高中数学 第2章 推理与证明章末复习课课件 苏教版选修1-2.pptx
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第2章 推理与证明
章末复习课
1
学习目标
1.了解合情推理的含义，能利用归纳、类比进行简单的推理. 2.了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法，并会利用分析法 和综合法证明简单的问题. 3.了解反证法的思想，并能灵活应用.
2
内容索引
知识梳理 题型探究 当堂训练
3
知识梳理
4
1.合情推理 (1)归纳推理 ①定义：从个别事实中推演出 一般性 的结论的推理称为归纳推理.归纳推 理的思维过程大致是：实验、观察 →概括、推广→ 猜测一般性结论 . ②特点：由 部分 到整体、由个别 到一般的推理. (2)类比推理 ①定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它 们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理.类比推理 的思维过程为：观察、比较 → 联想、类推 → 猜测新的结论 . ②特点：类比推理是由 特殊 到 特殊 的推理.
24
1
1
跟踪训练2 已知x>0，y>0，求证：(x2＋y2)2 >(x3＋y3)3.
1
1
证明 要证明(x2＋y2)2>(x3＋y3)3，
只需证(x2＋y2)3>(x3＋y3)2.
只需证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6，
只需证3x4y2＋3x2y4>2x3y3.
又x>0，y>0，∴x2y2>0，
5
(3)合情推理 合情推理是根据 已有的事实、 正确的结论、 实验和实践的结果， 以及个人的 经验 和直觉等推测某些结果的推理过程. 归纳推理 和
类比推理 都是数学活动中常用的合情推理. 2.演绎推理 (1)演绎推理 由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法叫演绎推理.简言之， 演绎推理是由 一般到特殊的推理.
15
跟踪训练1 (1)观察下列图形中小正方形的个数，则第n个图形中有 n2＋3n＋2
_____2_______个小正方形.
解析 16 答案
(2)若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，则有性质“若Sm＝Sn(m，
n∈N*且m≠n)，则Sm＋n＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{bn}为等
比数列时，写出一个正确的性质：_数__列__{_b_n}_为__等__比__数__列__，__T_m_表__示__其__前__m__
∴只需证3x2＋3y2>2xy.
∵3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy，
∴3x2＋3y2>2xy成立，
1
1
故(x2＋y2)2 >(x3＋y3)3.
25 证明
类型三 反证法 1＋x 1＋y
例 3 若 x，y 都是正实数，且 x＋y>2，求证： y <2 或 x <2 中至少有 一个成立.
26 证明
反思与感悟
②推证过程： 已知条件 ⇒…⇒…⇒ 结论
③思维过程：由因导果.
7
(2)分析法 ①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯， 直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止，这种证明方法常称为分 析法. ②推证过程： 结论 ⇐…⇐…⇐ 已知条件 ③思维过程：执果索因. 4.间接证明 用反证法来证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑 矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题).
29 证明
当堂训练
ห้องสมุดไป่ตู้30
1.A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎，则__C___ 必定是在撒谎. 解析 假设C没有撒谎，则C真，此时A假并且B假. 由于A假，则可知B真，这与B假矛盾， 所以假设是错误的，C没有撒谎不成立，则C一定撒谎.
反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都 是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时， 也常用反证法.
28
跟踪训练3 已知：ac≥2(b＋d). 求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根. 证明 假设两方程都没有实数根， 则Δ1＝a2－4b<0与Δ2＝c2－4d<0，有a2＋c2<4(b＋d)， 而a2＋c2≥2ac，从而有4(b＋d)>2ac， 即ac<2(b＋d)，与已知矛盾， 故原命题成立.
解析 10 答案
(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，
则
①a2＋b2＝c2；
②③cRots△2AA＋BCco的s2B外＝接1；圆半径为 r＝
a2＋b2 2.
把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明.
11 解答
反思与感悟
(1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得 到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法. (2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也 有一定的探索性.
8
题型探究
9
类型一 合情推理的应用 例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个 数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个 数{13,15,17,19}；…，试观察每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n 的关系式为__f(_n_)＝__n_3_. 解析 由于1＝13 ,3＋5＝8＝23， 7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…， 猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.
项的积，若Tm＝Tn(m，n∈N*，m≠n)，则Tm＋n＝1
.
19 答案
类型二 综合法与分析法 例 2 设 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：1a＋1b＋a1b≥8.试用综合法和分析法 分别证明.
20 证明
反思与感悟
分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法 是顺推，二者各有优缺点.分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点 是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交 互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要 条件.
6
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ①大前提——已知的 一般原理 ； ②小前提——所研究的 特殊情况 ； ③结论——根据一般原理，对 特殊情况 作出的判断. 3.直接证明 (1)综合法 ①定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下
推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法.
章末复习课
1
学习目标
1.了解合情推理的含义，能利用归纳、类比进行简单的推理. 2.了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法，并会利用分析法 和综合法证明简单的问题. 3.了解反证法的思想，并能灵活应用.
2
内容索引
知识梳理 题型探究 当堂训练
3
知识梳理
4
1.合情推理 (1)归纳推理 ①定义：从个别事实中推演出 一般性 的结论的推理称为归纳推理.归纳推 理的思维过程大致是：实验、观察 →概括、推广→ 猜测一般性结论 . ②特点：由 部分 到整体、由个别 到一般的推理. (2)类比推理 ①定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它 们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理.类比推理 的思维过程为：观察、比较 → 联想、类推 → 猜测新的结论 . ②特点：类比推理是由 特殊 到 特殊 的推理.
24
1
1
跟踪训练2 已知x>0，y>0，求证：(x2＋y2)2 >(x3＋y3)3.
1
1
证明 要证明(x2＋y2)2>(x3＋y3)3，
只需证(x2＋y2)3>(x3＋y3)2.
只需证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6，
只需证3x4y2＋3x2y4>2x3y3.
又x>0，y>0，∴x2y2>0，
5
(3)合情推理 合情推理是根据 已有的事实、 正确的结论、 实验和实践的结果， 以及个人的 经验 和直觉等推测某些结果的推理过程. 归纳推理 和
类比推理 都是数学活动中常用的合情推理. 2.演绎推理 (1)演绎推理 由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法叫演绎推理.简言之， 演绎推理是由 一般到特殊的推理.
15
跟踪训练1 (1)观察下列图形中小正方形的个数，则第n个图形中有 n2＋3n＋2
_____2_______个小正方形.
解析 16 答案
(2)若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，则有性质“若Sm＝Sn(m，
n∈N*且m≠n)，则Sm＋n＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{bn}为等
比数列时，写出一个正确的性质：_数__列__{_b_n}_为__等__比__数__列__，__T_m_表__示__其__前__m__
∴只需证3x2＋3y2>2xy.
∵3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy，
∴3x2＋3y2>2xy成立，
1
1
故(x2＋y2)2 >(x3＋y3)3.
25 证明
类型三 反证法 1＋x 1＋y
例 3 若 x，y 都是正实数，且 x＋y>2，求证： y <2 或 x <2 中至少有 一个成立.
26 证明
反思与感悟
②推证过程： 已知条件 ⇒…⇒…⇒ 结论
③思维过程：由因导果.
7
(2)分析法 ①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯， 直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止，这种证明方法常称为分 析法. ②推证过程： 结论 ⇐…⇐…⇐ 已知条件 ③思维过程：执果索因. 4.间接证明 用反证法来证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑 矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题).
29 证明
当堂训练
ห้องสมุดไป่ตู้30
1.A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎，则__C___ 必定是在撒谎. 解析 假设C没有撒谎，则C真，此时A假并且B假. 由于A假，则可知B真，这与B假矛盾， 所以假设是错误的，C没有撒谎不成立，则C一定撒谎.
反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都 是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时， 也常用反证法.
28
跟踪训练3 已知：ac≥2(b＋d). 求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根. 证明 假设两方程都没有实数根， 则Δ1＝a2－4b<0与Δ2＝c2－4d<0，有a2＋c2<4(b＋d)， 而a2＋c2≥2ac，从而有4(b＋d)>2ac， 即ac<2(b＋d)，与已知矛盾， 故原命题成立.
解析 10 答案
(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，
则
①a2＋b2＝c2；
②③cRots△2AA＋BCco的s2B外＝接1；圆半径为 r＝
a2＋b2 2.
把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明.
11 解答
反思与感悟
(1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得 到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法. (2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也 有一定的探索性.
8
题型探究
9
类型一 合情推理的应用 例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个 数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个 数{13,15,17,19}；…，试观察每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n 的关系式为__f(_n_)＝__n_3_. 解析 由于1＝13 ,3＋5＝8＝23， 7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…， 猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.
项的积，若Tm＝Tn(m，n∈N*，m≠n)，则Tm＋n＝1
.
19 答案
类型二 综合法与分析法 例 2 设 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：1a＋1b＋a1b≥8.试用综合法和分析法 分别证明.
20 证明
反思与感悟
分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法 是顺推，二者各有优缺点.分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点 是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交 互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要 条件.
6
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ①大前提——已知的 一般原理 ； ②小前提——所研究的 特殊情况 ； ③结论——根据一般原理，对 特殊情况 作出的判断. 3.直接证明 (1)综合法 ①定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下
推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法.