理论力学第十五章资料
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Fxi xi Fyi yi Fzi zi 0
有 FB xB FA yA 0
xB l cos, yA l sin
xB l sin , yA l cos
得 FA FB tan
已知: l,,略自重和摩擦,求 : 平衡时FA与FB关系。
(3) 定义:
虚速vA度法drtA
r
i
ri
0
FNi
ri
0
或记为
WFi 0
此方程称虚功方程,其表达的原理称虚位移原理或虚功原理:
对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是:
作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和
等于零.
解析式为
Fxi xi Fyi yi Fzi zi 0
§ 15-2 虚位移原理
解得
FBx
3 2
F
cot
k 0
cot
§ 15-2 虚位移原理
例15-3 图所示椭圆规机构中,连杆AB长为L,滑块Ａ, Ｂ与杆重均不计,忽略各处摩擦,机构在图示位置平衡.
求：主动力 FA与 FB之间的关系。
已知: l,,略自重和摩擦,求 : 平衡时FA与FB关系。
解:
(1) 几何法： 给虚位移
实位移 dr , dx, d 等
3 虚功
力在虚位移W中作F的功 r称 虚功.
4 理想约束
如果在质点系的任何虚位移中,所有约束力所作虚功的和
等于零，称这种约束为理想约束.
WN
WNi
FNi
ri
0
§ 15-2 虚位移原理
设质点系处于平衡,有
Fi Fi
FriNiF0Ni
ri
0
即
Fi
F i
rA
,
rB
,
Fi
ri
0
FA rA FB rB 0
由
rB cos rA sin
(
rA
,
rB
在
A
,B
连线上投影相等)
代入虚功方程,有
FA cosr BFB rB 0
即 FA FB tan
已知: l,,略自重和摩擦,求 : 平衡时FA与FB关系。
(2) 用解析法.建立 坐标系,由：
已知: 略自重和摩擦,求 : 平衡时M与F关系。
解: 给虚位移 , rc
wF M F rc 0
由图中关系有
ra
re sin
re
OB
h
sin
,
rC
ra
h sin 2
代入虚功方程得
M
Fh
sin 2
已知: 略自重和摩擦,求 : 平衡时M与F关系。
用虚速度法:
ve
OB
h
sin
,
vB
rB
dt
代入到
Fi
ri
0
中, 得
为虚速度
FBvB FAvA 0
由速度投影定理,有
vB cos vA sin ,
代入上式
得 FA FB tan
§ 15-2 虚位移原理
例15-4 如图所示机构,不计各构件自重与各处摩
擦,求机构在图示位置平衡时,主动力偶矩Ｍ与主动力 Ｆ之间的关系.
本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束；
fi x1, y1, z1, , xn , yn , zn 0 i 1,2, , s
n为质点系数，S 为约束方程数
§15-1 约束 ·虚位移·虚功
2 虚位移
在某瞬时,质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何
无限小的位移称为虚位移 .
虚位移 r, x, 等
WF
2Fl
FN h 2
0
因 是任意的 ，故
2Fl FN h 0
2
FN
4 l
h
F
§ 15-2 虚位移原理
例15-2 图中所示结构,各杆自重不计,在Ｇ点作用一铅直 向上的力Ｆ, AC CE CD CB DG GE l
求:支座Ｂ的水平约束力.
已知: F, AC CE CD CB DG GE l,求 : B处水平反力
如
x2 y2 l2
§15-1 约束 ·虚位移·虚功
f x, y, z 0
§15-1 约束 ·虚位移·虚功
x
2 A
y
2 A
r2
xB x A yB yA 2 l 2
yB 0 限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束.
vA r 0
xA r 0
§15-1 约束 ·虚位移·虚功
2 定常约束和非定常约束
约束条件随时间变化的称
非定常约束,否则称定常约束.
x2 y2 l0 vt 2
§15-1 约束 ·虚位移·虚功 （3） 其它分类
约束方程中包含坐标对时间的导数,且不可能积分为有
限形式的约束称非完整约束,否则为完整约束.
约束方程是等式的，称双侧约束（或称固执约束）， 约束方程为不等式的，称单侧约束（或称非固执单侧约束）。
理论力学（Ⅰ）
第十五章 虚位移原理
东北大学 应用力学研究所 李永强
第十五章 虚位移原理
§15-1 约束 ·虚位移·虚功 §15-2 虚位移原理
§15-1 约束 ·虚位移·虚功
1 约束及其分类
限制质点或质点系运动的条件称为约束，
限制条件的数学方程称为约束方程.
（1）几何约束和运动约束
限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束.
例15-1 如图所示,在螺旋压榨机的手柄AB上作用一在
水平面内的力偶(
F,
F
),其力矩
M
2Fl ,螺杆的螺
距为 h.
求:机构平衡时加在被压物体上的力.
已知: M 2Fl,螺距为h,求 : 平衡时加在物体上的力
解:给虚位移 , s,
W F
FN s 2Fl
0
与 s 满足如下关系：
s h 2
,
va
vC
h sin 2
代入到
M FvC 0 中,亦得
M
百度文库
Fh
sin 2
用建立坐标,取变分的方法,有
M F xC 0
xC h cot BC
xC
h sin2
解得
M
Fh
sin 2
例15-5 求图所示无重组合梁支座Ａ的约束力.
解:解除B端水平约束,以力FBX 代替：
wF FBxxB FyG 0 xB 2l cos , yG 3l sin xB 2l sin , yG 3l cos
代入虚功方程:
FBx 2l sin F 3l cos 0
FBx
3 2
F
cot
如图在CG 间加一弹簧,刚度K,且已有伸长量δ0 ,仍求 FBX .
在弹簧处也代之以 力,如图,其中：
FC FG k 0 WF 0 FBx xB FC yC FG yG F yG 0
xB 2l cos , yC l sin , yG 3l sin xB 2l sin , yC l cos, yG 3l cos
FBx (2l sin ) k 0l cos k 0 3l cos F 3l cos 0
有 FB xB FA yA 0
xB l cos, yA l sin
xB l sin , yA l cos
得 FA FB tan
已知: l,,略自重和摩擦,求 : 平衡时FA与FB关系。
(3) 定义:
虚速vA度法drtA
r
i
ri
0
FNi
ri
0
或记为
WFi 0
此方程称虚功方程,其表达的原理称虚位移原理或虚功原理:
对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是:
作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和
等于零.
解析式为
Fxi xi Fyi yi Fzi zi 0
§ 15-2 虚位移原理
解得
FBx
3 2
F
cot
k 0
cot
§ 15-2 虚位移原理
例15-3 图所示椭圆规机构中,连杆AB长为L,滑块Ａ, Ｂ与杆重均不计,忽略各处摩擦,机构在图示位置平衡.
求：主动力 FA与 FB之间的关系。
已知: l,,略自重和摩擦,求 : 平衡时FA与FB关系。
解:
(1) 几何法： 给虚位移
实位移 dr , dx, d 等
3 虚功
力在虚位移W中作F的功 r称 虚功.
4 理想约束
如果在质点系的任何虚位移中,所有约束力所作虚功的和
等于零，称这种约束为理想约束.
WN
WNi
FNi
ri
0
§ 15-2 虚位移原理
设质点系处于平衡,有
Fi Fi
FriNiF0Ni
ri
0
即
Fi
F i
rA
,
rB
,
Fi
ri
0
FA rA FB rB 0
由
rB cos rA sin
(
rA
,
rB
在
A
,B
连线上投影相等)
代入虚功方程,有
FA cosr BFB rB 0
即 FA FB tan
已知: l,,略自重和摩擦,求 : 平衡时FA与FB关系。
(2) 用解析法.建立 坐标系,由：
已知: 略自重和摩擦,求 : 平衡时M与F关系。
解: 给虚位移 , rc
wF M F rc 0
由图中关系有
ra
re sin
re
OB
h
sin
,
rC
ra
h sin 2
代入虚功方程得
M
Fh
sin 2
已知: 略自重和摩擦,求 : 平衡时M与F关系。
用虚速度法:
ve
OB
h
sin
,
vB
rB
dt
代入到
Fi
ri
0
中, 得
为虚速度
FBvB FAvA 0
由速度投影定理,有
vB cos vA sin ,
代入上式
得 FA FB tan
§ 15-2 虚位移原理
例15-4 如图所示机构,不计各构件自重与各处摩
擦,求机构在图示位置平衡时,主动力偶矩Ｍ与主动力 Ｆ之间的关系.
本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束；
fi x1, y1, z1, , xn , yn , zn 0 i 1,2, , s
n为质点系数，S 为约束方程数
§15-1 约束 ·虚位移·虚功
2 虚位移
在某瞬时,质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何
无限小的位移称为虚位移 .
虚位移 r, x, 等
WF
2Fl
FN h 2
0
因 是任意的 ，故
2Fl FN h 0
2
FN
4 l
h
F
§ 15-2 虚位移原理
例15-2 图中所示结构,各杆自重不计,在Ｇ点作用一铅直 向上的力Ｆ, AC CE CD CB DG GE l
求:支座Ｂ的水平约束力.
已知: F, AC CE CD CB DG GE l,求 : B处水平反力
如
x2 y2 l2
§15-1 约束 ·虚位移·虚功
f x, y, z 0
§15-1 约束 ·虚位移·虚功
x
2 A
y
2 A
r2
xB x A yB yA 2 l 2
yB 0 限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束.
vA r 0
xA r 0
§15-1 约束 ·虚位移·虚功
2 定常约束和非定常约束
约束条件随时间变化的称
非定常约束,否则称定常约束.
x2 y2 l0 vt 2
§15-1 约束 ·虚位移·虚功 （3） 其它分类
约束方程中包含坐标对时间的导数,且不可能积分为有
限形式的约束称非完整约束,否则为完整约束.
约束方程是等式的，称双侧约束（或称固执约束）， 约束方程为不等式的，称单侧约束（或称非固执单侧约束）。
理论力学（Ⅰ）
第十五章 虚位移原理
东北大学 应用力学研究所 李永强
第十五章 虚位移原理
§15-1 约束 ·虚位移·虚功 §15-2 虚位移原理
§15-1 约束 ·虚位移·虚功
1 约束及其分类
限制质点或质点系运动的条件称为约束，
限制条件的数学方程称为约束方程.
（1）几何约束和运动约束
限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束.
例15-1 如图所示,在螺旋压榨机的手柄AB上作用一在
水平面内的力偶(
F,
F
),其力矩
M
2Fl ,螺杆的螺
距为 h.
求:机构平衡时加在被压物体上的力.
已知: M 2Fl,螺距为h,求 : 平衡时加在物体上的力
解:给虚位移 , s,
W F
FN s 2Fl
0
与 s 满足如下关系：
s h 2
,
va
vC
h sin 2
代入到
M FvC 0 中,亦得
M
百度文库
Fh
sin 2
用建立坐标,取变分的方法,有
M F xC 0
xC h cot BC
xC
h sin2
解得
M
Fh
sin 2
例15-5 求图所示无重组合梁支座Ａ的约束力.
解:解除B端水平约束,以力FBX 代替：
wF FBxxB FyG 0 xB 2l cos , yG 3l sin xB 2l sin , yG 3l cos
代入虚功方程:
FBx 2l sin F 3l cos 0
FBx
3 2
F
cot
如图在CG 间加一弹簧,刚度K,且已有伸长量δ0 ,仍求 FBX .
在弹簧处也代之以 力,如图,其中：
FC FG k 0 WF 0 FBx xB FC yC FG yG F yG 0
xB 2l cos , yC l sin , yG 3l sin xB 2l sin , yC l cos, yG 3l cos
FBx (2l sin ) k 0l cos k 0 3l cos F 3l cos 0