独立性检验

1．在一次恶劣气候的飞行航程中调查男女乘客在机上晕机
的情况如下表所示：
晕 机 不晕机 合 计
男 性 24
31
55
女性 8
26
34
合 计 32
57
89
据此资料，你是否认为在恶劣气候飞行中男性比女性更容
易晕机？
解：根据列联表中所给的数据作出等高条形图，如图所 示．假设晕机与性别有关，则从画出的等高条形图中我们可以 看出：男乘客中晕机所占的比例约为 0.436，女乘客中晕机所占 的比例约为 0.235，两者的差是|0.436－0.235|＝0.201，差值较大， 因而我们可以认为晕机与男女性别是有关的．
0.10
0.05
0.02 5
0.01 0
0.00 5
0.00 1
k0
0.45 0.70 1.32 2.07 2.70 3.84 5.02 6.63 7.87 10.8 5 8 3 2 6 1 4 5 9 28
②利用随机变量 K2 的计算公式，求 K2 的观测值 k. ③如果 k≥k0，就推断“X 与 Y 有关系”，这种推断犯错误 的概率不超过 α.否则，就认为在犯错误的概率不超过 α 的前提 下不能推断“X 与 Y 有关系”，或者在样本数据中没有发现足 够证据支持结论“X 与 Y 有关系”．通常认为 k≤2.706 时，样 本数据就没有充分的证据显示“X 与 Y 有关系”．
典例剖析
题型一 用等高条形图判断两个分类变量的相关性 【例 1】 在 500 人身上试验某种血清预防感冒的作用，把 一年中的记录与另外 500 个未用血清的人作比较，结果如下：
未感冒 感 冒 合 计 试 验 252 248 500 未试验 224 276 500 合 计 476 524 1 000 试用等高条形图分析血清是否能起到预防感冒的作用．
待企业改革态度的关系，经过调查得到如下列联表：
积极支持 不太支持 总
企业改革 企业改革 计
工作积极 54
40 94
工作一般 32
63 95
总计
86
103 189
根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过
0.005 的前提下，认为工作态度与对待企业改革态度之间有关
系？
解：由列联表中的数据，得 K2 的观测值为 k＝1899×4×549×5×638－6×401×03322≈10.759>7.879. 因此，在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下，认为工作态 度与对待企业改革态度之间有关系．
题型二 独立性检验 【例 2】 某聋哑研究机构对聋哑关系进行抽样调查，在耳 聋的 657 人中有 416 人哑，而另外不聋的 680 人中有 249 人 哑．你能运用这组数据得出相应的结论吗？
思路点拨：先列出 2×2 列联表，再计算 K2 的值，运用独 立性检验得出结论．
解：根据题目所给数据得到如下列联表： 哑 不 哑合 计
由列联表中的数据，得 K2 的观测值为
k＝1
500×982×17－8×4932 990×510×1 475×25
≈13.097>10.828.
因此，在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为质量
监督员甲在或不在生产现场与产品质量好坏有关系．
方法点评：利用图形来判断两个变量之间是否有关系，可 以画出等高条形图，仅从图形上只可以粗略地估计两个分类变 量的关系，可以结合所求的数值来进行比较．作图应注意单位 统一，图形准确．但图形不能给我们两个分类变量是否有关的 精确判断，若要作出精确的判断，还应作独立性检验的有关计 算．
一个随机变量 K2＝__a_＋__b__c_＋__d__a_＋__c___b_＋__d_______，
其中 n＝_a_＋__b_＋__c_＋__d____为样本容量． 像 这 种 利 用 随 机 变 量 ___K__2___ 来 判 断 两 个 分 类 变 量
__有__关__系__的方法称为独立性检验．
2．反证法与独立性检验有什么区别？
【答案】(1)反证法原理——在假设 H0 下，如果推出一个矛 盾，就证明ห้องสมุดไป่ตู้ H0 不成立．
(2)独立性检验原理——在假设 H0 下，如果出现一个与 H0 相矛盾的小概率事件，就推断 H0 不成立且该推断犯错误的概率 不超过小概率．
预习测评 1．对两个分类变量 A，B 的下列说法中，正确的个数为( ) ①A 与 B 无关，即 A 与 B 互不影响；②A 与 B 关系越密切， 则 K2 的值就越大；③K2 的大小是判定 A 与 B 是否相关的唯一 依据 A．1 B．2 C．3 D．0
2．判断两变量间是否有关系的方法 (1)二维条形图 利用二维条形图，可以粗略地判断两个变量之间是否有关 系(但这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度)，方法如 下： 在二维条形图中，可以估计满足条件 X＝x1 的个体中具有 Y ＝y1 的个体所占的比例a＋a b，也可以估计满足条件 X＝x2 的个
思路点拨：由列联表画出等高条形图，并进行分析，再利 用独立性检验作出判断．
解：根据列联表中所给的数据作出等高条形图，如图所示．
假设血清与预防感冒有关，则从画出的等高条形图可以看 出，试验的个体中感冒的个体所占的比例为 0.496，未试验的个 体中感冒的个体所占的比例为 0.552，两者的差别是|0.496－ 0.552|＝0.056，两者相差太小，因而血清对预防感冒有关系的假 设不成立，从而看出血清对预防感冒的作用不够明显，也就是 说血清对预防感冒几乎没有作用．
【答案】A
2．在列联表中，哪两个比值相差越大，两个分类变量之间 的关系越强( )
A.a＋a b与c＋c d B.c＋a d与a＋c b C.a＋a d与b＋c c D.b＋a d与a＋c c
【答案】A 【解析】∵a＋a b－c＋c d＝a＋|adb－cb＋c| d，∴a＋a b与c＋c a相差 越大，关系越强．
误区解密 公式记忆不准确，计算错误
【例 4】 为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，
得到如下的列联表：
药物效果试验列联表
患 病 未患病
服用药 10
45
没服用药 20
30
请问有多大把握认为该药有效？
错解：k＝105×55×105×0×453－0×207×5 302 ≈0.381 8<0.455， ∴在犯错误的概率大于 0.5 的前提下认为该药有效． 错因分析：K2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d，而错解中误将(ad －bc)2 用成(ab－cd)2. 正解：k＝105×55×105×0×303－0×207×5 452≈6.11>5.024， ∴在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为该药物有效． 纠错心得：在判断两个分类变量的可信程度时要特别注意
试根据表格填空：
(1)①______2_5_______；②_____1_6______；
③_____1__0_5______；④_____1_8_7_______； ⑤____2__2_8_______；
(2)A 与 B___独__立_________ (填“独立”或“不独立”)．
要点阐释
1．独立性检验的基本思想 利用随机变量 K2 来确定是否能以一定把握认为“两个分类 变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验，独立性 检验的基本思想类似于反证法．要确认“两个分类变量有关 系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，如果 由观测数据计算得到的 K2 的观测值 k 很大，则在一定程度上说 明假设不合理．
x2
c
d
c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
像上表这样列出的两个分类变量的_频__数__表___称为列联表．
在列联表中，如果两个分类变量没有关系，则应满足 ad－
bc≈0.因此|ad－bc|越小，说明两个分类变量之间关系越弱；|ad
－bc|越大，说明两个分类变量之间关系越强．
2．独立性检验
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，我们构造 nad－bc2
3．独立性检验所采用的思路是：要研究 A，B 两类型变量 彼此相关，首先假设这两类变量彼此__无__关____，在此假设下构 造随机变量 K2.如果 K2 的观测值较大，那么在一定程度上说明 假设__不__成__立__．
4．给出 2×2 列联表如下表所示：
B A
B1
B2
总计
A1 98 ① 123 A2 89 ② ③ 总计 ④ 41 ⑤
聋 416 241 657 不 聋 249 431 680 合 计 665 672 1 337 根据列联表中数据得到 K2＝1 3376×654×166×724×316－572×496×802412≈95.29>10.828. 所以我们可以在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下说聋 哑有关系．
2．某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作态度和对
自学导引
1．2×2 列联表 (1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不__同__类___别_， 这类变量称为分类变量．
(2)2×2 列联表．
假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的取值分别为{x1，x2}
和{y1，y2}，其样本频数列联表(也称为 2×2 列联表)为：
y1 y2
总计
x1
a
b
a＋b
计算的准确度，准确代数、准确计算、准确比较、准确下结论．
课堂总结
1．所谓独立性检验，就是根据采集样本的数据，先利用等 高条形图粗略判断两个分类变量是否有关系，再利用公式计算 K2 的值，比较与临界值的大小关系，来判定事件 x 与 y 是否无 关的问题．
题型三 独立性检验的综合应用 【例 3】 某生产线上，质量监督员甲在生产现场时，990 件产品中有合格品 982 件，次品 8 件；不在生产现场时，510 件产品中有合格品 493 件，次品 17 件．试利用图形判断监督员 甲在或不在生产现场对产品质量好坏有无影响．能否在犯错误 的概率不超过 0.001 的前提下认为质量监督员甲在或不在生产 现场与产品质量好坏有关系？
自主探究 1．如何理解分类变量？
【答案】(1)这里的“变量”和“值”都应作为“广义”的 变量和值来理解．例如，对于性别变量，其取值有“男”和 “女”两种，这里的“变量”指的是“性别”，这里的“值” 指的是“男”或“女”．因此，这里说的“变量”和“值”不 一定是取具体的数值．
(2)在现实生活中，分类变量是大量存在的．例如，吸烟变 量有吸烟与不吸烟两种类别，而国籍变量则有多种类别．
体中具有 Y＝y1 的个体所占的比例c＋c d.这两个比例的值相差越 大，有关系的可能性就越大．
(2)独立性检验(精确判断) 具有实施步骤如下： ①根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关 系”犯错误概率的上界 α，然后查下表确定临界值 k0.
P(K2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
解：相应的等高条形图如下图所示．
图中两个深色条的高分别表示司机血液中有酒精和无酒精 样本中对事故负有责任的频率．从图中可以看出，司机血液中 有酒精样本中对事故负有责任的频率明显高于司机血液中无酒 精样本中对事故负有责任的频率．由此可以认为司机血液中含 有酒精与对事故负有责任有关系．
由列联表中的数据，得 K2 的观测值为 k＝2 00800×0×61502×005×001－35105×0×6570002≈114.910>10.828. 因此，在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为司机血 液中含有酒精与对事故负有责任有关系．
3．为研究司机血液中含有酒精与对事故负有责任是否有关 系，从死于汽车碰撞事故的司机中随机抽取 2 000 名司机，得到 如下列联表：
有责任 无责任 总 计 有酒精 650 150 800 无酒精 700 500 1 200 总 计 1 350 650 2 000 试利用图形分析司机血液中含有酒精与对事故负有责任是 否有关系．根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不 超过 0.001 的前提下认为二者有关系？
思路点拨：首先作出数据的列联表，再由列联表画出条形
图，并计算 K2 的值，最后运用独立性检验得出结论．
解：根据题目所给数据得如下 2×2 列联表：
合格品数 次品数 总 计
甲在生产现场
982
8
990
甲不在生产现场 493
17
510
总计
1 475
25 1 500
相应的等高条形图如图所示： 图中两个深色条的高分别表示甲在生产现场和甲不在生产 现场样本中次品数的频率．从图中可以看出，甲不在生产现场 样本中次品数的频率明显高于甲在生产现场样本中次品数的频 率．因此可以认为质量监督员甲在或不在生产现场与产品质量 好坏有关系．