相似三角形六大证明技巧

相似三角形的判定方法总结：

1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.

2. 三边成比例的两个三角形相似.（ＳSS)

3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． （SAS)

4. 两角分别相等的两个三角形相似．(AA)

5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结: “反A ”型与“反X ”型.

示意图

结论

E D C

B A

反A 型：

如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ,则△ADE ∽△

ACB （AA)，∴AE ·AC ＝AD ·AB.

若连CD 、BE ,进而能证明△ＡC Ｄ∽△A ＢE （SAS) O D

C

B

A

反X 型:

如图,已知角∠ＢAO ＝∠CDO ，则△AOB ∽△DO Ｃ（ＡA ),∴OA ·O Ｃ＝O Ｄ·ＯＢ． 若连AD ，ＢＣ，进而能证明△A ＯD ∽△ＢＯＣ.

“类射影”与射影模型

示意图

结论

A B

C

D

类射影：

如图，已知△ＡＢＣ，∠ABD ＝∠C ，则△ABD ∽△ACB （AA ）,∴2AB =ＡD ·

A Ｃ. C

A

B

H

射影定理

如图，已知∠ACB =9０°，CH ⊥AB 于H ，则222,,AC AH AB BC BH BA HC HA HB =⋅=⋅=⋅

相似三角形6大证明技巧

相似三角形证明方法

“旋转相似”与“一线三等角”

示意图

结论

A

B

C

D

E

旋转相似:

如图,已知△AB Ｃ∽△ADE ,则

AB AD

AC AE

= ,∠B ＡC ＝∠ＤAE ,∴∠BAD =∠C ＡE ，

∴△B ＡD ∽△ＣAE （ＳＡS )

C

B

A

E

D

一线三等角： 如图,已知∠A =∠C =∠DBE ，则△DAB ∽△B ＣE (ＡA )

巩固练习 反Ａ型与反X 型

已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证:(1)AE AB AF AC ⋅=⋅(２）∠ＢＥO=∠C ＦO, ∠EBO=∠F ＣO （3）∠ＯEF=∠OB Ｃ,∠OFE=∠ＯCB

O

F E

C

B

A

类射影

如图，已知2AB AC AD =⋅,求证：

BD AB BC AC

= A B

C

D

射影定理

已知△A ＢＣ，∠ＡCB =90°,CH ⊥ＡB 于H ,求证:2AC AH AB =⋅，2BC BH BA =⋅,2HC HA HB =⋅

通过前面的学习,我们知道,比例线段的证明，离不开“平行线模型”(Ａ型，X 型,线束型)，也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具,取决于我们如何思考问题． 合理的思维方法,能让模型成为解题的利刃,让复杂的问题变简单。

比例式的证明方法

在本模块中,我们将学比例式的证明中,会经常用到的思维技巧． 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 技巧四:等积代换 技巧五:证等量先证等比 技巧六：几何计算

【例1】 如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F ,求

证:DC

CF AE AD

=. A

B

C

F

D

E

【例2】 如图,ABC △中，90BAC ∠=︒,M 为BC 的中点,DM BC ⊥交CA 的延长线于D ,

交AB 于E .求证:2AM MD ME =⋅

C

B

A

E

D

M

【例3】 如图,在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，ABC ∠的平分线BE 交AC 于E ,交

AD 于F ．求证:

BF AB

BE BC

=.

D

B

A

C

F E

悄悄地替换比例式中的某条线段…

【例4】 如图，在△ＡBC,AD 平分∠BAC ，ＡD 的垂直平分线交ＡD 于E ，交BC 的延长线于

Ｆ，求证：2FD FB FC =⋅

技巧一：三点定型

技巧二：等线段代换

A

B

C

D E

F

【例5】 如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上,CE 交AD 于

F ,ECA D ∠=∠．求证:AC BE CE AD ⋅=⋅.

C

B

A D E

F

【例6】 如图,△ＡCB 为等腰直角三角形，A Ｂ=A Ｃ,∠BAC=90°，∠D ＡE=45°,求证：

2AB BE CD =⋅

A

B

C

D

E

【例7】 如图,ABC △中，AB AC =，AD 是中线,P 是AD 上一点，过C 作CF AB ∥，延

长BP 交AC 于E ，交CF 于F ．求证：2BP PE PF =⋅．

C

B

A

D

P

E

F

【例8】 如图，平行四边形ABCD 中，过B 作直线AC 、AD 于O ，E 、交CD 的延长线

于F ，求证:2OB OE OF =⋅．

技巧三：等比代换