人教版高中数学必修五 第一章疑难规律方法

1 正弦定理的几种证明方法

正弦定理是解斜三角形及其应用问题(测量)的重要定理，而证明它的方法很多，展开的思维空间很大，研究它的证明，有利于培养探索精神，思维的深度广度和灵活度. 正弦定理的内容： a sin A ＝b sin B ＝c sin C . 1.向量法

证明：在△ABC 中做单位向量i ⊥AC →

，则

i ·AB →＝i ·(AC →＋CB →)， |i ||AB →|sin A ＝|i ||CB →

|sin C ， 故

a sin A ＝c sin C

， 同理可证a sin A ＝b

sin B .

即正弦定理可证a sin A ＝b sin B ＝c sin C

. 2.高线法

证明：在△ABC 中做高线CD ，则在Rt △ADC 和Rt △BDC 中， CD ＝b sin A ， CD ＝a sin B ， 即b sin A ＝a sin B ， a sin A ＝b sin B ， 同理可证：

a sin A ＝c sin C

， 即正弦定理可证.

3.外接圆法

证明：做△ABC 的外接圆O ，过点C 连接圆心与圆交于点D ，连接AD ，设圆的半径为R ， ∴△CAD 为直角三角形，且b ＝2R sin D ，且D ＝B ， ∴b ＝2R sin B ，即b

sin B ＝2R .

同理：a sin A ＝2R ，c sin C

＝2R ， ∴

a sin A ＝

b sin B ＝

c sin C

. 4.面积法

∵S △ABC ＝12bc sin A ＝12ab sin C ＝1

2ac sin B ，

∴正弦定理可证：a sin A ＝b sin B ＝c

sin C .

2 细说三角形中解的个数

解三角形时，处理“已知两边及其一边的对角，求第三边和其他两角”问题需判断解的个数，这是一个比较棘手的问题.下面对这一问题进行深入探讨. 1.出现问题的根源

我们作图来直观地观察一下.不妨设已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，作图步骤如下：①先作出已知角A ，把未知边c 画为水平的，角A 的另一条边为已知边b ；②以边b 的不是A 点的另外一个端点为圆心，边a 为半径作圆C ；③观察圆C 与边c 交点的个数，便可得此三角形解的个数. 显然，当A 为锐角时，有如图所示的四种情况：

当A为钝角或直角时，有如图所示的两种情况：

根据上面的分析可知，由于a，b长度关系的不同，导致了问题有不同个数的解.若A为锐角，只有当a不小于b sin A时才有解，随着a的增大得到的解的个数也是不相同的.当A为钝角时，只有当a大于b时才有解.

2.解决问题的策略

(1)正弦定理法

已知△ABC的两边a，b和角A，求B.

根据正弦定理a

sin A＝

b

sin B，可得sin B＝

b sin A

a.

若sin B>1，三角形无解；若sin B＝1，三角形有且只有一解；若0

(2)余弦定理法

已知△ABC的两边a，b和角A，求c.

利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，

整理得c2－2bc cos A－a2＋b2＝0.

适合问题的上述一元二次方程的解c便为此三角形的解.

(3)公式法

当已知△ABC的两边a，b和角A时，通过前面的分析可总结三角形解的个数的判断公式如下表：

3.实例分析

例 在△ABC 中，已知A ＝45°，a ＝2，b ＝2(其中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c )，试判断符合上述条件的△ABC 有多少个？

分析 此题为“已知两边和其中一边的对角”解三角形的问题，可以利用上述办法来判断△ABC 解的情况. 解 方法一 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，

可得sin B ＝

22sin 45°＝12

<1. 又因为a >b ，所以A >B ，故B ＝30°， 所以符合条件的△ABC 只有一个. 方法二 由余弦定理，得 22＝c 2＋(2)2－2×2×c cos 45°，

即c 2－2c －2＝0，解得c ＝1±3.而1－3<0， 故仅有一解，所以符合条件的△ABC 只有一个.

方法三 A 为锐角，a >b ，故符合条件的△ABC 只有一个.

3 挖掘三角形中的隐含条件

解三角形是高中数学的重要内容，也是高考的一个热点.由于我们对三角公式比较熟悉，做题时比较容易入手.但是公式较多且性质灵活，解题时稍有不慎，常会出现增解、错解现象，其根本原因是对题设中的隐含条件挖掘不够.下面结合例子谈谈在解三角形时，题目中隐含条件的挖掘. 隐含条件1.两边之和大于第三边

例1 已知钝角三角形的三边a ＝k ，b ＝k ＋2，c ＝k ＋4，求k 的取值范围.

[错解] 设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .∵c >b >a 且△ABC 为钝角三角形，∴C 为钝角. 由余弦定理得

cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2＋(k ＋2)2－(k ＋4)2

2k (k ＋2)

＝k 2－4k －12

2k (k ＋2)

<0.

∴k 2－4k －12<0，解得－20.

综上所述，0

[点拨] 忽略了隐含条件：k ，k ＋2，k ＋4构成一个三角形，需满足k ＋(k ＋2)>k ＋4.即k >2而不是k >0. [正解] 设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .∵c >b >a ，且△ABC 为钝角三角形， ∴C 为钝角.