2012中考数学压轴题及答案40例

2012中考数学压轴题及答案40例（1）
1.如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式.
（2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

（注：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2b x a
=-
）
解：设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，
依题意得：c=4且934016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得13
13a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
所以 所求的抛物线的解析式为2
1143
3
y x x =-
+
+
（2）连接DQ ，在Rt △AOB 中，22
22
345AB AO BO
=+=
+=
所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2 因为BD 垂直平分PQ ，所以PD=QD ，PQ ⊥BD ，所以∠PDB=∠QDB 因为AD=AB ，所以∠ABD=∠ADB ，∠ABD=∠QDB ，所以DQ ∥AB 所以∠CQD=∠CBA 。

∠CDQ=∠CAB ，所以△CDQ ∽ △CAB
D Q C D A B
C A
= 即
210,5
7
7
D Q D Q =
=
所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –
107
=
257
，252517
7
t =
÷=
所以t 的值是
257
（3）答对称轴上存在一点M ，使MQ+MC 的值最小 理由：因为抛物线的对称轴为122
b x a =-=所以A （- 3，0），C （4，0）两点关于
直线12
x =
对称连接AQ 交直线12
x =于点M ，则MQ+MC 的值最小过点Q 作QE ⊥x
轴，于E ，所以∠QED=∠BOA=90 DQ ∥AB ，∠ BAO=∠QDE ， △DQE ∽△ABO
Q E D Q
D E B O
A B
A O
== 即
10
745
3
Q E D E =
=
所以QE=
87
，DE=6
7
，所以OE =
OD + DE=2+67
=
20
7
，所以Q （20
7
，87
）
设直线AQ 的解析式为(0)y kx m k =+≠则20
87730k m k m ⎧+=⎪
⎨⎪-+=⎩
由此得
841
2441
k m ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩ 所以直线AQ 的解析式为8244141y x =+ 联立12
824
4141
x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 由此得12
8244141
x y x ⎧
=
⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩ 所以M 128(
,
)2
41
则：在对称轴上存在点M 128(
,
)2
41
，使MQ+MC
的值最小。

2.如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，
与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），
OB ＝OC ，tan∠ACO＝31
．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，
使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG
的最大面积.
（1）由已知得：C （0，－3），A （－1，0） …1分
将A 、B 、C 三点的坐标代入得⎪⎩
⎪
⎨⎧-==++=+-30390c c b a c b a ……………………2分
解得：⎪⎩
⎪
⎨⎧-=-==321c b a (3)
分
所以这个二次函数的表达式为：322--=x x y ……………………3分 （2）存在，F 点的坐标为（2，－3） ……………………4分 理由：易得D （1，－4），所以直线CD 的解析式为：3--=x y
∴E 点的坐标为（－3，0） ……………………4分
由A 、C 、E 、F 四点的坐标得：AE ＝CF ＝2，AE ∥CF ∴以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形
∴存在点F ，坐标为（2，－3） ……………………5分
（3）过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ，
易得G （2，－3），直线AG 为1--=x y ．……………8分
设P （x ，322--x x ），则Q （x ，－x －1），PQ 22++-=x x ．
3)2(2
12
⨯++-=
+=∆∆∆x x S S S GPQ APQ APG (9)
分
当2
1=
x 时，△APG 的面积最大
此时P 点的坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛-
415,2
1，8
27的最大值为APG S ∆． (10)
分
3.如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。

⑴求抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标;若不存在，请说明理由;
⑶若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标。

⑴∵抛物线与y 轴交于点C （0，3），
∴设抛物线解析式为)0(32≠++=a bx ax y ………1分
根据题意，得⎩⎨⎧=++=+-,0339,03b a b a ，解得⎩
⎨⎧=-=.2,
1b a
∴抛物线的解析式为322++-=x x y ………………………………………2分 ⑵存在。

…………………………………………………………………………3分 由322++-=x x y 得，D 点坐标为（1，4），对称轴为x ＝1。

…………4分 ①若以CD 为底边，则PD ＝PC ，设P 点坐标为(x,y)，根据勾股定理，
得2222)4()1()3(y x y x -+-=-+，即y ＝4－x 。

…………………………5分 又P 点(x,y)在抛物线上，∴3242++-=-x x x ，即0132=+-x x …………6分 解得25
3±=
x ，
125
3<-，应舍去。

∴2
5
3+=
x 。

……………………7分
∴2
5
54-=
-=x y ，即点P 坐标为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+255,
253。

……………………8分 ②若以CD 为一腰，因为点P 在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P 与点
C 关于直线x ＝1对称，此时点P 坐标为（2，3）。

∴符合条件的点P 坐标为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+255,
253或（2，3）。

……………………9分 ⑶由B （3，0），C （0，3），D （1，4），根据勾股定理,
得CB ＝23,CD ＝2,BD ＝52,………………………………………………10分 ∴202
2
2==+BD
CD
CB ,
∴∠BCD ＝90°,………………………………………………………………………11分 设对称轴交x 轴于点E ，过C 作CM ⊥DE ，交抛物线于点M ，垂足为F ，在Rt △DCF 中， ∵CF ＝DF ＝1, ∴∠CDF ＝45°,
由抛物线对称性可知，∠CDM ＝2×45°＝90°,点坐标M 为（2，3）， ∴DM ∥BC,
∴四边形BCDM 为直角梯形, ………………12分 由∠BCD ＝90°及题意可知，
以BC 为一底时，顶点M 在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况; 以CD 为一底或以BD 为一底，且顶点M 在抛物线上的直角梯形均不存在。

综上所述，符合条件的点M 的坐标为（2，3）。

……………13分
4.已知：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；
（3）求△ABC的面积；
（4）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（5）在（4）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．
解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）
又∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（－6，0）
∴A 、B 、C 三点的坐标分别是A （－6，0）、B （2，0）、C （0，8） （2）∵点C （0，8）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上
∴c ＝8，将A （－6，0）、B （2，0）代入表达式y ＝ax 2＋bx ＋8，得
⎩⎨⎧
0＝36a －6b ＋80＝4a ＋2b ＋8
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－23
b ＝－83
∴所求抛物线的表达式为y ＝－23x 2－8
3x ＋8
（3）∵AB ＝8，OC ＝8
∴S △ABC ＝1
2
×8×8=32
（4）依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ， ∵OA ＝6，OC ＝8， ∴AC ＝10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC ∴
EF AC ＝BE AB 即EF 10＝8－m 8 ∴EF ＝40－5m 4
过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝45
∴FG EF ＝45 ∴FG ＝45·40－5m 4
＝8－m ∴S ＝S △BCE －S △BFE ＝12（8－m ）×8－12（8－m ）（8－m ）
＝12（8－m ）（8－8＋m ）＝12（8－m ）m ＝－1
2m 2＋4m 自变量m 的取值范围是0＜m ＜8 （5）存在． 理由：
∵S ＝－12m 2＋4m ＝－12（m －4）2＋8 且－12＜0，
∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8 ∵m ＝4，∴点E 的坐标为（－2，0） ∴△BCE 为等腰三角形．
5.已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A(-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ．
⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；
⑶坐标平面内是否存在点M ，使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：⑴对称轴是直线：1=x ，点B 的坐标是(3,0)． ……2分 说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分．
⑵如图，连接PC ，∵点A 、B 的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0)， ∴AB ＝4．∴．AB PC
242
121=⨯=
=
在Rt △POC 中，∵OP ＝PA －OA ＝2－1＝1，
∴．PO
PC
OC
3122
22
2
=
-=-=
∴b ＝．3 ………………………………3分 当01=-=，y x 时，，a a 032=+-- ∴．a 3
3=
………………………………4分
∴．x x y 33
32332
+
+
-
= …………5分
⑶存在．……………………………6分
理由：如图，连接AC 、BC ．设点M 的坐标为),(y x M ．
①当以AC 或BC 为对角线时，点M 在x 轴上方，此时CM ∥AB ，且CM ＝AB ． 由⑵知，AB ＝4，∴|x|＝4，3=
=OC y ．
∴x ＝±4．∴点M 的坐标为)3,4()3,4(-或M ．…9分
说明：少求一个点的坐标扣1分． ②当以AB 为对角线时，点M 在x 轴下方． 过M 作MN ⊥AB 于N ，则∠MNB ＝∠AOC ＝90°． ∵四边形AMBC 是平行四边形，∴AC ＝MB ，且AC ∥MB ．
∴∠CAO ＝∠MBN ．∴△AOC ≌△BNM ．∴BN ＝AO ＝1，MN ＝CO ＝3． ∵OB ＝3，∴0N ＝3－1＝2．
∴点M 的坐标为(2,3)M -． ……………………………12分
说明：求点M 的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，
然后求交点M 的坐标的方法均可，请参照给分．
综上所述，坐标平面内存在点M ，使得以点A 、B 、C 、M 为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为123(4,3),(4,3),(2,3)M M M --．
2012中考数学压轴题及答案40例（2）
5.如图，在直角坐标系xOy 中，点P 为函数2
14
y x =
在第一象限内的图象上的任一点，
点A 的坐标为(01)，，直线l 过(01)B -，且与x 轴平行，
过P 作y 轴的平行线分别交x 轴，l 于C Q ，，连结AQ 交x 轴于H ，直线P H 交y 轴于R ． （1）求证：H 点为线段AQ 的中点； （2）求证：①四边形APQR 为平行四边形；
②平行四边形APQR 为菱形；
（3）除P 点外，直线P H 与抛物线2
14
y x =
有无其它公共点？并说明理由．
（08江苏镇江28题解析）（1）法一：由题可知1AO CQ ==．
90AO H Q C H ∠=∠=
，AHO QHC ∠=∠，
AOH QCH ∴△≌△． ·
·······················································································（1分） O H C H ∴=，即H 为AQ 的中点． ···································································（2分）
法二：(01)A ，，(01)B -，，O A O B ∴=． ························································（1分） 又BQ x ∥轴，HA HQ ∴=． ·············································································（2分）
（2）①由（1）可知AH QH =，AHR QHP ∠=∠，
AR PQ ∥，RAH PQH ∴∠=∠，
RAH PQH ∴△≌△． ·
························································································（3分） AR PQ ∴=，
又AR PQ ∥，∴四边形APQR 为平行四边形． ·················································（4分）
②设214P m m ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，PQ y ∥轴，则(1)Q m -，，则2
1
14P Q m =+．
过P 作PG y ⊥轴，垂足为G ，在R t APG △中，
2
2
2
2
22
22111111444AP AG PG m m m m PQ ⎛⎫⎛⎫
=+=
-+=+=+= ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
． ∴平行四边形APQR 为菱形． ·
············································································（6分） （3）设直线P R 为y kx b =+，由O H C H =，得22m
H ⎛⎫
⎪⎝⎭，，214P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，代入得：
2021.4m k b km b m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 22
1.
4
m k b m ⎧
=⎪⎪∴⎨
⎪=-⎪⎩，∴直线P R 为2124m y x m =-． ·······················（7分） 设直线P R 与抛物线的公共点为214
x x ⎛⎫
⎪⎝
⎭
，，代入直线P R 关系式得：
2
2
1104
2
4
m x x m -
+
=，
2
1
()04x m -=，解得x m =．得公共点为214m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 所以直线P H 与抛物线2
14
y x =
只有一个公共点P ．··········································（8分）
6.如图13，已知抛物线经过原点O 和x 轴上另一点A ,它的对称轴x =2 与x 轴交于点C ，
直线y =-2x -1经过抛物线上一点B (-2,m )，且与y 轴、直线x =2分别交于点D 、E . （1）求m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB =CE ；② D 是BE 的中点；
（3）若P (x ，y )是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P ,使得PB =PE ,若存在，试求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
（1）∵ 点B (-2,m )在直线y =-2x -1上，
∴ m =-2×(-2)-1=3. ………………………………（2分） ∴ B (-2,3)
∵ 抛物线经过原点O 和点A ，对称轴为x =2， ∴ 点A 的坐标为(4,0) .
设所求的抛物线对应函数关系式为y =a (x -0)(x -4). ……………………（3分） 将点B (-2,3)代入上式，得3=a (-2-0)(-2-4)，∴ 4
1=
a .
∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为)4(4
1-=
x x y
，即x
x y -=
2
4
1. （6分）
（2）①直线y =-2x -1与y 轴、直线x =2的交点坐标分别为D (0,-1) E (2,-5). 过点B 作BG ∥x 轴，与y 轴交于F 、直线x =2交于G ， 则BG ⊥直线x =2，BG =4.
在Rt △BGC 中，BC =522=+BG CG .
∵ CE =5，
∴ CB =CE =5. ……………………（9分） ②过点E 作EH ∥x 轴，交y 轴于H ， 则点H 的坐标为H (0,-5).
又点F 、D 的坐标为F (0,3)、D (0,-1)， ∴ FD =DH =4，BF =EH =2，∠BFD =∠EHD =90°.
∴ △DFB ≌△DHE （SAS ），
∴ BD =DE .
A B
C
O
D
E
x
y x =2 G F
H
即D 是BE 的中点. ………………………………（11分）
（3） 存在. ………………………………（12分） 由于PB =PE ，∴ 点P 在直线CD 上，
∴ 符合条件的点P 是直线CD 与该抛物线的交点.
设直线CD 对应的函数关系式为y =kx +b . 将D (0,-1) C (2,0)代入，得⎩⎨
⎧=+-=0
21
b k b . 解得
1,
2
1-==
b k .
∴ 直线CD 对应的函数关系式为y =2
1
x -1.
∵ 动点P 的坐标为(x ，x
x -2
4
1
)，
∴
2
1x -1=x
x -2
4
1
. ………………………………（13分）
解得
5
31+
=x ，5
32
-=x . ∴ 2
511+=y ，2
511-=y .
∴ 符合条件的点P 的坐标为(5
3+
，2
51+)或(5
3-
，2
51-).…（14分）
(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)
7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－3
2x
2
+b x +c 经过A （0，－4）、B （x 1，
0）、 C （x 2，0）三点，且x 2-x 1=5． （1）求b 、c 的值；（4分）
（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对 角线的菱形；（3分）
（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）
解： （解析）解：（1）解法一： ∵抛物线y =－
3
2x
2
+b x +c 经过点A （0，－4），
∴c =－4 ……1分
又由题意可知，x 1、x 2是方程－3
2x
2
+b x +c =0的两个根，
∴x 1+x 2=
2
3b ， x
1
x
2
=－2
3c =6·································································· 2分
由已知得（x 2-x 1）2=25 又（x 2-x 1
）2=（x 2+x 1）2－4x 1
x
2
=
4
9b
2
－24
∴
4
9b
2
－24=25
解得b =±
3
14 ········································································································· 3分
当b =3
14时，抛物线与x 轴的交点在x 轴的正半轴上，不合题意，舍去．
∴b =－3
14． ········································································································ 4分
解法二：∵x 1、x 2是方程－
3
2x
2
+b x +c=0的两个根，
即方程2x 2－3b x +12=0的两个根． ∴x =
4
96
9b 32
-±
b ，·········································································· 2分
∴x 2－x
1
=2
96
9b
2
-=5，
解得 b =±3
14 ····························································································· 3分
（以下与解法一相同．）
（2）∵四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D 必在抛物线
的对称轴上， ···························································································· 5分 又∵y =－
3
2x
2
－
3
14x －4=－
3
2（x +
2
7）2+
6
25 ······························ 6分
∴抛物线的顶点（－
2
7，6
25）即为所求的点D ． ·································· 7分
（3）∵四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形，点B 的坐标为（－6，0），
根据菱形的性质，点P 必是直线x =-3与 抛物线y =－
3
2x
2
-
3
14x -4的交点， ························································· 8分
∴当x =－3时，y =－3
2×（－3）2－3
14×（－3）－4=4，
∴在抛物线上存在一点P （－3，4），使得四边形BPOH 为菱形． ·········· 9分 四边形BPOH 不能成为正方形，因为如果四边形BPOH 为正方形，点P 的坐标只能是（－3，3），但这一点不在抛物线上． ·········································· 10分
8.已知：如图14，抛物线2
334
y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34
y x b =-
+相
交于点B ，点C ，直线34y x b =-
+与y 轴交于点E ．
（1）写出直线B C 的解析式． （2）求A B C △的面积．
（3）若点M 在线段A B 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线B C 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出M N B △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，M N B △
的面积最大，最大面积是多少？
（解析）解：（1）在2
334
y x =-
+中，令0y =
2
3304
x ∴-
+=12x ∴=，22x =-
(20)A ∴-，，(20)B ， ·············································· 1分 又 点B 在34y x b =-
+上
302
b ∴=-+32
b =
B C ∴的解析式为334
2
y x =-
+
············································································ 2分
（2）由2334
33
42
y x y x ⎧
=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得1119
4
x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 2220x y =⎧⎨=⎩ ·················································· 4分 914C ⎛
⎫
∴- ⎪⎝
⎭
，
，(20)B ，
4AB ∴=，94C D =······························································································ 5分
19942
4
2
A B C S ∴=
⨯⨯=
△ ························································································ 6分
（3）过点N 作N P M B ⊥于点P
E O M B ⊥
N P E O ∴∥
B N P B E O ∴△∽△······························································································· 7分 B N N P B E
E O
∴= ········································································································· 8分
由直线334
2
y x =-
+
可得：302E ⎛⎫
⎪⎝
⎭，
∴在B E O △中，2B O =，32
E O =，则52
B E =
25322
t N P ∴=
，65
N P t ∴=
·
····················································································· 9分 16
(4)25S t t ∴=
- 2
312(04)55
S t t t =-
+
<<··················································································· 10分 2
312(2)55
S t =--+
···························································································· 11分
此抛物线开口向下，∴当2t =时，125
S =
最大
∴当点M 运动2秒时，M N B △的面积达到最大，最大为125
． ······················· 12分
2012中考数学压轴题及答案40例（4）
13.如图12，直线43
4
+-
=x y 与x 轴交于点A ，与y
轴交于点C ，已知二次函数的图象
经过点A 、C 和点()0,1-B .
（1）求该二次函数的关系式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积；
（3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒2
3个单位长度的速度沿折线OAC
按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C
→A 的路线运动，当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ∆的面积为S .
①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；
②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S
= .
解：（1）令0=x ，则4=y ；
令0=y 则3=x ．∴()30A ，．()04C ， ∵二次函数的图象过点()04C ，
， ∴可设二次函数的关系式为
42
++=bx ax
y
又∵该函数图象过点()30A ，
．()10B -， ∴093404a b a b =++⎧⎨=-+⎩
，
． 解之，得3
4-
=a ，3
8=
b ．
∴所求二次函数的关系式为43
83
42
++
-
=x x y
（2）∵43
8342
++-
=x x y
=()3
1613
42
+
--
x
∴顶点M 的坐标为1613⎛⎫ ⎪⎝
⎭
， 过点M 作MF x ⊥轴于F
∴AFM AO C M FO C M S S S =+△四边形梯形 =
()101316421
316132
1=⨯⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+⨯+⨯
-⨯ ∴四边形AOCM 的面积为10 （3）①不存在DE ∥OC
∵若DE ∥OC ，则点D ，E 应分别在线段OA ，CA 上，此时12t <<，在R t A O C △中，5A C =．
设点E 的坐标为()11x y ，∴5
443
1-=
t x ，∴5
12
121-=
t x ∵D E O C ∥，
∴
t t 2
3512
12=
- ∴3
8=
t
∵3
8=t >2，不满足12t <<．
∴不存在D E O C ∥．
②根据题意得D ，E 两点相遇的时间为
11
244
23543=+++（秒）
现分情况讨论如下： ⅰ）当01t <≤时，2
134322
S t t t =
⨯= ；
ⅱ）当12t <≤时，设点E 的坐标为()22x y ， ∴
()
544542--=t y ，∴516362t
y -=
∴t t t
t S 5
275
125
1636232
12
+
-
=-⨯
⨯=
ⅲ）当2 <t <
11
24时，设点E 的坐标为()33x y ，
，类似ⅱ可得5
16363t
y -=
设点D 的坐标为()44,y x
∴
5
32
34
4-=t y ，
∴5
1264-=
t y
∴AOE AOD S S S =-△△
5
12632151636321-⨯
⨯--⨯
⨯=t t
=5
725
33+
-
t
③80
2430=
S
14.已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点． （1）求抛物线的函数关系式；
（2）若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E （4，m ），请求出△CBE 的面积S
的值；
（3）在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形并写出0P 点的坐标；
（4）除（3）中所求的0P 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP 为等
腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P ，请说明理由．
解：（1）∵抛物线经过点(1,0)
A、(5,0)
B，
∴(1)(5)
y a x x
=--．
又∵抛物线经过点(0,5)
C，
∴55
a=，1
a=．
∴抛物线的解析式为2
(1)(5)65
y x x x x
=--=-+．
（2）∵E点在抛物线上，
∴m = 42–4×6+5 = -3．
∵直线y = kx+b过点C（0，5）、E（4，–3），
∴
5,
4 3.
b
k b
=
⎧
⎨
+=-
⎩
解得k = -2，b = 5．
设直线y=-2x+5与x轴的交点为D，当y=0时，-2x+5=0，解得x=5
2
．
∴D点的坐标为（5
2
，0）．
∴S=S△BDC+ S△BD E
=1515
(5)5+(5)32
2
2
2
⨯-⨯⨯-⨯
=10．
（3）∵抛物线的顶点0(3,4)P -既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，
∴点0(3,4)P -为所求满足条件的点．
（4）除0P 点外，在抛物线上还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形．
理由如下： ∵2
2
0024254AP BP ==
+=>，
∴分别以A 、B 为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线交于点B 、1P 、2P 、3P 、
A 、4P 、5P 、6P ，除去
B 、A 两个点外，其余6个点为满足条件的点
15.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连接OA ，将线段OA 绕原点O 顺
时针旋转120°，得到线段OB ．
(1)求点B 的坐标；
(2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．
(注意：本题中的结果均保留根号)
解：（1）过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，由已知可得： OB ＝OA=2，∠BOD ＝60°
在Rt △OBD 中，∠ODB ＝90°，∠OBD ＝30°
∴OD ＝1，DB ＝3 ∴点B 的坐标是（1，3）
（2）设所求抛物线的解析式为2y ax bx c =++，由已知可得：
03420c a b c a b c =⎧⎪
++=⎨⎪-+=⎩
解得：33a b c =
23，=
，=03
∴所求抛物线解析式为2
3233
3
y x x =
+
（备注：a 、b 的值各得1分） （3）存在 由2
32333
y x x =
+
配方后得：2
33(1)3
3
y x =
+-
∴抛物线的对称轴为1x =- （也可用顶点坐标公式求出）
∵点C 在对称轴1x =-上，△BOC 的周长＝OB+BC+CO ； ∵OB=2，要使△BOC 的周长最小，必须BC+CO 最小， ∵点O 与点A 关于直线1x =-对称，有CO=CA △BOC 的周长＝OB+BC+CO ＝OB+BC+CA
∴当A 、C 、B 三点共线，即点C 为直线AB 与抛物线对称轴的交点时，BC+CA 最小，此时△BOC 的周长最小。

设直线AB 的解析式为y kx b =+，则有：3
20
k b k b ⎧+=
⎪⎨
-+=⎪⎩
解得：3233
3
k b =
=
，
∴直线AB 的解析式为3
233
3
y x =
+
当1x =-时，33
y =
∴所求点C 的坐标为（－1，33
）
（4）设P ()x y ，（200x y <<<－，），则2
3233
3
y x x =
+
①
过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ， PG ⊥x 轴于点G ，过点A 作AF ⊥PQ 轴于点F ，过点B
作BE ⊥PQ 轴于点E ，则PQ=x -，PG=y -，由题意可得：
PAB AFP BEP AFEB S S S S △△△梯形＝－－
＝
111()2
2
2
A F
B E F E A F F P P E B E +⋅-
⋅-⋅
=1
11(3)(12)()(2)(1)(3)2
2
2
y y y x x y -+-+-
-+-
--
＝3332
2
y x -
+
+
②
将①代入②，化简得：2
3332
2
PAB S x x -
+
△＝-
＝2
3193()2
2
8
x -
++
∴当12
x =-
时，△PAB 得面积有最大值，最大面积为
938。

此时312313()3
4
32
4
y =
⨯+⨯-=-
∴点P 的坐标为1
3()2
4
--，。