3.1-3.2 n维向量及其运算 向量组的相关性
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a1 a11 a21
(a a2 a12
a22
ij
) mn
有n个m维列向量
aj a1 j
a2 j
an a1n a2n
am1 am2 amj amn
向量组a1, a2 ,, an 称为矩阵A的列向量组.
7
类似地,
矩阵A
(aij
) mn
又有m个n维行向量
a11 a21
a12 a22
24
3.2.2 线性相关的几个重要结论
25
3.2.2 线性相关的几个重要结论
26
3.2.2 线性相关的几个重要结论
27
例3.7 n 维向量组
e1 1,0,,0T ,e2 0,1,,0T ,，en 0,0,,1T
称为n维单位坐标向量组,讨论其线性相关性 . 解 n维单位坐标向量组构成的矩阵
m个n维行向量所组成
的
向量组
T 1
,
T 2
,
m
T
,
构成一个m n矩阵
T 1
B
T 2
mT
9
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
第3章 向量组的线性相关
3.1 n维向量及其运算 3.2 向量组的线性相关 3.3 向量组的秩 3.4 向量空间简介
1
3.1 n维向量及其运算
2
3
3.1.2 n维向量的运算
5
6
3.2 向量组的线性相关性
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组．
例如 A
矩阵A
,
线性
m
无关,则向量
组B：b1
,
b2
,,
bm也
线性无
关 .反言之，若向量组B线性相关,则向量组A也线
性相关 .
31
证明： 记Arm (1,m )，B(r1)m (b1,,bm ),
则有 r( A) r(B).若向量组A线性无关,则 r( A) m， 从而有 r(B) m . 但 r(B) m (因 B 只有 m 列）， 故 r(B) m，因此向量组 B 线性无关.
注意:
1. 若 1 , 2 ,,n线性无关,则只有当
k1 kn 0时,才有
k11 k2 2 knn 0 成立 .
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是
线性相关 .
19
3.2.2 线性相关的几个重要结论 1.向量组只包含一个向量 时,若 0 则说 线性相关,若 0,则说 线性无关 . 2.对于含有两个向量的向量组,它线性相关的 充要条件是两向量的分量对应成比例
I (e1,e2 ,,en ) 是n阶单位矩阵. 由 I 1 0，及定理 3.3 的推论知， n 维单位坐标向量组线性 无关。
28
性质3.1： 设
a1 j
j
a2 j
,
arj
a1 j
a2 j
bj
,
arj
ars, j
( j 1,2,,m),
即 j添上 一 个分量后得向量bj .若向量组 A：1,2 ,
由 r( A) r(B) m,知方程组
(1,2 ,,m )x b有唯一解，即向量b 能由向量
组A线性表示，且表示式唯一.
34
说明：性质 3.1 是对增加一个分量（即维数增加 1）
而言的，若增加多个分量,结论也成立. 即
“线性无关向量组的“加长”向量组必线性无关。” 或
“线性相关向量组的“截短”向量组必线性相关。”
32
性质3.2： m 个 n维向量组成的向量组，当维数 n 小 于向量个数 m时一定线性相关.
证明 m 个 n维向量1,2 ,,m构成矩阵 Anm (1,2 ,,m )，有 r( A) n. 若n m,则 r( A) m, 故m个向量1,2 ,,m线性相关.
33
性质3.3：设向量组A :1,2 ,,m线性无关,而向量 组B :1,,m ,b 线性相关,则向量 b必能由向量组
A线性表示,且表示式是唯一的.
证明： 记A (1,2 ,,m ), B (1,2 ,,m ,b),
有r( A) r(B).因A组线性无关，有r( A) m; 因B组线性相关，有r(B) m 1.所以m r(B) m 1，即有r(B) m.
1 x1 2 x2
x
nn
b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
10
定义3.3 给定向量组A :1,2 ,,m，对于任何一
组实数k1，k2，, km，向量
k11 k2 2 km m
称为向量组的一个线性组合，k1，k2，, km称为这 个线性组合的系数.
11
给定向量组A : 1 , 2 ,, m和向量b,如果存在
若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则 称 向量组B能由向量组A线性表示 . 若向量组A与向 量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价．
线性相关性的概念
定义３.5 给定向量组A :1,2 ,,m ,如果存在不
全为零的数k1, k2 ,, km使
k11 k2 2 km m 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
a1n a2n
T 1
T 2
A ai1
ai2
ain
T i
am1 am2 amn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
8
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量组1 ,2 ,,m ,
构成一个n m矩阵
A (1 , 2 ,, m )
一
组数1，2，,
，使
m
b 11 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
即线性Fra Baidu bibliotek程组
x11 x2 2 xm m b
有解. 也就是方程组 Ax b 有解，
其中，A 1, 2 , n .
12
定义3.4 设有两个向量组
A : 1,2 ,,m及B : 1, 2 ,, s .
(a a2 a12
a22
ij
) mn
有n个m维列向量
aj a1 j
a2 j
an a1n a2n
am1 am2 amj amn
向量组a1, a2 ,, an 称为矩阵A的列向量组.
7
类似地,
矩阵A
(aij
) mn
又有m个n维行向量
a11 a21
a12 a22
24
3.2.2 线性相关的几个重要结论
25
3.2.2 线性相关的几个重要结论
26
3.2.2 线性相关的几个重要结论
27
例3.7 n 维向量组
e1 1,0,,0T ,e2 0,1,,0T ,，en 0,0,,1T
称为n维单位坐标向量组,讨论其线性相关性 . 解 n维单位坐标向量组构成的矩阵
m个n维行向量所组成
的
向量组
T 1
,
T 2
,
m
T
,
构成一个m n矩阵
T 1
B
T 2
mT
9
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
第3章 向量组的线性相关
3.1 n维向量及其运算 3.2 向量组的线性相关 3.3 向量组的秩 3.4 向量空间简介
1
3.1 n维向量及其运算
2
3
3.1.2 n维向量的运算
5
6
3.2 向量组的线性相关性
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组．
例如 A
矩阵A
,
线性
m
无关,则向量
组B：b1
,
b2
,,
bm也
线性无
关 .反言之，若向量组B线性相关,则向量组A也线
性相关 .
31
证明： 记Arm (1,m )，B(r1)m (b1,,bm ),
则有 r( A) r(B).若向量组A线性无关,则 r( A) m， 从而有 r(B) m . 但 r(B) m (因 B 只有 m 列）， 故 r(B) m，因此向量组 B 线性无关.
注意:
1. 若 1 , 2 ,,n线性无关,则只有当
k1 kn 0时,才有
k11 k2 2 knn 0 成立 .
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是
线性相关 .
19
3.2.2 线性相关的几个重要结论 1.向量组只包含一个向量 时,若 0 则说 线性相关,若 0,则说 线性无关 . 2.对于含有两个向量的向量组,它线性相关的 充要条件是两向量的分量对应成比例
I (e1,e2 ,,en ) 是n阶单位矩阵. 由 I 1 0，及定理 3.3 的推论知， n 维单位坐标向量组线性 无关。
28
性质3.1： 设
a1 j
j
a2 j
,
arj
a1 j
a2 j
bj
,
arj
ars, j
( j 1,2,,m),
即 j添上 一 个分量后得向量bj .若向量组 A：1,2 ,
由 r( A) r(B) m,知方程组
(1,2 ,,m )x b有唯一解，即向量b 能由向量
组A线性表示，且表示式唯一.
34
说明：性质 3.1 是对增加一个分量（即维数增加 1）
而言的，若增加多个分量,结论也成立. 即
“线性无关向量组的“加长”向量组必线性无关。” 或
“线性相关向量组的“截短”向量组必线性相关。”
32
性质3.2： m 个 n维向量组成的向量组，当维数 n 小 于向量个数 m时一定线性相关.
证明 m 个 n维向量1,2 ,,m构成矩阵 Anm (1,2 ,,m )，有 r( A) n. 若n m,则 r( A) m, 故m个向量1,2 ,,m线性相关.
33
性质3.3：设向量组A :1,2 ,,m线性无关,而向量 组B :1,,m ,b 线性相关,则向量 b必能由向量组
A线性表示,且表示式是唯一的.
证明： 记A (1,2 ,,m ), B (1,2 ,,m ,b),
有r( A) r(B).因A组线性无关，有r( A) m; 因B组线性相关，有r(B) m 1.所以m r(B) m 1，即有r(B) m.
1 x1 2 x2
x
nn
b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
10
定义3.3 给定向量组A :1,2 ,,m，对于任何一
组实数k1，k2，, km，向量
k11 k2 2 km m
称为向量组的一个线性组合，k1，k2，, km称为这 个线性组合的系数.
11
给定向量组A : 1 , 2 ,, m和向量b,如果存在
若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则 称 向量组B能由向量组A线性表示 . 若向量组A与向 量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价．
线性相关性的概念
定义３.5 给定向量组A :1,2 ,,m ,如果存在不
全为零的数k1, k2 ,, km使
k11 k2 2 km m 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
a1n a2n
T 1
T 2
A ai1
ai2
ain
T i
am1 am2 amn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
8
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量组1 ,2 ,,m ,
构成一个n m矩阵
A (1 , 2 ,, m )
一
组数1，2，,
，使
m
b 11 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
即线性Fra Baidu bibliotek程组
x11 x2 2 xm m b
有解. 也就是方程组 Ax b 有解，
其中，A 1, 2 , n .
12
定义3.4 设有两个向量组
A : 1,2 ,,m及B : 1, 2 ,, s .