矩形线框切割磁场问题分类例析

矩形线框切割磁场问题分类例析

安徽省舒城中学 吕贤年

当闭合回路中的磁通量发生变化时，闭合回路中就有感应电流产生，这种现象叫做电磁感应现象。由于电磁感应问题涉及的知识点多，信息量大，综合性强，从而成为高考中的重点内容，而矩形线框在磁场中切割磁感线的电磁感应问题，更是重点中的热点。本文试通过精选部分试题给予分类例析与评述，供同学们复习时参考。

一、线框平动切割

所谓线框平动切割，通常是指矩形线框平动进入磁场切割磁感线而产生电磁感应现象。中学阶段通常讨论的是线框垂直磁感线平动切割。

1．水平平动切割

例1、如图1所示，I 、III 为两匀强磁场区域，I 区域的磁场方向垂直纸面向里，III 区域的磁场方向垂直纸面向外，磁感强度均为B ，两区域中间为宽为s 的无磁场区域II 。有一边域II 。有一边长为L （Ls>）、电阻为R 的正方形金融框abcd 置于I 区域，ab 边与磁场边界平行，现拉着金属框以速度V 向右匀速移动

（1）分别求出ab 边刚进入中央无磁场区域II 和刚进入磁场区域III 时，通过ab 边的电流大小和方向。

（2）把金属框从I 区域完全拉入III 区域过程中拉力所做的功。（’93上海市高考试题）

[分析]（1）金属框以速度v 向右做匀速直线运动时，当ab 边刚进入中央无磁场区域时，由于穿过金属框的磁通量减少，因而在金属框中产生感应电动势，形成adcb 方向感应电流，其大小为.11R BLv R I

==ε 当ab 边刚进入磁场区或III 时，由于ab,dc 两边都切割磁感线而产生感应电动势，其大小为εab =εdc =BLv ，方向相反，故两电动势所对应的等效电源在回路中组成串联形式，因此，在线框中形成了adcb 方向的感应电流，其大小为.

22R BLv

R dc

ab I ==+εε (2)金属线框从I 区域完全拉入III 区域过程中，拉力所做的功分为三个部分组成。其中

一、三两部分过程中，金属框在外力作用下匀速移动的位移动的距离为（L-s ）。因金属框匀速运动，外务等于安培力，所以

W 外=W 安=W 1+W 2+W 3。

.),()(2)(2,222222334222111s s F W s L s L L BI s L F W s s L BI s F W R v

L B R v L B R v L B ⋅=⋅=-=-=-=⋅=

⋅=⋅=又

因此整个过程中拉力所做的功等于).(2432122s R v

L B L W W W -=++

[评述]本题所要求解的问题，是电磁感应中最基本问题，但

将匀强磁场用一区域隔开，并将其反向，从而使一个常规问题

变得情境新颖，增加了试题的力度，使得试题对考生思维的深

刻性和流畅性的考查提高到一个新的层次。

2．斜向平动切割

例2．一边长为L 的正方形金属线框（其截面积为S ，电阻

率为P ）。线框以匀速率V 通过均匀磁场区域（线框平面始终

与磁场垂直），速度的方向与水平方向成450角，如图2所示，

磁场区域宽为a ，长为b ，磁感强度为B.

（1）若b 》L ，a>L 时线框通过匀强磁场后释放多少焦耳热。

（2）若b 》L ，a 〈L 时线框通过匀强磁场后释放多少焦耳热。

[分析]（1）线框进入磁场中因切割磁感线产生感应电流，并通过线框本身的电阻而产焦耳热。由焦耳定律可得,2

t Q R ε

= ①

由法拉第电磁感应定律可得ε=Blvcos45o ② 由电阻定律可得,4S

L R ρ= ③ 由于a>L ，故产生焦耳热的时间为.045cos 2v L t =

④ 解以上①②③④式可得：.2222ρvS

L B Q =

（3）当a

= ⑤

由法拉第电磁感应定律可得ε=Blvcos45o

⑥ 由电阻定律可得,4S L R ρ= ⑦

由于a

⑧ （4）解以上⑤⑥⑦⑧式可得：.222ρLavS

B Q =

[评述]试题将常规的水平垂直进入磁场改为斜向进入磁场切割磁感线，并将线框宽度与磁场宽度分两种情况要求，不仅突出考查了同学对运动独立性原理的掌握情况，同时体现了对同学思维深刻和灵活性的考核。

3．竖直平动切割

例3．用密度为D ，电阻率为ρ的导线做成正方形线框。

线框平面在竖直平面内从高处自由落下，初速度为零，

有一沿水平方向的匀强磁场区域，在竖直方向其宽度与线

框边长相等，如图3所示，磁感强度的大小为B ，方向与

线框平面垂直，若要通过磁场区域时的速度恒定，试求线

框下落时的高度h.（不计空气阻力）

[分析]设线框的边长为L ，线框导线的截面积为S ，则线框的

质量为m=4L ·S ·D 。 ① 线框的电阻为.4S L R ρ

= ②

若线框从h 高度落下，其下边进入磁场时速度为.2gh v = ③

若线框以此速度通过磁场，则线框中感应电动势为ε=BLv ， ④ 感应电流,R BLv R I ==ε

⑤

线框通过磁场时所受的安培力方向向上，大小为F=BLI=,22R v Ll B

⑥

由于通过磁场时速度恒定，则F=mg ，即：,44222DLSg L gh S L B =⋅ρ 所以得：.422128B g

D h ρ=

[评述]该题是一道综合性较大的题目，考查了同学正确解答本题所需六个方面的知识点，突出了对同学分析能力和综合能力的考查。

二、线框转动切割

所谓线框转动切割，通常是指线框以某一固定转轴在磁场中转动切割磁感线而产生电磁感应现象。通常情况有线框在匀强磁场、直线电流磁场、辐向磁场等三种不同磁场中转动切割而产生电磁感应的现象。

1．在匀强磁场中转动切割

例4．如图4所示，闭合的单匝线框在匀强磁场中以

角速度ω绕中心轴OO ’逆时针转动，已知线框的边长

ab=cd=L 1=0.20m,bc=ad=L 2=0.10m, 线框的电阻R=0.50Ω，

角速度ω=300rad/s.匀强磁场磁感强度的大小为B=0.50T,

方向与转动轴OO ’垂直。规定当线框平面与B 垂直并且ab

边在纸面前时，开始计算线框的转角θ。

（1）当θ=ωt=300时，如图5所示，线框中感生电动势的大

小和方向？线框此时所受的电磁力矩M 磁的大小、方向如何？

（2）这时作用在线框上电磁力的瞬时功率等于多少？

（3）要维持线框做匀速转动，除电磁力矩M 磁外，还必须另有我力矩M 外作用在线框上，写出M 外随时间变化的关系式，并以t 为横坐，M 外为纵坐标，画出M 外随t 变化的图线。（1982年全国高考试题）

[分析]（1）线框在匀强磁场中匀速转动时，ab 段和cd 段的速率

).

/(15300210.022s m v L

=⨯=⋅=ω 线框内的感应电动势ε等于ab 段和cd 段切割磁感线产生的感应电动势之和，即ε=2BL 1vsin θ=BL 1L 2ωsin θ。

当θ=300时ε=0.50×0.20×0.10×300×0.5=1.5(V),方向沿abcd. 线圈中的电流强度).(30A I R ==ε

ab 段所受的电磁力f ab 的方向如图5所示，

其大小f ab =BIL 1=3（N ）。

电磁力f ab 对于OO ’轴的力矩方向在俯视图中

顺

时针的，大小为M ab =f ab ·cd L ,sin 22

θ段所受