一 均值比较和T检验及F检验

T 检验原理及公式
t 检验是用 t 分布理论来推论差异发生的概率，从而比较两个平均数的差异是否显著。 t 检验分为单总体 t 检验和双总体 t 检验。当总体呈正态分布，如果总体标准差未知，而且样 本容量 n <30，那么这时一切可能的样本平均数与总体平均数的离差统计量呈 t 分布。
对于要使用 T 检验进行均值比较的变量应该是正态分布的。 如果分析变量明显是非正态 分布的，应该选择非参数检验过程。
t 检验过程，是对两样本均数(mean)差别的显著性进行检验。惟 t 检验须知道两个总体的方 差(Variances)是否相等；t 检验值的计算会因方差是否相等而有所不同。也就是说，t 检验 须视乎方差齐性(Equality of Variances)结果。所以，SPSS 在进行 t-test for Equality of Means 的同时，也要做 Levene's Test for Equality of Variances 。 1. 在 Levene's Test for Equality of Variances 一栏中 F 值为 2.36, Sig.为.128， 表示方差齐 性检验「没有显著差异」，即两方差齐(Equal Variances)，故下面 t 检验的结果表中要看第 一排的数据，亦即方差齐的情况下的 t 检验的结果。 2. 在 t-test for Equality of Means 中，第一排(Variances=Equal)的情况：t=8.892, df=84, 2-Tail Sig=.000, Mean Difference=22.99 既然 Sig=.000，亦即，两样本均数差别有显著性意义！ 3. 到底看哪个 Levene's Test for Equality of Variances 一栏中 sig,还是看 t-test for Equality of Means 中那个 Sig. (2-tailed)啊? 答案是：两个都要看。 先看 Levene's Test for Equality of Variances，如果方差齐性检验「没有显著差异」，即两 方差齐(Equal Variances)，故接著的 t 检验的结果表中要看第一排的数据，亦即方差齐的情 况下的 t 检验的结果。 反之，如果方差齐性检验「有显著差异」，即两方差不齐(Unequal Variances)，故接著的 t 检验的结果表中要看第二排的数据，亦即方差不齐的情况下的 t 检验的结果。 4.你做的是 T 检验，为什么会有 F 值呢? 就是因为要评估两个总体的方差(Variances)是否相等，要做 Levene's Test for Equality of Variances，要检验方差，故所以就有 F 值。 简单来说就是实用 T 检验是有条件的，其中之一就是要符合方差齐次性，这点需要 F 检验 来验证。
Means 过程
SPSS 的均值比较过程（MEANS）用于分组计算、比较指定变量的描述性统计量，如总 和、均值、方差、标准差、观测数等，还可以给出方差分析表和线性检验结果等信息。当观 测量按一个分类变量分组时，MEANS 过程可以进行分组计算看。
正态分布
正态分布又名高斯分布（Gaussian distribution） ，是一个在数学、物理及工程等领域 都非常重要的概率分布， 在统计学的许多方面有着重大的影响力。 若随机变量 X 服从一个数 2 学期望为 μ、 标准方差为 σ 的高斯分布， 记为：则其概率密度函数为正态分布的期望值 μ 决定了其位置，其标准差 σ 决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为 钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是 μ = 0,σ = 1 的正态分布。
2. 统计学意义（P 值或 sig 值）
结果的统计学意义是结果真实程度（能够代表总体）的一种估计方法。专业上，p 值为结果 可信程度的一个递减指标，p 值越大，我们越不能认为样本中变量的关联是总体中各变量关 联的可靠指标。p 值是将观察结果认为有效即具有总体代表性的犯错概率。如 p=0.05 提示 样本中变量关联有 5%的可能是由于偶然性造成的。即假设总体中任意变量间均无关联，我 们重复类似实验，会发现约 20 个实验中有一个实验，我们所研究的变量关联将等于或强于 我们的实验结果。 （这并不是说如果变量间存在关联，我们可得到 5%或 95%次数的相同结 果，当总体中的变量存在关联，重复研究和发现关联的可能性与设计的统计学效力有关。） 在许多研究领域，0.05 的 p 值通常被认为是可接受错误的边界水平。
已知时，用 Z
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X

n
单总体
未知时，用 t
X (df n 1) S n
在这里， S 表示总体标准差的估计量，它与样本标准差 X 的关系是：
S
n X n 1
1 ， 2 已知且是独立样本时，用
I 单总体 t 检验
（检验假设：检验单个变量的均值是否与给定的常数之间存在差异。即样本均值与总体均 值相等的假设） 单总体 t 检验是检验一个样本平均数与一已知的总体平均数的差异是否显著。当总体分 布是正态分布，如总体标准差 未知且样本容量 n <30，那么样本平均数与总体平均数的离 差统计量呈 t 分布。检验统计量为：
3. T 检验和 F 检验
至於具体要检定的内容，须看你是在做哪一个统计程序。 举一个例子，比如，你要检验两独立样本均数差异是否能推论至总体，而行的 t 检验。 两样本(如某班男生和女生)某变量(如身高)的均数并不相同，但这差别是否能推论至总体， 代表总体的情况也是存在著差异呢？ 会不会总体中男女生根本没有差别，只不过是你那麼巧抽到这 2 样本的数值不同？ 为此，我们进行 t 检定，算出一个 t 检定值。 与统计学家建立的以「总体中没差别」作基础的随机变量 t 分布进行比较，看看在多少%的 机会(亦即显著性 sig 值)下会得到目前的结果。 若显著性 sig 值很少，比如<0.05(少於 5%机率)，亦即是说，「如果」总体「真的」没有差 别，那麼就只有在机会很少(5%)、很罕有的情况下，才会出现目前这样本的情况。虽然还 是有 5%机会出错(1-0.05=5%)， 但我们还是可以 「比较有信心」 的说： 目前样本中这情况(男 女生出现差异的情况)不是巧合，是具统计学意义的，「总体中男女生不存差异」的虚无假 设应予拒绝，简言之，总体应该存在著差异。 每一种统计方法的检定的内容都不相同，同样是 t-检定，可能是上述的检定总体中是否存在 差异，也同能是检定总体中的单一值是否等於 0 或者等於某一个数值。 至於 F-检定，方差分析(或译变异数分析，Analysis of Variance)，它的原理大致也是上面说 的，但它是透过检视变量的方差而进行的。它主要用于：均数差别的显著性检验、分离各有 关因素并估计其对总变异的作用、 分析因素间的交互作用、 方差齐性(Equality of Variances) 检验等情况。 3，T 检验和 F 检验的关系
(x x ) (x
2 1 1
2
x2 ) 2
n1 n2 2
方差不齐时使用公式 t
x1 x2 v1 v2 n1 n2
例：某校二年级学生期中英语考试成绩，其平均分数为 73 分，标准差为 17 分，期末 考试后，随机抽取 20 人的英语成绩，其平均分数为 79.2 分。问二年级学生的英语成绩是否 有显著性进步？ 检验步骤如下： 第一步 第二步 建立原假设 H 0∶ =73 计算 t 值
t
X1 X 2
2 X 2 X X 2 X1
2 1 2
n 1
=
79.5 71 9.1242 9.9402 2 0.704 9.124 9.940 10 1
=3.459。 第三步 判断 根据自由度 df n 1 9 ，查 t 值表 t (9)0.05 2.262 ， t (9)0.01 3.250 。由于实际计 算出来的 t =3.495>3.250= t (9)0.01 ，则 P 0.01 ，故拒绝原假设。 结论为：两次测验成绩有及其显著地差异。 由以上可以看出，对平均数差异显著性检验比较复杂，究竟使用 Z 检验还是使用 t 检 验必须根据具体情况而定，为了便于掌握各种情况下的 Z 检验或 t 检验，我们用以下一览表 图示加以说明。
T 检验、F 检验的由来
1. T 检验和 F 检验的由来
一般而言，为了确定从样本(sample)统计结果推论至总体时所犯错的概率，我们会利用统计 学家所开发的一些统计方法，进行统计检定。 通过把所得到的统计检定值，与统计学家建立了一些随机变量的概率分布 (probability distribution)进行比较，我们可以知道在多少%的机会下会得到目前的结果。倘若经比较后 发现，出现这结果的机率很少，亦即是说，是在机会很少、很罕有的情况下才出现；那我们 便可以有信心的说，这不是巧合，是具有统计学上的意义的(用统计学的话讲，就是能够拒 绝虚无假设 null hypothesis,Ho)。相反，若比较后发现，出现的机率很高，并不罕见；那我 们便不能很有信心的直指这不是巧合，也许是巧合，也许不是，但我们没能确定。 F 值和 t 值就是这些统计检定值，与它们相对应的概率分布，就是 F 分布和 t 分布。统计显 著性（sig）就是出现目前样本这结果的机率。
II 双总体 t 检验
双总体 t 检验是检验两个样本平均数与其各自所代表的总体的差异是否显著。双总体 t 检验又分为两种情况 一． 独立样本 t 检验 （检验假设：两个独立样本的 t 检验用于检验两个不相关的样本来自具有相同均值的 总体） 独立样本平均数的显著性检验。各实验处理组之间毫无相关存在，即为独立样本。该检 验用于检验两组非相关样本被试所获得的数据的差异性。 独立样本 T 检验要求被检验的两个样本方差要求具有齐性， 如果不齐， 使用校正公式计 算 T 值和自由度。因此，在输出结果中，应该先检查方差齐性（F 检验） ，根据齐性的结果， 在输出表格中选择 T 检验的结果。 二． 相关（配对）样本 t 检验。 （检验假设：配对样本 t 检验（Paired Sample T test）用于检验两个相关的样本是 否来自具有相同均值的总体） 相关样本平均数差异的显著性检验，用于检验匹配而成的两组被试获得的数据或同组 被试在不同条件下所获得的数据的差异性，这两种情况组成的样本即为相关样本或配对样 本。 现以相关检验为例，说明检验方法。因为独立样本平均数差异的显著性检验完全类似， 只不过 r 0 。 相关样本的 t 检验公式为：
t
X
X
。
n 1
如果样本是属于大样本（ n >30）也可写成：
t
X
X
。
n
在这里， t 为样本平均数与总体平均数的离差统计量；
X 为样本平均数；
为总体平均数；
X 为样本标准差；
n 为样本容量。
方差齐时使用公式
t Sc
x1 x2 1 1 n1 n2
其中 是合并方差
Sc
t
X1 X 2
2 X 2 X X 2 X1
2 1 2
。
n 1
在这里， X 1 ， X 2 分别为两样本平均数；
2 2 X ， X 分别为两样本方差；
1
2
为相关样本的相关系数。
例：在小学三年级学生中随机抽取 10 名学生，在学期初和学期末分别进行了两次推理 能力测验，成绩分别为 79.5 和 72 分，标准差分别为 9.124,9.940。问两次测验成绩是否有 显著地差异？ 检验步骤为： 第一步 第二步 建立原假设 H 0∶1 = 2 计算 t 值
t
X
X

n 1
第三步 判断
79.2 73 1.63 17 19
因为，以 0.05 为显著性水平， df n 1 19 ，查 t 值表，临界值 t (19)0.05 2.093 ， 而样本离差的 t 1.63 小与临界值 2.093。所以，接受原假设，即进步不显著。