第一章曲线曲面的数学表示(精简)
曲线曲面基本理论
02
曲面理论
曲面的定义与表示
总结词
曲面是由三维空间中连续变化的点组成的几何体，可以用参数方程或显式方程表 示。
详细描述
曲面是几何学中的基本概念之一，它是由三维空间中连续变化的点组成的几何体 。曲面可以用参数方程或显式方程来表示，其中参数方程通常包含两个参数，而 显式方程则通过一个方程式表示曲面上所有点的坐标。
迹形成的新的保持了曲面的几何属性，如面积、形状等，同时受到曲线
形状和位置的影响。
应用场景
03
在计算机图形学、动画制作等领域中，投影是常用的技术手段，
用于将一个几何对象映射到另一个几何对象上。
曲线与曲面之间的变换关系
变换定义
曲线与曲面之间的变换是指通过一系列的几何变换（如平移、旋 转、缩放等），将一个几何对象转换为另一个几何对象。
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曲线曲面基本理论
目 录
• 曲线理论 • 曲面理论 • 曲线与曲面的关系 • 曲线曲面在几何图形中的应用 • 曲线曲面在物理中的应用
01
曲线理论
曲线的定义与表示
总结词
曲线的定义是指在一个平面或空间中，由一个点按照某种规律沿着确定的方向移动所形成的轨迹。曲线的表示方 法有多种，包括参数方程、直角坐标方程和极坐标方程等。
详细描述
参数方程的一般形式为 x=x(t), y=y(t), 其中 t 是参数。通过参数方程，我们可 以方便地描述曲线的形状和大小，例如曲线的长度、曲率、挠率等。此外，参 数方程还可以方便地表示曲线的旋转和对称性。
曲线的几何性质
要点一
总结词
曲线的几何性质是指曲线本身所具有的特性，包括曲线的 长度、曲率、挠率、渐近线等。这些性质可以通过参数方 程或直角坐标方程等表示方法方便地计算和描述。
常用曲线和曲面的方程及其性质
常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。
它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。
本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。
一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。
一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。
直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。
斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。
2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。
一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。
3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。
标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。
一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。
椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。
当$a=b$时，椭圆变成了圆。
4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。
一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。
5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。
曲面及其方程总结
曲面及其方程总结曲面是数学中的一个重要概念，它是一个二维的、有界的、有形的几何形体。
曲面可以由多个平面片拼接而成，也可以通过参数方程进行描述。
在数学中，曲面的研究与计算具有广泛的应用，涉及到多个学科领域，如微分几何、微分方程、物理学等。
本文将对曲面及其方程进行总结，主要从曲面的定义、分类、表示、性质以及在实际应用中的相关问题进行讨论。
首先，曲面的定义。
曲面可以被理解为三维空间中的一个平面形体，它有长度、宽度和厚度。
曲面可以由平面片拼接而成，每个平面片都是一个二维平面，它可以由一个或多个方程来表示。
曲面的形状可以是平坦的，如平面、球面，也可以是弯曲的，如圆柱面、抛物面等。
曲面的形状取决于其方程的具体形式。
其次，曲面的分类。
曲面可以根据其方程的特点进行分类。
常见的曲面包括平面、球面、二次曲面等。
平面是最简单的曲面，它的方程形式为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C、D为实数常数。
球面是由一个点到空间中所有点的距离相等的曲面，其方程为(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r²，其中(a, b, c)为球心的坐标，r为球的半径。
二次曲面是由二次方程来表示的曲面，常见的二次曲面有椭球面、双曲面、抛物面等。
然后，曲面的表示。
曲面的表示可以通过参数方程或隐式方程来进行。
参数方程是指用参数来表示曲面上的点的坐标，其中参数可以是一个、二个或三个，具体取决于曲面的维度。
例如，球面可以由两个参数θ和φ来表示，其参数方程为x=r·sinθ·cosφ，y=r·sinθ·sinφ，z=r·cosθ，其中r为球的半径，θ和φ为参数的取值范围。
隐式方程是指用一个或多个变量的关系式来表示曲面的方程，例如，平面的隐式方程为Ax+By+Cz+D=0，球面的隐式方程为(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r²。
第6讲曲线曲面基础1PPT课件
则有8个系数可用来控制此曲线的形状。
参数表示优点（续）
4. 易于处理多值问题和斜率无穷大的情形。 5. 易于计算曲线、曲面上的点，而隐式方程需求解非线
• 1 9 7 4 年 ， 美 国 通 用 汽 车 公 司 的 戈 登 （ Gorden） 和 里 森 费 尔 德 （Riesenfeld）将B样条理论用于形状描述，提出了B样条曲线和曲面。
Ni,0(u)
1 0
若ti u ti1 其它
Ni,k
( u)
(u
ti )Ni,k1(u) tik ti
第二类是不能由初等解析曲面组成，而以复杂方式自 由变化的曲线曲面即所谓自由型曲线曲面组成，例如飞 机、汽车、船舶的外形零件。这一类形状单纯用画法几 何与机械制图是不能表达清楚的。
自由曲线和曲面因不能由画法几何与机械制图方法 表达清楚，成为工程师们首要解决的问题。人们一直在 寻求用数学方法唯一定义自由曲线和曲面的形状。
3. 有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。 例如：一条二维三次曲线的显式表示为：
ya3 xb2xcx d
只有四个系数控制曲线的形状。 而采用二维三次曲线的参数表达式为：
P ( t ) a 1 t 3 a 2 t 2 a 3 t a 4 b 1 t 3 b 2 t 2 b 3 t b 4 t [ 0 , 1 ]
P(t)=P1+(P2-P1)t t∈[0,1]; P(t)=(1-t)P1+tP2 t∈[0,1];
曲线和曲面的表示-PPT文档资料
参数空间中每一个参 数(点)都对应于直线 段上一个点 参数空间的两个端点 对应于直线段的两个 端点
R(0) P 0 R(1) P 1
9
参数表示的数学原理：曲线
一般三维参数曲线形式：
R t x t,y t,z t
参数空间中每一个t对应于曲线上一个点R(t) 图形学中，参数空间通常是有限区间，此时 参数曲线称为参数曲线段 图形学中，参数函数通常为分段多项式或有 理多项式曲线
Bézier、B-样条、NURBS (Non-Uniform Rational BSpline, 非均匀有理B-样条)曲线/曲面。
14
内容
参数曲面表示
参数表示的数学原理 参数曲线
Bézier曲线 B-样条曲线 NURBS曲线
参数曲面
15
Bézier曲线
Pierre Bézier (1910.9.1-2019.11.25) 发音：[BEH zee eh]
Bézier曲线，1962年
16
Bezier曲线定义
Bezier曲线
30
Bézier曲线定义
一条n次Bézier曲线：
Rt Ri B i,n t
i0 n
0 t 1
多项式{Bi,n(t)}称为Bernstein基函数：
B t C 1 t t in ,
t [ 0 , 1 ]
33
Bezier曲线的定义
三次Bezier曲线（n=3）
3 k 0
p ( t ) P BEN ( t ) k k , n BEN ( t ) P BEN ( t ) P BEN ( t ) P BEN ( t ) P 0 , 3 0 1 , 3 1 2 , 3 2 3 , 3 3
【课件-高等数学】_第1章__曲线与曲面__第2节
s a1 a2 a3 a4 a5
a4
a5
a3 s
a2 a1
数学与生物信息学教研室 Mathematics & Bioinformatics
向量的减法 三角不等式
a
数学与生物信息学教研室 Mathematics & Bioinformatics
3. 向量与数的乘法
是一个数
,
与
a
的乘积是一个新向量,
记作
a
.
规定 :
总之:
a
a
运算律 : 结合律
(
a)
(
a)
a
11可aa见a;a ;
分配律
(a
b)
a
b
则有单位向量
a
1 a
a.
因此
a
a
a
数学与生物信息学教研室 Mathematics & Bioinformatics
定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b
( 为唯一实数)
证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝±
向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
M2 M1
数学与生物信息学教研室 Mathematics & Bioinformatics
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作
解:
2×①
x
－23a× ②3b,得
(7
,
1,10)
代入②得
y
1
高等数学_空间曲面和曲线
如果曲面 S 与三元方程F( x, y, z) 0有下述关系：
(1) 曲面上任一点的坐标都满足方程； (2) 不在曲面上的点的坐标都不满足方程；
那么, 方程 F( x, y, z) 0 就称为曲面S 的方程,
而曲面 S 称为方程的图形.
例1 建立球心在点 M0( x0 , y0 , z0 ), 半径为 R 的球面方程.
旋转一周所成的曲面, 称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转曲面的轴.
轴
此曲线称母线.
为方便, 常把曲线所在
母线
平面取作坐标面, 旋转轴取
作坐标轴.
现求 yOz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0
绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程.
设 M ( x, y, z)是旋转曲面上任意一点,
(1) z z1
4 x2 y2 3( x2 y2 )
则交线C
在
xOy
面上的投影为
x
2
y2
1
z 0
所求立体在 xOy 面上的投影为 x2 y2 1.
谢谢观看！ 2020
2x 3z 6 表示平面， z
x2 y2 1
2
2x 3z 6
C交 线 为 椭 圆
O1y
x
例5
方程组
z
x
a
a 2
2 x2 y2
2
y2
a2
4
表示怎样的曲线?
z
解 z a2 x2 y2
上半球面 (如图)
பைடு நூலகம்
x a 2 y2 a2
2
4
圆柱面 (如图)
O
交线为蓝色部分 (如图)
大学数学_7_4 曲面与曲线
O
x 图7-34
y
例 6 一动点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角速度 绕 z 轴旋转时，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方 向上升，( , v都是常数) ， 则点 M 的几何轨迹叫做螺旋线 （7-35） ，试建立其参数方程. z 解 取时间 t 为参数，设t 0 时动 点在点 A( a,0,0) 处，在 t 时刻，动点在 点 M ( x, y , z ) 处.过点 M 作 xOy 面的 ' 垂线，则垂足为 M ( x, y,0) .由于 O My AOM ' t , MM ' vt , M’ x 故 x a cos AOM ' a cos t , 图7-35 y a sin AOM ' a sin t , z MM ' vt , x a cos t , 所以螺旋线的参数方程为： y a sin t , z vt.
求曲线： 2 2 z x y 2 2 z x y 在 xOy 面上的投影方程. 例7
从曲线 的方程中消去 z，得 x2 y 2 x2 y 2 , 化简后，得 ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 1) 0, 因为 x 2 y 2 0 ，所在曲线 关于 xOy 面的投影柱面方程为 x2 y2 1 （是圆柱面） ，在 xOy 面的投影方程为 1 2 2 x y 2 z 0 （是 xOy 面上的圆）. 解
Hale Waihona Puke y2 z2 例 2 将 yOz 面上的椭圆 2 2 1分别绕 z 轴和 y 轴 a b 旋转，求所形成的旋转曲面方程. 解 绕 z 轴旋转而形成的旋转曲面（图 7-28）方程 为 x2 y 2 z 2 z 1 ， a2 b2 b x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 a a b a 绕 y 轴旋转而形成的旋转曲面方程为 y y 2 x2 z 2 a 1， 2 2 x a b 图7-28 x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 b a b
曲面高数知识点总结
曲面高数知识点总结第一章曲面参数化1.1 曲面的定义在解析几何中，曲面是一个连续的二维流形；或者说，它是一个可以用二元实值函数的映射定义的连续函数。
这个映射把参数值的一个范围映射到一个参数的曲面上，比如(x, y)到f(x, y)。
参数的范围通常是一个矩形或者圆盘。
1.2 曲面参数化的意义曲面参数化是数学分析中常用的方法，通过参数化可以将曲面上的点表示为参数的函数，从而方便对曲面进行研究和分析。
曲面参数化的意义在于将曲面上的点与参数表示关联，使得曲面的性质和特征可以通过参数来描述和控制。
这为曲面的计算和应用提供了便利。
1.3 参数化公式一般来说，一个曲面的参数化可以写为：r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k其中，r(u, v)是曲面上的点的位置矢量，(u, v)是参数，x(u, v)，y(u, v)，z(u, v)分别是参数u和v的函数，i，j，k 是空间直角坐标系向量的基底。
1.4 参数化曲面的例子以球面为例，球面可以通过参数化方程表示为：r(θ, φ) = (Rsinθcosφ)i + (Rsinθsinφ)j + (Rcosθ)k其中，(θ, φ)是球面上的点的参数，R是球面的半径。
通过参数化方程可以很容易地描述球面上的任意点的位置。
第二章曲面切线和法线2.1 曲面的切线曲面上的每一点都有一个切平面，这个切平面与曲面在该点相切。
切平面可以用曲面的切线方向向量来描述，这个向量正是切平面的法线向量。
在参数化曲面上，切线方向向量可以通过对参数u和v分别求偏导数来得到。
2.2 曲面的法线曲面上的法线是垂直于曲面的一个向量，可以用曲面的梯度来表示。
在参数化曲面上，法线可以通过对参数u和v求叉积得到。
2.3 曲面切线和法线的计算计算曲面上某一点的切线和法线可以通过计算曲面参数化方程对参数的偏导数，并利用偏导数的性质和几何关系来确定切线和法线的方向。
通过切线和法线可以描述曲面的局部性质和特征，对于曲面上的微分几何和曲面的应用有很大的作用。
高等数学-曲面及其方程
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线
x2 a2
z c
2 2
1分别绕x
轴和z 轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 z2 c2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
y2 z2 （2）椭圆 a 2 c2 1绕y 轴和z 轴；
实 例
y2 b2
z2 c2
1
椭圆柱面 // x轴
x2 a2
y2 b2
1
双曲柱面 // z轴
x2 2 pz 抛物柱面 // y 轴
四、小结
曲面方程的概念 F ( x, y, z) 0. 旋转曲面的概念及求法. 柱面的概念(母线、准线).
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y, x2 z2 0.
平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变， 而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与 第三个变量的平方和的正负平方根。
例 5 直线L绕另一条与L 相交的直线旋转一周，
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫
柱面的母线.
观察柱面的形
成过程:ห้องสมุดไป่ตู้
播放
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
x
抛物柱面
平面
y
第一章曲线曲面的数学表示(精简)讲解
双线性插值曲面
张量积曲面
方程
准线不一定位于曲面上，母线运动形成曲面的一族 等参数线，同时形成了曲面
曲面数据点的参数化
曲面数据点的参数化是给每一数据点赋予一 对参数值 一般采用双向平均规范积累弦长参数化
曲面上的曲线及曲率性质
曲面上的曲线
切矢 曲率矢 法曲率
曲面的曲率性质
曲面上过一点具有相同切线方向的曲线有 无数条，但这些曲线的曲率矢都位于该点 处的法平面内 过曲面上一点具有相同切线方向的所有曲 线在该点都具有相同的法曲率（非曲率矢） 曲面上一点的法曲率总是沿着某一方向的 法曲率，曲面上一点有无数个方向，就有 无数个法曲率，其中的最值为主曲率 高斯曲率（两主曲率的乘积，决定双曲点、 抛物点、椭圆点）与平均曲率（两主曲率 的均值）
CAGD概述
Computer Aided Geometric Design(CAGD) 1974 年，Barnhill与Riesenfeld首先提出 GAGD的研究对象与核心问题
– 研究对象：工业产品的几何形状（解析曲面、自由曲面） 的数学表示 – 核心问题：研究适合计算机表示，且满足形状表示与几 何设计要求，又便于形状信息传递和产品数据交换的形 状数学描述方法。 – 需要解决的问题：用于工业产品形状数学描述的标准形 式，曲线曲面的形状控制，曲线曲面的光滑连接与统一 表示
参数（孔斯）双三次曲面片
差值于四个角点、四个角点处双向偏导矢扭 矢以及混合偏导矢
参数（孔斯）双三次曲面片
弗格森双三次曲面片
定义在任意子矩形域上的参数双参数曲面片
第四章 参数样条曲线曲面
数学曲面知识点总结归纳
数学曲面知识点总结归纳一、基本概念1. 曲面的定义曲面是指在三维空间中的一个对象，它是由一个或多个参数方程所描述的。
通常来说，曲面是一种二维的物体，即每个点都由两个参数所确定。
曲面可以是平滑的，也可以是有面部分和尖点的。
2. 曲面的分类根据曲面的性质和方程形式，曲面可以分为多种类型，包括球面、柱面、锥面、双曲面、抛物面等等。
每种类型的曲面都有自己的特点和数学表达方式。
3. 曲面的参数方程曲面的参数方程是描述曲面的一种数学表达方式。
通过参数方程，我们可以用数学的方式来描述曲面上的点的位置和形态。
通常来说，一个曲面上的点可以由两个参数u和v来确定，而这两个参数可以分别在一定的范围内取值，从而确定整个曲面。
4. 曲面的法向量曲面的法向量是指曲面在某一点上的垂直方向的向量。
通过法向量，我们可以得到曲面在某一点的切平面，从而研究曲面的切线、曲率等性质。
二、曲面的性质1. 曲面的法线在曲面上的每一点都有一个与曲面切平面垂直的向量，这个向量就是曲面上该点的法线。
法线在几何学和物理学中有着重要的应用。
2. 曲面的切平面和切向量曲面上的每一点都有一个与曲面切平面相切的向量，这个向量就是曲面上该点的切向量。
切平面和切向量在研究曲面上的切线、曲率等性质时有着重要的作用。
3. 曲面的切线和曲率曲面上的每一点都有一条切线，切线是曲面在该点上的局部线性近似。
曲率是曲面在某一点上的弯曲程度，它可以通过曲面的法向量和切向量来描述。
4. 曲面的方程曲面的方程是描述曲面的一种数学表达方式，通常来说，曲面的方程可以采用参数方程、隐式方程、显式方程等形式。
三、曲面的应用1. 制造业在制造业中，曲面有着广泛的应用。
例如，在汽车制造和航空航天领域，设计和制造曲面形状的零件和构件都需要深入理解曲面的性质和特点。
2. 计算机图形学在计算机图形学中，曲面的建模和渲染是一个重要的领域。
通过数学方法和算法，可以在计算机中绘制出各种曲面形状的三维图像。
曲面知识课件
z oy
椭圆锥面
x2 a2
y2 b2
z2
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt)2
1,
zt
z
z
o yy xx
在平面x＝0 或y＝0 上的截痕为过原点的两直线.
可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上
内容小结
（1）空间曲面
三元方程 F(x, y , z) 0
则F(x,y,z)= 0 称为曲面S的方程（通常
称此方程为曲面的一般方程）,
曲面 S 叫做方程 F(x,y,z) = 0的图形.
F(x, y, z) 0
z
S
oy x
例如：三元一次方程 Ax+By+Cz+D= 0 是空间平面 的方程. 平面又称为一次曲面.
曲面的参数方程
x x(u, v),
化简得 2x 6 y 2z 7 0
上例说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
曲面的一般方程
如果曲面 S 与方程 F(x, y, z) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.
z
y x
单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c 为正数)
高数大一下知识点总结曲面
高数大一下知识点总结曲面在大一下学期的高等数学课程中，我们学习了曲面这一重要的数学概念。
曲面在数学中扮演着重要的角色，它们是三维空间中的图形，广泛应用于物理学、工程学以及其他领域。
在本文中，我将为大家总结曲面的相关知识点，并提供一些例子来帮助理解。
一、曲面的定义和性质1. 曲面的定义：曲面可以定义为空间中满足特定条件的点的集合。
一般情况下，曲面可以由一个或多个方程表示。
2. 曲面的性质：曲面具有很多特征，如对称性、凸性、切平面等。
这些性质是我们研究曲面的重要依据。
二、常见的曲面类型1. 长方形曲面：长方形曲面是一个矩形，它的两个相对的面都是平行于坐标轴的。
2. 球面：球面是一个由与球心距离相等的点组成的曲面。
球面在几何学中具有很多重要的性质，如表面积和体积计算公式。
3. 圆柱面：圆柱面是由平行于某一直线的曲线无限延伸而成的曲面。
圆柱面也应用广泛，例如在建筑和工程设计中。
4. 锥面：锥面是由一条直线沿着其一个端点旋转一周而生成的曲面。
锥面同样在建筑和工程设计中有重要的应用。
5. 椭球面：椭球面是一个椭球体被一个平面切割而得到的曲面。
椭球体在物理学和天文学中经常出现。
三、曲面的方程表示1. 参数方程：曲面可以用参数方程表示，其中曲面上的每个点都可以由参数的取值得到。
参数方程的形式可以根据曲面的形状来确定。
2. 隐函数方程：曲面也可以用隐函数方程表示，其中曲面上的点由方程中的变量满足而得到。
隐函数方程通常是多项式方程或代数方程。
四、曲面的投影1. 平行投影：平行投影是指将一个三维曲面映射到一个平面上，映射过程中保持投影前后的平行线仍然平行。
2. 透视投影：透视投影是指将三维曲面映射到一个平面上，映射过程中平行线不再保持平行。
这种投影方式常常用于透视绘画和计算机图形学中。
五、曲面的应用曲面作为一种数学概念，在科学和工程领域具有广泛的应用。
1. 物理学：曲面在物理学中常常用于描述电场和磁场的分布，或者表达物体的几何形状。
曲线曲面基本理论
• 在曲线曲面理论中，所要考察的在于两个方面： – 曲线曲面的整体，而不是组成这个整体的各个分量； – 曲线曲面上点之间的相对位置关系，而不是它们与 所取坐标系之间的相对位置关系。
– 由于在许多参数形式之前就存在相应的非参数形式 (如：三次样条曲线有三次样条函数，Bézier曲线有 Bernstein基函数等)，所以，这种对应关系与替换绝 非是等价的。
• 而对于非参数形式下的隐方程，则可转换成等价的参数 形式，只需把所含各坐标都分别表示成某一参数的函数， 使它们适合于该隐式方程。
– 统一性：能统一表示各种形状及处理各种情况，包
括各种特殊情况。即：既能表示自由型曲线曲面，
又能表示初等解析 具有丰富的表达能力与灵活地响应的能力。
– 易于实现连接，且在许多场合要求的光滑连接。
– 易于实现对形状的控制，既具有整体控制的能力，
又具有局部控制的能力。具有较大的控制的灵活性。
– 曲面上pu×pv=0的点是曲面上的一种奇点。
– 这种奇点与曲线上一阶导矢为零矢量的奇点不同：
• 前者有可能因两非零导矢平行或退化边引起， 就可由重新参数化(参数变换)消除；
• 后者由曲线的重新参数化可能消除不了。
A
10
☆图形表示问题 ☆参数化表示 ● 曲线参数化
◘ 参数化方法 ◘ 对应关系 ◘ 参数化性质
☆离散点表示
曲线的参数化：性质
• 曲线上的点是参数u的矢函数。
– 曲线对参数u求导数等于其各分量对参数u求导，其 结果为一矢量，称为导矢；一阶导矢称为切矢。
曲面如何生成对应的数学公式
曲面如何生成对应的数学公式1 曲面曲面是指在高维空间中，不断变换着的曲线和曲面，它由点、线、面或曲线来表示，在数学中，曲面是一种极小空间表面，可以由点、线段、面等所构成。
2 曲面的数学公式由于曲面只在某些空间内定义，所以可以使用数学公式来表示其几何形状。
数学曲面的公式通常分为一维、二维和三维。
一维曲面的数学公式通常是一元一次方程式，例如y = ax + b 。
二维曲面的公式为双元函数，例如z = f (x, y) 。
该函数描述了在所有可能的x、y值组合中的z的取值情况，用于定义相对比较复杂的二维曲面。
三维曲面的构造比较复杂，可以由齐次坐标表示，也就是通过三个方程式表示，例如Ax+By+Cz+D=0Ex+Fy+Gz+H=0Ix+Jy+Kz+L=0或者可以用另一种方式u,v表示，通过三个参数方程表示，例如x = x(u,v)y = y(u,v)z = z(u,v)3 生成对应数学公式的方法无论曲面是什么形状，我们都可以生成相应的数学公式。
一般来说，用u、v两个参数来表示曲面的几何形状比较容易。
所以，生成曲面数学公式，可以采用下面这几个步骤：（1）确定曲面的几何形状；（2）根据所给定几何形状采用一定算法计算u，v函数；（3）通过计算u，v函数求出x，y，z函数；（4）将求得的x，y，z函数求解成一个通用的数学公式；（5）总结成三维曲面的数学公式；（6）实验验证从而得出最后的结论。
通过以上几步，我们可以比较容易的生成曲面的数学公式。
不仅如此，在这些数学公式的基础上我们还可以更进一步，采用一些其他数学工具，比如几何学、代数学、微积分等来处理曲面，从而提取出更深层次的信息。
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基表示的矢函数形式的优点
总是能够获取几何不变性 易于界定形状的范围 易于表示空间曲线 易于计算形状上的点 易于处理无穷大斜率 提供对曲线、曲面形状控制的较多的自由度
曲线的表示
给定一个具体的单参数的矢函数，即给定一个具体的参数曲 线方程，称之为给定了一个曲线的参数化(parametrization)， 它即决定了所表示曲线的形状，也决定了该曲线上的点与其参 数域内的点(即参数值)间的一种对应关系。 当曲线取任意参数时，参数域内线段长度之比即不等于曲线 上对应线段长度之比，也不等于对应曲线段的弦长之比。仅在 曲线取自身弧长的线性函数为参数时，参数域内线段长度之比 即才等于曲线上对应线段长度之比。 曲线上的点与参数域上的点一一对应关系不成立的点为奇点， 如自交点。
矢函数形式曲线方程：p=p(u) 点动成线，如果将u视为时间，则p(u)可看作一质点随时间的 变化运动的轨迹。其关于u的一阶导矢与二阶导矢分别就是 质点的速度矢量和加速度矢量。 有可能质点的运动轨迹即曲线相同，但速度矢量和加速度矢 量不同。
曲线与曲面的参数表示
在微分几何里，把曲面表示成双参数u和v的矢函数：
曲面论
公式 范围 奇点 曲面的参数化 u线与v线 u向切矢与v向切矢 曲面的单位法矢
曲面表示
曲面方程：p=p(u,v) 曲面范围：用两个参数的变化区间所表示的uv参数 平面上的矩形区域u1≤u≤u2， v1≤u≤v2给出。 奇点：一一对应关系不成立的点，以及切平面法矢 为零的点
曲面的重新参数化
给定一正则曲面p=p(u,v)，其中(u,v)єR，令：
满足Jacobi行列式不为零的条件： 则得到参数曲面： 此过程称之为曲面的重新参数化。Jacobi行列式不 为零的条件保证变换后的曲面也是正则的。
第三章 参数多项式 插值与逼近
3.1 基本概念
插值（interpolation） 插值曲线 被插曲线 曲线插值法 插值曲面 被插曲面 曲面插值法 逼近（approximation） 逼近曲线 被逼曲 线 曲线逼近法 逼近曲面 被逼曲面 曲面逼近法 插值与逼近统称为拟合（fitting）
曲线曲面的几何不变性
概念
– 曲线曲面的数学表示及其所表达的形状不依赖于坐标系
规范基表示具有几何不变性，仅需将原表示中的系 数矢量作相同的坐标变换即可获得变换后的曲线与 曲面 部分规范基表示具有几何不变性，需将原表示中的 绝对系数矢量作相同的坐标变换，而相对矢量仅作 旋转变换 非规范基不具有几何不变性
曲线两端点处的附加方程－边界条件的确定方法
– 切矢条件 – 自由端点条件
4.3.7 参数三次样条曲线的性质
唯一性 由数据点、边界条件、参数分割唯一决定 收敛性 插值曲线随所取数据点增多将收敛被插曲 线 计算稳定 改动一点或端点处边界条件对曲线的影 响将随与该点距离的增大而迅速衰减 整体性 改动一点或端点处边界条件对整条曲线产 生影响 灵活性差 由唯一性决定 不易控制 由整体性造成
曲面上的曲线及曲率性质
曲面上的曲线
切矢 曲率矢 法曲率
曲面的曲率性质
曲面上过一点具有相同切线方向的曲线有 无数条，但这些曲线的曲率矢都位于该点 处的法平面内 过曲面上一点具有相同切线方向的所有曲 线在该点都具有相同的法曲率（非曲率矢） 曲面上一点的法曲率总是沿着某一方向的 法曲率，曲面上一点有无数个方向，就有 无数个法曲率，其中的最值为主曲率 高斯曲率（两主曲率的乘积，决定双曲点、 抛物点、椭圆点）与平均曲率（两主曲率 的均值）
三个基本矢之间的关系
都是单位矢量 相互垂直 组成的体积为1
曲率与挠率
曲率k的几何意义为曲线的单位切矢对于弧长的转动率，因 单位切矢对于弧长的一阶导矢其模长等于曲率，故称为曲率矢， 与主法矢同向。 挠率的绝对值等于副法线方向对于弧长的转动率，其大于、 等于、小于0分别表示曲线为右旋空间曲线、平面曲线和左旋 空间曲线。 曲线的弧长、曲率、挠率是几何不变量，三个基矢量是几何 不变矢，与参数选取无关。
对于形状数学描述的要求
唯一性 由已给有限信息决定的形状唯一 几何不变性 数学表示与形状不随坐标系的改变而改变 易于定界
统一性 能统一表示各种形状及处理各种情况，如平面与空 间曲线，无穷大斜率
易于实现光滑连接 易于实现对形状的控制，不仅要有整体控制的能力，且要有 局部控制的能力
曲线的导矢
曲线的导矢 对曲线各分量分别对 参数求导 GADG中曲线的导矢 几何意义 为曲线的切矢，是相对 矢量 正则曲线 曲线的弧长公式 自然参数方程 曲线取自身弧长为 参数
曲线论的基本公式、曲率与挠率
（Frenet）活动标架
Frenet-Serret公式（基本公式）
优良的局部支撑性质 采用相异的切矢模长，相同的切线方向获得一阶几何连续性
参数三次样条曲线
参数三次样条曲线的提出
– 弹性细梁的应变能 – 问题的简化 假定 ，有
三切矢连续性方程：C2分段三次埃尔米特插值即参数三次样 条插值曲线必须满足的连续性条件，由 ，得
边界条件
封闭曲线且整体C2连续则无需边界条件
1.2 形状数学描述的发展主线
显式标量函数与隐方程描述曲线曲面 1963年，弗格森将曲线曲面表示为参数的矢函数 1964年，孔斯（Coons）提出由封闭的4条边界构造曲面 1971年，雷诺（Renault）公司Bezier提出由控制多边形定 义曲线曲面 1972年，德布尔（de Boor)提出B样条算法，1974年，戈登 （Gordon）和里森弗尔德（Riesenfeld)将B样条理论应用于 曲线曲面的描述 上世纪80年代后期，Piegl、Tiller、Farin等人将非均匀有理 B样条方法用于形状的描述
参数（孔斯）双三次曲面片
差值于四个角点、四个角点处双向偏导矢扭 矢以及混合偏导矢
参数（孔斯）双三次曲面片
弗格森双三次曲面片
定义在任意子矩形域上的参数双参数曲面片
第四章 参数样条曲线曲面
函数曲线的光滑度用对其变量的可微性度量 参数曲线的光滑度
– 参数连续性 与曲线的光顺程度不一致 – 几何连续性 反映曲线的光顺程度不一致 – 参数多项式组合曲线的连续性取决于各段间公共连接点处的连续性
CAGD概述
Computer Aided Geometric Design(CAGD) 1974 年，Barnhill与Riesenfeld首先提出 GAGD的研究对象与核心问题
– 研究对象：工业产品的几何形状（解析曲面、自由曲面） 的数学表示 – 核心问题：研究适合计算机表示，且满足形状表示与几 何设计要求，又便于形状信息传递和产品数据交换的形 状数学描述方法。 – 需要解决的问题：用于工业产品形状数学描述的标准形 式，曲线曲面的形状控制，曲线曲面的光滑连接与统一 表示
Frenet活动标架
将曲线在一点处的三个单位矢量用 来作为坐标轴方向的基矢量，则在 该点处构成一个局部坐标系。当参 数连续变化时，该坐标系就连续发 生平移和旋转，成为曲线上的一个 活动坐标系，称为Frenet活动标架。 有了活动标架，则曲线在任一点处 临近的几何行为或几何性质就可以 在该点处的活动标架内考察，该点 处的任一个矢量就可表示成活动标 架上三个基矢量的线性组合。
参数曲面的连续性（跨界切矢）
– 参数连续性 – 几何连续性 – 分片为双参数多项式的张量积组合曲面，其参数连续性取决于公共边界处的 连续性
C1分段三次埃尔米特插值
给定数据点、切矢及参数分割，构造一条C1分段三次多项式 曲线，其分段表达式：
切矢的确定方法
弗密尔法（FMILL） 贝塞尔法（Bessel） 秋间法（Akima）
第二章 曲线曲面的基本理论
Cห้องสมุดไป่ตู้GD的数学基础－微分几何
CAGD中矢量、点与直线
矢量具有长度以及方向 服从相等、相加、反向、相减、数乘 分为绝对矢量（点）与相对矢量（矢量与矢量间的 相互关系） 固定矢量与变矢量 若变矢量随某一参数或变量而变化，则称其为该变 量或参数的矢函数 相对矢量相加减得相对矢量，绝对矢量加或减相对 矢量得绝对矢量，绝对矢量相加减则不能判定
两点连线的数学表示
两点之间的线性插值
一般形式
曲线与曲面的参数表示
解析几何的参数表示
微分几何的参数矢函数表示 CAGD的基表示的参数矢函数形式
– 基函数决定了曲线的整体性质，当基函数确定后，就决 定了系数矢量是绝对矢量还是相对矢量，也就决定了所 表示曲线的形状。
矢函数形式曲线方程的物理意义
对域变换的依赖性：基与系数矢量都有变化 由部分规范性需对几何变换进行特殊处理
双线性插值曲面
张量积曲面
方程
准线不一定位于曲面上，母线运动形成曲面的一族 等参数线，同时形成了曲面
曲面数据点的参数化
曲面数据点的参数化是给每一数据点赋予一 对参数值 一般采用双向平均规范积累弦长参数化
插值条件（数据点）多于待定系数矢量 插值条件
矩阵形式
解（法方程，Gaussian正交方程组）
参数三次曲线
能表示空间曲线的次数最低的多项式曲线，方程：
三次埃尔米特基及其性质
参数三次曲线的几何特征
两数据点分别是曲线段的两端点，首末端切 矢决定曲线段的形状
三次埃尔米特插值的域变换
多项式基
采用多项式函数作为基函数即为多项式基，得到的 曲面为参数多项式曲线、曲面 多项式基的优点：无穷次可微，易计算函数值及各 阶导数值 n次多项式的全体构成n次多项式空间，其中任意一 组n+1个线性无关的多项式都可作为一组基 采用幂基的参数多项式曲线