傅里叶分析及其应用

傅里叶级数与 单位圆内解析 函数的理论有 着非常密切的 联系
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第二章 傅里叶分析的发展
近代以来的发展概况 极大函数
50年代以后的研 究，逐渐向多维 和抽象空间推广
考尔德伦－赞格蒙奇异积分理论
研究一类相当广泛的奇异积分算子
(xy)
Tf(x)lim
f(y)dy
0 xy xy
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第二章 傅里叶分析的发展
早期发展概况 傅里叶提出任意函数可以用级数表示
未得到严 格的数学 论证
狄利克雷是历史上第一个给出函数 f ( x ) 的傅 里叶级数收敛于它自身的充分条件的数学家
Dirichlet -Jordan 判别法
黎曼在《用三角级数来表示函数》的论文中， 为了使更广的一类函数可以用傅里叶级数来 表示，第一次明确地提出了现在称之为黎曼 积分的概念及其性质。
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第三章 傅里叶变换
傅里叶变换的基本性质 （1）线性：傅里叶变换是一种线性运算。
f1 (t) F 1 (j) f2 (t) F 2 (j)即
a f1 (t) b f2 (t) a F 1 (j) b F 2 (j)
其中a,b均为常数，其证明只需要根据傅里叶 变换的定义既可以得出。
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第三章 傅里叶变换
快速傅里叶变换
由于加法运算通常比乘法运算快，所以快速算法 的思想就是要尽量减少乘法运算。例如ab+ac=a(b+c)， 用左式计算要做两次乘法，而用右式计算则只要做一 次乘法。
由 anN 1N k 0 1A kW N kn, n0,1 , ,N1
上式计算a n 时，对每个确定的n，要做N次乘法，总
此后，众多数学家，如Dirichlet，Riemann， Lipschitz以及Jordan等都曾从事于这一领域的研究， 不仅弥补了Fourier工作中的不足，而且极大地发展 了以Fourier命名的级数理论，扩大了傅里叶分析的 应用范围，还使得这一理论成为研究周期现象（各种 振动，行星运动，波动与通讯等）不可缺少的工具。
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第一章 绪论
结构 安排
傅里叶分 析的产生
傅里叶分 析的发展
傅里叶变 换的定义
傅里叶变换 的基本性质
傅里叶变换 的主要类型
傅里叶变换应 傅里叶变换应用于 结 用于波动方程 非线性偏微分方程 论
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第二章 傅里叶分析的产生
法国科学家傅里叶由于当时工业上处理 金属的需要，从事着热传导的研究。
题目：傅里叶分析及其应用
答辩人：黄昶昊 班级：08110801 学号：0811080116 指导教师：刘芳
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目次
第一章 绪论 第二章 傅里叶分析的产生与发展 第三章 傅里叶变换 第四章 在偏微分方程中的应用
结论
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第一章 绪论
傅里叶分析是分析学中的一个重要分支，在数学 发展史上，虽然早在18世纪初期，就有关三角级数的 论述已在D.Bernoulli，D’Alembert，L.Euler等人 的工作中出现，但真正重要的一步是法国数学家 Fourier迈出的，他在著作《热的解析理论》中，系 统地运用了三角级数和三角积分来处理热传导问题。
连续傅里叶变换
一般情况下，若“傅里叶变换”一词的前面未加 任何限定语，则指的是连续傅立叶变换。连续傅里叶 变换是一个特殊的把一组函数映射为另一组函数的线 性算子。不严格地说，傅里叶变换就是把一个函数分 解为组成该函数的连续频率谱。
离散傅里叶变换
离散时间傅里叶变换是傅里叶变换的一种。它将 以离散时间n T （其中 n ，T 为采样间隔）作为变量的函 数（离散时间信号）f (nT ) 变换到连续的频域，即产生 这个离散时间信号的连续频谱F ( e iw ) ，值得注意的是这 一频谱是周期的。
ak1 f(x)coskxdx, k0,1,2, bk1 f(x)sinkxdx, k1,2,
实型Fourier级数
实型Fourier级数的 系数由公式决定
f (x)= ckeikx k
ckck(f)21 f(x)eikxdx
复型Fourier级数
复型Fourier级数的 系数由公式决定
满足偏微分方程 等许多数学分支 发展的需要 标志了傅里叶分 析进入了一个新 的历史时期
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第三章 傅里叶变换
傅里叶变换的基本定义
考虑定义在(, )的函数，设 f L(R) 称：
fˆ(t) f(x)e2ixtቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx
为 f 的Fourier变换。 同时
fˆ(t)e2ixtdt
、称为f 的Fourier积分。
1807年向巴黎科学院呈交的题为 《热的解析理论》
在求解该方程时发现解函数可以由三角函数 构成的级数形式表示，从而提出了任意周期
函数都可以用三角基来表示的想法
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第二章 傅里叶分析的产生
a20k 1(akcoskxbksinkx)
实型三角级数， 其中 a 0 ，a k ， bk(k0,1,2, ) 是实数列
c k e ikx
k
复型三角级数， 其中 ck(k0,1,2, ) 是复数列
1 ,c o s x ,s i n x ,,c o s k x ,s i n k x ,
eikx (k0 , 1 , 2 , )
三角函数系
三角函数系 （复数形式）
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第二章 傅里叶分析的产生
f(x)=a20k 1(akcoskxbksinkx)
共要做 N 2 次乘法。若用一下快速算法（把一些相同
的项合并），当 N 2m 时，就可以把乘法总数由 N 2 减
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第三章 傅里叶变换
傅里叶变换的基本性质
（2）奇偶虚实性：
f(t)F() 则 f(t)F()
（3）对称性：
f(t)F() 则 F(t) 2f()
（4）尺度变换性：
f(t)F()
则
f (at) 1 F()
aa
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第三章 傅里叶变换
傅里叶变换的主要类型
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第三章 傅里叶变换
对傅里叶 系数的积 分求解有 重要意义
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第二章 傅里叶分析的发展
近代以来的发展概况 Lebesgue（勒贝格）积分理论
Fejer（费耶尔）求法 Luzin(卢津)猜想
Lebesgue积分 Lebesgue测度
推进了黎曼的 工作
发散级数的求 和理论
新的求和方法 重要的进展
复变函数论方法 经典的 H p 空间概念