立体几何——点线面的位置关系

点线面的位置关系

（1）四个公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ⇒ ∈且。

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。 符号语言：,,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈I 且。

公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。

（2）空间中直线与直线之间的位置关系

1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把

a '与

b '所成的角（或直角）叫异面直线,a b 所成的夹角。（易知：夹角范围

090θ<≤︒） 公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。

定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形）

2.位置关系：⎧⎧⎪⎨

⎨⎩⎪

⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;

共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

（3）空间中直线与平面之间的位置关系

直线与平面的位置关系有三种：

//l l A l ααα⊂⎧⎪

=⎧⎨

⎨⎪⎩⎩

I 直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点

（4）空间中平面与平面之间的位置关系

平

面

与

平

面

之

间

的

位

置

关

系

有

两

种

：

//l αβαβ⎧⎨

=⎩I 两个平面平行（）没有公共点

两个平面相交（）有一条公共直线

考点1:点，线，面之间的位置关系

例1.(2014辽宁,4,5分)已知m,n 表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )

A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥n

B.若m ⊥α,n ⊂α,则m ⊥n

C.若m ⊥α,m ⊥n,则n ∥α

D.若m ∥α,m ⊥n,则n ⊥α [答案] 1.B

[解析] 1.A 选项m 、n 也可以相交或异面,C 选项也可以n ⊂α,D 选项也可以n ∥α或n 与α斜交.根据线面垂直的性质可知选B.

例2.(2014山东青岛高三第一次模拟考试, 5) 设、是两条不同的直线，、

是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）

A ．若则

B ．若则

C ．若

则 D ．若则

[答案] 2. D

[解析] 2.A 选项不正确，因为是可能的；

B选项不正确，因为，时，，都是可能的；

C选项不正确，因为，时，可能有；

D选项正确，可由面面垂直的判定定理证明其是正确的．

故选D

例3. (2014广西桂林中学高三2月月考，4) 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )

(A) (B)

(C) (D)

[答案] 3. D

[解析] 3. 若，则平面与垂直或相交或平行，故（A) 错误；

若，则直线与相交或平行或异面，故（B) 错误；

若，则直线与平面垂直或相交或平行，故（C) 错误；若，则直线，故（D) 正确. 选D.

例4. (2014周宁、政和一中第四次联考，7) 设表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题：

①若∥，且则；

②若∥，且∥. 则∥；

③若，则∥∥；

④若且∥, 则∥.

其中正确命题的个数是 （ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 [答案] 4. B

[解析] 4. ①正确；②直线或，错误；③错误，因为正方体有公共端点的三条棱两两垂直；④正确. 故真正确的是①④，共2个.

2. 空间几何平行关系

转化关系：

直线、平面平行的判定及其性质归纳总结

1. 证明线线平行的方法：

定理 定理内容 符号表示

分析解决问题的常用方法 直线与平

面

平行的判

定

平面外的一条直线与平

面内的一条直线平行，

则该直线与此平面平行

,,////a b a b a ααα

⊄⊂⇒且

在已知平面内“找出”一条直线与

已知直线平行就可以判定直线与

平面平行。即将“空间问题”转化为“平面问题”

平面与平

面

平行的判

定

一个平面内的两条相交

直线与另一个平面平

行，则这两个平面平行

,,

,//,////a b a b P a b ββααβα

⊂⊂=⇒I

判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面

平行。即将“面面平行问题”转化

为“线面平行问题”

直线与平面 平行的性质 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 //,,//a a b

a b

αβαβ⊂=⇒I

平面与平

面

平行的性

质

如果两个平行平面同时

和第三个平面相交，那

么它们的交线平行

//,,//a b a b

αβαγβγ==⇒I I