对数函数及其性质,对数的公式互化,详尽的讲解

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§2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算

1.对数的概念

一般地,如果a x =N (a >0,且a ≠1),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作x =log a N ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.

说明:(1)实质上,上述对数表达式,不过是指数函数y =a x 的另一种表达形式,例如:34=81与4=log 381这两个式子表达是同一关系,因此,有关系式a x =N ⇔x =log a N ,从而得对数恒等式:a log a N =N .

(2)“log ”同“+”“×”“ ”等符号一样,表示一种运算,即已知一个数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.

(3)根据对数的定义,对数log a N (a >0,且a ≠1)具有下列性质: ①零和负数没有对数,即N >0; ②1的对数为零,即log a 1=0; ③底的对数等于1,即log a a =1. 2.对数的运算法则

利用对数的运算法则,可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算,反之亦然.这种运算的互化可简化计算方法,加快计算速度.

(1)基本公式

①log a (MN )=log a M +log a N (a >0,a ≠1,M >0,N >0),即正数的积的对数,等于同一底数的各个因数的对数的和.

②log a M

N

=log a M -log a N (a >0,a ≠1,M >0,N >0),即两个正数的商的对数,等于被除

数的对数减去除数的对数.

③log a M n =n ·log a M (a >0,a ≠1,M >0,n ∈R ),即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数.

(2)对数的运算性质注意点

①必须注意M >0,N >0,例如log a [(-3)×(-4)]是存在的,但是log a (-3)与log a (-4)均不存在,故不能写成log a [(-3)×(-4)]=log a (-3)+log a (-4).

②防止出现以下错误:log a (M ±N )=log a M ±log a N ,log a (M ·N )=log a M ·log a N ,log a M

N

log a M

log a N

,log a M n =(log a M )n . 3.对数换底公式

在实际应用中,常碰到底数不为10的对数,如何求这类对数,我们有下面的对数换底

公式:log b N =log c N

log c b

(b >0,且b ≠1;c >0,且c ≠1;N >0).

证明 设log b N =x ,则b x =N .两边取以c 为底的对数,

得x log c b =log c N .所以x =log c N log c b ,即log b N =log c N

log c b

.

换底公式体现了对数运算中一种常用的转化,即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数,这是数学转化思想的具体应用.

由换底公式可推出下面两个常用公式:

(1)log b N =1

log N b 或log b N ·log N b =1 (N >0,且N ≠1;b >0,且b ≠1);

(2)log bn N m =m

n

log b N (N >0;b >0,且b ≠1;n ≠0,m ∈R )

.

题型一 正确理解对数运算性质

对于a >0且a ≠1,下列说法中,正确的是( )

①若M =N ,则log a M =log a N ; ②若log a M =log a N ,则M =N ; ③若log a M 2=log a N 2,则M =N ; ④若M =N ,则log a M 2=log a N 2.

A .①与③

B .②与④

C .②

D .①、②、③、④

解析 在①中,当M =N ≤0时,log a M 与log a N 均无意义,因此log a M =log a N 不成立. 在②中,当log a M =log a N 时,必有M >0,N >0,且M =N ,因此M =N 成立.

在③中,当log a M 2=log a N 2时,有M ≠0,N ≠0,且M 2=N 2,即|M |=|N |,但未必有M =N .例如,M =2,N =-2时,也有log a M 2=log a N 2,但M ≠N .

在④中,若M =N =0,则log a M 2与log a N 2均无意义,因此log a M 2=log a N 2不成立. 所以,只有②成立. 答案 C

点评 正确理解对数运算性质公式,是利用对数运算性质公式解题的前提条件,使用运算性质时,应牢记公式的形式及公式成立的条件.

题型二 对数运算性质的应用

求下列各式的值:

(1)2log 32-log 332

9+log 38-5log 53;

(2)lg25+2

3lg8+lg5·lg20+(lg2)2;

(3)log 52·log 79log 513

·log 734

.

分析 利用对数的性质求值,首先要明确解题目标是化异为同,先使各项底数相同,才能使用性质,再找真数间的联系,对于复杂的真数,可以先化简再计算.

解 (1)原式=2log 32-(log 332-log 39)+3log 32-3 =2log 32-5log 32+2+3log 32-3=-1.

(2)原式=2lg5+2lg2+lg 10

2

·lg(2×10)+(lg2)2

=2lg(5×2)+(1-lg2)·(lg2+1)+(lg2)2 =2+1-(lg2)2+(lg2)2=3.

(3)∵log 52·log 79log 513

·log 734=1

2log 5

2·2log 73

-log 53·13log 74

=-lg2lg5·lg3

lg7lg3lg5·13·lg4lg7

=-32.

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