2012中考数学压轴题及答案40例

2012中考数学压轴题及答案40例（1）

1.如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式.

（2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；

（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。 （注：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2b x a

=-

）

解：设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，

依题意得：c=4且934016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得13

13a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=

⎪⎩

所以 所求的抛物线的解析式为2

1143

3

y x x =-

+

+

（2）连接DQ ，在Rt △AOB 中，22

22

345AB AO BO

=+=

+=

所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2 因为BD 垂直平分PQ ，所以PD=QD ，PQ ⊥BD ，所以∠PDB=∠QDB 因为AD=AB ，所以∠ABD=∠ADB ，∠ABD=∠QDB ，所以DQ ∥AB 所以∠CQD=∠CBA 。∠CDQ=∠CAB ，所以△CDQ ∽ △CAB

D Q C D A B

C A

= 即

210,5

7

7

D Q D Q =

=

所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –

107

=

257

，252517

7

t =

÷=

所以t 的值是

257

（3）答对称轴上存在一点M ，使MQ+MC 的值最小 理由：因为抛物线的对称轴为122

b x a =-=所以A （- 3，0），C （4，0）两点关于

直线12

x =

对称连接AQ 交直线12

x =于点M ，则MQ+MC 的值最小过点Q 作QE ⊥x

轴，于E ，所以∠QED=∠BOA=90 DQ ∥AB ，∠ BAO=∠QDE ， △DQE ∽△ABO

Q E D Q

D E B O

A B

A O

== 即

10

745

3

Q E D E =

=

所以QE=

87

，DE=6

7

，所以OE =

OD + DE=2+67

=

20

7

，所以Q （20

7

，87

）

设直线AQ 的解析式为(0)y kx m k =+≠则20

87730k m k m ⎧+=⎪

⎨⎪-+=⎩

由此得

841

2441

k m ⎧

=⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩ 所以直线AQ 的解析式为8244141y x =+ 联立12

824

4141

x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 由此得12

8244141

x y x ⎧

=

⎪⎪⎨

⎪=+⎪⎩ 所以M 128(

,

)2

41

则：在对称轴上存在点M 128(

,

)2

41

，使MQ+MC

的值最小。

2.如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，

与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），

OB ＝OC ，tan∠ACO＝31

．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，

使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG

的最大面积.

（1）由已知得：C （0，－3），A （－1，0） …1分

将A 、B 、C 三点的坐标代入得⎪⎩

⎪

⎨⎧-==++=+-30390c c b a c b a ……………………2分

解得：⎪⎩

⎪

⎨⎧-=-==321c b a (3)

分

所以这个二次函数的表达式为：322--=x x y ……………………3分 （2）存在，F 点的坐标为（2，－3） ……………………4分 理由：易得D （1，－4），所以直线CD 的解析式为：3--=x y

∴E 点的坐标为（－3，0） ……………………4分

由A 、C 、E 、F 四点的坐标得：AE ＝CF ＝2，AE ∥CF ∴以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形

∴存在点F ，坐标为（2，－3） ……………………5分

（3）过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ，

易得G （2，－3），直线AG 为1--=x y ．……………8分