条件概率的性质及其应用

条件概率及其应用摘要概率论与数理统计就是研究随机现象的统计规律的一门学科，由于在生产生活等等各个方面随机现象具有普遍性，使得概率论与数理统计具有极其广阔的应用。

概率论是对随机事物的现象进行统计规律演绎的研究，而数理统计又是对随机事物现象进行统计规律归纳的研究。

并且条件概率这个概念有是概率论与数理统计的一个重要的内容和一个基本的工具。

本文从条件概率的定义、性质、定理、应用这四个方面来解释、探讨、分析条件概率。

近年来，由于一方面它为科学技术、工农业的生产等的现代化作出了极其重要的贡献；另一方面，广泛的应用也促进概率论与数理统计有了非常大的发展。

本文从条件概率的定义、性质、定理这三个方面来解释、探讨、分析条件概率。

并从应用的角度对条件概率进行系统全面的阐述，把目前应用和后继发展进行兼顾考虑，随着科学技术、工农业的生产等的现代化的发展，该课题还存在大量的后续研究工作。

关键词：条件概率；全概率公式；贝叶斯公式；应用引言或绪论等（内容略）第一章．条件概率的定义和性质条件概率是概率论中的一个基本工具，在中产生活中有着重要作用。

在现实的世界里很少存在单一的不受别的事件影响的情况，由于事件的概率经常会由于其他时间的影响而发生改变，所以这里我们引入条件概率这一概念。

这样我们就能了解在事件B 已经发生的情况下时间A 发生的概率，这样也就解决了无条件概率不能解决的问题…例1、设在N 只鸡的总体中，有A N 条是白鸡而且有B N 条是母鸡的。

若事件A 及事件B 表示随机选取一条是白鸡及是母鸡，则P(A)= A N N P(B)= B NN现在，以所有母鸡组成的子总体代替总体的位置，我们来计算从母鸡中随机选出的一只鸡是白鸡的概率。

这概率就是AB N / B N ，其中AB N是白色母鸡的数目。

在研究某个特定的子集的时候，我们需要用一个新的符号来表达。

一般所采用的符号是P(A|B)，可读为“在事件B （所选出的鸡是母鸡的）发生的假定条件下，时间A （白鸡）发生的概率”。

采用数学符号P(A|B) =AB B N N = ()()P AB P B很显然，每一个子集本身总可以被考虑为一个总体。

为了表达上的方便，我们说一个子集时，意思是说这个子集背后还有一个较大的总体。

从上面的例子可以看出P(A)一般是与P(A|B)不同的。

再来看一个例子。

例2、从标号为1、2、3、4的四个球中，等可能地任取一个球，那么事件A ：“得标号为4”的概率P(A)=0.25 ；如果已知事件B ：“得标号为偶数”已经出现，那么这时只剩下两种可能，或得2号或得4号，所以P(A|B)=0.5在一般情况下，应该怎么样定义P(A|B)呢？由于频率与概率有很多类似的性质，先从频率的讨论开始。

设A 、B 为任一个随机试验E 中的两个事件，每次试验结果。

不外是下列四种情况中的一种。

（1）A 出现 ，B 不出现 （2）B 出现，A 不出现 （3）A,B 都出现 （4）A,B 都不出现。

现在把E 重复做n 次，分别以n1、n2、n3、n4记下四种情况出现的次数，显然4i i=1n ∑=n 。

而且B 的频率为n F （B ）=23n +n n ， AB 的频率为n F （AB ）=3nn ，在B 已经出现的条件下，A 的频率为n F （A|B ）=23nn +n ，根据这些式子，得n F （AB ）=n F （A|B ）•nF（B ）。

因此，如n F （B ）>0 就有 n F （A|B ）=n n F F （AB ）（B ）这个式子告诉我们，如何去定义P(A|B)。

我们就得到如下定义定义 设（Ω,F,P ）为概率空间，A ∈F,B ∈F,设P(B)>0 。

在事件B 已出现的条件下，事件A 出现的概率P(A|B)定义为P(A|B)=()()P AB P B 对于古典类型的随机试验，设B 含有m 个不同的基本事件，m>0 ，AB 含有k 个，以n 表示Ω中总共不同的基本事件的个数，则P(A|B)=k n m n = km类似的可以知道，对于几何随机试验，例如F(B)>0 ，我们有这样的式子P(A|B)=()()()()F AB F F B F ΩΩ=()()L AB L B 容易验证，条件概率具有概率定义中的三个基本性质： 如果P(B)>0 ,那么P （A|B ）作为A 的集函数是F 上的概率；即 （1）对每个A ∈F ，有1≥ P （A|B ）≥0 ； （2）P （Ω|B ）=1 ；（3）如m A ∈F ，m=1，2，…. ，两两互不相容，则有m m m=1m=1(|)(|)P A B P A B ∞∞=∑现在对上面的三个性质进行证明：证 （1）因≥P （B)P(AB) ，P （B)>0 ，故由（3）知1≥ P （A|B ）≥0（2） (|)P B Ω=()()P B P B Ω=()()P B P B =1 （3） m m=1(|)P A B ∞=m m=1()()P A B P B ∞=m m=1()()P A B P B ∞∑=m m=1(|)P A B ∞∑第二章．条件概率的三定理现在对条件概率来证明三条重要的定理，这就是：概率的乘法定理，全概率公式与贝叶斯（Bayes ）公式。

这些定理在概率的计算中起着重要的作为。

2.1 概率的乘法定理定理1 设1A ，2A ，….，n A 为n 个事件，n ≥2，满足12n-1()P A A A ⋅⋅⋅>0 ；则12n ()P A A A ⋅⋅⋅=121312n 12n-1()(|)(|)(|)P A P A A P A A A P A A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅上式称为乘法公式。

它的直观意义是：1A ，2A ，….，n A 同时出现的概率，等于出现1A ，在1A 出现的条件下出现2A ，在1A ，2A 出现的条件下出现3A ，⋅⋅⋅各自的概率的乘积。

证 由于1()P A ≥12()P A A ≥⋅⋅⋅≥12n-1()P A A A ⋅⋅⋅>0，故12n ()P A A A ⋅⋅⋅=121312n 12n-1()(|)(|)(|)P A P A A P A A A P A A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅右方出现的条件概率都有意义；由条件概率的定义有1231212n 112n 11212n-1()()()()=()()()()P A A A P A A P A A A P A P A A A P A P A A P A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅例1 设箱子内有a （a ≥2）个白球b 个黑球，在其中接连取三次，每一次取出一个球，取球后不还原，问三个取出来的求都是白球的概率是多少？解 以i A 表示“第i 次取得白球”这一个事件，i=1、2、3、要求的是123()P A A A 。

因为12a 2()=0a+b 2P A A ⎛⎫⎪⎝⎭>⎛⎫ ⎪⎝⎭故可用 12n ()P A A A ⋅⋅⋅=121312n 12n-1()(|)(|)(|)P A P A A P A A A P A A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 。

显然1a()=a+bP A 。

如已知第一次取得白球，箱内只剩下a-1个白球b 个黑球，可见21a-1(|)=a-1+b P A A （） ，类似得312(|)P A A A =a-2a-2+b（） 。

于是由概率的乘法公式得 123a a-1a-2()=a+b a+b-1a+b-2P A A A ⋅⋅注：这个例子中随机试验~E 是复合的：~E =123E E E ⨯⨯ 。

1Ω共含有a+b 个1ω，2Ω共含有a+b-1个2ω，3Ω共含有a+b-2个3ω，1A =（白球，球，球），2A =（球，白球，球），3A =（球，球，白球），这里“球”不论是白或者黑均可。

事件1A 对第一次试验的结果加了条件，1a()=a+b P A 。

如已知1A 出现，那么2Ω由a-1个白球b 个黑球组成，所以21a-1(|)=a-1+bP A A （） 。

如已知前二次都是得到的白球，则3Ω由a-2个白球b 个黑球构成，所以312(|)P A A A =a-2a-2+b （） 。

注意到随机试验2E 依赖于随机试验1E 后的结果，随机试验3E 依赖于随机试验1E 和随机试验2E 的结果，所以说1E 、 2E 、 3E 都是相依的随机试验。

例2 设一批产品总共有N 件，其中有M 件产品是次品，不放回地抽取三件，试求第三件猜抽到的是正品的概率。

解 令i A =｛抽到的第i 件是正品｝， i=1、2、3 于是i A 表示抽到的第i 件是次品，故所求的概率是123121312()()(|)(|)P A A A P A P A A P A A A =112M M N M N N N --=⋅⋅-- ()()(1)()12M M N M N N N --=--注：上例中的概率123()P A A A 也可以直接用古典方法求得，但是不如使用乘法公式简单方便。

这个公式中的条件概率不要从定义出发来求，而应从该条件所限制的一个较小样本空间内来求古典概率。

2.2 概率的全概率公式定理 2 设1H ，2H ，⋅⋅⋅为有穷或者可列多个互不相容的事件，n n()P H =1，()n P H >0，（n=1，2，3，⋅⋅⋅），则对任何一个事件，有()()n n =|nP P H P A H ∑（A ）.上面的式子称为全概率公式。

证明 ：由于n n ()P H =1得到n n P H ⎛⎫⎪⎝⎭（）=0 。

因为n H 互不相容，故n AH 也互不相容，n=1，2，3，⋅⋅⋅，于是()()=P A P A Ω=n n nn ()+P A H P A H ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）=()n n n()=nP AH P AH ∑由条件概率的乘法公式()()()n n n =|P AH P H P A H ；带入上面的式子得到()()n n =|nP P H P A H ∑（A ）例1 设甲盒子中有a 个白球b 个黑球，a>0，b>0，乙盒子中有c 个白球d 个黑球，自甲盒子中任意取一球放入乙盒子中，然后再从乙盒子中任取一球，试求事件A ：“从乙盒子中取得的球为白球”的概率。

解 以()12H H 表事件“自甲盒子中取出的球为白（黑）球”，显然12H H =∅，12=H H ⋃Ω，所以()12P H H ⋃=1，又()1a =a+b P H >0 ()2b=a+bP H >0 ，由全概率公式()()()2n n n=1=|P A P H P A H ∑。

但是如1H 出现，那么乙盒子中有c+1个白球，d 个黑球，所以()1|P A H =c+1c+d+1；类似得到()2|P A H =cc+d+1。