高等数学泰勒公式

x 之间).
高等数学三③
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由假设， Rn ( x)在(a, b)内具有直到(n 1)阶导数，且
Rn ( x0 ) Rn ( x0 ) Rn( x0 ) Rn(n) ( x0 ) 0
对两函数Rn ( x)及( x x0 )n1在以 x0 及 x 为端点的区间
上满足柯西中值定理的条件，得
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2、高次多项式近似
⑴思路: 寻找高次多项式函数 P(x)，使得 f ( x) P( x)；
误差 R( x) f ( x) P( x)可估计。
⑵提出问题: 设函数 f(x)在含有 x0 的开区间内具有直到
(n+1)阶导数，试找出一个关于(x-x0)的 n 次多项式:
来近P似n( x表) 达 af0(x)，a1(误x差 xR0 n)(x)a=2f((xx)-Pxn0()x2)是比(xan-x( x0)n
f
(x)
n
k0
f
(k)(x0 ) (x k!
x0 )k
Rn ( x)
其中Rn ( x)
f (n1) ( )
n 1!
(
x
x0
)n1为拉格朗日余项.
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③当n 0时，泰勒公式变成拉氏中值公式
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 )
(在
x
与
0
x之
间)
④带佩亚诺型余项的n阶泰勒公式
∵ Rn ( x)
f (n1) ( )
n 1! ( x
x0 )n1
nM 1!( x x0 )n1
及
lim
x x0
(
Rn x
(x) x0 )n
0
Rn ( x) o[( x x0 )n ].
f (x)
n k0
f
(k)( x0 )( x k!
x0 )k
o[( x
x0 )n ]
⑤取 x0 0， 在0与 x之间,令 ξ=θx(0<θ<1)，则余项
一、问题的提出 二、泰勒中值定理
三、简单应用 四、小结 思考题
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1、低次多项式近似
⑴设 f ( x)在 x0处连续,则有 f ( x) f ( x0 ) [ f ( x) f ( x0 ) ]
⑵设 f ( x)在 x0 处可导,则有 f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
Rn( x) ( x x0 )n1
Rn( x (x
)x0 )Rnn1(x00)
Rn (1 ) (n 1)(1 x0 )n
(1在x0与x之间)
再对两函数Rn ( x)及(n 1)( x x0 )n在以 x0 及1为端点的
区间上满足柯西中值定理的条件，得
(n
Rn (1) 1)(1
x0 )n
P (n1) n
(
x)
0,
R(n1) n
(
x
)
f (n1) ( x)
则由上式得
Rn( x)
f (n1) ( )
n 1!
(
x
x0 )n1
(在x0与x之间)
⑶注意：①称下式为f(x)按(x-x0)幂展开n次近似多项式
Pn ( x)
n
k0
f
(k) ( x0 k!
)
(
x
x0
)k
②称下式为f(x)按(x-x0)幂展开n阶泰勒公式
Rn ( x)
f (n1) (x) x n1
(n 1)!
可得如下麦克劳林展开式：
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2、麦克劳林公式
⑴带拉氏余项的麦克劳林(Maclaurin)公式
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
f ( x0 ),
,
P (n) n
(
x0
)
f (n) ( x0 ).
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⑷假设的理由
1.若在 x0 点相交
越近
好似
Pn ( x0 ) f ( x0 )
程 度
2.若有相同的切线
越 来
Pn( x0 ) f ( x0 )
3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
y
o
x0
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⑴Taylor 中值定理 若 f ( x)在含有 x0的某个开区间(a, b)内具 有直到(n 1)阶的导数，则对任一 x ∈(a,b)， f ( x)可表示
为( x x0 )的一个n次多项式与一个余项 Rn ( x)之和：
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
[ f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 )]
例如：当 x 很小时, e x 1 x , ln(1 x) x
（如下图） y
y
Байду номын сангаасyx
y ex
y 1 x
o
x
y ln(1 x)
o
x
存在不足：以直代曲近似 ①精确度不高；②误差不能估计。 高等数学三③
)
(
x
x0
)2
f
(n)( x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn
(x)
其中 Rn( x)
f (n1) ( ) (
(n 1)!
x
x0 )n1(
在
x0与
x 之间).
⑵定理的证明:
由Rn( x) f ( x) Pn ( x), 只需证明
Rn( x)
f (n1) ( )
(x (n 1)!
x0 )n1(
在 x0与
x0 )n
高阶的
无穷小，并给出误差的具体表达式。
⑶分析: 假设Pn ( x)在x0处的函数值及它直到n阶导数在x0 处的值依次与f ( x0 ), f ( x0 ), , f (n) ( x0 )相等,即满足 :
Pn ( x0 ) f ( x0 ), Pn( x0 ) f ( x0 ),
Pn( x0 )
Rn (1) Rn ( x0 ) (n 1)(1 x0 )n
0
Rn(2 ) n(n 1)(2 x0 )n1
( 2在x0与1之 间)
如此下去，经过(n 1)次后，得
Rn ( x) ( x x0 )n1
R(n1) n
(
)
(
在
x
0与
n之
间,
也
在
x
0与
x之
间)
n1 !
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(k 0,1,2, , n).
代入Pn ( x)中得
Pn( x) f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0 )
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
f
(n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
下面定理表明，上式多项式即为要找的n次多项式。
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1、泰勒中值定理及泰勒公式
y f (x)
x
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⑸多项式系数的确定
由假设 Pn(k)( x0 ) f (k)( x0 ) k 0,1,2, , n
a0 f ( x0 ), 1 a1 f ( x0 ), 2!a2 f ( x0 )
, n!an f (n) ( x0 )
得
ak
1 k!
f
(k)( x0 )