第四章 向量组的线性相关性总结
向量组的线性相关性
例：设矩阵
2 1 1 1 2
A
1
1
2
1
4
4 6 2 2 4
3 6 9 7 9
求矩阵 的列向量的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表
示。
解：对 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵
1 1 2 1 4
A
r
~
0
定义 3：
向量组等价：设有两个向量组 A : a1, a2 ,L , am 及 B : b1, b2 ,L , bl 若 B 组中的每个向量都能 由向量组 A 线性表示，则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。若向量组 A 与向量组 B 能
相互线性表示，则称这两个向量组等价。
定理 2：向量组 B : b1, b2 ,L , bl 能由向量组 A : a1, a2 ,L , am 线性表示的充分必要条件是矩阵
性无关。
定理 5：
（1）若向量组 A : a1, a2 ,L , am 线性相关，则向量组 B : a1, a2 ,L , am , am1 也线性相关。 反言之，若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关。
（2） m 个 n 维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数 m 时一定线性相关。特别地， n 1个 n 向量线性相关。
例 ： 设 n 维 向 量 组 A : a1, a2 ,L , am 构 成 n m 矩 阵 A a1,a2,L ,an ， n 阶 单 位 矩 阵 E e1,e2,L ,en 的列向量叫做 n 维单位坐标向量。
证明： n 维单位坐标向量组 e1, e2 ,L , en 能由向量组 A : a1, a2 ,L , am 线性表示的充分必要条 件是 R(A) n .
向量组的线性相关性
二、线性相关性的判定
定理4 向量组a1, a2, …, am 线性相关的充分 必要条件是它所构成的矩阵A=(a1, a2, …, am) 的 秩小于向量个数m；向量组线性无关的充分必要 条件是R(A)=m.
作业 P110 3（1），4，10，11（1）
说明 （1）向量组 A：a1, a2, …, am 线性无关
当且仅当k1=k2= … =km=0时， k1a1 + k2a2 + … + kmam =0 才成立.
一、线性相关性的概念
（2）若向量组只包含一个向量a： a线性相关 a=0 a线性无关 a≠0
（3）含两个向量的向量组：a1, a2 线性相关 a1, a2 的分量对应成比例 几何意义：两向量共线
从而向量组 b1, b2, b3 线性无关．
二、线性相关性的判定
例3 已知向量组 a1, a2, a3 线性无关，且 b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1，
试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关．
证四 转化为矩阵的秩的问题．
1 0 1
已知
(b1
,
b2
,
b3
k1a1 k2a2 kmam 0.
一、线性相关性的概念
因k1, k2, …, km中至少有一个不为0，
不妨设 k1 0,则有
a1
k2 k1
a2
k3 k1
a3
线性相关性的判定
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例１ n 维向量组 T T T e1 1,0,,0 , e 2 0,1,,0 ,，e n 0,0,,1
称为n 维单位坐标向量组,讨论其线性相关性 .
解 n维单位坐标向量组构成的矩阵 E ( e1 , e2 , , en )
是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R( E ) n.
思考题解答
证明 （１）、（２）略． （３）充分性 , 线性相关, 存在不全为零的数x , y , 使
y y 得x y 0, 不妨设x 0, 则 , 令k x x 即可. 必要性
不妨设 k , 则有1 ( k ) 0,由定义 知 , 线性相关.
由于此方程组的系数行列式 1 0 1 1 1 0 20 0 1 1
故方程组只有零解 x1 x 2 x 3 0，所以向量组 b1 , b2 , b3线性无关.
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定理 5 (1) 若 向量组 A： 1 , 2 , , m 线性相关, 则 向量组 B : 1 , , m , m 1 也线性相关.反言之, 若向
A线性表示 , 且表示式是唯一的 .
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证明 （1） A (a1 , , am ), B (a1 , , am , am 1 )，有 记
R( B ) R( A) 1.若向量组A线性相关, 则根据定理 2，有R( A) m ，从而R( B ) R( A) 1 m 1,因此, 根据定理2知向量组B线性相关.
由R( A) R( B ) m , 知方程组 ( 1 , 2 ,, m ) x b有唯一解，即向量b能由向量 组A线性表示，且表示式唯一.
向量组的线性相关性汇总
全国高校数学微课程教学设计竞赛
一、向量组的线性相关性
定义 设有向量组1, 2,,s ,若有不全为零的数k1,k2,,ks ,使
k11+k22+ + kss=0
(1)
则称向量组1, 2,···,s 线性相关;否则称为线性无关,即当且仅 当 k1=k2==ks =0 时(1)式成立, 称向量组1, 2,,s 线性无关.
图1
图2
解：由图1可知,向量1, 2在同一平面上，所以1, 2线性 相关，而 3与1, 2不共面，所以1, 2 , 3的线性无关表
示。
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例2 讨论下面向量组的线性相关性.
2 4 2
1
1 3
,
2
2 5,3源自1 4.1
4
1
解 设 k11+k22+k33=0，则有
(3)对于2个向量1, 2
若1,
线
2
性
相
关,
有
定
义
知,
存
在
不
全
为
零
的
数k1
,
k2
,
使
k11
k2 2
0, 不妨设k1
0, 则 有1
k2 k1
2 , 即 向 量1 , 2共 线.
同理可知，若3个向量线性相关，对应在几何上，即3个 向量共面。
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二、向量组线性相关性的判别
例1 判断向量组1, 2 , 3的线性相关。
由定义可以看出：
(1)当向10量+k组2中2+1=+0时ks，s=取0,k1=1，有
(线性代数)向量组的线性相关性
即R(A)=R(A,B).
证:向量组B能由向量组A线性表示, 即对任一向量
j ( j =1, 2,···, s ), 存在数k1j, k2j, ···, knj , 使
j = k1j 1+ k2j 2 + ···+ knj n
从而有
k11 k12
k1s
(1 ,2 , ,s) （1,2,
,n
四、向量的线性表示
给定向量组A: 1, 2, ···, n和向量b, 如果存在 一组数1, 2, ···,n, 使
b = 11 + 22 + ···+ nn
则向量b是向量组A的线性组合, 并称向量b能由向量组
A线性表示.
5
1 0 0
例：
7 2
能由向量组
0
0
,
1
0
,
0
1
线性表示.
A
a11 a 21
ai1
a12 a 22
ai2
a1nn
T i
am1
am2
amn
T m
向量组1T, 2T,···, mT 称为矩阵A的行向量组.
反之, 由有限个向量所组成的向量组可以构成一 个矩阵.
n个m维列向量所组成的向量组1,2,···, n构成一
个mn矩阵
第四章 向量组的线性相关性
向量的概念
线性组合
向量的线性关系
线性相关,无关
向量组的秩 线性方程组解的结构 齐次
非齐次
§1 向量组及其线性组合
一、n 维向量的概念
n 个数字a1, a2, ···, an 组成的有序数组称为 n维向量, 这n个数称为该向量的n个分量.
线性代数--向量组线性相关性
第四章 向量组的线性相关性§4.1 向量及其运算1．向量：个数构成的有序数组, 记作n n a a a ,,,21L ),,,(21n a a a L =α, 称为维行向量．n –– 称为向量i a α的第i 个分量R ∈i a –– 称α为实向量（下面主要讨论实向量） 零向量 )0,,0,0(L =θ；负向量 ),,,()(21n a a a −−−=−L α 2．线性运算：),,,(21n a a a L =α, ),,,(21n b b b L =β相等：若, 称),,2,1(n i b a i i L ==βα=．加法：=+βα),,,(2211n n b a b a b a +++L数乘：),,,(21n ka ka ka k L =α减法：=−βα=−+)(βα),,,(2211n n b a b a b a −−−L 3．算律：),,,(21n a a a L =α,),,,(21n b b b L =β,),,,(21n c c c L =γ(1) αββα+=+ (5) αα=1(2) )()(γβαγβα++=++ (6) αα)()(l k l k =(3) αθα=+ (7) βαβαk k k +=+)((4) θαα=−+)( (8) αααl k l k +=+)(4．列向量：个数构成的有序数组, 记作, n n a a a ,,,21L ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a M 21α或者, 称为维列向量．T 21),,,(n a a a L =αn 零向量： 负向量： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000M θ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=−n a a a M 21)(α 5．内积：设实向量),,,(21n a a a L =α, ),,,(21n b b b L =β, 称 实数n n b a b a b a +++=L 2211],[βα为α与β的内积． 算律：),,,(21n a a a L =α,),,,(21n b b b L =β,),,,(21n c c c L =γ(1) ],[],[αββα=(2) ],[],[βαβαk k = （为常数）k (3) ],[],[],[γβγαγβα+=+(4) θα≠时, 0],[>αα；θα=时, 0],[=αα． (5)],[],[],[2ββααβα⋅≤证(5) R ∈∀t , 由0],[≥++βαβαt t 可得0],[],[2],[2≥++t t βββααα ⇒≤0Δ0],[],[4],[42≤⋅−ββααβα],[],[],[2ββααβα⋅≤⇒6．范数：设实向量α, 称实数],[ααα=为α的范数．性质：(1) θα≠时, 0>α；θα=时, 0=α．(2) αα⋅=k k )R (∈∀k(3) βαβα+≤+(4) βαβα−≤−证(3) ],[],[2],[],[2βββαααβαβαβα++=++=+()2222βαββαα+=++≤7．夹角：设实向量θα≠,θβ≠, 称 βαβαϕ],[arccos= )π0(≤≤ϕ为α与β之间的夹角． 正交：若0],[=βα, 称α与β正交, 记作βα⊥．(1) θα≠,θβ≠时, βα⊥2π=⇔ϕ； (2) θα=或θβ=时, βα⊥有意义, 而ϕ无意义．单位化：若θα≠, 称ααα10=为与α同方向的单位向量．§4.2 向量组的线性相关性1．线性组合：对n 维向量α及m αα,,1L , 若有数组使m k k ,,1L 得m m k k ααα++=L 11, 称α为m αα,,1L 的线性组合,或称α可由m αα,,1L 线性表示．例1 , , , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=1011β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1112β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=1133β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1354β 判断4β可否由321,,βββ线性表示?解 设3322114ββββk k k ++=，比较两端的对应分量可得, 求得一组解为．故 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−321111110311k k k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=135⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡120321k k k 3214120ββββ++=, 即4β可由321,,βββ线性表示．[注] 取另一组解时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡032321k k k 3214032ββββ++=． 2．线性相关：对n 维向量组m αα,,1L , 若有数组不全m k k ,,1L 为0, 使得 θαα=++m m k k L 11, 则称向量组m αα,,1L 线性相关；否则，称为线性无关．线性无关：对维向量组n m αα,,1L , 仅当数组全m k k ,,1L 为0时, 才有 θαα=++m m k k L 11, 称向量组m αα,,1L 线性无关；否则，称为线性相关．[注] 对于单个向量α：若θα=, 则α线性相关；若θα≠, 则α线性无关．例2 判断例1中向量组4321,,,ββββ的线性相关性． 解 设θββββ=+++44332211k k k k , 比较对应分量可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−0001111311053114321k k k k 即0=Ax ．因为未知量的个数是4, 而4rank <A , 所以0=Ax 有非零解, 由定义知4321,,,ββββ线性相关．例3 已知向量组321,,ααα线性无关, 证明向量组211ααβ+=, 322ααβ+=, 133ααβ+= 线性无关．证 设 θβββ=++332211k k k , 则有θααα=+++++332221131)()()(k k k k k k 因为321,,ααα线性无关, 所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k , 即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000110011101321k k k 系数行列式 02110011101≠=, 该齐次方程组只有零解．故321,,βββ线性无关．例4 判断向量组 )0,,0,0,1(1L =e , )0,,0,1,0(2L =e , … ,)1,0,,0,0(L =n e 的线性相关性．解 设 θ=+++n n e k e k e k L 2211, 则有⇒=θ),,,(21n k k k L 只有0,,0,021===n k k k L 故线性无关．n e e e ,,,21L 例5 设向量组m ααα,,,21L 两两正交且非零, 证明该向量组线性无关．证 设 θααα=+++m m k k k L 2211, 两端与i α作内积可得 ],[],[],[],[11i i m m i i i i k k k αθαααααα=++++L L 当j i ≠时, 0],[=j i αα, 于是有⇒=0],[i i i k αα只有0=i k )(θα≠i Q上式对于m i ,,2,1L =都成立, 故m ααα,,,21L 线性无关．3．判定定理定理1 向量组)2(,,,21≥m m αααL 线性相关⇔其中至少有一个向量可由其余1−m 个向量线性表示．证 必要性．已知m ααα,,,21L 线性相关, 则存在m k k k ,,,21L 不全为零, 使得 θααα=+++m m k k k L 2211．不妨 设, 则有 01≠k m m k k k k ααα)()(12121−++−=L ． 充分性．不妨设m m k k ααα++=L 221, 则有θααα=+++−m m k k L 221)1(因为不全为零, 所以m k k ,,,)1(2L −m ααα,,,21L 线性相关．定理2 若向量组m ααα,,,21L 线性无关, βααα,,,,21m L 线性相关, 则β可由m ααα,,,21L 线性表示, 且表示式唯一．证 因为βαα,,,1m L 线性相关, 所以存在数组不k k k m ,,,1L 全为零, 使得 θβαα=+++k k k m m L 11．若, 则 0=k θαα=++m m k k L 11, 从而有0,,01==m k k L 矛盾! 故, 从而有 0≠k m m kk k k ααβ)()(11−++−=L ．下面证明表示式唯一：若 m m k k ααβ++=L 11, m m l l ααβ++=L 11 则有 θαα=−++−m m m l k l k )()(111L因为m ααα,,,21L 线性无关, 所以0,,011=−=−m m l k l k L ⇒m m l k l k ==,,11L 即β的表示式唯一．定理3 r αα,,1L 线性相关⇒)(,,,,,11r m m r r >+ααααL L线性相关．证 因为r αα,,1L 线性相关, 所以存在数组不全为r k k ,,1L 零, 使得 θαα=++r r k k L 11, 即θαααα=++++++m r r r k k 00111L L数组不全为零, 故0,,0,,,1L L r k k m r r αααα,,,,,11L L +线性相关．推论1 含零向量的向量组线性相关．推论2 向量组线性无关⇒任意的部分组线性无关．课后作业：习题四 1, 2, 3, 4, 5定理4 设m i a a a in i i i ,,2,1,),,,(21L L ==α⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m A αααM 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a L M M M L L 212222111211 (1) m ααα,,,21L 线性相关m A <⇔rank ；(2) m ααα,,,21L 线性无关m A =⇔rank ．证 设 θααα=+++m m k k k L 2211比较等式两端向量的对应分量可得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00021212221212111M M L M M M L L m mn n n m m k k k a a a a a a a a a 即 0T =x A ．由定理3.5可得：m ααα,,,21L 线性相关0T =⇔x A 有非零解m A <⇔T rank m A <⇔rankn m 推论1 在定理4中, 当=时, 有(1) n ααα,,,21L 线性相关0det =⇔A ；(2) n ααα,,,21L 线性无关0det ≠⇔A ．n m 推论2 在定理4中, 当<时, 有(1) m ααα,,,21L 线性相关A ⇔中所有的阶子式；m 0=m D (2) m ααα,,,21L 线性无关⇔A 中至少有一个阶子式m 0≠m D ．推论3 在定理4中, 当时, 必有n m >m ααα,,,21L 线性相关．因为m n A <≤rank , 由定理4(1)即得．推论4 向量组：1T m i a a a ir i i i ,,2,1,),,,(21L L ==α向量组：2T m i a a a a in r i ir i i ,,2,1,),,,,,(1,1L L L ==+β若线性无关, 则线性无关．1T 2T 证 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=×m r m A αααM 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=r m m m r r a a a a a a a a a L M M M L L 212222111211 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=×m n m B βββM 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++n m r m r m m n r r n r r a a a a a a a a a a a a L L M M M M L L L L 1,121,222111,1111 线性无关1T m A =⇒rank是A B 的子矩阵m A B =≥⇒rank rank⇒=⇒m B rank 2T 线性无关定理5 划分, 则有[]n m n m A βββαααL M 2121=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=×(1) 中某个A ⇒≠0r D A 中“所在的”个行向量线性无关；r D r中“所在的”r 个列向量线性无关．A r D (2) 中所有中任意的r 个行向量线性相关； A A D r ⇒=0 中任意的个列向量线性相关．A r 证 只证“行的情形”：(1) 设位于的行, 作矩阵, 则有r D A r i i ,,1L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=×r i i nr B ααM 1 r i i r B αα,,rank 1L ⇒=线性无关．(2) 任取中个行, 设为行, 作矩阵,A r r i i ,,1L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=×r i i nr B ααM 1 则有r i i r B αα,,rank 1L ⇒<线性相关．[注] 称m ααα,,,21L 为的行向量组A 称n βββ,,,21L 为的列向量组A §4.3 向量组的秩与最大无关组1．向量组的秩：设向量组为T , 若(1) 在T 中有r 个向量r ααα,,,21L 线性无关；(2) 在T 中任意个向量线性相关．1+r （如果有个向量的话）1+r 称r ααα,,,21L 为向量组T 的一个最大线性无关组,称为向量组T 的秩, 记作 秩r r T =)(．[注](1) 向量组中的向量都是零向量时, 其秩为0．(2) 秩r T =)(时, T 中任意个线性无关的向量都是T 的r 一个最大无关组．例如, , , , 的秩为2． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=011α⎥⎦⎤⎢⎣⎡=102α⎥⎦⎤⎢⎣⎡=113α⎥⎦⎤⎢⎣⎡=224α 21,αα线性无关21,αα⇒是一个最大无关组31,αα线性无关31,αα⇒是一个最大无关组定理6 设, 则1rank ≥=×r A n m (1) 的行向量组（列向量组）的秩为；A r (2) 中某个中所在的r 个行向量（列向量）A A D r ⇒≠0r D 是的行向量组（列向量组）的最大无关组．A 证 只证“行的情形”：A r A ⇒=rank 中某个0≠r D , 而中所有 A 01=+r D 定理5中所在的r 个行向量线性无关A ⇒r D 中任意的A 1+r 个行向量线性相关由定义：的行向量组的秩为, 且中所在的r 个行向A r A r D 是的行向量组的最大无关组．A 例6 向量组T ：, , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=2011β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0232β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=1123β, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5324β求T 的一个最大无关组．解 构造矩阵[]4321ββββ=A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=510231202231 求得⇒=2rank A 秩2)(=T矩阵中位于1,2行1,2列的二阶子式A 022031≠= 故21,ββ是T 的一个最大无关组．[注] T 为行向量组时, 可以按行构造矩阵．A 定理7n m n m B A ××,(1) 若, 则“的列”线性相关（线性无关）B A 行→A k c c ,,1L 的充要条件是“B 的列”线性相关（线性无关）； k c c ,,1L (2) 若, 则“的行”线性相关（线性无关）B A 列→A k r r ,,1L 的充要条件是“B 的行”线性相关（线性无关）． k r r ,,1L 证 (1) 划分[]n n m A αααL 21=×, []n n m B βββL 21=× 由可得 B A 行→[][]k k c c c c ββααL L 11行→ 故方程组 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0011M M L k c c x x k αα 与方程组 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0011M M L k c c x x k ββ 同解．于是有 k c c αα,,1L 线性相关011=+ 存在不全为0, 使得⇔k x x ,,1L +k c k c x x αL α 存在不全为0, 使得⇔k x x ,,1L 011=++k c k c x x ββL ⇔k c c ββ,,1L 线性相关同理可证(2)．[注] 通常习惯于用初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵A B ,当阶梯形矩阵B 的秩为时, r B 的非零行中第一个非零元素所在的个列向量是线性无关的．r 例如：求例6中向量组T 的一个最大无关组．构造矩阵[]4321ββββ=A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=510231202231⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−→936031202231行B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→000031202231行 ⇒==2rank rank B A 秩2)(=TB 的1,2列线性无关的1,2列线性无关A ⇒21,ββ⇒是T 的一个最大无关组 例7 向量组T ：,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=31111α⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=15312α,, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−=21233c α⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=c 10624α 求向量组T 的一个最大无关组．解 对矩阵[]4321αααα=A 进行初等行变换可得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−−−−−=c c A 2131015162312311⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−−−−−−−→67401246041202311c c 行 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−→2900070041202311c c 行B c =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−→2000070041202311行 (1) ：2≠c 4rank rank ==B AB 的1,2,3,4列线性无关的1,2,3,4列线性无关 A ⇒ 故4321,,,αααα是T 的一个最大无关组；(2) ：2=c 3rank rank ==B AB 的1,2,3列线性无关的1,2,3列线性无关 A ⇒ 故321,,ααα是T 的一个最大无关组．[注] 当m ααα,,,21L 为行向量组时, 为列向量组． T T 2T 1,,,mαααL 若矩阵[]T T 2T 1m A αααL = 的列向量组的一个最大无关 组为, 则是行向量组T T ,,1r c c ααL r c c αα,,1L m ααα,,,21L 的 一个最大无关组．课后作业：习题四 7,8 （理解、记忆定理1～7）。
向量组的线性相关性
向量组的线性相关性
令向量组的线性组合为零（零向量），研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。
向量组的相关性质
（1）当向量组所含向量的个数与向量的维数相等时，该向量组构成的行列式不为零的充分必要条件是该向量组线性无关；
（2）当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关；
（3）通过向量组的正交性研究向量组的相关性；
（4）通过向量组构成的齐次线性方程组解的情况判断向量组的线性相关性；线性方程组有非零解向量组就线性相关，反之，线性无关。
（5）通过向量组的秩研究向量组的相关性。
若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的；若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的。
第四章 向量组的线性相关性总结
第四章 向量组的线性相关性§1 n 维向量概念一、向量的概念定义1 n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数i a 称为第i 个分量.注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式()12,,,n a a a a =,出可以写成一列的形式12n a a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ⨯矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ⨯矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置.注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-.解 12v v -(1,1,0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =-12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+-(31203,31214,30210)T =⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-(0,1,2)T =定义 设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。
§2 向量组的线性相关性一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,,,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,,,m k k k 称为这个线性组合的系数.定义4 给定向量组A :12,,,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,,,m λλλ,使得1122m m a a a b λλλ=+++则称向量b 是向量组A 的一个线性组合,或称向量b 可由向量组A 线性表示.注1任一个n 维向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭都可由n 维单位向量组12,,,n e e e 线性表示:1122n n a a a a e e e =+++ .注2向量b 可由向量组A :12,,,n a a a 线性表示（充要条件）⇔方程组1122n n a a a x x x b +++=有解m n A x b ⨯⇔=有解()(,)R A R A b ⇔=注3 由于线性方程组的解分为：无解，有唯一解，有无穷多解三种情况，所以向量β由向量12,,,n a a a 线性表示的情形也分为三种：不能线性表示，唯一线性表示，无穷多种线性表示，且线性表示式中的系数就是对应线性方程组的解。
第四章 向量组的线性相关性
b = λ1α1 + λ2α2 + L+ λmαm
则向量 b是向量组 A的线性组合，这时称 向量 b 能 的线性组合， 线性表示． 由向量组 A 线性表示．
例如 : α1 = (1, 2, 3), α 2 = (1, 3,1), b = (0, −1, 2) 则b = α1 − α 2 , 即b可由α1, α 2线性表示.
设 α j = (a1 j , a2 j , L , amj )T ( j = 1,2,L , n)
α x +α x +
1 1 2 2
L +
α x =b
n n
三、向量组的线性组合
1、 给定向量组 A : α 1 , α 2 , L , α m , 对于任何一
组实数 k1 , k 2 , L , k m ,
定理 3 设向量组 B : b1 , b2 , L bl能由向量组 A : a1 , a 2 , L a m 线性表示，则 线性表示， R(b1 , b2 , L bl ) ≤ R(a1 , a 2 , L a m ).
例2 设n维向量组 A : a1 , a 2 ,L a m 构成n × m 矩阵 A = (a1 , a 2 ,L a m )，n阶单位矩阵 E = (e1 , e2 , L en ) 的列向量叫做 n维单位坐标向量 . 证明： 证明： n维单位坐标向量组 e1 , e2 ,L en能由向量组 A 线性表示的充分必要条 件是R( A) = n.
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为实数的向量称为实向量， 实向量 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为复数的向量称为复向量. 复向量
例如
(1,2,3,L, n)
n维实向量 维实向量 n维复向量 维复向量
向量组的线性相关性
+
kmj am
=
(α1，α
，
2
αm
)
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
k1 k2
j j
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
⎜⎜⎝ kmj ⎟⎟⎠
⎛ k11 k12
从而(b1 ,b2 ,
,bL ) = (a1，a2，
am
)
⎜ ⎜ ⎜
k21
k22
⎜ ⎝ km1 km2
k1l ⎞
k2l
⎟ ⎟
⎟
⎟ kml ⎠
这里，矩阵 kmxl = (ki j ) 称这一线性表示的系数矩阵。
若干个同维数的列（行）向量所组成的集合叫向量组。矩阵 A = (aij )mxn 有 m 个 n 维行向量或 n 个 m 维列向量。反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成
一个矩阵。m 个 n 维列向量所组成的向量组： a1，a2， am，构成一个 nxm 矩阵
A
=
(α1，α
，
2
αm)
；
m
个
n
维行向量所组成的向量组
方程 Anxm X = En 有解的充分必要条件是 R( A) = n .
6
本例用矩阵的语言可叙述为： 对矩阵 Amxn ，存在矩阵 Qnxm ，使 AQ = Em 的充分必要条件是 R( A) = m ； 对矩阵 Amxn ，存在矩阵 Pnxm ，使 PA = En 的充分必要条件是 R( A) = n ，显然， 当 m = n 时，P、Q 便是 A 的逆阵，故上述结论可看作是逆阵概念的推广。 三、小结 1、向量、向量组、线性组合及向量组等价的的概念。 2、向量线性表示的判定方法：定义及三个定理。 四、作业，P108、2、3、4、5。
0
0
第4章向量组的线性相关性
[定义]若向量组A与B能相互线性表示 则称这两个向量组等价。
➢矩阵等价与向量组等价的关系
若矩阵A与B 行等价 则这两个矩阵的行向量组等价 若矩阵A与B 列等价 则这两个矩阵的列向量组等价
➢向量组等价的判据 [定理4-2]推论：向量组 A a1, a2, , an 与向量组 B : b1,b2, ,bm 等价的充要条件是R(A)R(B)=R(A B) 。
分量全为实数的向量称为实向量， 例如 (1,2,3,,n)
分量全为复数的向量称为复向量。 例如 (1 2i,2 3i,,n (n 1)i)
第四章 向量组的线性相关性
2、向量的表示
n维向量写成一列，称为列向量（即列矩阵），
通常用 a, b,, 等表示，如：
a1
a
a2
an
n维向量写成一行，称为行向量(即行矩阵），
1 1 1 1
1 0 3 2
~ ~ B
1 2
2 1
1 4
0
3
r
0
1
2
1
r
0
1
2
1
0 0 0 0
0 0 0 0
2
3
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
R(A) R(B) 2
向量b能由向量组 a1, a2, a3 线性表示。
第四章 向量组的线性相关性
由B最简形可得线性方程组 (a1,a2,a3)x b即Ax b 解为
(a11 a12 a1n)
(a21 a22 a2n)
(am1 am2 amn)
第四章 向量组的线性相关性
2、向量组的线性组合
4向量组的线性相关性
ｎ维向量写成一行，称为行矩阵，也就是行向量，
ｎ维向量写成一列，称为列矩阵，也就是列向量，
a1
如：
a2
an
3
2、几种特殊向量 1、元素是实数的向量称为实向量（Real Vector）.
元素是复数的向量称为复向量（Complex Vector）. 2、元素全为零的向量称为零向量（Null Vector）. 3、维数相同的列（行）向量同型. 4、对应分量相等的向量相等.
6
三维向量的全体所组成 的集合 R3 { r ( x , y , z )T x, y, z R }
叫做三维向量空间. n 维向量的全体所组成的 集合
Rn { X ( x1 , x2 , L , xn )T x1 , x2 , L , xn R } 叫做 n 维向量空间 .
7
三、应用举例
向量维数 方程的个数
16
例1.设1 (1, 2, 3, 4, 3)T ,2 (1, 2, 0, 5,1)T ,
3 (2, 4, 3, 19, 6)T ,4 (3, 6, 3, 24, 7)T
试判断1,2 ,3 ,4的线性相关性.
解 : 设k11 k22 k33 k44 0
k1 k2 2k3 3k4 0
推论:设1,2 , ...,s (s 2)是由非零向量组成的 向量组,若每个向量i (2 i s)都不是它 前面向量的线性组合,则1 ,2 , ...,s
线性无关.
从向量组中找尽量多的线性无关向量
21
例2
已知
1 0 2
a1 1,a2 2 ,a3 4 ,
1 5
7
试讨论向量组a1 , a2 , a3 及向量组a1 , a2 的线性 相关性 .
线性代数 第4章 向量组的线性相关性
线性组合: 线性组合
定义 2 给定向量组 A : α 1 , α 2 , ⋯ , α m , 对于任何一组 实数 k1， k 2， ， k m，向量 ⋯ k1α 1 + k 2α 2 + ⋯ + k mα m 称为向量组 A 的一个 线性组合 ， k1， k 2， ， k m 称为这 ⋯ 个线性组合的系数。
《线性代数》
学习要求： 学习要求：
第四章向量组的线性相关
维向量； 向量组的线性组合 向量组的线性组合； １、掌握下列基本概念：[1] n维向量；[2]向量组的线性组合；[3] 掌握下列基本概念： 维向量 向量的线性表示； 向量组的线性相关与线性无关 向量组的线性相关与线性无关； 向量组的 向量的线性表示；[4]向量组的线性相关与线性无关；[5]向量组的 极大无关组； 向量组的秩 向量组的秩； 两向量组的等价 两向量组的等价。 极大无关组；[5]向量组的秩；[6]两向量组的等价。 ２、知道向量组线性相关的性质；初步掌握用定义、定理判别向量 知道向量组线性相关的性质；初步掌握用定义、 组的线性相关性。 组的线性相关性。 ３、理解矩阵的秩和向量组的秩之间的关系，熟炼掌握用矩阵的初 理解矩阵的秩和向量组的秩之间的关系， 等变换求向量组的秩和它的极大无关组。 等变换求向量组的秩和它的极大无关组。 ４、理解线性方程组解的结构、基础解系、通解及解空间的概念。 理解线性方程组解的结构、基础解系、通解及解空间的概念。 ５、理解非齐次方程解的结构和通解的概念。 理解非齐次方程解的结构和通解的概念。 ６、熟炼掌握用矩阵来表示向量组，用矩阵及线性方程组理论判 熟炼掌握用矩阵来表示向量组， 别向量组的线性相关性。 别向量组的线性相关性。 ７、知道向量空间、子空间的概念；会求向量空间的基和维数。 知道向量空间、子空间的概念；会求向量空间的基和维数。
第四章向量组的线性相关性
若记 A （ 2, , 和 B （ b ,b B 1, m) 1,b 2, s ). 能由 A 线性表示，即对每个向 量 bj ( j 1 ,2 , ,s)存 在数 k k ,使 1j ,k 2j , mj
b k k k j 1 j 1 2 j2 mj m
个有次序的数 a ,a , ,a 所组成的 1 2 n 定义1 n 组称为 n 维向量，这 n 个数称为该向量 n 个分量
第 i 个数 a i 个分量 . i称为第
分Hale Waihona Puke 全为实数的向量称为实向量，分量中有复数的向量称为复向量.
2、n 维向量的表示方法
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 T T T T 矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如： T a ( a , a , , a ) 1 2 n n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 ,b , , 矩阵，通常用 a 等表示，如： a1 a2 a an
T
a 1n a 2n a in a mn
T 1 T 2
T i
T m
, …， m 称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
构 成 一 个 n m 矩 阵
m 个 n 维 列 向 量 所 组 成 的 向 量 组 ,2 , ,m , 1
条件是矩阵 A ( ， ， , ) 的秩等于矩阵 1 2 m
四、等价向量组
定义２设有两个向量组 A: ,m及 B: 1, 2, , s. 1, 2,
若 B 组中的每个向量都能由 向量组 A 线性表示，则 称 A 与向 向量组B 能由向量组A 线性表示 .若向量组 量组 B 能相互线性表示，则称 这两个 向量组等价．
向量组的线性相关性
k2 k3 km 1 2 3 m . k1 k1 k1
即 1 能由其余向量线性表示. 证毕.
而 1 ,, m , 线性 定理7 设 1 , 2 ,, m 线性无关, 相关, 则 能由1 ,, m 线性表示, 且表示式是唯一的 .
k1 k3 0 k1 2k 2 3k3 0 k 5k 6k 0 2 3 1
显然k1=k2=1，k3=-1，满足上式。所以存在不全为零 的数1，1，-1使 k11 k2 2 k33 0 所以 1， 2，3
线性相关。
方法二：由克莱姆法则，此方程组的系数行列式
1 0 1 1 0 1 1 0 1 R(A)=2<3,所以 A 1 1 0 0 1 1 0 1 1 方程组有非零解。 0 1 1 0 1 1 0 0 0
故 1 , 2 , , m 线性相关. 必要性 设 1 , 2 , , m 线性相关， 则有不全为0的数 k1 , k 2 ,, k m , 使
k1 1 k2 2 km m 0.
因 k1 , k2 , , km 中至少有一个不为0， 不妨设 k1 0, 则有
1 c D 1 1
1
1
1 c 1 1 1 c
r2 r1 r3 (1 c ) r1
1 c c 2 c
1
1
c 0 c 2 (3 c ) c 0
由克莱姆法则
(1)当D 0即c 0且c -3时 ， 方 程 组 只 有 零 解 ， 向 量 组 线 性 无 关 ； ( 2)当D 0即c 0或c -3时 ， 方 程 组 有 非 零 解 ， 向 量 组 线 性 相 关 。
线性代数第四章向量组的线性相关性知识要点
则 n 维向量组也线性无关. 反言之, 若 n 维向量组
线性相关, 则 r 维向量组亦线性相关.
定理 5 m 个 n 维向量组成的向量组, 当维
数 n 小于向量个数 m 时一定线性相关.
3. 向量组的秩
(1) 定义
设有向量组 T , 如果
(i) 在 T 中有 r 个向量1, 2 , · , r 线性无关; · ·
则称向量组 A 线性相关, 否则称 A 线性无关.
B 中的向量线性表示 , 则称向量组 A 能由向量组 B 线性表示 .如果 A 能由 B 线性表示 , 且 B 也能 由 A 线性表示 , 则称 A 与 B 等价 . 向量组之间的等价关系具有反身性、对称 性、传递性 .
(2) 线性相关的性质
定理 1
表示. 那么, 向量组 1, 2 , · r 就称为向量空 · ·, 间V的一个基, r 称为向量空间 V 的维数, 并称 V
为 r 维向量空间.
二 基本要求与重点、难点
基本要求 1. 掌握 n 维向量的概念, 能熟练地进行向量
的线性运算.
2. 掌握线性组合、线性表示、线性相关、线 性无关、最大无关组等概念. 能熟练地判断向量
推论 1
设向量组 A 的秩为 r1,向量组 B 的秩 等价的向量组有相同的秩.
为 r2 , 若 A 组能由 B 组线性表示, 则 r1 ≤ r2 .
推论 2
4. 向量空间
(1) 设 V 为 n 维向量的集合, 如果集合 V 非空
且集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭,那么就称
集合 V 为向量空间.
组的线性相关性, 求出其最大无关组.
3. 掌握向量组的秩、 矩阵的秩、矩阵的等价
等概念, 会求向量组的秩和矩阵的秩.
线性相关性的结论极大线性无关组
假设1,2 ,
,
线性相关.
m
则存在不全为零的数 k1, k2 , , km
使k11 k22 kmm 0. (1)
向量 可由 1,2 , ,m 线性表示.
有l11 l22 lmm , (2)
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
(1) (2)
(k1 l1 )1 (k2 l2 )2 (km lm )m
2
0
0
( 3)
(1 2
2
)
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
所以
1. 1and 3, R(1,2,3, ) R(1,2,3 ) 3,
向量 可由 1,2,3 唯一线性表示.
2. 0, R(1,2,3, ) R(1,2,3 ) 1 3; 向量 可由1,2 ,3 线性表示，但不唯一.
一、线性相关性的结论 二、极大线性无关组 三、向量组的线性表示与等价
一、线性相关性的结论
定理1 若向量组1,2 , ,m线性无关，而向量组
1,2, ,m , 线性相关，则 可由向量组
1,2 , ,m 唯一线性表示.
证明： 1,2 , ,m线性无关，则秩(1,2 , ,m )=m;
又 1,2 , ,m , 线性相关， 则秩(1,2 , ,m , )<m 1; 于是有 m=秩(1,2 , ,m ) 秩(1,2 , ,m , )<m 1; 秩(1,2 , ,m , )=m 秩(1,2 , ,m );
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
解：
1 1 1 0
因为
(1
,
2
பைடு நூலகம்
,
3
,
)
1 1
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第四章 向量组的线性相关性§1 n 维向量概念一、向量的概念定义1 n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数i a 称为第i 个分量.注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式()12,,,n a a a a =,出可以写成一列的形式12n a a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ⨯矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ⨯矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置.注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-.解 12v v -(1,1,0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =-12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+-(31203,31214,30210)T =⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-(0,1,2)T =定义 设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。
§2 向量组的线性相关性一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,,,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,,,m k k k 称为这个线性组合的系数.定义4 给定向量组A :12,,,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,,,m λλλ,使得1122m m a a a b λλλ=+++则称向量b 是向量组A 的一个线性组合,或称向量b 可由向量组A 线性表示.注1任一个n 维向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭都可由n 维单位向量组12,,,n e e e 线性表示:1122n n a a a a e e e =+++ .注2向量b 可由向量组A :12,,,n a a a 线性表示（充要条件）⇔方程组1122n n a a a x x x b +++=有解m n A x b ⨯⇔=有解()(,)R A R A b ⇔=注3 由于线性方程组的解分为：无解，有唯一解，有无穷多解三种情况，所以向量β由向量12,,,n a a a 线性表示的情形也分为三种：不能线性表示，唯一线性表示，无穷多种线性表示，且线性表示式中的系数就是对应线性方程组的解。
二、向量组的等价 1、定义定义5 设有两个n 维向量组12:,,,m A a a a ,12:,,,l B b b b ,若向量组B 中每个向量都可由向量组A 线性表示,则称向量组B 可由向量组A 线性表示;若向量组A 与向量组B 可以互相线性表示,则称这两个向量组等价.注1 向量组的等价是一种等价关系,即向量组的等价具有: 自反性、对称性、传递性. 2、向量组等价的条件 定理1向量组12:,,,l B b b b 可由向量组12:,,,m A a a a 线性表示⇔存在矩阵K ,使B AK =.证明 由于一个向量b 可由向量组A 线性表示可等价地表示成方程1122m m a a a b k k k =+++,那么若向量组B 可由组A 线性表示,则对组B 的任意向量j b 有1122j j j mj m b k k k ααα=+++1212,,,),j jm mj k k k ααα⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭（1,2,,j s =⇔ ()()1212,,,,,,m s b b b a a a =112111222212s s m m ms k k k k k k k k k ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⇔ B AK =.注2 称矩阵()m s ij K k ⨯=为这个线性表示的系数矩阵或表示矩阵. 推论1 向量组12:,,,l B b b b 可由向量组12:,,,m A a a a 线性表示⇔存在矩阵K ,使B AK = ⇔矩阵方程AX B =有解 ⇔()(,)R A R A B =推论2向量组12:,,,m A a a a 与向量组12:,,,l B b b b 等价()()(,)R A R B R A B ==.例3 设121231321311011,,,,1110213120a a b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,证明向量组12,a a 与向量组123,,b b b 等价.解13213132131101102111(,)~11102000001312000000A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭()(,)2R A R A B ∴==2131021020********~~102213000120120000B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2R B ∴=()()(,)2R A R B R A B ∴=== ∴ 向量组12,a a 与向量组123,,b b b 等价.例4 设123213121nn n n βαααβαααβααα-=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩,证明向量组12,,,n ααα与向量组12,,,n βββ等价.证明 记12(,,,)n A ααα=,12(,,,)n B βββ=,011101110K ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则由已知有B AK =.1011101(1)(1)011n K n -==--≠K ∴可逆1A BK -∴=∴向量组12,,,n ααα可由向量组12,,,n βββ线性表示，从而两向量组等价.三、线性相关与线性无关 1、向量组线性相关的概念定义1 给定向量组12,,,:m a a a A ,若存在不全为零的数12,,,m k k k ,使11220m m k k k ααα+++=则称向量组A 是线性相关的.否则称它为线性无关. 注1 向量组1,,m a a 线性无关⇔当且仅当10n λλ===时,才有11220n n λαλαλα+++=.注2 对于一个向量组,不是线性相关,就是线性无关.注3 只含一个向量a 的向量组,若0a =,则它线性相关;若0a ≠,则它线性无关. 注4 任一含有零向量的向量组线性相关.注5 两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例.注6 两向量线性相关的几何意义是两个向量共线;三个向量线性相关的几何意义是三个向量共面. 2、向量组线性相关的条件 定理1 向量组12,,,:(1)m a a a A m >线性相关⇔A 中至少有一个向量可由其余向量线性表示. 证明 设向量组12,,,:m a a a A 线性相关,则有不全为零的数12,,,m k k k 使11220m m k k k ααα+++=不妨设10k ≠,则23123111m m k k k k k k αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即1a 可由2,,m a a 线性表示;反之,设向量组A 中有一个向量可由其余1m -个向量线性表示,不妨设为m a ,则存在实数121,,,m λλλ-使 112211m m m a λαλαλα--=+++,故()11221110m m m a λαλαλα--++++-=.因为121,,,,1m λλλ-- 这m 个数不全为零,所以向量组A 线性相关.定理2 向量组12,,,:m a a a A 线性相关⇔有不全为零的数12,,,m k k k 使11220m m k k k ααα+++=.⇔齐次线性方程组11220m m x x x ααα+++=有非零解.⇔()R A m < ,其中12,,,()m a a a A =.推论1 向量组12,,,:m a a a A 线性无关⇔齐次线性方程组11220m m x x x ααα+++=只有零解.⇔()R A m = ,其中12,,,()m a a a A =.推论2 m 个m 维向量组12,,,m a a a 线性相关⇔0A = ,其中12,,,()m a a a A =.例3 设向量组123,,a a a 线性无关,112223331,,b a a b a a b a a =+=+=+,讨论向量组123,,b b b 的线性相关性.解法一 设存在123,,x x x 使1122330x b x b x b ++=,即112223331()()0,x x x αααααα+++++=（）亦即 131122233)()()0. x x x x x x ααα+++++=（123ααα，，线性无关131223000x x x x x x +=⎧⎪∴+=⎨⎪+=⎩ (1)10111020011=≠ ∴ 方程组(1)只有零解1230x x x === ∴ 向量组123,,b b b 线性无关.解法二 记112312323101(,,),(,,),110,011x A a a a B b b b K x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设0Bx = 123123101(,,)(,,)110011b b b a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B AK ∴= ()0A Kx ∴=A 的列向量线性相关 0Kx ∴=又20K =≠ 0x ∴=∴ 向量组123,,b b b 线性无关.解法三 记123123101(,,),(,,),110011A a a a B b b b K ⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭123123101(,,)(,,)110011b b b a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B AK ∴=20K =≠()()R A R B ∴= 向量组123,,a a a 线性无关()3R A ∴=()3R B ∴=∴ 向量组123,,b b b 线性无关.3、向量组线性相关的性质 性质1 若向量组12,,,:m a a a A 线性相关,则向量组112,,,:,m m a a a a B +也线性相关;反之, 若向量组112,,,:,m m a a a a B +也线性无关,则向量组12,,,:m a a a A 也线性无关.注1 性质1的结论可以简述为:部分相关则整体相关,整体无关则部分无关. 证明 记12,,,()m a a a A =11,,(,)m m a a a B +=,则()()1R B R A ≤+.由于若向量组A 线性相关,故()R A m <,于是()()11R B R A m ≤+<+,从而向量组B 线性相关.性质2 若n 维向量组11121212221212,,:,m m m n n nm a a a a a a a a a A a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关,则n s +维向量组111212122212121112112,,:,m m m n n nm m s s sm a a a a a a B b a b a b a b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭也线性无关. 注2 性质2可简述为:无关组添加分量后仍无关;反言之,相关组减少分量后仍相关. 证明 记12,,,()m a a a A =,12,,(,)m B b b b =,则()()R A R B m ≤≤.由于向量组A 线性无关,故()R A m =,于是()R B m =,从而向量组B 线性无关.性质3 当m n >时,m 个n 维向量线性相关.注3 性质3可简述为:向量个数大于维数时必线性相关. 证明 记m 个n 维向量12,,,m a a a 构成矩阵12,,,()m m n a a a A ⨯=,则()R A n m ≤<,故向量组12,,,m a a a 线性相关.性质4 若向量组12,,,:m a a a A 线性无关,而向量组12,,,:,m a a a B b 线性相关,则向量b 可由向量组A线性表示,且表示方式是惟一的. 证明 记12,,,()m a a a A =1,,(,)m a a B b =.由于若向量组A 线性无关,故()R A m =,故()()R B R A m ≥=;又由向量组B 线性相关知()1R B m <+.于是()1m R B m ≤<+,所以()()R A R B m ==,方程组Ax b =有唯一解.这表明向量b 可由向量组A 线性表示,且表示方式是惟一的.例4 设向量组123,,a a a 线性相关,而向量组234,,a a a 线性无关,证明(1) 1a 能由23,a a 线性表示; (2) 4a 不能由123,,a a a 线性表示. 证明 (1) 向量组234,,a a a 线性无关 ∴ 向量组23,a a 线性无关 又向量组123,,a a a 线性相关 ∴ 1a 能由23,a a 线性表示(2) 设4a 能由123,,a a a 线性表示,由于1a 能由23,a a 线性表示,故设4a 能由23,a a 线性表示,矛盾. 4.向量组线性相关性的几种判定向量组的线性相关的几种常用方法归纳如下： 1 定义法这是判定向量组的线性相关性的基本方法，既适用于分量没有给出的抽象向量组，也适 给出的具体向量组.定义 设向量组1a ,2a ,…, n a (n ≥1) ，若数域 F 中存在不全为零的数1k ,2k ,…,n k 使得1k 1a +2k 2a + …+n k n a = 0 ，则称向量组1a ,2a ,…, n a 线性相关，否则，则称向量组1a ,2a ,…, n a .例 1：设1β =1a +2a , 2β = 2a +3a , 3β=3a +4a , 4β=4a +1a , 证明向量组1β,2β,3β,4β线性相. 证明：设存在四个数1k ,2k ,3k ,4k ,使得1k 1β+2k 2β+3k 3β+4k 4β = 0 ，将1β =1a +2a ,2β =2a ，3β=3a +4a ,4β=4a +1a ,代入上式整理得 (1k +4k )1a +(1k +2k )2a +(3k +4k )3a +(3k +4k )4a = 0，则令1k = 3k =1 ，2k =4k = 0 ，则有1k 1a +2k 2a +3k 3a +4k 4a = 0，所以由线性相关的定义知：1β,2β,3β,4β线性相关.2利用向量组的线性相关的充要条件向量组1a ,2a ,…, n a (n ≥ 2) 的线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示.而对于单个向量1a ，1a 线性相关的充要条件是1a = 0 .如例 1，4β= 1β+2β+3β ，即β4可由其余三个向量线性表出，故向量组1β, 2β,3β, 4β线性相关3 方程组法方程组法就是将向量组的线性相关性问题转化为齐次线性方程组的有无非零解的问题.对于各分量都给出的向量组1a ,2a ,…, n a 线性相关的充要条件是以1a ,2a ,…, n a 的列向量 齐次线性方程组有非零解；若齐次线性方程组只有零解，则向量组线性无关.例 2：讨论向量组1a = (1,-2,5), 2a =(0,2,-5),3a = (-1,0,2)的线性相关性. 解：以1a ,2a ,3a 为系数的齐次线性方程组是1k -22k +33k = 0 & 01k +22k -53k = 0 & -11k +02k +23k = 0解之得1k =23k =1c ， 2k =33k =2c (其中1c ，2c 为任意常数)，故1a ,2a ,3a 线性相关.4. 矩阵秩法矩阵秩法就是将向量组构成矩阵，利用矩阵的初等变换，将矩阵化为阶梯形矩阵. 当矩阵的秩小于向量的个数，向量线性相关；当矩阵的秩等于向量的个数，向量线性无关. 5 行列式值法若向量组1a ,2a ,…,是由 n 个n 维向量所组成的向量组，且向量组1a ,2a ,…, n a 所构成的矩阵为 A = (1a ,2a ,…, n a ) ，即 A 为 n 阶方阵. 则（1）当｜ A ｜= 0，则向量组1a ,2a ,…, n a 线性相关； （2）当｜ A ｜≠ 0，则向量组1a ,2a ,…, n a 线性无关.§3极大线性无关组一、定义1.最大线性无关组：在向量组A ：s ααα,,,21 中，存在部分向量组ip i i ααα,,,21 满足：（1）ip i i ααα,,,21 线性无关；（2）对于向量组A 中任一个向量as ，都有ip i i ααα,,,21 ，as 线性相关。