高等数学：第一讲 导数的定义
高等数学导数的概念教学ppt课件.ppt
h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
9
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解：(sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
15
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
解: f (0 h) f (0) h ,
高等数学(第二版)上册课件：导数概念
右极限都存在且相等，因此有：
定理2.2 函数 f (x) 在点 x0 处可导
左导数 f(x0 )和右
导数 f(x0 ) 都存在且相等 .
例 2.1.4 讨论函数 f (x) x 在 x 0 处的可导性 .
解
lim f (0 h) f (0) lim h 1
h0
h
h h0
lim f (0 h) f (0) lim h 1
y x3 的切线方程.
解
设切点为 x0 , y0 曲线 y x3 在点 x0 , y0
处的切线斜率为 k1, 直线的斜率为 k2 则：
| k1
y
x x0
3x02 ,
k2
1 27
而 k1. k2 1, 得 x0 3 则切点为 3, 27 或 3, 27
切线方程为
27x y 54 0 或 27x y 54 0
从高速到低速，最后速度减为0 . 这个过程每一时刻的汽车
的速度都不相同，如何求某时刻 t0汽车的瞬时速度呢？
设汽车所经过的路程s是时间t的函数：s s t ，
任取接近于 t0 的时刻 t0 t ，则汽车在这段
时间内所经过的路程为
s s(t0 t) s(t0 )
而汽车在这段时间内的平均速度为
当自变量 x 在 x 0 处取得增量 x （点 x0 x 仍在该
邻域内），相应地函数取得增量 y f ( x0 x) f ( x0 )
.
如果 y 与 x 之比当 x 0 时的极限存在，
则称函数 y f ( x) 在点 x 0 处可导，并称这个极限值
即
f
(x0 )
lim
x0
f
解 当 x 由1变到 1 x 时，函数相应的增量为
高三导数第一节知识点总结
高三导数第一节知识点总结导数是高中数学的重要内容，是微积分的基础知识之一。
在高三阶段，导数的学习更是不可忽视。
本文将对高三导数第一节的知识点进行总结，帮助同学们更好地掌握这一部分内容。
一、导数的定义导数是一种用于描述函数变化率的数学工具，常用符号表示为f'(x)，可以理解为函数在某一点的切线斜率。
导数定义为：若函数f(x)在点x处有极限f'(x)=lim【△x→0】{(f(x+△x)-f(x))/△x}导数可以解释为自变量增加一单位时，函数值的增量与自变量增量之商的极限。
二、导数与函数图像函数的导数可以揭示函数图像的一些基本特征。
通过导数的正负性，可以判断函数在某一点附近的增减性；通过导数的零点，可以找到函数的极值点。
1. 导数的正负性若f'(x)>0，则函数f(x)在该点附近单调递增；若f'(x)<0，则函数f(x)在该点附近单调递减；若f'(x)=0，则函数f(x)在该点附近存在极值点。
2. 极值点与拐点若f'(x)>0从正变负，则函数f(x)在该点附近有极大值点；若f'(x)<0从负变正，则函数f(x)在该点附近有极小值点；若f''(x)=0，则函数f(x)在该点附近存在拐点。
三、常见函数的导数求法1. 常数函数若f(x)=c（c为常数），则f'(x)=0。
2. 幂函数若f(x)=x^n（n为常数），则f'(x)=n*x^(n-1)。
3. 指数函数若f(x)=a^x（a为常数，a>0且不等于1），则f'(x)=ln(a)*a^x。
4. 对数函数若f(x)=log_a(x)（a为常数，a>0且不等于1），则f'(x)=1/(x*ln(a))。
5. 三角函数若f(x)=sin(x)，则f'(x)=cos(x)；若f(x)=cos(x)，则f'(x)=-sin(x)；若f(x)=tan(x)，则f'(x)=1+tan^2(x)。
高中数学-导数的概念课件
(1)求函数 y＝ x在点 x＝1 处的导数；
(2)求函数 y＝x2＋ax＋b 在点 x＝x0 处的导数． [解析] (1)Δy＝ 1＋Δx－1，
ΔΔyx＝
1＋ΔΔxx－1＝
1 1＋Δx＋1.
liΔmx→0 1＋1Δx＋1＝12，所以 y′|x＝1＝12.
(2)y′|x＝x0
＝liΔmx→0
(x0＋Δx)2＋a(x0＋Δx)＋b－(x20＋ax0＋b) Δx
f[x0＋(－k)]－f(x0) －k
＝－12f′(x0)＝－12×2＝－1，故应选 A.
35
• 二、填空题 • 4． 自由 落体运 动在 t＝ 4s的 瞬 时速度 是
________． • [答案] 39.2m/s
[解析] s＝12gt2
ΔΔst＝12g(t＋ΔΔt)t2－12gt2＝gt＋12g·Δt
16
＝liΔmx→0
x20＋2x0Δx＋(Δx)2＋ax0＋aΔx＋b－x20－ax0－b Δx
＝liΔmx→0
2x0Δx＋aΔx＋(Δx)2 Δx
＝liΔmx→0 (2x0＋a＋Δx)＝2x0＋a.
17
[例 3] 若函数 f(x)在 x＝a 处的导数为 A，求：
(1)liΔmx→0 f(a＋Δx)Δ－xf(a－Δx)；
21
已知 f′(x0)＝A，则 liΔmx→0 f(x0－2ΔΔxx)－f(x0)＝____.
[解析]
liΔmx→0
f(x0－2Δx)－f(x0) Δx
＝－2liΔmx→0 f[x0＋(－－22ΔΔxx)]－f(x0)＝－2A.
• [答案] －2A
22
[例 4] 若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：
《高数数学(上)》-导数与微分
解 （1）根据导数定义并运用极限的运算法则
u(x)v(x) lim u(x x)v(x x) u(x)v(x)
x0
x
u(x x)v(x x) u(x)v(x x) u(x)v(x x) u(x)v(x)
定理2.1
函数f (x)在x0 处可导的充要条件是左、右导数都存在
且相等.
7
一、 导数的定义
例 1 若函数f (x)在x=0 处连续，且 lim f (x) 存在， x0 x
证明f (x)在x=0 处可导.
证法一
设 lim f (x) A(A为常数)，则 x0 x
lim f (x) lim x f (x) 0 A 0，
证 若函数y f (x)在x0 处可导，由导数的定义可得
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
f (x0 )，所以利用函数极限与无穷小之间的
关系可得
f (x) f (x0 ) x x0
f
( x0
)
，lim x x0
0，即
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) (x x0 )
x
所以k 1 时，f (x) 在 x 0 处可导. 2
12
本讲内容
01 导数的定义 02 导数的几何意义 03 可导与连续的关系
二、 导数的几何意义
几何意义
若函数 f (x)在x x0 处可导，f (x0 ) 是曲线 y f (x) 在点 (x0 , f (x0 )) 处切线的斜率.
x0
高等数学-导数的概念
0− 时，极限
(0 +)−(0 )
−
存
→0
在，则称此极限值为函数 = ()在0 处的左导数，记为
−′ (0 )
=
(0 +)−(0 )
−
→0
=
()−(0 )
−
.
−
→0
0
16
01 导数的定义
4.左导数和右导数
′ 在点0 处的函数值，即 ′ (0 ) = ′ ()|=0 ．
12
01 导数的定义
例2 求函数() = ( > 0)的导数．
根据导数定义，使用分子有理化得
( + ) − ()
+ −
′
() =
=
→0
→0
注
如果 ′ (0 ) = ∞，曲线 = ()在点(0 , (0 ))处的
切线为垂直于轴的直线 = 0 .
19
02 导数的意义
结论 1 曲线 = ()上点(0 , 0 )处的切线方程为
− 0 = ′ (0 )( − 0 ) .
2 如果 ′ (0 ) ≠ 0，曲线 = ()在点 0 , 0
(0 + ) − (0)
=
→0
→0
=
1
()3
−0
1
2
→0 ()3
O
x
= +∞，
即导数为无穷大（导数不存在）．
26
→0
= ()在
点0 处可导，并称这个极限值为函数 = ()在点0 处的导数，
记作
′ (0 )， ′ |=0 ，
高中数学导数知识点总结
高中数学导数知识点总结高中数学导数知识点总结总结就是把一个时间段取得的成绩、存在的问题及得到的经验和教训进行一次全面系统的总结的书面材料，他能够提升我们的书面表达能力，因此十分有必须要写一份总结哦。
那么你真的懂得怎么写总结吗？以下是小编帮大家整理的高中数学导数知识点总结，仅供参考，欢迎大家阅读。
（一）导数第一定义设函数y = f（x）在点x0的某个领域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x（x0 + △x也在该邻域内）时，相应地函数取得增量△y = f （x0 + △x）— f（x0）；如果△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称函数y = f（x）在点x0处可导，并称这个极限值为函数y = f（x）在点x0处的导数记为f'（x0），即导数第一定义（二）导数第二定义设函数y = f（x）在点x0的某个领域内有定义，当自变量x在x0处有变化△x（x — x0也在该邻域内）时，相应地函数变化△y = f（x）—f（x0）；如果△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称函数y = f （x）在点x0处可导，并称这个极限值为函数y = f（x）在点x0处的导数记为f'（x0），即导数第二定义（三）导函数与导数如果函数y = f（x）在开区间I内每一点都可导，就称函数f（x）在区间I内可导。
这时函数y = f（x）对于区间I内的每一个确定的x 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y = f（x）的导函数，记作y'，f'（x），dy/dx，df（x）/dx。
导函数简称导数。
（四）单调性及其应用1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤（1）求f（x）（2）确定f（x）在（a，b）内符号（3）若f（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若f（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤（1）求f（x）（2）f（x）>0的解集与定义域的'交集的对应区间为增区间；f （x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间学习了导数基础知识点，接下来可以学习高二数学中涉及到的导数应用的部分。
大一高数基础导数知识点
大一高数基础导数知识点1、导数的定义导数是描述函数变化速率的概念。
对于函数f(x)，在点x处的导数f'(x)表示函数在该点的瞬时变化率。
2、导数的计算方法- 使用极限的定义来计算导数：f'(x) =lim┬(Δx→0)(f(x+Δx)−f(x))/Δx- 使用基本函数的导数规则来计算导数，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
3、常用函数的导数- 常数函数：f(x) = C，导数为f'(x) = 0- 幂函数：f(x) = x^n，导数为f'(x) = nx^(n-1)- 指数函数：f(x) = a^x，导数为f'(x) = a^x * ln(a)- 对数函数：f(x) = log_a(x)，导数为f'(x) = 1/(x *ln(a))- 三角函数：sin(x)的导数是cos(x)，cos(x)的导数是-sin(x)，tan(x)的导数是sec^2(x)等4、导数的基本性质- 导数的和差规则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)- 导数的乘法规则：(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)- 导数的链式法则：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)5、高阶导数高阶导数是指对一个函数进行多次求导所得到的导数。
如果计算二阶导数，可以直接对一阶导数再次求导。
6、隐函数求导当函数表达式中存在隐含变量时，需要使用隐函数求导法来计算导数。
7、导数的应用导数在实际问题中有广泛的应用，如曲线的切线方程、函数的凹凸性判断、最值问题、速度和加速度等。
8、常见的导数公式- (x^n)' = nx^(n-1) –幂函数求导法则- (sin x)' = cos x –正弦函数求导法则- (cos x)' = -sin x –余弦函数求导法则- (e^x)' = e^x –指数函数求导法则- (ln x)' = 1/x –对数函数求导法则9、导数与微分的关系微分是导数的一种应用，导数描述了函数在某一点的瞬时变化率，而微分描述了函数在整个区间上的变化情况。
大一高等数学导数知识点
大一高等数学导数知识点一、导数的定义及性质1.定义：设函数f(x)在点x0的一些邻域内有定义，若极限lim（h→0）[f(x0+h)-f(x0)]/h存在，称该极限为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。
2.函数在一点处的导数表示函数在该点的变化速率，若导数大，则说明函数变化快；若导数小，则说明函数变化慢。
3.导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数等于其曲线在该点的切线斜率。
4.导数的性质：（1）可加性：(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)（2）可乘性：(f·g)'(x)=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)（3）常值函数的导数为0：(C)'=0（4）乘方函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)（5）指数函数的导数：(a^x)' = a^x·ln(a)（6）对数函数的导数：(ln(x))' = 1/x（7）三角函数的导数：（i）(sin(x))' = cos(x)（ii）(cos(x))' = -sin(x)（iii）(tan(x))' = sec^2(x)（iv）(cot(x))' = -csc^2(x)（8）反三角函数的导数：（i）(arcsin(x))' = 1/√(1-x^2)（ii）(arccos(x))' = -1/√(1-x^2)（iii）(arctan(x))' = 1/(1+x^2)二、导数的计算法则1.基本计算法则：（1）常数的导数为0（2）幂函数求导：(x^n)' = nx^(n-1)（3）指数函数求导：(a^x)' = a^x·ln(a)（4）对数函数求导：(ln(x))' = 1/x（5）三角函数和反三角函数的导数2.复合函数求导法则：设y=f(g(x))，则y'=f'(g(x))·g'(x)3.乘积法则：(f·g)'=f'·g+f·g'4.商积法则：(f/g)'=(f'·g-f·g')/g^25. 链式法则：若y=f(u)，u=g(x)，则dy/dx = dy/du·du/dx = f'(u)·g'(x)三、导数的应用1.切线方程：设函数f(x)在点x0处可导，其切线方程为y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)2.泰勒展开：对于具有n阶导数的函数f(x)，其泰勒展开式为：f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2/2!+…+f^n(x0)(x-x0)^n/n!+Rn(x)其中Rn(x)为拉格朗日余项，满足，Rn(x)，<=M，x-x0，^(n+1)，其中M为常数。
高数导数第一章知识点总结
高数导数第一章知识点总结高数导数第一章知识点总结高等数学中的导数是一个非常重要的概念，它是微分学的基础。
导数的概念由牛顿和莱布尼兹在17世纪发现，并逐渐发展为现代微分学的基础。
导数的概念在物理、数学、经济等多个领域中起着重要的作用。
在高等数学教学中，导数一般是在第一章进行介绍和讲解的。
本文将对高数导数第一章的知识点进行总结。
一、导数的定义及基本概念导数的定义：设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，若极限lim┬(Δx→0)[f（x0+Δx）-f（x0）]/Δx存在，则称此极限为函数y=f（x）在点x0处的导数，记作y’（x0）或f’（x0）。
导数的几何意义：函数y=f（x）在点x0处的导数等于函数的图象通过点（x0，f（x0））处的切线的斜率。
导数的基本运算法则：和差乘商，复合函数的导数法则。
二、常见初等函数的导数常数函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数的导数。
三、高阶导数和高阶可导性定义：设函数f（x）在开区间I上有定义。
若对I上每一个x，f（x）的导数f’（x）在I上有定义，则称f（x）在I上可导。
定义：若函数f（x）在区间I上f上连续，且在I上每一点可导，那么f（x）在I上的导函数f’（x）在I上也是可导的，则称f（x）在I上二阶可导。
定义：若函数f（x）在区间I上连续，且在I上的每点可导。
在I上的每点的导数f’（x）都在I上可导，则称f （x）在I上三阶可导。
依此类推，我们还可以定义四阶可导，五阶可导等等。
四、隐函数和参数方程的求导隐函数导数的求法：设有方程F（x,y）=0确定一个隐函数y=f（x），当x在一定范围内，由方程F（x,y）=0所确定的y唯一存在并连续。
求y关于x的导数。
参数方程导数的求法：设x=g（t），y=h（t）是由参数方程所确定的函数y=f（x）=h（t）/g（t），求y关于x的导数。
五、高中常见函数的求导法则概率函数，指数函数，幂函数，对数函数，三角函数的求导法则。
高中数学导数的定义及求导公式解题技巧
高中数学导数的定义及求导公式解题技巧导数是高中数学中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
理解导数的定义以及掌握求导公式是解决各类导数题目的关键。
本文将介绍导数的定义及求导公式，并通过具体的题目分析和解答，帮助读者掌握解题技巧。
一、导数的定义导数的定义是函数在某一点处的变化率，用数学符号表示为f'(x)或dy/dx。
导数可以理解为函数图像上某一点处的切线斜率，也可以表示为函数的瞬时变化率。
对于函数y=f(x)，若在点x处导数存在，则导数的定义为：f'(x) = lim(x→0) (f(x+h) - f(x))/h其中lim表示极限，h表示x的增量。
这个定义告诉我们，导数可以通过求函数在某一点的极限来计算。
二、求导公式在高中数学中，我们常用的函数求导公式有以下几种：1. 常数函数的导数为0：f(x) = c，则f'(x) = 0，其中c为常数。
2. 幂函数的导数：f(x) = x^n，则f'(x) = nx^(n-1)，其中n为正整数。
3. 指数函数的导数：f(x) = a^x，则f'(x) = ln(a) * a^x，其中a为常数。
4. 对数函数的导数：f(x) = log_a(x)，则f'(x) = 1/(x * ln(a))，其中a为常数。
5. 三角函数的导数：f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)；f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)；f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
以上是常用的求导公式，掌握它们可以帮助我们快速求解各类导数题目。
三、解题技巧在解题过程中，我们可以运用导数的定义和求导公式来解决各类导数题目。
下面通过具体的题目来说明解题技巧。
题目一：求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5在点x=2处的导数。
解析：根据求导公式，我们可以依次求出每一项的导数，然后将它们相加。
《高等数学导数》课件
答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的 最小变化率，即函数在这一点处的切 线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值：
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数：
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具 有广泛的应用，例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论 推导出来的，通过这些法则，可以方 便地求出复杂函数的导数。
高等数学导数的概念ppt课件.ppt
x0 处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且
简写为 f (x0) 存在
f(x0 )
定理3. 函数 在点 处右 (左) 导数存在
在点 必 右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
f
(0)
lim
x 0
sin x
x
0
0
1
ax 0
f
(0)
lim
x 0
x0
a
故 a 1 时
此时
在
都存在,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
作业
P49 5 , 7, 9
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 设
存在, 且
求
解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
在闭区间 [a , b] 上可导
与 f(b)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
练习：讨论下列函数在x=0时候的连 续性与可导性.
练习：习题2.1题8
f
x
xk
sin
1 x
,
x0
0, x 0.
若函数在x 0连续，则
lim f x lim xk sin 1 f 0 0,
x0
x0
x
必须满足 lim xk 0， k 0即可. x0
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.1 导数的概念 课件 (共21张PPT)《高等数学》(高教版).ppt
(2)若极限 点 处的右导数，记作
,即：
存在，则称其为函数 在
定理1 函数
在点 处可导的充分必要条件是
在点 处的左导数和右导数都存在且相等，即
．
例1 讨论函数
在 处的连续性和可导性．
解:因为
又
，所以函数
在 处的连续.
由于
，所以函数
在 处不可导．
例2 讨论函数
解:因为 连续.
又因为 处不可导．
在 处的连续性和可导性．
在点
分析:设函数
在点 处可导，则
故函数
在点 处一定连续．
随堂练习
1、设 解:
，判断 在点 函数
处的连续性与可导性. 在 处连续.
函数 在 处不可导.
2、若函数
处处可导，求 的值.
解: 函数 在 处可导，则在
处处可导.由于函数
可导必连续.得
再根据函数在 处可导，
则左右导数存在且相等.
故
时，
函数 在点
或 ，即
函数
在点 处的导数就是导函数 在点 处的函数值
，即
注：若函数
在区间
在区间 上不可导.
内有一点处不可导，则称函数
由导数的定义可知，求函数
个步骤：
(1)求增量
；
(2)算比值
；
(3)取极限
例1 求函数
的导数．
解：
常量函数的导数为
的导数可分为以下三 ．
例6 求函数 解：
的导数．
例7 求函数 解：
,所以函数
在 处的
，所以函数
在
从图形上看，曲线 线．这也说明函数 原点外，处处可导.因 连续.
在原点O处具有垂直于 轴的切
高数大一上知识点总结导数
高数大一上知识点总结导数导数是高等数学中一个重要的概念，它是微积分的基础之一。
在大一上学期的高等数学课程中，我们学习了许多与导数相关的知识点。
本文将对这些知识点进行总结，帮助大家更好地掌握导数的概念和运用。
一、导数的定义导数的定义是极限的一种应用。
设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，若极限lim (f(x) - f(x0))/(x - x0)x → x0存在，且记为f'(x0)，则称f(x)在点x0处可导，f'(x0)为f(x)在点x0处的导数。
二、导数的几何意义导数的几何意义是函数曲线在某一点处的切线的斜率。
切线的斜率可以通过导数来表示，导数为正表示函数曲线在该点处递增，导数为负表示函数曲线在该点处递减，导数为零表示函数曲线在该点处取得极值。
三、导数的运算法则1. 常数法则：若c为常数，则d(c)/dx = 0。
2. 基本初等函数的导数：- 若y = xn，则dy/dx = nx^(n-1)。
- 若y = sin(x)，则dy/dx = cos(x)。
- 若y = cos(x)，则dy/dx = -sin(x)。
- 若y = e^x，则dy/dx = e^x。
- 若y = ln(x)，则dy/dx = 1/x。
4. 乘法法则：若f(x)和g(x)都在点x处可导，则(fg)'(x) =f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
5. 商法则：若f(x)和g(x)都在点x处可导且g(x)≠0，则(f/g)'(x) = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^2。
五、导数的应用导数在实际问题的建模和解决中有重要的应用，下面介绍一些典型的应用场景：1. 切线和法线：通过求导数，我们可以得到函数曲线在特定点处的切线和法线方程，这在几何中具有重要意义。
2. 极值问题：通过导数的正负变化可以判断函数的极值点，这在最优化问题中有广泛应用。
高二数学第一讲 导数概念及基本公式
高二数学第一讲 导数概念及根本公式一；根底知识指正；〔1〕导数的定义及定义求解步骤；函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 0000()()lim lim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明：〔1〕导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率〔2)导函数：由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '，即: 0()()()lim x f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆ 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。
1〕函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
2〕函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的， 就是函数f(x)的导函数3〕函数()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是 求函数在点0x 处的导数的方法之一。
〔2〕0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=-〔3〕导数的几何意义；函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆说明：求曲线在某点处的切线方程的根本步骤:①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.(4)导数根本运算公式；〔5〕导数的运算法那么导数运算法那么1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=± 3．[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 推论：[]''()()cf x cf x =〔常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数〕二；易错点指正；a 对于物理学中变速运动来讲，位移对时间的导数是速度，速度对时间导数是加速度 b;根本函数导数公式记忆正确，尤其是指数函数，对数函数。
高中数学导数的概念课件
优化问题求解
总结词
导数在数学优化中常用于求解最值问题，通过求导可以 找到函数的极值点。
详细描述
在数学优化中，最值问题是最常见的一类问题，导数可 以用来求解这类问题。通过对函数求导，可以找到函数 的极值点，从而确定函数的最值。例如，一个企业要制 定一个营销策略，目标是最大化利润，利润函数为P(x) ，对其求导得到利润函数的导数P'(x)，通过求解P'(x)=0 ，可以找到使利润最大的最优策略。
导数在科学计算中的应用
数值分析
导数可以用于数值分析中，如求 解微分方程、积分方程等，通过 求导数可以得到数值解的近似值
。
图像处理
导数可以用于图像处理中，如边 缘检测、图像滤波等，通过求图 像函数的导数可以得到图像的边
缘信息。
信号处理
导数可以用于信号处理中，如滤 波器设计、信号降噪等，通过求 信号函数的导数可以得到信号的
高中数学导数的概念课件
汇报人：
202X-01-05
CATALOGUE
目 录
• 导数的定义 • 导数的性质 • 导数的应用 • 导数的计算 • 导数在实际问题中的应用案例
01
CATALOGUE
导数的定义
导数的起源
01
导数起源于微积分，最初由牛顿 和莱布尼茨等数学家提出，用于 描述函数在某一点的变化率。
导数与函数极值
总结词
导数等于0的点可能是极值点
详细描述
函数在极值点的一阶导数等于0，但一阶导数为0的点不一定是极值点，需要进一 步判断二阶导数的正负。
导数与函数最值
总结词
导数可以帮助寻找函数最值
详细描述
通过求导数并令其为0，可以找到可能的极值点，再结合一阶或二阶导数的符号变化，判断是极大值还是极小值 ，从而确定函数的最值。
高等数学 第2章 第一节 导数的概念
曲线y f ( x)在点x0 , f ( x0 )处的切线方程为：
y f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
当f ' ( x0 ) 0时，在该点处的法线方 程为：
y
f (x0 )
f
'(
1 x0
)
(
x
x0
)
8
四.可导与连续的关系
f ( x)在x0点可导 f ( x)在x0点连续。 f ( x)在x0点可导 f ( x)在x0点连续。
解 当 x 1 时， 1 n 1 x 3n n 2 , f ( x) lim n 1 x 3n 1, n
当 x 1 时， f ( x) limn 1 x 3n limn 2 1,
n
n
当 x 1 时， x 3 n x 3n n 1 x 3n n 2 x 3n n 2 x 3 ,
ex ex.
12
例5 求函数 y ln x 的导数
解： x (0,)
当x 0时, Ln(1+x)~x
(ln x)' lim ln(x x) ln x
x 0
x
ln(1 lim
x ) x
lim
x x
1
x0
x
x0 x x
即 : 对x 0, (ln x)' 1 x
例6 设 f x x sin x, 求 f 0.
f (x0 x)
y f ( x0 x) f ( x0 );
（2）比值
y f ( x0 x) f ( x0 )
x
x
f (x0)
P0
•
O
x0
•P
P1
•
P2•
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y f (x0 x) f (x0 )
若 lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x
x0
x
存在, 则称函数 f (x) 在点 x0 处可导, 并称此极限
值为 y = f (x)在点 x0 处的导数， 记作
f (x0 )
f (x0 )
x h lim f (x0 h) f (x0 )
h0
h
x x0 x lim f (x) f (x0 ) .
xx0
x x0
注意
3° 在一点的导数是因变量在点 x0处的变化率,
它反映了因变量随自变量的变化而变化的 快慢程度.
导数
实质
变化率
谢谢
f ( t0 )
f (x0 )
注意
1° 若极限不存在，则称 f (x)在点 x0 处不可导.
特别地，当 lim f (x0 x) f (x0 ) 时，则称 f (x)
x0
x
在点 x0 处的导数为无穷大 . 此时，导数不存在；
2°导数的其他形式
f (x0 )
lim
x0
f (x0
x) x
x x0
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
变化率问题
1.瞬时速度
2.切线斜率 两个问题的共性:
f (t0) O t0
f (t) s t
y y f (x) N
CM
T
O x0 x x
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
导数的定义
定义 设函数 y = f (x) 在 x0 的某邻域 U(x0)内
导数的定义
你听说过什么是导数吗？
几何物经天工学化理济文程学学学
导数（derivative）是 微积分中的重要基础概念。
产设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
而在
f (t) f (t0 )
v t t0
时刻的瞬时速度为
v lim f (t) f (t0 )
lim y x0 x
lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
导数的记号
函数在某一点处的导数也可记作:
y xx0 ;
dy ;
dx x x0
d f (x) dx x x0
运动质点的位置函数 s f (t)
在 t0时刻的瞬时速度
曲线 C : y f (x) 在 M 点处的切线斜率
tt0 t t0
自由落体运动
s
1 2
gt 2
f (t0)
O
t0
f (t) s
t
引例
2. 切线问题
曲线
在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T
(当
时)
切线 MT 的斜率
y y f (x) N
CM
T
O x0 x x
lim tan
割线 M N 的斜率 tan
k lim f (x) f (x0 )