数值分析期末复习-福大研究生版

数值分析期末复习

题型：一、填空 二、判断 三、解答（计算） 四、证明

第一章 误差与有效数字

一、 有效数字

1、 定义：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零

数字共有n 位，就说x*有n 位有效数字。 2、 两点理解：

（1） 四舍五入的一定是有效数字

（2） 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg. 3、 定理1（P6）：若x*具有n 位有效数字，则其相对误差限为

4、 考点：

（1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1（P7例题3）

二、 避免误差危害原则 1、 原则：

（1） 避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：x1*x2= c / a ）

（2） 避免相近数相减（方法：有理化）eg. 或

（3） 减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14

三、 数值运算的误差估计 1、 公式：

（1） 一元函数：|ε*( f (x *))| ≈ | f ’(x *)|·|ε*(x )|或其变形公式求相对误差

（两边同时除以f (x *)） eg.P19习题1、2、5

（2） 多元函数（P8）eg. P8例4，P19习题4

第二章 插值法

一、 插值条件

1、 定义：在区间[a,b]上，给定n+1个点，a ≤x 0＜x 1＜…＜x n ≤b 的函数值

yi=f(xi)，求次数不超过n 的多项式P(x)，使 2、 定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数≤n 的P(x)存在且唯一

二、 拉格朗日插值及其余项

1、 n 次插值基函数表达式（P26（2.8））

2、 插值多项式表达式（P26（2.9））

3、 插值余项（P26（2.12））：用于误差估计

*(1)

11

102n r a ε--≤⨯;x εx εx εx ++=-+();1ln ln ln ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=-+x εx εx x cos 1-2sin 22x =n i y x P i

i n ,,2,1,0)(Λ==

4、 插值基函数性质（P27（2.17及2.18））eg.P28例1

三、 差商（均差）及牛顿插值多项式 1、 差商性质（P30）：

（1） 可表示为函数值的线性组合

（2） 差商的对称性：差商与节点的排列次序无关 （3） 均差与导数的关系（P31（3.5）） 2、 均差表计算及牛顿插值多项式

四、埃尔米特插值（不用背公式） 两种解法：

（1） 用定义做：设P 3(x)=ax 3+bx 2+cx+d ，将已知条件代入求解（4个条件：

节点函数值、导数值相等各2个）

（2） 牛顿法（借助差商）：重节点eg.P49习题14 五、三次样条插值定义

（1） 分段函数，每段都是三次多项式

（2） 在拼接点上连续（一阶、二阶导数均连续） （3）

考点：利用节点函数值、导数值相等进行解题

第三章 函数逼近与曲线拟合

一、 曲线拟合的最小二乘法

解题思路：确定ϕi ，解法方程组，列方程组求系数（注意ϕi 应与系数一一对应）eg.P95习题17

n

j y x S j j ,,1,0,)(Λ==

形如y=ae bx 解题步骤： （1） 线性化（2）重新制表（3）列法方程组求解（4）回代

第四章 数值积分与数值微分

一、 代数精度 1、 概念：如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式准确成立，但对于m+1次多项式不准确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度 2、 计算方法：将f(x)=1,x,x 2, …x n 代入式子求解 eg.P100例1

二、 插值型的求积公式

求积系数

定理：求积公式至少具有n 次代数精度的充要条件是：它是插值型的。

三、 牛顿-科特斯公式

1、 掌握科特斯系数n=1,2的情况即可（P104表4-1），性质：和为1，对称性

2、 定理：当阶n 为偶数时，牛顿-科特斯公式至少具有n+1次代数精度

3、 复合梯形公式（P106）及余项（P107）

4、 复合辛普森公式及余项（P107）

四、 高斯型求积公式

1、定义：如果求积公式具有2n+1次代数精度，则称其节点x k 为高斯点。

第五章 解线性方程组的直接方法

一、 LU 分解

1、特点：L 对角线均为1，第一列等于A 的第一列除以a 11；U 的第一行等于A 的第一行

2、LU 分解唯一性：A 的顺序主子式Di ≠0

二、 平方根法

例题：用平方根法解对称正定方程组 解：先分解系数矩阵A

⎪⎪

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛91096858137576321x x x

三、范数

1、向量范数定义及常用范数

2、矩阵范数定义及常用范数

3、条件数

4、谱半径（非常重要）

可用于填空题计算以及大题证明题中判断收敛

第六章 解线性方程组的迭代法

一、 雅克比和高斯-赛德尔迭代法

用向量法

二、 迭代收敛性判断

迭代法收敛的两种判断方法： 1、 严格对角占优

2、 谱半径小于1（谱半径越小，收敛速度越快）

三、 SOR 法

1、 计算公式（P194）

2、 SOR 迭代法收敛的必要条件：SOR 迭代收敛，则0〈W 〈2。

3、 SOR 迭代法收敛的充要条件：A 为对称正定矩阵且0〈W 〈2，则SOR 收敛。

第七章 非线性方程与方程组的数值解法

一、 二分法

1、 优缺点：算法简单且总是收敛，但收敛慢。

2、 公式 ＜ε

b 、a ，求n

二、 不动点迭代及收敛性

1、 形式：x k +1=ϕ(x k ) (k =0,1,2, ) （由f (x )=0移项得） x *=ϕ(x *)为ϕ(x )的不动点

2、 定理1（不动点存在唯一性或整体收敛）：设ϕ(x)∈C[a, b]满足以下两个条件： 1º 对任意x ∈[a , b ]有a ≤ϕ(x )≤b .

2º 存在正数L <1，使对任意x ,y ∈[a , b ]都有 则ϕ(x )在[a , b ]上存在唯一的不动点x *。

3、 定理2：设ϕ(x )∈C[a , b ]满足定理1中的两个条件，有误差估计式

4、 定理3（局部收敛）：设x *为ϕ(x )的不动点，

在x *的某个邻域连续，

且

，则迭代法x k +1=ϕ(x k )局部收敛.

做法：不动点x *不知道，用x *附近的x 0代替（题目已知“根附近x 0”，代入x 0证明

，则迭代法局部收敛）

)

(x ϕ'1

)(<'*x ϕ1

)(<'*x ϕ111*()()22

n n n n x x b a b a +-≤-=-y x L y x -≤-)()(ϕϕ.1或.1101k k k k k x x L

L x x x x L L x x --≤---≤-+**