天体运动
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L2 2 E 2V (r ) vr 2 2 m mr m
一般情况下，质点的运动轨道都是平面曲线， 这一平面由质点初位矢和初速度确定。
29
30
5
2010/12/23
轨道微分方程
dr mr 2 d L
L2 2 E 2V (r ) 2 2 m mr m
f (r ) Ar , A 0, 为任意实数
α取不同值对应不同的吸引性的有心力，
f (r ) Ar , 1
有心力具有胡克力的性质
Vequ (r ) L2 1 Ar 2 2mr 2 2
若E Emin 则vr 0, 轨道是圆
E
Vequ (r )
对应的势能的一般形式为 对应的势能的 般形式为
有心力场中，在由质点初位矢和初速度确定的平面上， 以力心为坐标原点，建立极坐标系。 系统的角动量和机械能都是守恒量：
对于吸引性有心力场， 质点初速度沿角向并满足 运动轨道是圆。
mv f (r ) r
2
mrv L, 1 m(vr2 v2 ) V (r ) E 2 L 角向和径向速度 v , mr
例
太阳质量M，行星椭圆轨道半长轴A、半短轴B。 行星的轨道运动周期T，试导出开普勒第三定律。
2
B
m
C
M
v1
1
v2
A
选择长轴的两点：近日点 1和远日点 2， 速度与径矢垂直的唯一的两点。
13
14
机械能守恒 角动量守恒
Mm Mm 1 2 1 2 mv1 G mv2 G 2 AC 2 AC 1 1 ( A C )mv1 ( A C ) mv2 2 2
积分后可得 总可选取
du
引入参量
/ p 2 u 2
pu
p
L2 , GMm 2
1
2 EL2 G M 2 m3
2
arccos
0 0
0
7
8
行星的轨道方程
p r 1 cos
行星的轨道方程
r
这是太阳位于焦点的圆锥曲线
p 1 cos
2 EL2 G M 2 m3
v2
A
r F (r ) f (r ) r
当 f (r ) 0, 斥力 当 f (r ) 0, 引力
m
2 v3
3
GMmB , 3
A2 B
引力具有弹性力的特点
A 1 B 1
对于椭圆
A B, 必有 1
27
28
有心力场中，质点初速度沿径向或为零时， 运动轨道是直线。
V (r )
1 Ar 1 C , 1 1
V (r )
Emin
其它则轨道为椭圆
Vc (r )
r1
35
r0
r2
36
r
6
2010/12/23
f (r )
A , 1 r
L2 ln r 2mr 2
Vequ (r )
A , 2 r2 有心力如引力和库仑力 E f (r )
对 r‐t 关系的定性讨论
了解 r随 t的变化范围，确定轨道是有限的，还是无穷的。 取随质点径矢一起变速转动的非惯性系
给定V(r)，积分上式，得轨道方程： 为获得r‐t，
r r ( )
质点的一维运动
1 dr L m V (r ) E 2 dt 2mr 2
这是关于 r‐t的一阶微分方程，原则上可解出 r‐t关系。
C A2 B 2
B
m
C
M
A
A C r 0 A C r
p 1 p 1
椭圆偏心率
e
0 时，为圆轨道。
11
C A
12
2
2010/12/23
各大行星轨道偏心率
水星 火星 天王星 0.206 0.098 0.051 金星 木星 海王星 0.007 0.048 0.007 地球 土星 冥王星 0.017 0.055 0.252
对于椭圆
C 0, 必有 2
从开普勒第一、第二定律，导出了引力的平方反比律
25 26
（2） 对于1、3两处
v3
2
3
B
M
m
v1 A v3 B
B2 m GMmA , 1 1 A v12
v1
1
§ 有心力场中质点的运动
存在有心力的空间称为有心力场，以力心为坐标原点， 在有心力场中质点所受力可表述成：
2 2
质点的惯性离心力 Fc m 2 r
L2 mr 3
此力是保守力，取无穷远点为势能零点，它的离心势能
Vc L2 2mr 2
能量守恒式中与角动量有关的动能项可理解为离心势能。
31 32
引入等效势能 径向能量守恒方程
Vequ (r ) Vc (r ) V (r )
有心力是排斥性的
第一宇宙速度：在地球引力作用下，贴近地面沿圆轨道 运动的飞行器速度v1。 飞行器质量 m
略去地球大气层的影响 地球半径
RE 6.37 106 m
r 1.50 10 m
11
地球轨道半径
mv12 mg RE
v1 gRE 7.9 103 m/s 7.9 km/s
太阳质量 M S 1.99 1030 kg 地表重力加速度
v
L mr
M 2E vr 2G m r
L mr
2
方案2：轨道方程
r r ( )
5
6
1
2010/12/23
确定轨道方程
dr mr d L r
2 2
d
dr / r 2 1 1 p r p
m木
M太 1047.35
太阳近似处理成不动的质点，行星运动由太阳引力支配。 卫星距大行星很近，围绕着行星的运动由行星引力支配。
多体问题 两体问题 单体问题
1
A3 k T2
2
牛顿力学结合万有引力定律 推导天体运动的开普勒三定律 极坐标系 角动量守恒 能量守恒
建立极坐标系
太阳质量记为M，待考察的行星质量记为m， 某时刻 M至 m的径矢 r和 m的速度 v。 在径矢 r和速度 v确定的平面上， 建立以 M为原点的极坐标系。
v
F
m
vr
dr , dt v dr r r d v
v r
d dt
r
M
3
4
利用角动量 L 和能量 E 守恒
行星轨道
mrv L 1 Mm m(vr2 v2 ) G E 2 r
首先可得到角向速度和径向速度 方案1：参数方程
r r (t ) (t )
从受力的角度分析
径向加速度使质点始终有径向朝外的运动趋势， 直至无穷远，故质点运动轨道必定是无限的。
1 2 mvr Vequ (r ) E 2
利用此式就可以讨论 r 随 t 的变化
有心力与离心力的合力
F合
dVequ dr
从能量的角度分析
排斥性的有心力势能 V(r)为正，随 r 的增大而减小。 离心势能
v1 AC B GM , A v2 AC B GM A
解法二
轨道1处的曲率半径 牛顿第二定律
m v12
B2 A
G
Mm ( A C )2
GM A
v1
面积速度
AC B
面积速度
( A C )v1
1 2
1 GM G B 2 A
( A C )v1
1 2
A , 3 r3
2
f (r )
L A0 m
2
A , 4 r4
L2 A 3 2 2mr 3r
Vc (r )
Vequ (r )
将引力公式代入
G
Mm r a r3
A3 G ( M m) GM m 1 T2 4 2 4 2 M
即使是行星中质量最大的木星 m
M 1047.35
确实是小到可以忽略
m 9.55 10 4 M
17
18
3
2010/12/23
例
计算第一、第二、第三宇宙速度
（1） 面积速度不变
v1 ( A C ) v2 ( A C )
m v12
2
B
m
C
M
v1
1
1 2
2 v2
GMm( A C ) GMm( A C )
v2
1 2
A
2
B A
m
C
v1
1
m
v2
M
( A C ) 2 ( A C ) 2
（1）
MS 16.6 103 m/s r
1 2 M m 1 2 mv3 G E mv3 2 RE 2
23
24
4
2010/12/23
通过天文观测，发现存在行星椭圆轨道，假设质 点间的万有引力大小与距离 r 的关系为 F GMmr 试就下面两种情况分别确定α （1）太阳在椭圆轨道的一个焦点上； （2）太阳在椭圆的中心
转到太阳系，飞行器相对太阳的速度为
uE u v3
为使飞行器恰好能脱离太阳的引力束缚，要求
（2）
uE
GM S r
M m 1 mu 2 G S 0 2 r
（3）
在地心参考系中，飞行器距地球足够远时，它相对于地球 从v3降为 v3
(1), (2), (3) v3 2 gRE (3 2 2 )G
2
p
L2 , GMm 2
1
都与行星质量无关
三种可能的轨道 三种可能的轨道：
(1) E 0 时, 1, 为双曲线之一, M位于内焦点 (2) E 0 时, 1, 为抛物线, M位于焦点
(3) E 0 时, 1, 为椭圆, M位于其中一个焦点
9 10
大行星受太阳引力束缚，E < 0，轨道是椭圆
g 9.8m/s 2
19
20
第二宇宙速度：从地面向上发射太空飞行器， 为使它能远离地球而去的最小发射速度v2。 地球质量 ME
1 2 M m mv2 G E 0 2 RE
v2 2GM E 2 gRE 2v1 11.2 103 m/s 11.2 km/s RE
21
第三宇宙速度：从地面向上发射太空飞行器，为使它能 相继脱离地球和太阳的引力束缚远离太 阳系而去的最小发射速度v3。 相对地球的最小发射速度v3需沿着地球轨道的运动方向。 地球轨道速度
2010/12/23
天体运动
太阳系中太阳是质量最大的天体，行星中质量最大的木星
§天体运动
天体运动的开普勒三定律 第一定律（轨道定律）：行星围绕太阳的运动轨道为椭圆， 太阳在椭圆的一个焦点上。 第二定律（面积定律）：行星与太阳的连线在相等的时间内 扫过相等的面积。 第三定律（周期定律）：各行星椭圆轨道半长轴 A 的三次方 与轨道运动周期 T 的二次方之比值 为相同的常量，即
上式可改写为
G
( M m) m r ma r3
除了将太阳质量 M 换成 M+m 以外，所有结果保持不变。 引入约化质量和行星相对太阳的加速度 开普勒第一、第二定律不依赖于太阳质量，保持不变。 开普勒第三定律依赖太阳质量，严格意义下不再成立。
Mm F a , 其中 M m
du
2 2
2E M L 2G 2 2 Hale Waihona Puke Baidu r mr
2
2
GMm 2 L2
2 EL2 1 GMm 2 1 G 2 M 2 m 3 L2 r
2
作变量代换
u
1 1 r p
dr r2
d
1 GM G B 2 A
行星的轨道运动周期
T
AB A 2A GM
开普勒第三定律
15
行星的轨道运动周期
T
A AB 2A GM
开普勒第三定律
16
A3 GM C T 2 4 2
A3 GM C T 2 4 2
例
对于太阳和某个行星构成的两体引力系统，若考 虑到引力对太阳的影响，开普勒三定律将作哪些修正？
Vequ (r ) L2 A 2mr 2 r
Vc (r )
Vequ (r )
若E Emin
Vc (r )
r1 r0
E
Emin
r2
V (r )
r
Vequ (r )
则vr 0,
V (r )
r0
r
轨道是圆
其它情况
E 0 椭圆; E 0 抛物线; E 0 双曲线
37 38
f (r )
等效势能的极值点对应质点所受径向合力为零的点。 若此时质点的径向动能为零，即 则质点作圆周运动。
33
r 0, Vc (r ) ; r , Vc (r ) 0
E Vequ (r )
质点的能量是守恒量，且有限，它的运动范围只能是 有限远 无穷远
34
有心力是吸引性的
吸引性的有心力的一般形式
一般情况下，质点的运动轨道都是平面曲线， 这一平面由质点初位矢和初速度确定。
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轨道微分方程
dr mr 2 d L
L2 2 E 2V (r ) 2 2 m mr m
f (r ) Ar , A 0, 为任意实数
α取不同值对应不同的吸引性的有心力，
f (r ) Ar , 1
有心力具有胡克力的性质
Vequ (r ) L2 1 Ar 2 2mr 2 2
若E Emin 则vr 0, 轨道是圆
E
Vequ (r )
对应的势能的一般形式为 对应的势能的 般形式为
有心力场中，在由质点初位矢和初速度确定的平面上， 以力心为坐标原点，建立极坐标系。 系统的角动量和机械能都是守恒量：
对于吸引性有心力场， 质点初速度沿角向并满足 运动轨道是圆。
mv f (r ) r
2
mrv L, 1 m(vr2 v2 ) V (r ) E 2 L 角向和径向速度 v , mr
例
太阳质量M，行星椭圆轨道半长轴A、半短轴B。 行星的轨道运动周期T，试导出开普勒第三定律。
2
B
m
C
M
v1
1
v2
A
选择长轴的两点：近日点 1和远日点 2， 速度与径矢垂直的唯一的两点。
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14
机械能守恒 角动量守恒
Mm Mm 1 2 1 2 mv1 G mv2 G 2 AC 2 AC 1 1 ( A C )mv1 ( A C ) mv2 2 2
积分后可得 总可选取
du
引入参量
/ p 2 u 2
pu
p
L2 , GMm 2
1
2 EL2 G M 2 m3
2
arccos
0 0
0
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8
行星的轨道方程
p r 1 cos
行星的轨道方程
r
这是太阳位于焦点的圆锥曲线
p 1 cos
2 EL2 G M 2 m3
v2
A
r F (r ) f (r ) r
当 f (r ) 0, 斥力 当 f (r ) 0, 引力
m
2 v3
3
GMmB , 3
A2 B
引力具有弹性力的特点
A 1 B 1
对于椭圆
A B, 必有 1
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有心力场中，质点初速度沿径向或为零时， 运动轨道是直线。
V (r )
1 Ar 1 C , 1 1
V (r )
Emin
其它则轨道为椭圆
Vc (r )
r1
35
r0
r2
36
r
6
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f (r )
A , 1 r
L2 ln r 2mr 2
Vequ (r )
A , 2 r2 有心力如引力和库仑力 E f (r )
对 r‐t 关系的定性讨论
了解 r随 t的变化范围，确定轨道是有限的，还是无穷的。 取随质点径矢一起变速转动的非惯性系
给定V(r)，积分上式，得轨道方程： 为获得r‐t，
r r ( )
质点的一维运动
1 dr L m V (r ) E 2 dt 2mr 2
这是关于 r‐t的一阶微分方程，原则上可解出 r‐t关系。
C A2 B 2
B
m
C
M
A
A C r 0 A C r
p 1 p 1
椭圆偏心率
e
0 时，为圆轨道。
11
C A
12
2
2010/12/23
各大行星轨道偏心率
水星 火星 天王星 0.206 0.098 0.051 金星 木星 海王星 0.007 0.048 0.007 地球 土星 冥王星 0.017 0.055 0.252
对于椭圆
C 0, 必有 2
从开普勒第一、第二定律，导出了引力的平方反比律
25 26
（2） 对于1、3两处
v3
2
3
B
M
m
v1 A v3 B
B2 m GMmA , 1 1 A v12
v1
1
§ 有心力场中质点的运动
存在有心力的空间称为有心力场，以力心为坐标原点， 在有心力场中质点所受力可表述成：
2 2
质点的惯性离心力 Fc m 2 r
L2 mr 3
此力是保守力，取无穷远点为势能零点，它的离心势能
Vc L2 2mr 2
能量守恒式中与角动量有关的动能项可理解为离心势能。
31 32
引入等效势能 径向能量守恒方程
Vequ (r ) Vc (r ) V (r )
有心力是排斥性的
第一宇宙速度：在地球引力作用下，贴近地面沿圆轨道 运动的飞行器速度v1。 飞行器质量 m
略去地球大气层的影响 地球半径
RE 6.37 106 m
r 1.50 10 m
11
地球轨道半径
mv12 mg RE
v1 gRE 7.9 103 m/s 7.9 km/s
太阳质量 M S 1.99 1030 kg 地表重力加速度
v
L mr
M 2E vr 2G m r
L mr
2
方案2：轨道方程
r r ( )
5
6
1
2010/12/23
确定轨道方程
dr mr d L r
2 2
d
dr / r 2 1 1 p r p
m木
M太 1047.35
太阳近似处理成不动的质点，行星运动由太阳引力支配。 卫星距大行星很近，围绕着行星的运动由行星引力支配。
多体问题 两体问题 单体问题
1
A3 k T2
2
牛顿力学结合万有引力定律 推导天体运动的开普勒三定律 极坐标系 角动量守恒 能量守恒
建立极坐标系
太阳质量记为M，待考察的行星质量记为m， 某时刻 M至 m的径矢 r和 m的速度 v。 在径矢 r和速度 v确定的平面上， 建立以 M为原点的极坐标系。
v
F
m
vr
dr , dt v dr r r d v
v r
d dt
r
M
3
4
利用角动量 L 和能量 E 守恒
行星轨道
mrv L 1 Mm m(vr2 v2 ) G E 2 r
首先可得到角向速度和径向速度 方案1：参数方程
r r (t ) (t )
从受力的角度分析
径向加速度使质点始终有径向朝外的运动趋势， 直至无穷远，故质点运动轨道必定是无限的。
1 2 mvr Vequ (r ) E 2
利用此式就可以讨论 r 随 t 的变化
有心力与离心力的合力
F合
dVequ dr
从能量的角度分析
排斥性的有心力势能 V(r)为正，随 r 的增大而减小。 离心势能
v1 AC B GM , A v2 AC B GM A
解法二
轨道1处的曲率半径 牛顿第二定律
m v12
B2 A
G
Mm ( A C )2
GM A
v1
面积速度
AC B
面积速度
( A C )v1
1 2
1 GM G B 2 A
( A C )v1
1 2
A , 3 r3
2
f (r )
L A0 m
2
A , 4 r4
L2 A 3 2 2mr 3r
Vc (r )
Vequ (r )
将引力公式代入
G
Mm r a r3
A3 G ( M m) GM m 1 T2 4 2 4 2 M
即使是行星中质量最大的木星 m
M 1047.35
确实是小到可以忽略
m 9.55 10 4 M
17
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2010/12/23
例
计算第一、第二、第三宇宙速度
（1） 面积速度不变
v1 ( A C ) v2 ( A C )
m v12
2
B
m
C
M
v1
1
1 2
2 v2
GMm( A C ) GMm( A C )
v2
1 2
A
2
B A
m
C
v1
1
m
v2
M
( A C ) 2 ( A C ) 2
（1）
MS 16.6 103 m/s r
1 2 M m 1 2 mv3 G E mv3 2 RE 2
23
24
4
2010/12/23
通过天文观测，发现存在行星椭圆轨道，假设质 点间的万有引力大小与距离 r 的关系为 F GMmr 试就下面两种情况分别确定α （1）太阳在椭圆轨道的一个焦点上； （2）太阳在椭圆的中心
转到太阳系，飞行器相对太阳的速度为
uE u v3
为使飞行器恰好能脱离太阳的引力束缚，要求
（2）
uE
GM S r
M m 1 mu 2 G S 0 2 r
（3）
在地心参考系中，飞行器距地球足够远时，它相对于地球 从v3降为 v3
(1), (2), (3) v3 2 gRE (3 2 2 )G
2
p
L2 , GMm 2
1
都与行星质量无关
三种可能的轨道 三种可能的轨道：
(1) E 0 时, 1, 为双曲线之一, M位于内焦点 (2) E 0 时, 1, 为抛物线, M位于焦点
(3) E 0 时, 1, 为椭圆, M位于其中一个焦点
9 10
大行星受太阳引力束缚，E < 0，轨道是椭圆
g 9.8m/s 2
19
20
第二宇宙速度：从地面向上发射太空飞行器， 为使它能远离地球而去的最小发射速度v2。 地球质量 ME
1 2 M m mv2 G E 0 2 RE
v2 2GM E 2 gRE 2v1 11.2 103 m/s 11.2 km/s RE
21
第三宇宙速度：从地面向上发射太空飞行器，为使它能 相继脱离地球和太阳的引力束缚远离太 阳系而去的最小发射速度v3。 相对地球的最小发射速度v3需沿着地球轨道的运动方向。 地球轨道速度
2010/12/23
天体运动
太阳系中太阳是质量最大的天体，行星中质量最大的木星
§天体运动
天体运动的开普勒三定律 第一定律（轨道定律）：行星围绕太阳的运动轨道为椭圆， 太阳在椭圆的一个焦点上。 第二定律（面积定律）：行星与太阳的连线在相等的时间内 扫过相等的面积。 第三定律（周期定律）：各行星椭圆轨道半长轴 A 的三次方 与轨道运动周期 T 的二次方之比值 为相同的常量，即
上式可改写为
G
( M m) m r ma r3
除了将太阳质量 M 换成 M+m 以外，所有结果保持不变。 引入约化质量和行星相对太阳的加速度 开普勒第一、第二定律不依赖于太阳质量，保持不变。 开普勒第三定律依赖太阳质量，严格意义下不再成立。
Mm F a , 其中 M m
du
2 2
2E M L 2G 2 2 Hale Waihona Puke Baidu r mr
2
2
GMm 2 L2
2 EL2 1 GMm 2 1 G 2 M 2 m 3 L2 r
2
作变量代换
u
1 1 r p
dr r2
d
1 GM G B 2 A
行星的轨道运动周期
T
AB A 2A GM
开普勒第三定律
15
行星的轨道运动周期
T
A AB 2A GM
开普勒第三定律
16
A3 GM C T 2 4 2
A3 GM C T 2 4 2
例
对于太阳和某个行星构成的两体引力系统，若考 虑到引力对太阳的影响，开普勒三定律将作哪些修正？
Vequ (r ) L2 A 2mr 2 r
Vc (r )
Vequ (r )
若E Emin
Vc (r )
r1 r0
E
Emin
r2
V (r )
r
Vequ (r )
则vr 0,
V (r )
r0
r
轨道是圆
其它情况
E 0 椭圆; E 0 抛物线; E 0 双曲线
37 38
f (r )
等效势能的极值点对应质点所受径向合力为零的点。 若此时质点的径向动能为零，即 则质点作圆周运动。
33
r 0, Vc (r ) ; r , Vc (r ) 0
E Vequ (r )
质点的能量是守恒量，且有限，它的运动范围只能是 有限远 无穷远
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有心力是吸引性的
吸引性的有心力的一般形式