一次函数解题方法

一.使用直译法求解一次函数应用题

所谓直译法就是将题中的关键语句“译”成代数式，然后找出函数关系、列出一次函数解析式，从而解决问题的方法。

例题1．东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元。该商场为促销制定了甲、乙两种优惠办法。

甲：买1支毛笔就赠送1本书法练习本；

乙：按购买金额打9折付款。

某校书法兴趣小组打算购买这种毛笔10支，这种书法练习本x(x>=10)本。

（1）分别写出按甲、乙两种优惠办法实际付款金额y甲（元）、y乙（元）与x之间的函数关系式。

（2）比较购买不同数量的书法练习本时，按哪种优惠办法付款最省钱。

（3）如果商场允许既可以选择一种优惠办法购买，也可以用两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10支和这种书法练习本60本设计一种最省钱的购买方案。

分析：只需根据题意，按要求将文字语言翻译成符号语言，再列出一次函数关系式即可。

解：（1）y甲=10×25+5（x-10）=5x+200（x>=10）

y乙=10×25×0.9+5×0.9×x=4.5x+225（x>=10）

（2）由（1）有：y甲-y乙=0.5x-25

若y甲-y乙=0

解得x=50

若y甲-y乙>0

解得x>50

若y甲-y乙<0

解得x<50

当购买50本书法练习本时，按两种优惠办法购买实际付款一样多，即可任选一种

优惠办法付款；当购买本数不小于10且小于50时，选择甲种优惠办法付款省钱；

当购买本数大于50时，选择乙种优惠办法付款省钱。

（3）设按甲种优惠办法购买a(0<=a<=10)支毛笔，则获赠a本书法练习本。则需要按乙种优惠办法购买10-a支毛笔和(60-a)支书法练习本。总费用为y=25a+25×0.9×

（10-a）+5×0.9×（60-a）=495-2a。故当a最大（为10）时，y最小。所以先按

甲种优惠办法购买10支毛笔得到10本书法练习本，再按乙种优惠办法购买50本

书法练习本，这样的购买方案最省钱。

说明：本题属于“计算、比较、择优”型，它运用了一次函数、方程、不等式等知识，解决了最优方案的设计问题。

二.使用列表法求解一次函数应用题

列表法就是将题目中的各个量列成一个表格，从而理顺它们之间的数量关系，以便于从中找到函数关系的解题方法。

例题2．某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。已知：生产一件A种产品需用甲种原料9kg、乙种原料3kg，可获利润700元；生产一件B种产品需用甲种原料4kg、乙种原料10kg，可获利润1200元。

（1）若安排A、B两种产品的生产，共有哪几种方案？请你设计出来。

（2）设生产A、B两种产品获得的总利润是y元，其中一种产品的生产件数是x，试写出y 与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中的哪种生产方案可以获得最大总利润。最大的总利润是多少？

分析：本题中共出现了9个数据，其中涉及甲、乙两种原料的质量，生产A、B两种产品的总件数及两种产品所获得的利润等。为了清楚地整理题目所涉及的各种信息，我们可采用列表法。

解：（1）设安排生产A种产品x件，则生产B种产品是（50-x）件

根据题意得：

解不等式组，得30<=X<=32

因为x是整数，所以x只可取30、31、32，相应的(50-x)的值是20、19、18。所

以，生产的方案有三种：生产A种产品30件，B种产品20件；生产A种产品31

件，B种产品19件；生产A种产品32件，B种产品18件。

（2）设生产A种产品的件数是x，则生产B种产品的件数是50-x。

由题意得：y=700x+1200*(50-x)=-500x+60000（其中x只能取30、31、32）

因为-500<0所以y随x的增大而减小,当x=30时，y的值最大

因此，按（1）中第一种生产方案安排生产，获得的总利润最大

最大的总利润是：-500×30+60000=45000（元）

说明：本题是先利用不等式的知识，得到几种生产方案，再利用一次函数性质得出最佳生产方案。

三.使用图示法求解一次函数应用题

所谓图示法就是用图形来表示题中的数量关系，从而观察出函数关系的解题方法。此法对于某些一次函数问题非常有效，解题过程直观明了。

例题3.某市的C县和D县上个月发生水灾，急需救灾物资10t和8t。该市的A县和B县伸出援助之手，分别募集到救灾物资12t和6t，全部赠给C县和D县。已知A、B两县运资到C、D两县的每吨物资的运费如下表所示：

（1）设B县运到C县的救灾物资为xt，求总运费w（元）关于x（t）的函数关系式，并指出x的取值范围；

（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案。

分析:本题的信息量大，数据也较多，为梳理各个量之间的关系，我们可以采用如下的图示整理信息。

解：（1）w=30x+80(6-x)+40(10-x)+50[12-(10-x)]=-40x+980

自变量x的取值范围是：0<=x<=6

（2）由（1）可知，总运费w随x的增大而减小，所以当x=6时，总运费最低。

最低总运费为-40×6+980=740（元）。

此时的运送方案是：把B县的6t全部运到C县，再从A县运4t到C县，A县余下的8t全部运到D县。

说明：本题运用函数思想得出了总运费w与x的一次函数关系。