中考数学专题讲座

中考数学专题讲座最优化问题的解法 ：数学应用问题中的最优化问题是历年中考命题的热点 。

这类问题通常都有最大 、最小或至多 、至少等关键词 ，题型新颖 、背景陌生 ，解法分类如下 ：一 、利用二次函数的极值公式对于二次函数Y ＝a （X －h ）2＋R ，当a ＞0时 ，Y 最小＝R ；当a ＜0时 ，Y 最大＝R 。

这是求二次函数的一般方法 。

例1某商场销售一批名牌衬衫 ，平均每天可售出20件 ，每件一概而论利40元 ，为扩大销售增加盈利 ，减少库存 ，商场决定适当降价 ，经调查发现 ，如果每件每降价1元 ，商场平均每天可多售出2件。

⑴ 若商场平均每天要盈利1200元 ，每件衬衫应降价多少元 ？⑵ 每件衬衫降价多少元时 ，商场平均每天盈利最多 ？解 ：⑴ 略 ⑵设每件衬衫应降价X 元 ，则每件盈利 （40－X ）元 ，平均每天可售出（20＋2X ）件 ，每天盈利Y ＝（40－X ）（20＋2X ）＝－2（X －15）2＋1250故每件降价15元时 ，商场平均每天盈利最多为1250元 。

例2某房地产公司要在一块地（图中矩形OBCD ）上 ，规划建造一个小区公园（矩形GHCK ），为了使文物保护区△OEF 不被破坏 ，矩形公园的顶点G 不能在文物保护区内 。

已知OB ＝200ｍ OD＝160ｍ OE ＝60ｍ ＯＦ＝40ｍ 。

问当点Ｇ在什么位置时 ，公园面积最大 ？解 ：建立如图的直角坐标系 ，则 ：Ｅ（60 ，0） Ｆ（0 ，40） ，故直线ＥＦ的方程为Ｙ＝－32Ｘ＋40 。

设Ｇ点坐标为（Ｘ ，Ｙ） ，则公园面积为Ｓ＝（200－Ｘ）（160－Ｙ）＝（200－Ｘ）〔160－（－32Ｘ＋40）〕＝－32（Ｘ－10）2＋3224066 ，故当Ｘ＝10 ，即ＧＨ＝190ｍ时 ，公园面积最大 ，约为3224066ｍ2 二 、利用函数的增减性例3某童装厂现有甲种布料38ｍ ，乙种布料26ｍ ，现计划用这两种布料失生产Ｌ 、Ｍ两种型号的童装50套 。

已知做一套Ｌ型号的童装需用甲种布料0.5ｍ 、乙种布料1ｍ ，可获利45元 ；做一套Ｍ型号的童装需用甲布料0.9ｍ 、乙种布料02ｍ ，可获利30元 ，设生产Ｌ型号童装Ｘ套 ，用这批布料生产这两种型号童装所获利润为Ｙ元⑴ 写出Ｙ与Ｘ之间的函数关系式 ，并求出自变量Ｘ的取值范围⑵ 该厂在生产这批童装中 ，当Ｌ型号的童装为多少套时 ，能使该厂所获利润最大 ？最大利润是多少？解 ：⑴ Y ＝45X ＋30（50－X ）＝15X ＋1500∵ 0.5X ＋0.9（50－X ）≤38X ＋0.2（50－X ）≤26解之得 17.5≤X ≤20 ，又因为X 为整数 ，所以X 的取值范围是18 、19 、20⑵ 函数Y ＝15X ＋1500是增函数 ，所以当X ＝20时 ，Y 最大＝15³20＋1500＝1800 ，即工厂安排生产L 型号的童装20套时 ，能获得最大利润1800元 。

三 、利用不等式求解例4某车间有20名工人 ，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个 ，在这20名工人中 ，派X 人加工甲种零 、其余的加工乙种零件 ，已知每加工一个甲种零件可获利16元 、每加工一个乙种零件可获利24元 ：⑴ 写出每天所获利润Ｙ元与Ｘ人之间的函数关系式 ⑵ 要使每天所获利润不低于1800元 ，问至少要派多少人加工乙种零件 ？解 ：⑴ Ｙ＝16³5Ｘ＋24³4（20－Ｘ）＝－16Ｘ＋1920⑵ 要使每天获利不低于1800元 ，则Ｙ≥1800 ，即 －16Ｘ＋1920≥1800 ，所以Ｘ≤7.5故 至多派7名工人加工甲种零件 ，至少派13人加工乙种零件 。

四 、利用方程知识求解寻求最优化问题所满足的方程条件 ，将问题转化成求方程的解或使用判别式去求解例5某工程由甲 、乙两队合作6天完成 ，厂家需付甲 、乙两队共8700元 ；乙 、丙两队合做10天完成 ，厂家需付乙 、丙两队共9500元 ；甲 、丙两队合做5天完成全部工程的32 ，厂家需付甲 、丙两队共5500元 。

⑴ 求甲 、乙 、丙各队单独完成全部工程各需多少天 ？⑵ 若要求不超过15天完成全部工程 ，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少 ？说明理由 。

解 ：⑴ 设甲 、乙 、丙各队单独做分别需Ｘ 、Ｙ 、Ｚ天完成全部工程 ，有 6111＝＋Y X Ｘ＝10 10111＝＋Z Y 解之得 Ｙ＝15 Ｚ＝30⑵ 设甲队 、乙队 、丙队做一天分别应付ａ元 、ｂ元 、ｃ元 ，有6（ａ＋ｂ）＝8700 ａ＝80010（ｂ＋ｃ）＝9500 解之得 ｂ＝650513211 ＝＋Z X5（ａ＋ｃ）＝5500 ｃ＝300∵ 10ａ＝8000 （元） 15ｂ＝9750 （元）∴ 由甲队单独完成此项工程花钱最少 。

练习题 ：1 、某商品1993年比1992年提价5％ ，1994年又比1993年提价10％ ，1995年比1994年降价12％ ，则1995年比1992年提价的百分比是多少 ？2 、将进货单价为40元的商品按50元出售时 ，能卖500个 ，已知该商品每个涨价1元 ，销售量要减少10个 ，问为了赚得8000元利润 ，售价应定为多少 ？这时应进货多少个 ？3 、某蔬菜生产基地计划由25个劳动力承包60亩地 ，种植甲、乙、丙三种不同的蔬菜 ，且甲种蔬菜必种 ，经测算这些不同品种的蔬菜每亩所需的劳动力和预计产值如下表 ：应怎样安排才能使每亩地都能种上蔬菜 ，所有劳动力都有工作 ，且预计总产值达到最高 ，最高产值是多少 ？4 、某商店钢笔每支25元 ，笔记本每本5元 ，该店为促销制定了两种优惠方法 ：①买钢笔一支赠送笔记本一本 ；②按购买总额的90％付款 ⑴ 若某单位需要钢笔10支 ，笔记本X 本（X ≥10） ，则每种付款方法的实际付款数Y 元是X 的函数 ，表达式分别为 ：Y 1＝________________________ Y 2＝_____________________________⑵ 若该单位花495元购回了所需物品 ，问哪一种优惠方法比较划算 ？⑶ 若可以任选一种方法购买 ，也可以同时用两种方法购买 ，还可以在一种优惠方法中只买一种物品 ，请你就购买10支钢笔和60本笔记本设计一种最少钱的购买方法 。

动点问题动点问题是近年来各地中考题中出现得较多的一种题型 ，这类集几何 、代数于一体的综合题 ，即能考查学生的实际水平和应变能力 。

其解题策略是“动”中求“静” 、“一般”中见“特殊” ，抓住要害 ，各个击破 。

一 、点在直线上运动例1如图 ，正方形OABC 的顶点O 在坐标原点 ，且OA 边和AB 边所在直线的解析式为 ：Y ＝43X 和Y ＝－32534＋X ，点D 、E 分别为边OC 和AB 的中点（点P 与O 不重合） ，连接DE 和CP ，其交点为Q 。

⑴ 求证 ：点Q 为△COP 的外心⑵ 求正方形OABC 的边长⑶ 当⊙Q 与AB 相切时 ，求点P 的坐标解 ：⑴ 由题意知DE ∥OA ，又∵CP 是RT △COP 的斜边 ，∴点Q 为△COP 的外心⑵ 解方程组Y ＝43X 解得 X ＝4 Y ＝－32534－X Y ＝3∴点A 的坐标是（4 ，3）过点A 作AF ⊥OX 轴 ，垂足为F ，则正方形OABC 的边长为OA ＝2243+＝5⑶ 如图 ：当△COP 的外接圆与AB 相切时 ，E 为⊙Q 与AB 相切的切点 ，且有AE 2＝AP ²ＡＯ ，即（52）2 ＝ＡＰ²5 ∴ＡＰ＝45 ＯＰ＝5－45＝415 作ＰＨ⊥ＯＸ轴 ，垂足为Ｈ ，则有AFPH OF OH OA OP ＝＝ ∴ ＯＨ＝354415＝＝ＯＡＯＦ⨯⨯OP ＰＨ＝4953415＝＝ＯＡＡＦＯＰ⨯⨯ ∴ 点Ｐ的坐标为 （3 ，49） 二 、点在曲线上运动例2已知如图 ，在平面直角坐标系中 ，以点A （4 、0）为圆心 ，AO 为半径的圆交X 轴于点B ，设M 为X 轴上方的圆上一点 ，且弧OM 的长为31∏ ，点P 为弧OM 上任意一点（点P 与O 不重合） ，连接AP 并延长交Y 轴于点C 、连接BP 并延长交Y 轴于点D 。

⑴ 当点P 在弧OM 上运动时 ，设PC ＝X 、OC ＝Y ²OD ，求Y 与X 之间的函数关系式及自变量X 的取值范围 ；⑵ 当点P 运动到某一位置时 ，恰有OB ＝3OD ，求此时AC 所在直线的解析式 ；解 ：⑴ 延长PA 交⊙A 于E ，连接OE ，则∠BOE ＝∠E 、∠PBO ＝∠E∴ ∠BOE ＝∠PBO ∴OB ∥OE ∴PE CE OD OC ＝ ∵ CE ＝CP ＋PE ＝X ＋8∴ Y ＝1888＋＝＋X X 易求自变量X 的取值范围是0＜X ≤4⑵ 当点P 远动到恰使OB ＝3OD 时有OD ＝31 OB ＝38 ∵ Y OD OC ＝ ∴OC ＝OD ²Y ＝388838＋＝＋X X ⨯ 在RT △AOC 中 ，（38＋X ）2 ＋42 ＝（X ＋4）2解得X 1＝1 、 X 2＝－8（舍去）∴ OC ＝3381＝＋ 即点C 的坐标为 （ 0 ，3） 易知直线AC 的解析式为Y ＝－43X ＋3三 、点在折线上运动例3已知如图1 ，在△ABC 中 ，∠A ＝90° 、AB ＝6 、AC ＝8 、点P 从点A 开始沿AC 边向点C 移动 ，点Q 从点A 开始沿AB 边向B ，再沿BC 边向点C 匀速移动 ，若P 、Q 两点同时从A 出发 ，则可同时到达点C 。

⑴ 如果P 、Q 两点同时从点A 出发 ，以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻时停止移动 ，当点Q 移动到BC 上（Q 与C 不重合）时 ，求作以tg ∠QCA 、tg ∠QPA 为根的一元二次方程 ；⑵ 如果P 、Q 两点同时从点A 出发 ，以原速度按各自的移动路线到某一时刻时停止移动 ，当 S △PBQ ＝512时，求PA 的长 。

图1 图 2解 ：在RT △ABC 中 ，易知BC ＝10∵ P 、Q 两点从A 点同时出发 ，可同时到达点C∴ 211068＝＋＝CQ CP ⑴ 如图2 ，设P 点移动的路程为X ，则点Q 移动的路程为2X ∴ CP ＝8－X ， CQ ＝16－2X作QH ⊥AC ，垂足为H ，则QH ∥AB∴CACH BC CQ AB QH ＝＝ ∴ QH ＝56（8－X ） ， CH ＝58（8－X ） ∴ tg ∠QPA ＝PHQH ＝2 、 tg ∠QCH ＝AC AB ＝43 ∴ tg ∠QPA ＋tg ∠QCH ＝411 ∴ tg ∠QPA ² tg ∠QCH ＝23 ∴ 所求方程为 ：Y 2－411Y ＋23＝0 ，即4Y 2－11Y ＋6＝0 ⑵ 当S △PBQ ＝512时 ，设PA ＝X ，点Q 的位置有两种情况 ① 当点Q 在AB 上时（图1），则AQ ＝2X ，BQ ＝6－2X∴ S △BPQ ＝21PA ² BQ ＝21（6－2X ）＝512∴ X 2－3X ＋512＝0 ， △＝9－545＜0 ∴ 此方程无实根 ，故点Q 不能在AB 上 。