圆锥曲线定义解题

巧用圆锥曲线定义法解题

摘要：圆锥曲线是解析几何中的重点，也是高中数学教学过程中的重点章节之一，在教学过程和高考试卷中都占有很大的比例。在历年高考的命题中都是热点和重点之一。圆锥曲线的定义在初高中数学乃至高等数学中，都有广泛的应用。本论文首先对圆锥曲线的定义进行归纳总结概述，运用类比和大量的举例对圆锥曲线概念作了说明；其次给出了利用圆锥曲线定义巧解题的一些方法以及解题过程，然后对利用圆锥曲线定义巧解题中所涉及到的数学思想作了归纳和总结；最后通过调查分析了解了学生在学习利用圆锥曲线定义解题中常出错的地方，并给出了应对方法。

关键词：圆锥曲线定义解题方法

一、圆锥曲线的定义

圆锥曲线包括三类曲线，分别为椭圆，双曲线，抛物线。对于圆锥曲线，国际上总体上有两大类的定义，第一种定义明确的标出了圆锥曲线的三类曲线的特性，第二种定义则概括出了各圆锥曲线的本质上的联系。在数学中，定义是展现数学概念之间区别的强有力的工具，定义反映了数学对象的本质属性和特征，对与数学定义的深刻理解，能够为提高解题能力打下坚实基础。在圆锥曲线中，有相当多的问题是可以化归到运用定义从而得以简捷求解。

1.1圆锥曲线的第一定义

高中数学教材中对与圆锥曲线给出了两种定义，第一定义展示了三类曲线各自独特性质和几何特征，分别为：椭圆：平面内与两个定点距离的和等于定值的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距。

双曲线：平面内与两个定点距离的差的绝对值是定值的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。

抛物线：平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

几何解析中，用垂直于圆锥锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆;把平面稍稍的倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。

1.2圆锥曲线的第二定义

圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）统一定义：平面内一个动点M与一个定点F的距离与一条定直线l（点F不在直线l上）的距离比等于一个常数e。当0＜e＜1时，动点M的轨迹是椭圆；当e=1时，动点M的轨迹是抛物线；当e＞1时，动点M的轨迹是双曲线。

圆锥曲线的第二定义，是圆锥曲线定义概念的重要组成部分，揭示了圆锥曲线之间的内在联系。学习好圆锥曲线的定义，不仅是研究圆锥曲线图像与性质的基础，而且在许多高中数学问题的解题过程中。具有不可磨灭的特殊作用。

第二定义（又叫做统一定义）深刻揭露了三类曲线的内在联系，使焦点，离心率，和准线等构成一个统一的整体，它揭示了圆锥曲线定义的本质属性。 二、圆锥曲线定义的作用

2.1导向作用:充分理解圆锥曲线的定义，对于很多高中数学以至于以后的高等数学，关于圆锥曲线的问题的解题过程上都有很大的导向作用，可以有助于拓展学生的数学解题思维，启迪解题思路。

2.2简化作用:几何学学习中巧用圆锥曲线的定义，能够化简复杂的变形与讨论，从而使问题变得简洁，也有利于学生在考场上轻松解决与关于圆锥曲线考点的相关习题。

2.3转化作用:结合曲线圆锥的第一和第二定义，分析具体题目的独特的结构特征，有助于发掘隐含在考题当中的条件，从而使得题目化隐为显，有效解决高考中的圆锥曲线问题。

2.4联络问题:对于一些需要多种属性思维和解题方法技巧的题目，圆锥曲线定义可以再其中起到桥梁纽带作用，使得解题思路更连贯畅通。

三、圆锥曲线的方程和圆锥曲线的基本性质 3.1圆锥曲线的方程

3.1.1椭圆 参数方程：θθsin ;cos x b Y y +==(θ为参数) 直角坐标（中心为原点）

3.1.2抛物线 参数方程：pt 2x 2=（t 为参数） 直角坐标：c bx ax y 2

++=（开口方向为y 轴，0a ≠） 3.1.3双曲线 参数方程：θθtan ;asec x b Y y X +=+=(θ为参数)

直角坐标（中心为原点）

22

22y x -=1y a b （开口方向为轴）

在近几年高考对于考察圆锥曲线的考题中，大多数都是题目繁琐，且解答过程也很繁杂，但如果能透彻的理解圆锥曲线的定义，并利用定义熟练解题，就会使问题化繁为简， 3.2椭圆、双曲线和抛物线基本性质

形 状

标准方程 22a x +2

2

b y =1(a ＞b ＞0)

22a x -2

2

b y =1(a ＞0,b ＞0)

y 2=2px(p ＞0)

顶 点

A 1(-a,0),A 2(a,0);

B 1(0,-b),B 2(0,b)

A 1(0,-a),A 2(0,a)

O(0,0)

轴

对称轴x=0,y=0

长轴长：2a

短轴长：2b 对称轴x=0,y=0

实轴长：2a 虚轴长：2b

对称轴y=0

焦 点

F 1(-c,0),F 2(c,0)

焦点在长轴上 F 1(-c,0),F 2(c,0)

焦点在实轴上 F(

2

P

，0) 焦点对称轴上

焦 距

｜F 1F 2｜=2c ，

c=b2-a2

｜F 1F 2｜=2c,

c=b2a2+

准 线

x=±c

a 2

准线垂直于长轴，且在椭圆外.

x=±c

a 2

准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.

x=-

2

p

准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.

离心率 e=

a

c

,0＜e ＜1 e=

a

c

,e ＞1 e=1

四、巧用圆锥曲线定义解最值问题 4.1.椭圆第一定义在最值问题中的巧用

椭圆第一定义：平面内到两定点1F 、2F 的距离之和等于常数a 2的动点M 的轨迹叫椭圆，即

a MF MF 221=+。

例1：椭圆

116

362

2=+y x 上一点P 到两个焦点距离之积为m ，求m 的最大值，并求出当m 取得最大值时P 点的坐标。

分析：此题求P 点到两焦点之积，由不等式性质和椭圆第一定义，可转化为两距离之和来求解。