正项级数敛散性的判别
8.2正项级数敛散性的判别
∞
证 ： ≤1 级 发 ； >1 级 收 。 明 p 时 数 散 p 时 数 敛 ∞ 1 解: (1) p = 1时, 调和级数 ∑ 发散 . n =1 n ∞ ∞ 1 1 1 ( 2) p < 1时， ≤ p Q ∑ 发散，∴ ∑ 1 发散. 发散， p n n n =1 n n =1 n ( 3) p > 1时， 方向：证原级数 某一收敛级数 方向：证原级数<某一收敛级数 ∞ 1 1 1 1 1 1 1 ∑ np = 1 + 2p + 3p + 4p + 5p + 6p + 7p +L n =1 1 1 1 1 1 1 < 1 + ( p + p ) + ( p + p + p + p ) + L 几何级数 2 2 4 4 34 4 2 n ∞ 1 1 1 1 收敛！ < 1 + p −1 + p−1 + p −1 + L = ∑ p−1 收敛！ 2 n=0 2 2 2 +∞ 1 此 论 广 积 ∫ dx的 散 相 。 敛 性 同 ∴ 原级数收敛。 结 与 义 分 原级数收敛。 p 1 x
的敛散性。 例2.判定∑ 2 sin n的敛散性。 3 n =1 解: 由于当 x > 0时， < sin x < x 0 n π 2 n n π 故0 < 2 sin n < 2 n = π ( n = 1,2L) 3 3 n 3 ∞ 2 2 Q ∑ π 为公比是 的几何级数， 收敛 的几何级数， n =1 3 ∞3 π n ∴由比较判别法知 ∑ 2 sin n收敛。 收敛。 3 n =1
第2节正项级数敛散性的判别
n1
2 3
n
,
由等比级数的敛散性可知：原级数收敛.
例3
1
讨论 P 级数 n1 n p
( p > 0 ) 的敛散性.
解
当 p＝1时,
P
级数为调和级数:
1 n1 n
,
它是发散的.
当 0 < p < 1 时,
有
0
1 n
1 np
,
由比较判别法, P 级数此时是发散的.
故 p 1时, P 级数是发散的.
综上所述:
当 p > 1 时, P 级数收敛. 当 p 1 时, P 级数发散.
4.比较判别法的极限形式
设和为两个正项级数, 且 vn 0 (n 1, 2,;
或从某一项 N0 开始).
若
lim un n vn
,
则
(1) 0 时, un 与 vn 具有相同的敛散性.
n1
n1
(2) 0 时, vn 收敛 un 收敛.
综上所述,当 0 < x < a 时, 原级数收敛; 当 x a 时, 原级数发散.
n
an 1 a2n
lim a n n 1 a2n
a 1,
1 n
当a
1时,
lim n
n
an 1 a2n
lim
n
n
a
1
1 a
2n
1 a
1,
故 a 0 且 a 1时, 原级数收敛.
例8
判别
n1
x a
n
的敛散性.
(
x
>
0,
a
>
0
为常数)
解
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较正项级数指的是所有项都是正数的级数。
求解正项级数的敛散性是数学分析、高等数学、物理等学科中经常使用的基本问题。
以下是关于正项级数敛散性判定方法的总结。
1. 通项公式法如果正项级数的通项公式可以明确地表示出来，那么可以通过解析判断级数的敛散性。
例如：$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$，该级数的通项公式为$\frac{1}{n^2}$，由于是调和级数的平方，因此它是收敛的。
但如果通项公式不容易明确表示出来，就需要采用其他方法。
2. 比较判别法当正项级数与一个已知收敛或发散的级数的通项公式形式非常类似时，就可以使用比较判别法。
若存在一个收敛级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$，则当正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$满足$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=c>0$时，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$与$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$同时敛散。
其中，$a_n$和$b_n$都是正数。
3. 极限比值法极限比值法也叫作柯西-黎曼判别法。
该方法需要计算正项级数的项数无穷大时的比值$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$，如果该比值$<1$，则级数收敛；如果$>1$，则级数发散；如果$=1$，则判别不出敛散性。
此外，当无法计算极限时，也可以将比值的极限转化为自然对数的形式再进行计算。
将正项级数转化为积分形式，再判断积分的敛散性。
若存在一个$a>0$，使得函数$f(x)$在$[a,+\infty)$上单调递减且非负，则当正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$的通项公式为$a_n=f(n)$时，级数敛散与积分$\int_a^{+\infty} f(x)dx$的敛散性相同。
正项级数敛散性地判别
一、 正项级数敛散性的判别设∑∞=1n n u 是正项级数，假设 0lim ≠∞→n n u ,那么∑∞=1n n u 发散。
若0lim =∞→n n u ,那么∑∞=1n n u 可能收敛也可能发散。
可依照下面的思路判别其敛散性。
(1)若是通项n u 包括有n ！之类的因子，或关于n 的假设干因子连乘形式，那么用比值判别法，即ρ=+→∞n n n u u 1lim ，那么当1<ρ时∑∞=1n n u 收敛，当1>ρ时∑∞=1n n u 发散。
若是nn n u u 1lim +∞→不易计算，或不存在，或存在为1，那么适当放大n u ,使得n n v u ≤，并对∑∞=1n nv 应用比值判别法，若是∑∞=1n n v 收敛，那么∑∞=1n n u 收敛；或适当缩小n u ，使得0>≥n n v u ，并对应用比值判别法，若是∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散。
(2)若是通项n u 包括有n 或关于n 的函数为指数的因子，那么用根值判别法，即ρ=∞→n lim n n u ，那么当1<ρ时∑∞=1n nu收敛，当1>ρ时∑∞=1n n u 发散。
若是n lim n n u →∞不易计算，或不存在，或存在为1，那么适当放大n u ,使得n n v u ≤，并对∑∞=1n n v 应用根值判别法，若是∑∞=1n n v 收敛，那么∑∞=1n n u 收敛；或适当缩小n u ，使得0>≥n n v u ，并对应用根值判别法，若是∑∞=1n n v 发散，那么∑∞=1n n u 发散。
(3)当n u 不是以上情形时，寻觅∞→n 时n u 的等价无穷小，可利用等价无穷小的经常使用公式和麦克劳林展开式，取得)0(~>C nCu n α，第八讲 常数项级数敛散性的判别等价的通项，两级数应具有相同的敛散性。
因此当1>α时∑∞=1n n u 收敛；当1≤α时∑∞=1n nu发散。
数项级数敛散性判别法
数项级数敛散性判别法数项级数是由一系列数值相加而得到的无穷级数。
在数学中，我们经常需要判断一个数项级数的敛散性，即判断它是否会无限逼近一个有限值（收敛）或者永远无法收敛（发散）。
下面将介绍一些常见的判断数项级数敛散性的方法。
1.正项级数判别法（比较判别法）：对于一个数项级数∑an，如果对于所有的n，都有an≥0，并且an+1≤an，那么我们可以使用正项级数判别法来判断敛散性。
即如果极限值lim(n→∞)an=0，则级数收敛；如果极限值lim(n→∞)an>0，则级数发散。
2.比值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)an+1/an=r，那么根据r的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
3.根值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)√(n)(an) = r，那么根据r 的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
4.绝对收敛与条件收敛：如果一个级数的各项都是正数，并且该级数收敛，那么称该级数是绝对收敛的。
如果一个级数是收敛的，但其对应的绝对值级数是发散的，则称该级数是条件收敛的。
5.莱布尼茨判别法：对于一个交替级数∑((-1)^(n+1)*bn)，如果满足以下条件，那么该级数收敛：- bn>0，即各项都是正数；- bn≥bn+1（递减趋势）；- lim(n→∞)bn=0。
6.积分判别法：如果能够找到一个函数f(x)，使得f(x)在[1,∞)上连续且单调递减，并且∑an与∫f(x)dx之间有关系，那么可以使用积分判别法来判断敛散性。
具体判别如下：- 如果∫f(x)dx收敛，那么∑an也收敛；- 如果∫f(x)dx发散，那么∑an也发散。
正项级数敛散性的判别方法
正项级数敛散性的判别方法正项级数是指级数的所有项都是非负数的级数。
判断正项级数的敛散性的方法主要有以下几种：比较判别法、根式判别法、积分判别法、极限判别法和对数判别法。
一、比较判别法：1. 比较判别法之比较大法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≤bn，那么若∑bn收敛，则∑an也收敛；若∑bn发散，则∑an也发散。
2. 比较判别法之比较小法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≥bn，那么若∑bn发散，则∑an也发散；若∑bn收敛，则∑an也收敛。
二、根式判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得lim[(an)^1/n]=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，根式判别法无法确定级数的敛散性。
三、积分判别法：将正项级数∑an转化为函数f(x)的积分，即∫f(x)dx，如果对于函数f(x)，当x趋向于无穷大时有f(x)递减且连续，则1. 若∫f(x)dx收敛，则级数∑an也收敛；2. 若∫f(x)dx发散，则级数∑an也发散。
四、极限判别法：如果存在常数L>0，使得lim(n→∞)n*an=L，则1. 若L<1，则级数∑an收敛；2. 若L>1，则级数∑an发散；3.若L=1，极限判别法无法确定级数的敛散性。
五、对数判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得limln(an)/ln(n)=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，对数判别法无法确定级数的敛散性。
这些判别方法在实际应用中都有其适用范围和局限性，需要根据具体情况选择合适的方法进行判断。
同时，在判断级数的敛散性时，还可以结合其他定理和方法，如柯西收敛准则、阿贝尔定理、绝对收敛等进行综合分析。
7.2-1 正项级数敛散性的判别
n 1
n 1
Sn s 一般级数收敛 lim n
正项级数收敛 S n 有上界 单调有界数列有极限
1 p 在p >1 时收敛， p 1 时发散. 例1. 证明 n 1 n
证：p =1,原级数为调和级数，发散；
1 1 1 1 p < 1时 n p n , n p 的部分和大于 n 的部分和 n 1 n 1
2 n1 un1 [(n 1)! ] ( 2n)! lim 1 / 4 1 lim lim n 2( 2n 1) n u n ( n! ) 2 [ 2( n 1)]! n
x n 例5. 判别 n( ) ( x 0) 的敛散性 n 1 2 n n 1 x x 解： un n , un1 ( n 1) 2 2 un1 n 1 x lim lim x/2 n u n n 2 n 由0 x / 2 1 0 x 2, 此时原级数收敛
由 x / 2 1 x 2, 此时原级数发散 由 x / 2 1 x 2, 原级数为 n 发散
n 1
当 0< x< 2时，收敛 x n 综上 n( ) ( x 0) n 1 2 当 x 2 时，发散
2. 根值判别法 n u r lim n 定理：设 un 为正项级数，若 n 则 r <1 ,级数收敛；r > 1,级数发散；r =1,此法失效.
则当 p > 1时广义p-级数收敛； p 1 时广义p-级数发散.
上述结论的证明有待于下次课的比较判别法 例10. 下列级数的敛散性如何？
1 1) n1 n( n 1)
8.2 正项级数敛散性的判别
1. n1
un
S
lim
n
Sn
S
un发散 {Sn }发散
n1
a
2. aqn1
1
q
n1
发散
q 1 q 1
1发散
n1 n
3.级数的性质，尤其是： n1
un收敛
lim
n
un
0
同号级数
正项级数
(un 0)
数项级数
负项级数 (un 0)
任意项级数
un与 (un )有相同敛散性
n1
n1
§8.2 正项级数
(2)解：lim n
n
un
lim n
n
1 3n
( n 1)n2 n
lim 1 ( n 1)n n 3 n
1 lim (1
n 3
1 )n n
e 1, 3
所以
n1
1 3n
(
n
n
1
)n2
收敛.
nn1
(3) n1 (n 1)n2
析：lim n n
un
lim n n
nn1 (n 1)n2
n1
n1
n1
n
n
证明： (1) Sn ui vi vn S
i 1
i 1
n1
即{Sn }有上界，由定理8.1可知 un收敛.
n1
由（1）
(2) 反证：假设 vn收敛 un收敛. 矛盾！
n1
n1
思路：先猜敛散再选择放大还是缩小
例1.判定
n1
1 n2n
的敛散性.
解：un
1 n2n
xn 发散.
n1 n
n1 n
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较正项级数是指级数中所有的项均为非负数的级数，即对于级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n，其中a_n\geq0。
正项级数的收敛性和发散性对于数学分析和实际问题都具有重要意义，在实际应用中，我们经常需要对正项级数的收敛性进行判定。
针对正项级数的收敛性和发散性，数学中有多种方法来进行判定，本文将对这些方法进行总结比较。
一、比较判别法比较判别法是判定正项级数收敛性和发散性的常用方法之一。
该方法的基本思想是通过比较给定级数与一个已知级数的大小关系来判定。
比较判别法分为两种情况，分别是比较判别法和极限比较判别法。
比较判别法是指对于给定级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n和另一个级数\sum_{n=1}^{\infty}b_n，如果对于任意n均有a_n\leq b_n，且级数\sum_{n=1}^{\infty}b_n收敛，则级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n也收敛；如果级数\sum_{n=1}^{\infty}b_n发散，则级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n也发散。
比较判别法的优点是简单易用，只需找到一个已知级数与待判定级数的大小关系即可进行判定；缺点是对于不同的级数，需要选择合适的已知级数进行比较，因此并不是所有情况都适用。
2. 极限比较判别法极限比较判别法的优点是适用范围广，可以处理更多的情况，但缺点是需要计算极限值，有时可能较为复杂。
二、积分判别法积分判别法是判定正项级数收敛性和发散性的另一种重要方法。
对于给定正项级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n，如果a_n是连续函数f(x)在[1,+\infty)上的值，且f(x)在[1,+\infty)上单调递减，则级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n与函数的积分\int_{1}^{\infty}f(x)dx的收敛性是一致的。
积分判别法的优点是利用了函数积分的性质，简化了级数的判定过程；但缺点是需要对函数进行积分运算，有时可能不太容易求得积分结果。
高等数学(微积分)课件--§7.2正项级数敛散性的判别
N
, 使得当 n N 时 , 有 u n cv n , 则 （1）当
v
n 1 n 1
n
收敛时， u n 收敛 ;
n 1
（ 2）当
u
n
发散时， v n 发散 .
n 1
比较收敛法的前提
要有参考级数. （比较的对象）
6
例 1
P-级数 讨 论 p-级 数
1
p
1
1 3
即部分和数列有上界
(2) 设 sn (n )
n
u n 收敛
n1
.
且 un vn ,
则
sn
是无上界数列 定理证毕.
v n 发散
n1
.
5
比较判别法的推论
推论 设 u n 和 v n 都是正项级数
n 1 n 1
,
且存在常数
c 和自然数
由比较收敛法的推论, 得证.
( 2 ) 由 lim
n
存在 , 若级数
u n 收敛
n1
,
则由结论
( 1 ) 有级数
v n 收敛
n1
, 但级数
v n 发散
n1
,
故级数
u n 不可能收敛
n1
, 即级数发散
.
12
例题讲解
例 解
判定级数
sin
n1
1 n
的收敛性
.
且 un v n ( n 1, 2,) ,若 v n 收敛,则 un 收敛;
n 1 n1
正项级数敛散性的判别法
－
设∑“ 正 项 级 数，
则
＜一
胛 （ １ －
ｑ 存 在，
ｌ ＝２ ｎ 一１ ＋ｉ （ ｉ ：０ ， １ ） 其中
，
＜ ｐ
（ １ ） 当ｑ ＞１ 时， 级 数∑“ 收 敛。
（ ２ ） 当ｑ＜ｌ 时， 级数∑“ 发散。 一 与
（ ３ ） 当ｑ＝１ 时， 拉贝判别法无法判别。
式 ，其 中 ｎ ≥ｎ 。
则 级数∑“ 收 敛。
（ ２ ） 若对 一切 ｎ＞Ｎ 。 ， 成立不等式 ｎ （ １ 一 堡 ） ｌ
，
则级数 ∑“ 发散。
推论 （ 拉 贝判别 法的极 限形式 ）
若 ｎ ＜ ｐ ， 则 有 专 专 ≤ 每 成 立 。
若ｎ ＞Ｐ ， 则可将写成 ｎ １ ＝ ２ ｎ ２ － ｌ ＋ ｉ 的形式 （ ｉ ＝ ０ ， １ ） 使ｎ ２ ＜Ｐ 若１ ３ 。＞Ｐ 还 不成立 ，则可将此手续 继续下 去 ， 经过有 限次 最后得 一个 ｎ 可写成
没∑“ 为 正 项级数， 且存在某自 然数Ｎ ｏ 及正常
数ｑ ， （ １ ） 若对一切 ｎ＞ Ｎ ｏ ， 成立不等式 Ｏ－ ） ≥ ｑ ＞ １ ．
令
ｋ ＿ｍ ａ ｘ ｛ ａ ／ ｝
ｎ ０ ｇ‘ ｐ Ｄ
当ｎ 。 ≤ ｎ＜ｐ时 ，显然 ａ ｎ≤ｋ成立
。
当 ｎ≥ Ｐ时 ，可将 Ｉ １ 写成 ｎ ＝ ２ ｎ １ ～ ｉ ＋ ｉ （ ｉ ＝ ０ ， １ ） 的形
— —
引 理ｌ 给定两个正项级数∑ａ 及∑ ， 分别
用 （ Ａ）， （ Ｂ）表示 ，如果 由某 项起 （ 比方说 对 ｎ
…
＝ ｐ ， 那么当 ｐ＜ 时 ，级
一个正项级数敛散性的判别法
一个正项级数敛散性的判别法
正项级数敛散性是指一个级数能够在某种给定的运算规则下被加起来，表示为一个有穷的值。
它允许积分，求和，数组操作以及定义特定类型的序列的可行性。
鉴于其运算的复杂性，正项级数敛散性广泛应用于计算数学，统计学，机器学习等领域。
正项级数敛散性的判别法是指识别任意可求正项级数敛散性序列是否为有穷数的过程。
换句话说，它检查序列中是否有一项或多项位于极限，以检测序列是否有穷。
正项级数的敛散性表示的是序列的最后一项的特性。
若序列的最后一项是有限的，则该序列敛散；若序列的最后一项是无限的，则该序列不敛散。
例如，以下是一个最基本的级数：a_n=1/n^2。
该序列的最后一项是无限的，因此该序列不敛散。
正项级数敛散性的判别法测试可分为三步：首先，检查有限比，它由西格玛紧缩度度量表示；其次，计算绝对正项级数的和；最后，依据给定的条件来定义是否有限。
与奇偶性判断法相比，正项级数敛散性判断法有更少的变量限制，可使用于更多情况下。
总之，正项级数敛散性的判别法是通过检查有限比、计算绝对正项级数的和，以及依据给定条件来判断序列是否有穷的过程，作为鉴别级数是否有穷的效率高、功能强大的数学工具，可广泛应用于计算数学、统计学和机器学习等领域。
7.2正项级数敛散性的判别
∞
1 lim ln n = ∞ 而∑ 2 收敛, n →∞ n =1 n
∞
∞
ln n ∴ ∑ 2 的敛散性依据该定理无法判别. n =1 n
1 ln n n2 = lim ln n = lim ln x = lim x = lim 2 1 = 0 lim 1 n →∞ x →+∞ x →+∞ n →∞ 1 x x x →+∞ 1 2 n 3 2 x 2 n
3 2
n2 1 = lim 2 = n →∞ 3n − 1 3
而级 数 ∑
n =1 ∞
1 n
3 2
n 收敛 , ∴ 级 数 ∑ 2 收敛. n =1 3n − 1
∞
1 的敛散性 . 例 判定级数 ∑ n n =1 3 − n 1
∞
3 n = lim 1 ∵ lim 3 − n = lim = 1, 解 n n→ ∞ n→ ∞ 1 n n→ ∞ 3 − n 1−
当q < 1时, 收敛 n 1 ∑aq 敛散性 、 当q ≥ 1时, 发散 n=0
∞
1 2、调和级数 、 ∑n发散. n=1
∞
§7.2 正项级数敛散性的判别
• • • • 一、正项级数的概念 二、比较判别法 三、比值判别法 四、*根值判别法 根值判别法
一、正项级数
称为正项级数 正项级数. 定义 如果级数 ∑ un中各项均有 un ≥ 0, 这种级数 称为正项级数.
n=1 n =1 n =1 ∞ n=1 ∞
∞
∞
判 断 ∑ u n的 敛 散 性 .
n=1
∞
对欲求级数进行 缩小应缩小为发 发 散级数. 散级数
c n ≤ un ≤ v n
放大， 放大，缩小的方向
正项级数敛散性的判别
(1 an )
1
1
1
1
(1 a1 ) (1 a1 ) (1 a1 )(1 a2 )
1
1
(1 a1 )(1 a2 ) (1 an1 ) (1 a1 )(1 a2 )
(1 an )
1 1
(1 a1 )(1 a2 )
(1 an ) 1 {Sn }有界.
n1 n (n2 1)
解：
n
1 (n2
1)
1 n2
且
n1
1 n2
收敛
,
所以原级数收敛.
例 判断级数
1 的敛散性.
n1 ln(n 1)
解：
1 1
ln(n 1) n 1
且
1 发散,
n1 n 1
所以原级数发散.
例
判断级数
n1
n 2n
1
n
的敛散性.
解：
n n 2n 1
1 2
n
且
n1
1 2
n
收敛,
所以原级数收敛.
例 判断级数
n4 1- n4 1 的敛散性.
解：
n1
n4 1- n4 1
2 n4 1
n4 1
2
1
解
lim 3n n n 1
3n
3n
lim
n
3n
n
1
lim
正项级数敛散性的判别(1)
y
1 xp
(
p
1)
o 1 234
x
当 p 1 时,用积分判别法:
当n1
x
n 时, 1 np
1 xp
,
于是有
1
np
n dx n1 n p
n dx x n1 p
5
1
np
n dx n n1 p
n dx x n1 p
所以
n1 kp
k2
n
k2
k1 k1 x p dx
n1 1 x p dx
即 un vn ,
由比较判别法可知, 当 vn 收敛时, un 也收敛.
n1
n1
(注意：反之不对).
(3) 若 lim un , 则 lim vn 0 ,
v n n
u n n
由(2)即得结论.
11
1
例5
n1 n 1
lim 1
1 1，
n n 1 n
而
1 发散, 所以原级数发散.
n2 n
n
n
1
lim x x
x
e e lim ln x x x
lim 1 x x
e0
1.
28
练习：
P251 习题七
29
例6
1 n2 n2 1
lim
n
1 n2
1
1 n2
1，
收敛
例7
n1 n1 n2 1
n1
lim
n
n2
1
1 1， n
发散
例8
1
n1 ln(1 n2 )
1
lim
n
ln(1
n2
)
正项级数敛散性的比较判别
正项级数敛散性一.正项级数的定义若级数中各项都是非负的( 即01,2,n u n =≥，…)，则称该级数为正项级数。
[1] 由正数和零构成的级数称为正项级数。
二.正项级数收敛性的一般判别原则若级数各项的符号都相同，则称为同号级数。
而对于同号级数，只须研究各项都由正数组成的级数——正项级数。
因负项级数同正项级数仅相差一个负号，而这并不影响其收敛性。
定理1 正项级数∑∞=1n n u 收敛⇔部分和数列{}n S 有界。
证明：由于对n ∀，0>n u ，故{}n S 是递增的，因此，有 ∑∞=1n n u 收敛⇔{}n S 收敛⇔{}n S 有界。
定理2（比较原则） 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 均为正项级数，如果存在某个正数N ，使得对N n >∀都有n n v u ≤，则 （1）若级数∑∞=1n n v 收敛，则级数∑∞=1n n u 也收敛；（2）若级数∑∞=1nnu发散，则级数∑∞=1nnv也发散。
证明：由定义及定理1即可得。
[2]比较判别法；比较判别法的极限形式；推论（常用结论）比较判别法是判断正项级数收敛性的一个重要方法。
对一给定的正项级数，如果要用比较判别法来判别其收敛性，则首先要通过观察，找到另一个已知级数与其进行比较，并应用定理2进行判断。
只有知道一些重要级数的收敛性，并加以灵活应用，才能熟练掌握比较判别法。
至今为止，我们熟悉的重要的已知级数包括等比级数、调和级数以及-p级数等。
要应用比较判别法来判别给定级数的收敛性，就必须给定级数的一般项与某一已知级数的一般项之间的不等式。
但有时直接建立这样的不等式相当困难，为应用方便，我们给出比较判别法的极限形式。
使用比较判别法或其极限形式，需要找到一个已知级数作比较，这多少有些困难。
下面介绍的几个判别法，可以利用级数自身的特点，来判断级数的收敛性。
名师推荐第二节正项级数敛散性的判别
n2 n
1 n2 n
的敛散性.
解
因
11 nn n2
(n 2)
且 1 n1 n2
收敛,
故 1
n1 nn
收敛.
解
因
n
1
n2 n n
1
n(n 1) n
1 n n
2 n2
2
且 1 n1 n2
收敛,
故
1
收敛.
n2 n n2 n
例2
判断
p
n1
1 2n
1
的敛散性.
解 因 1 11
2n 1 2 n
且 1 发散 n1 n
故
1
n1 2n 1
发散.
例2
判断
p
级数 1 n1 n p
的敛散性.
1
n1 n p
收敛
发散
p1 p1
例3
判断级数
n1
1 nn
11
1 n
n ln
n
1 1
1 的敛散性.
1
ln(1
n1 lim n ln n n 1
n
2
1
)
n nn
limln(n 1)n n n 1
limln(1 2 )n
n
n1
2 0
且
1
收敛,
n1 n n
故 n2
1 ln n 1 收敛.
n1
n1
(2)当c 0 时,
因
lim un 0 v n
n
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较正项级数是一种特殊的级数，指其中所有的项都是非负数。
在数学和物理等领域中，正项级数被广泛应用。
为了研究正项级数的敛散性，数学家们提出了很多敛散性判别法。
1. 比较判别法比较判别法是判断正项级数敛散性的最基本方法之一。
如果对于级数 $\sum a_n$ 和级数 $\sum b_n$，存在正常数 $C$，使得对于充分大的 $n$，都有 $a_n \leq Cb_n$，那么若级数 $\sum b_n$ 收敛，则级数 $\sum a_n$ 收敛，反之则发散。
比较判别法原理的思路是将待求级数和已知级数比较，将待求级数与已知收敛的级数比较，若待求级数的项小于已知级数的项，则待求级数收敛；若待求级数的项大于已知级数的项，则待求级数发散。
比较判别法需要能选择一个已知级数，使得比较条件能够确定，最好的情况是能选择极大简单（或极小复杂）的已知级数。
例如，在比较判别法的应用中，经常使用常数级数 $\sum C$ 的敛散性，当 $C=0$ 时收敛，当 $C > 0$ 时发散。
因此，只要 $a_n$ 的增长快于常数，就能证明级数 $\suma_n$ 发散。
极限判别法的适用条件为比值必须是存在的，即当 $n$ 充分大时，$\frac{a_n}{b_n}$ 有意义。
比较判别法和极限判别法的区别在于，比较判别法可以比较不同级数之间的项，而极限判别法必须将比值限定在同一个级数内进行比较。
3. Cauchy判别法Cauchy判别法和其他方法不同的地方在于，它并不结合其他级数进行比较，而是对直接对级数的项进行判断。
它的适用条件是需要找到一个不依赖于 $n$ 的实数$\varepsilon$，这也是极度苛刻的。
积分判别法是利用一般函数积分或其他积分的性质来判断正项级数的敛散性。
设$f(x)$ 是定义在 $[1,\infty)$ 上的连续正函数，若 $\int_1^\infty f(x)dx$ 收敛，则正项级数 $\sum_{n=1}^\infty f(n)$ 也收敛。
关于正项级数敛散性的柯西(cauchy)积分判别法及其证明的几点注记
关于正项级数敛散性的柯西(cauchy)积分判别法及其证明的几点注记1.柯西(Cauchy)积分判别法认为：如果正项级数以n→∞收敛，则其和sum(sn)=lim(n→∞)得到的结果为它的积分sum(Sn).2.证明柯西(Cauchy)积分判别法：首先，用反证法：假设正项级数Sn不收敛，那么lim(n→∞)Sn != sum(Sn).其次，我们假设正项级数Sn一定会收敛，此时我们可以证明lim(n→∞)Sn=sum(Sn)。
首先，我们用数学归纳法证明：令n=1，令M是该正项级数的极限，如果S1<M，则总和sum(Sn)<M；如果S1=M，则总和sum(Sn)=M。
其次，我们用数学归纳法证明：令N>1，令S1,S2,...,Sn-1<M，则Sn<M，因此sum(Sn)<M；如果S1,S2,...,Sn-1=M，则Sn<M，因此sum(Sn)<M。
最后，综上所述，无论Sn怎么变化，sum(Sn)的最终结果都小于极限M，因而满足总和sum(Sn) = lim(n→∞)Sn。
由此可知，如果正项级数Sn收敛，那么总和sum(Sn) = lim(n→∞)Sn，从而证明了柯西(Cauchy)积分判别法。
综上所述，柯西(Cauchy)积分判别法是完备的，即如果正项级数Sn收敛，则sum(Sn) = lim(n→∞)Sn; 如果正项级数Sn不收敛，则sum(Sn) !=lim(n→∞)Sn。
因此，柯西(Cauchy)积分判别法可以有效地确定积分是否收敛。
如果有多个级数收敛，那么我们可以将多个级数收敛表示成一个函数f(x)，将f(x)在正项级数收敛的区间[a,b]上进行积分，即sum(Sn)=∫f(x)dx；由柯西(Cauchy)积分判别法可知，积分的值sum(Sn)等于极限lim(n→∞)Sn；因此，我们可以用柯西(Cauchy)积分判别法来确定多个级数收敛的总和。
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1、 aqn敛散性
n0
当q 当q
1时, 收 敛 1时, 发 散
2、调和级数
1 发散.
n1 n
§7.2 正项级数敛散性的判别
• 一、正项级数的概念 • 二、比较判别法 • 三、比值判别法 • 四、*根值判别法
一、正项级数
定义 如果级数 un中各项均有un 0,这种级数称为正项级数.
n1
注：大多数常数项级数的敛散性判别问题，都可以归结 为正项级数的敛散性判别问题！
n1
n
例
判定级数
n1
n2
5n 1 2n
3
的收敛性.
5n 1
解
因为
lim
n
n2
2n 1
3
lim
n
5n2 n2 2n
n
3
n
5 1
lim n
n 1
3
5
1 2 n n2
而级数
1 发散,
n1 n
1
级数
5 n 发散.
n1
1
2
1 n
3 n2
例
判定级数
n1
n 3n2
1
的收敛性.
解 因为
1
p
1
1
1
1 n p1
1
1 p1
即Sn有上界,
则p 级数收敛.
P-级数的结论(记住!)
p
级
数
:
n1
1 np
当p 当p
1时, 1时,
收敛 发散
级数
n1
1 n
和
n1
1 n2
均
为p
-
级数
n1
1 的特例！ np
1
n1 n
1 5
n n1 4
例 判断级数
1 的敛散性.
n1 n (n2 1)
n1
{Sn
}无上界，lim n
S
n＝＋，lnim
S
n
不
存
在
，
n1
un发散。
例
设an 0, (n 1, 2,L
), 证明级数
an
n1 (1 a1 )(1 a2 )L
收敛. (1 an )
证明：显然，该级数为正项级数.
Q
Sn
a1 (1 a1 )
a2
(1 a1 )(1 a2 )
an (1 a1 )(1 a2 )L
复习
1、常数项级数敛散性判断：
1)计算部分和：sn u1 u2 un
2)计算极限lim n
sn
不存存在在，，则则uun收n发敛散
2、常数项级数发散的判断方法：
1)若
lim
n
un
0, 则 级 数
un发 散 。
2)若 un收敛， vn发散，则 (un vn )发散。
3)如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散.
二、比较判别法
定理(比较判别法)设 un和vn均为正项级数，且un vn (n 1, 2, ),
n1
n1
若 vn 收敛,则 un 收敛;反之,若 un 发散,则 vn 发散.
n1
n1
n1
n1
注：大的收敛，则小的收敛；小的发散则大的发散。
注：比较判别法在使用时，两个级数的项的不等式关系
从第一项开始就要满足，而有些级数也许一开始不
正项级数收敛的充要条件
正项级数收敛 部分和数列
{Sn }有上界.
分析
：
n1
un收敛，即
lim
n
S
n
存在
证：）Sn1 Sn un Sn 0 Sn
{Sn }是单调递增数列，而已知{Sn }有上界
根据单调有界数列必有极限：lim n
Sn存在。
）(考虑逆否命题：{Sn }无上界 un发散)
np
n1
aqn
.
例
判定级数
sin 1 的收敛性.
n1
n
1
解 因为
sin lim n 1, n 1
而级数
1 发散,
n1 n
n
级数 sin 1 发散.
n1
n
例 判定级数 ln(1 1 ) 的收敛性.
n1
n
ln(1 1 )
解 因为 lim
n 1,
n
1
而级数
1 发散,
n1 n
n
级数 ln(1 1 ) 发散.
解：
Q n
1 (n2
1)
1 n2
且
n1
1 n2
收敛,
所以原级数收敛.
例 判断级数
1 的敛散性.
n1 ln(n 1)
解： Q
1
1
ln(n 1) n 1
且
1 发散,
n1 n 1
所以原级数发散.
例
判断级数
n1
n 2n
1
n的敛散性.
解：
Q
n 2n
1
n
1 2
n
且
n1
1 2
满足而从某一项开始满足，针对此给出下面推论
推论
设 un和 vn都是正项级数 ,且存在常数c和自然数N ,
n1
n1
使得当n N时, 有un cvn ,则
（1）当 vn收敛时， un收敛;
n1
n1
（2）当 un发散时， vn发散.
n1
n1
判断 un的敛散性. n1
c 对欲求级数进行
缩小应缩小为发 n
且有
lim
n
un
n
l,则
(1)若0
l
,则级数
un与
同时收敛或发散
n
n1 n1
(2)若l 0, 且 n收敛,则 un收敛;
n1
n1
(3)若l , 且 n发散,则 un发散
n1
n1
一般是判断 un的敛散性, 选择合适的级数 vn使用该判别法.
n1
n1
调和级数
n1
1，p-级数
n
n1
1 ，几何级数
n
收敛,
所以原级数收敛.
例 判断级数
n4 1- n4 1 的敛散性.
n1
解： Q
n4 1- n4 1
2 n4 1
n4 1
2
2
n4 1 n2
且
n1
2 n2
收敛,
所以原级数收敛.
三、比较判别法的极限形式
定理(比较判别法的极限形式)
设
n1
un与
n1
n均为正项级数,
n
3
lim
n
3n2 1 1
n n2
lim
n
3n2
1
3
n2
n2
lim
n
3n2
1
1 3
而级数
n1
1
3
n2
收敛,
级数
n1
n 3n2
1
收敛.
例
判定级数
n1
3n
1
n
的敛散性.
1
解
lim 3n n n 1
3n
3n
(1 an )
1
1
1
1
L L
(1 a1 ) (1 a1 ) (1 a1 )(1 a2 )
1
1
(1 a1 )(1 a2 )L (1 an1 ) (1 a1 )(1 a2 )L (1 an )
1 1
(1 a1 )(1 a2 )L
(1 an )
1 {Sn }有界.
从而原级数收敛.
un
vn
散级数.
放大，缩小的方向
对欲求级数进行 放大应放大为收 敛级数.
敛散性已知的级数,如p级数， 几何级数，调和级数等.
例 讨论p 级数1
解
当
p
1,
1 np
1 2p 1,
n
11
1
3p
4p
L
np
L
y
则p 级数发散.
n1
n1p的(敛p散 性 0) .
当 p 1,
1 np
n dx x n1 p
1 y x p ( p 1)
111
1
Sn 1 2p 3p 4p L np
o
x
1 234
21
31
n1
1 1 x p dx 2 x p dx L n1 x p dx
1 2 dx
2 p 1 x p
1
n 1
1 xp
dx
1
1 1
p
1 x p1n 1 Nhomakorabea1 3 dx
3 p 2 x p