22 1/ 21
a1 b1, a2 b2 , , an bn
【注】由此可知向量的减法
( ) a1 b1, a2 b2 , , an bn
（2）向量的数乘
定义3.1.3：设 (a1, a2 , , an ) 为 n 维向量， R ，向量 (a1, a2 , , an ) 称为数 与向量 的乘积，记作
令
1
A
2
n
若 A 0，则向量 (b1, b2 , , bn ) 可由向量组 1,2 , ,n 线性
表出。
命题1：设 m 维向量组为
1 (a11, a12, , a1m )，2 (a21, a22, , a2m )， ， n (an1, an2, , anm )， (b1,b2, ,bm )
r3 r4
0
0
0 0
0 0
0 1
2 2 2
3 1/ 21 1/ 21
1 1 1 1
2
0
2 1 1
22 1/ 21
0
0
0 0
0 0
1 0
2 2 2
1/ 21 3 1/ 21
所以，向量 不能由向量组 1,2 ,3 线性表出。
同样的题目，我们利用4.1的方法该如何做呢？
解：以 1,2 ,3, 为列向量构造矩阵 A，则有
显然
A
1T
,
T 2
,
T 3
，所以
2 0 3
5 1 0
线性412无 关。
0 0 0
8
则矩阵 A 可由列向量组 1, 2 , 3, 4 表示成 A 1, 2 , 3, 4
二. 向量组的线性组合
1. 定义3.2.2：设 ,1,2 , ,s 都是 n 维向量，如果存在 一组数 k1, k2 , , ks，使得关系式 k11 k22 kss 成立， 则称向量 是向量组 1,2 , , s 的线性组合，并称向量 可由 向量组 1,2 , , s 线性表示（或线性表出）。
向量的加法和数乘统称为向量的线性运算。
（3）向量的线性运算满足的运算规律
( ) ( ) O ( ) O 1 () () ( ) ( )
例：设1 (1,1,0)，2 (0,1,1)，3 (3,4,1)，求1 2 和 31 2 2 3
例：设有四个三维向量
(0,4,2)，1 (1,2,3)，2 (2,3,1)，3 (3,1,2) 试将向量 表示为1,2 ,3 的线性组合。
解：设存在一组数 k1, k2, k3，使得关系式 k11 k22 k33
成立，则有(0,4,2) k1(1,2,3) k2 (2,3,1) k3(3,1,2)，即
,n，共有 n 个向量，且每个向量都是 n 维，而命题1中向量
组是1,2, ,n ，共有 n 个向量，但每个向量都是 m 维。其实， 当m n 时，命题1就是定理3.2.1，所以命题1的使用范围更广。
定理3.2.2：若向量 可由 m 维向量组线性表出，则矩阵
1
2
A 的 行经初等行变换可将其化为零行。
命题3.2.2：对 m 维向量组1,2, ,n，记 A 1,2 , ,n
下列三结论等价
（1）1,2, ,n 线性相关；
（2）AX O有非零解； （3）r(A) n 或者也可以换个角度，下列三结论等价
（1）1,2, ,n 线性无关；
（2）AX O只有零解； （3）r(A) n
推论1：当m n 时，对 n 个 n 维向量1,2, ,n ，记A
根据上述定义，线性无关可定义为：
设有 n 维向量组1,2 , ,m，若只有当 k1 k2 km 0 时，才有 k11 k22 kmm O 成立，则称向量组1,2 , ,
m 线性无关。
2. 几点说明 （1）只含一个向量的向量组线性相关的充分必要条件是该 向量是零向量；只含一个向量的向量组线性无关的充分必要条件
2k1k123kk2 23kk33
0 4
3k1 k2 2k3 2
由克莱姆法则得 k1 1，k2 1，k3 1，所以向量 可以表示为
向量组 1,2 ,3 的线性组合，且 1 2 3
2. 如何判断一个向量可由一个向量组线性表出 定理3.2.1：设 n 维向量组为
1 (a11, a12, , a1n )，2 (a21, a22, , a2n )， ， n (an1, an2, , ann )， (b1,b2, ,bn )
即 V1 对于向量的加法和数乘运算封闭，所以是一个向量空间。
3.2 向量组及其线性组合
知识点 向量组的概念 向量组的线性组合（即线性表出）
一. 向量组的概念
定义3.2.1：若干个 n 维行向量（列向量）所组成的集合称 为 n 维行（列）向量组。
例如向量组
1 (1,2,1)，2 (3,4,7)，3 (2,1,5)，4 (4,6,1)
解： 1 2 (1,1,0) (0,1,1) (1,0,1) 31 22 3 3(1,1,0) 2(0,1,1) (3,4,1) (0,1,1)
三. 向量空间
定义3.1.4：设 V 为 n 维向量的集合，如果 V 非空，且 V 对 于向量的加法及数乘运算封闭，则集合 V 为向量空间。
4 1 1 0 A 0 1 1 2
2 1 0 1 2 1 0 2
要 能被向量组 1,2 ,3 线性表出，即要求非齐次线性方程组
4x1 x2 x3 0
x2 x3 2 2x1 x2 1
2x1 x2 2
有解，而由定理4.1.1知，该方程组有解的充要条件是 r(A) r(A)
【注】（1）向量 是向量组 1,2 , , s 的线性组合，和向量 可由向量组 1,2 , , s 线性表出是一个意思。
（2）O 向量是任意向量组的线性组合，或者说 O 向量可由任意 向量组线性表出。 （3）设有 n 个 n 维单位向量：
e1 (1,0, ,0)，e2 (0,1, ,0)， ，en (0,0, ,1)
解：(1)设
5 2 7 5 2 7
A
1T
,
T 2
,
T 3
2
1
1 2
1
1
因为该向量组是由3个3维9向量1组成8的，即9满足推1 论81，所以，我
们只需计算
A 527
A 2 1 1 40 18 14 63 32 5 0 9 1 8
所以 1, 2 ,3 线性相关。 (2)作初等行变换
1 2 3 1 2 3
行向量： a1, a2 , , an
列向量：
也叫行矩阵
b1
b1, b2 ,
, bn T
b2 bn
也叫列矩阵
二. 向量的线性运算
1. 几个常用知识点
（1）若 n 维向量 (a1, a2 , , an )， (b1,b2 , ,bn ) 的对应
分量都相等，即 ai bi (i 1,2, , n) 时，称 与 相等，记作
1,2 , ,n ，下列三结论等价
（1）1,2, ,n 线性相关（无关）；
（2）
有非零解（只有零解）；
AX 0
（3）
推论2A：当0 0 时，则 n 个 m 维向量
性
nm
1,2, ,n
一定线
相关。
例3：讨论下列向量组的线性相关性
(1)1 5,2,9，2 2,1,1，3 7,1,8
(2)1 1,2,0,3，2 2,5,1,0，3 3,4,1,2
封闭：若 , V，则 V；若 V， R，则 V
定义3.1.5：设有向量空间 V1 及 V2 ，若V1 V2，则称V1 是 V2
的子空间。
例：证明集合V1 (0, x2 , , xn ) | x2 , , xn R 是一个向量空
间。
证明：设 (0, a2 , , an ) V1， (0,b2 , ,bn ) V1，则 (0, a2 b2, , an bn ) V1 (0, a2, , an ) V1
n
1
推论3.2.1：向量组 1,2 ,
,n
构成的矩阵
A
2
经初
n
等行变换出现零行的充分必要条件是至少有一个向量可由其他
向量线性表出。
3. 求线性表出的方法
已知向量组1,2 , ,n , ，如何判断向量 能否由向量组 1,2 , ,n 线性表出呢？
1
2
第一步：用向量组 1,2 , ,n , 构造矩阵 A ，且
是该向量是非零向量。 （2）两个向量线性相关的充分必要条件是两向量的各分量
对应成比例；两个向量线性无关的充分必要条件是这两个向量至 少有两个对应分量不成比例。
（3）若向量组中有一部分向量（称为部分组或子组）线性 相关，则整个向量组线性相关；若整个向量组线性无关，则其任 一子组皆线性无关。
2. 判断线性相关（无关）的方法
第三章 n 维向量
3.1 向量
知识点： 向量的概念 向量的线性运算 向量空间
一. 向量的概念
定义：由 n 个有顺序的数 a1, a2 , , an 组成的有序数组
a1, a2 , , an
称为 n 维向量，数 a1, a2 , , an 称为向量 的分量（或坐标）， aj ( j 1,2, , n) 称为 的第 j 个分量（或坐标）。
3.3 向量组的线性相关性
知识点 线性相关、线性无关的概念 与向量组线性相关有关的结论 向量组线性相关的矩阵判别法
一. 线性相关与线性无关的概念
1. 定义3.3.1：设有 n 维向量组1,2 , ,m ，若存在不全为 0 的数k1, k2 , , km ，使得k11 k22 kmm O ，则称向量 组1,2 , ,m 线性相关。
1,2 , ,n 将向量 线性表出。
例：设向量组
1 (4,0,2,2)，2 (1,1,1,1)，3 (1,1,0,0)， (0,2,1,2) 问：向量 可否由1,2 ,3 线性表出？
解：
4 0 2 2 1
1 1 1 12
A 1
1
1
1 2
r1r2
4
0
2
2
1
1 1 0
0
2
1
0 2
由此可知，对于矩阵
1 2 3 4 A 1 1 4 2
3 4 11 8 （1）若令1 (1,2,3,4)，2 (1,1,4,2)，3 (3,4,11,8)，则 矩阵 A 可由行向量组 1,2 ,3 表示成
1
A
2
3
（2）若令
1
2
3
4
1
1，
2
1，
3
4
，
4
2
3
4
11