高等数学泰勒公式
泰勒公式展开
泰勒公式展开泰勒公式也称为泰勒中值定理，是高等数学中的一个重要定理，也是考研数学中的一个重要考点，常用于函数极限的计算、中值问题和不等式的证明以及函数的无穷级数展开式中，因此大家应该理解并熟练掌握其应用。
f(x)=f(x0)+f′(x0)1!⋅(x−x0)+f′′(x0)2!⋅(x−x0)2+...+f(n)(x0)n!⋅(x−x0)n+Rn(x)f(x)=f(x0)+f′(x0)1!⋅(x−x0)+f″(x0)2!⋅(x−x0)2+...+f(n)(x0)n!⋅(x−x0)n+Rn(x) 即：f(x)=f(x0)+∑i=1nf(i)(x0)i!⋅(x−x0)i+Rn(x)即：f(x)=f(x0)+∑i=1nf(i)(x0)i!⋅(x−x0)i+Rn(x)其中Rn(x)Rn(x)表示泰勒公式的余项，可以估算近似的误差，相当于无穷小将其中的x0x0带入00就可以得到麦克劳林展开，即f(x)=f(0)+f′(0)1!⋅x+f′′(0)2!⋅x2+...+fn(0)n!⋅xnf(x)=f(0)+f′(0)1!⋅x+f″(0)2!⋅x2+...+fn(0)n!⋅xn 然后虽然我们知道了这两个公式,还是不会用诶(当然大佬可能都是知道怎么用的..然而我确是一脸懵233)..下面说两个实例展开y=sin(x)y=sin(x)和y=cos(x)y=cos(x)用y=sin(x)y=sin(x)来说:前置知识:fn(x)=sin(x+nπ2)fn(x)=sin(x+nπ2)(推一下x=1、2、3...x=1、2、3...即可找到公式)然后我们需要求出f(0)f(0)的nn阶导,推一下发现f1(0)f3(0)f5(0)f7(0)=1=−1=1=−1f2(0)=0f4(0)=0f6(0)=0f8(0)=0f1(0)=1f2(0)=0f3(0)=−1f4(0)=0f5(0)=1f6(0)=0f7(0)=−1f8(0)=0也就是f2n−1(0)=(−1)n−1f2n−1(0)=(−1)n−1,f2n(0)=0f2n(0)=0 通过麦克劳林展开可以得到sin(x)=x1!−x33!+x55!−...+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!sin(x)=x1!−x33!+x55!−...+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!同理可以得到cos(x)=1−x22!+x44!−...+(−1)nx2n(2n)!cos(x)=1−x22!+x44!−...+(−1)nx2n(2n)!计算近似值前置知识:e=limx→0(1+x)1xe=limx→0(1+x)1x即e=limx→∞(1+1x)xe=limx→∞(1+1x)x因此令f(x)=exf(x)=ex通过麦克劳林展开可以得到ex=f(x)=e0+e01!⋅x+e02!⋅x2+...+e0n!⋅xn+Rn=1+x1!+x22!+x33!+...+xnn!+Rnex=f(x)=e0+e01!⋅x+e02!⋅x2+...+e0n!⋅xn+Rn=1+x1!+x22!+x33!+...+xnn!+Rn忽略余项得到ex≈1+x1!+x22!+x33!+...+xnn!+Rnex≈1+x1!+x22!+x33!+...+xnn! +Rn带入x=1x=1,e≈1+11!+12!+13!+...+1n!。
高等数学上泰勒公式
高等数学上泰勒公式泰勒公式是高等数学中的一个重要公式，用于将一个函数在其中一点附近展开成无限级数的形式。
通过泰勒公式，我们可以用多项式逼近函数的行为。
设f(x)在其中一点x=a附近具有n+1阶导数，那么根据泰勒公式，我们可以将f(x)在a点附近展开成以下形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+...+fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!+Rₙ其中，Rₙ为泰勒公式的余项，它表示了多项式逼近与原函数之间的误差。
根据余项的具体形式，泰勒公式又可以分为拉格朗日余项形式和皮亚诺余项形式。
拉格朗日余项形式如下：Rₙ=f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x-a)⁽ⁿ⁺¹⁾/(n+1)!其中，ξ是a和x之间的一些值，称为拉格朗日中值点。
皮亚诺余项形式如下：Rₙ=f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x-a)ⁿ/n!其中，ξ是a和x之间的一些值，称为皮亚诺中值点。
泰勒公式的推导可以通过数学归纳法来进行。
首先，我们定义一个新函数g(t)，使得g(t)=f(t)-(f(a)+f'(a)(t-a)+f''(a)(t-a)²/2!+...+fⁿ(a)(t-a)ⁿ/n!)。
显然，g(a)=g'(a)=g''(a)=...=gⁿ(a)=0。
接下来，我们将g(t)在a点展开成一个幂级数。
g(t)=g⁽ⁿ⁺¹⁾(a)(t-a)⁽ⁿ⁺¹⁾/(n+1)!+g⁽ⁿ⁺²⁾(a)(t-a)⁽ⁿ⁺²⁾/(n+2)!+...由于g(a)=g'(a)=g''(a)=...=gⁿ(a)=0，所以g⁽ⁿ⁺¹⁾(t)在a点附近连续。
我们记r(t)=g⁽ⁿ⁺¹⁾(t)/(n+1)!，则有：g(t)=r(t)(t-a)⁽ⁿ⁺¹⁾+r²(t)(t-a)⁽ⁿ⁺²⁾/(n+2)!+...注意到，r(t)在a点附近连续，所以泰勒公式便可表述为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+...+fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!+(x-a)⁽ⁿ⁺¹⁾r⁽ⁿ⁺¹⁾(x)其中，r⁽ⁿ⁺¹⁾(x)是r(t)在a和x之间的一些值。
泰勒公式
3
sin x x
x
5
( 1) m 1
x
2 m 1
3!
5!
m sin() mx 2 1)π) ( 1 cos( 2 x
(2m 1) !
R2 m ( x)
其中 R2 m ( x)
麦克劳林公式
( 2m 1) !
f (0) 2! x
df
第三章 微分中值定理与导数的应用
第三节 泰勒公式
在泰勒公式中若取 x0 0, 记 x (0 1) , 则有
f (0) f (0) x
f (0) 2! x
2
f
(n)
(0)
x
n
n!
称为麦克劳林( Maclaurin )公式 . 由此得近似公式
f (0) n 2 (0) x f (x) f (0) f ) x fx( x0 2! n2 f (x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 )! 若在公式成立的区间上 f ( n1) n1) 2 ! , 则有误差估计式 (x) M (n) ( f ( x0 ) f ( ) n n 1 ( x x0 ) ( x x0 ) M n 1 n ! Rn ( x ) ( n x ) ! 1 ( 在 x0 与 x 之间) ( n 1) !
Rn
( n 1)
1 之间)
(n) Rn ( x0 )
( n 1) 2( n x0 ) 0
( )
( n 1) !
( 在 x0 与 n 之间) x
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
常用的泰勒公式
常用的泰勒公式泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，常用的泰勒公式如下所示：1、e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……(-∞<x<∞)4、cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+……(-∞<x<∞)5、arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)6、arccos x = π- ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……) (|x|<1)7、arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)8、sh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+……(-∞<x<∞)9、ch x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞)10、arcsh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - ……(|x|<1)11、arcth x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)泰勒公式介绍：泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。
泰勒公式的几何意义：泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性。
高等数学 泰勒公式
高等数学泰勒公式1 泰勒公式介绍泰勒公式是一种重要的数学计算方法，它可以用来求解函数的数值解。
泰勒公式不像常用的无穷级数展开，而是用数值解的方式给出函数的近似值，从而使其在计算中更接近真实解。
泰勒公式最初是以JohnathanTaylor的名字命名的，但实际上，它可以追溯到叙利亚数学家艾哈迈德·泰勒，他是在1800年代末定义函数的隐函数形式的先驱者。
2 泰勒公式的定义泰勒公式可以被定义为：当f(x)是在点x0内可从某处n次可连续微分的函数时，令微分次数增加到n+1，则有：f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+\frac{f'''(x_0)(x-x_0)^3}{3!}+\cdots+\frac{f^{(n+1)}(x_0)(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!} 3 泰勒公式的应用由于泰勒公式的本质是利用函数的多项式区间进行逼近，因此它可以用来求解根问题、最小值、积分以及其他的数学问题。
比如，用泰勒公式求根问题：假设存在一个函数f(x)，当x_0处f(x)可导数且f(x_0)=0时，f(x) = 0可以用泰勒公式写作：f(x) =f'(x_0) (x - x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x - x_0)^2 + \cdots = 0。
这样，x_0就是f(x) = 0的一个根，而当f''(x) > 0时，x_0是其唯一解。
泰勒公式也可以用来求函数的最大值或最小值，最大值或最小值的函数在泰勒公式处可导数并且函数值为零。
由于泰勒公式可以对函数值的近似表达作出估算，因此也可以用来做积分，将函数分段展开，然后用此泰勒展开式加以求和便可以求出积分值了。
4 泰勒公式的缺点虽然泰勒公式在多个应用中都表现出了优良的数值结果，但泰勒公式也有一定的缺点，比如函数值的计算方式比较复杂、计算量也太大，也有的函数集合不能只靠泰勒公式求解，甚至得到的数值可能不是最精确的值，所以使用时必须谨慎。
高等数学 多元函数的微分中值定理和泰勒公式
一元函数 f ( x) 的泰勒公式:
f ( x0 ) 2 f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 )h h 2!
f ( n ) ( x0 ) n h n!
推广 多元函数泰勒公式
(0 1)
记号 (设下面涉及的偏导数连续): • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 h f x ( x0 , y0 ) k f y ( x0 , y0 ) x y 2 • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 x y
1 (h 2! x 1 (h n! x 2 k y) n k y)
f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 ) Rn
①
1 ( h k ) n 1 f ( x h, y k ) ② 其中 Rn ( n 0 0 1)! x y
m
( m) (0) (h x k y ) m f ( x0 , y0 )
由 (t ) 的麦克劳林公式, 得
将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.
说明: 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, (1) 余项估计式. 在某闭
邻域其绝对值必有上界 M , M Rn ( h k ) n 1 (n 1) ! 则有
例1. 求函数 f ( x, y ) ln(1 x y ) 在点 (0,0) 的三阶泰
勒公式. 解:
1 f x ( x, y ) f y ( x, y ) 1 x y f x x ( x, y ) f x y ( x, y ) f y y ( x, y )
3 f x y 4 f x y
同济大学高等数学7.泰勒公式
注意到 f (n1) ( ) e 代入公式,得
ex 1 x x2 xn e xn1
2!
n! (n 1)!
(在x与0之间).
由公式可知
ex 1 x x2 xn
2!
n!
估计误差 (设 x 0)
Rn (x)
e xn1 (n 1)!
ex xn1(0
(n 1)!
x).
取x 1, e 1 1 1 1
于是(i) Rn (x)与f (x)有相同的连续性,可导性;
(ii )
Rn (x0 )
Rn (x0) Rn(x0)
R(n) n
(
x0
)
0.
lim x x0
Rn (x) (x x0 )n
lim
x x0
Rn (x) n(x x0 )n1
lim
Rn( x)
xx0 n(n 1)( x x0 )n2
a2.
P2 (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2
)
(
x
x0
)
2
P2(x)近似f (x)的误差:
f
(x) P2 (x) (x x0 )2
0
(x x0 )
f (x)
f
(x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
(x0 2
)
(
x
x0
)2
o(x x0 )2.
)
f
(x2 )
2
2
证：不妨设 x1
x2 ,记
x0
x1
x2 2
,有
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
高等数学-导数-第三节 泰勒公式
0 (x x )k R (x)
k 0
k!
0
n
称为
f
(x)
按
(x
x 0
)
的幂展开的
n
阶泰勒公式
拉格朗日形式的余项
Rn (x)
f
(n1) ( )
n 1!
(
x
x0
)n1
(
在x0与x之间)
余项也可写为
Rn ( x)
f
(n1)( x0 ( x
(n 1)!
x0 ))
(x
x0 )n1
(0 1)
f '''(0) 1, f (4) (0) 0,...,
sin x
x
x3 3!
x5 5!
x7 7!
...
( 1)( m 1)
x 2m1 (2m 1)!
R2m
sin[x (2m 1) ]
其 中 R2m
2 x2m1 (2m 1)!
常用函数的麦克劳林公式
sin x x x 3 x5 (1)n x 2n1 o( x 2n2 )
注意:
1. 当n 0时,泰勒公式变成拉氏中值公式
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) (在x0与x之间)
2.取 x0 0,
在0与x 之间,令 x (0 1)
则余项
Rn ( x)
f (n1) (x) x n1
(n 1)!
估计式
由泰勒中值定理可知,用泰勒多项式Pn(x)近似表达 函数f (x)时,其误差为 Rn (x) .如果对于某个固定的n,
之和:
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x
高等数学：第三节 泰勒公式
Rn( x)
f
(n1) ( )
n1 !
(
x
x0
)n1
Lagrange型余项
11
（2）n 0时，Taylor公式变为Lagrange中值公式：
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) (在x0与x之间)
（3）若对某固定的n，当x (a, b)时，| f ( (n1) x) | M ,则
第三节 泰勒（Taylor）公式
一、问题的提出 二、泰勒（Taylor）中值定理 三、常见函数的Taylor（Maclaurin)公式 四、简单的应用 五、小结 思考题 六、作业
1
一、问题的提出
复杂函数用简单函数逼近（近似表示） 多项式表示的函数很简单（只含有加、减、乘三种运 算，易于计算函数值，更易于在计算机上实现运算）
n k0
f
(k ) ( x0 k!
)
(x
x0 )k
.
6
当f ( x)在x0处有直到n阶的导数时，用f (k)( x0 )构造出
pn( x)的系数ak
f (k) ( x0 ) , 从而得 k!
n
pn ( x) ak ( x x0 )k ,
k0
这个多项式在x0点与f ( x)具有相同的函数值及相同 直至n阶的导数值，该多项式称为函数f ( x)在x0处的
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 ) ( 2!
x
x0 )2
f
(n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn ( x)
其中
Rn( x)
f (n1) ( ) (
(n 1)!
x
x0 )n1
高等数学 第四章 第4节 泰勒公式(中央财经大学)
微分带皮亚诺余项的
泰勒公式
带拉格朗日余项的拉格朗日中值定理泰勒公式
还有带其它余项的
泰勒公式
带皮亚诺余项的马克劳林公式
带皮亚诺余项的泰勒公式的产生 带皮亚诺余项的泰勒公式的产生0
x x x −=∆
带拉格朗日余项的马克劳林公式
带拉格朗日余项的泰勒公式的产生 带拉格朗日余项的泰勒公式的产生, )(U , )( U )( 00x x x x f ∈∀则内可微在设满足拉格朗日中值上或在 )( ] ,[ ] ,[ 00x f x x x x 定理条件)
)(()()(00x x f x f x f −′+=ξ
. 0))(( , 00→−′→x x f x x ξ时则
记 , ))(()( 00x x f x R −′=ξ)
()()(00x R x f x f +=称为零阶带拉格朗日余项的泰勒公式.
仿照以上的做法, 继续进行下去, 可得到一般的带拉格朗日余项的n阶泰勒公式.
解
解
解
解
解
R
)
(2x
解
解。
高等数学课件：专题五 泰勒公式与导数应用
例10.证明：当x 0时，x2 1 ln x
例11.证明:1 x ln( x 1 x2 ) 1 x2 , x 0
五.求极值与最值 求极值步骤：(1)找到可疑的极值点（包括驻点及不可导点） (2)利用第一或第二充分条件判定
例12.设y y(x)由方程2 y 2 y 2xy x 1所确定，试求 它的驻点，并判别它是否有极值点？如果是，
3
(1 y2 ) 2
,曲率半径 1
K
( x0 , y0 )
8.渐近线：
垂直渐近线: x
x0
,
lim
x x0
f
(x) 或 lim x x0 -
f (x)
水平渐近线：y y0，lxim f (x) y0
斜渐近线：y ax b, a lim f (x) ,b lim[ f (x) ax]
(
x
x0
)
n1
,
(在x0与x之间)
麦克劳林公式：x0 0
f (x)
f (0)
f (0)x
f (0) x2 2!
f (n) (0) n!
xn Rn (x)
其中Rn (x)
f (n1) (x) xn1, (0
(n 1)!
1)
常见的展开式 :
ex 1 x x2 xn e xn1，
以x2代替x
sin x2 x2 x6 x10 (1)n1 x4n2 o(x4n )
3! 5!
(2n 1)!
2.洛必达法则，必须将未定式扩展性转化为基本型
0, 0
3.导数的几何意义：f (x0)为曲线y f (x)在M (x0, f (x0 ))处
十个复杂的高等数学公式
十个复杂的高等数学公式1. 泰勒公式泰勒公式就像是一个超级魔法。
它说呢，一个函数f(x)在点x = a附近可以写成f(x)=∑_{n = 0}^∞frac{f^(n)(a)}{n!}(x a)^n。
啥意思呢？就是把一个复杂的函数用多项式来近似表示。
比如说f(x)是个弯弯曲曲很难算的函数，我们就可以用这个公式把它变成好多项相加的形式，就像把一个怪东西拆成一堆小零件，f^(n)(a)是f(x)在a点的n阶导数哦。
2. 牛顿莱布尼茨公式这个公式可牛啦，它就像一座桥梁。
如果有个函数f(x)在区间[a,b]上连续，而且它的原函数是F(x)，那么∫_{a}^bf(x)dx=F(b)-F(a)。
你可以想象成，你要计算函数f(x)在区间[a,b]下面围起来的面积（就是定积分啦），只要找到它的原函数F(x)，然后把区间端点的值一减就成。
就好比你要知道从A点到B点走了多远，只要知道起始和结束的状态就行。
3. 格林公式格林公式有点像在平面上玩的一种游戏规则。
对于平面闭区域D，它的边界是分段光滑的曲线L，如果有向量场→F(x,y)=<=ft(P(x,y),Q(x,y))，那么∬_{D}((∂ Q)/(∂x)-(∂ P)/(∂ y))dxdy=∮_{L}Pdx + Qdy。
简单说呢，就是把平面区域上的一种双重积分和这个区域边界上的曲线积分联系起来了。
就好像区域里面的情况和边界的情况是有某种神秘联系的。
4. 高斯公式高斯公式可不得了，它是在三维空间里的一个大发现。
对于空间闭区域varOmega，它的边界曲面是∑，向量场→F(x,y,z)=<=ft(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，那么∭_{varOmega}((∂ P)/(∂ x)+(∂ Q)/(∂ y)+(∂ R)/(∂ z))dxdydz=∬_{∑}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy。
这就像是把空间区域里面的一种三重积分和这个区域表面的曲面积分给关联起来了，就好像空间里面的东西和它表面的东西在互相交流信息呢。
高等数学第三章第三节泰勒公式课件.ppt
当在 x0 的某邻域内 f (n1) (x) M 时
Rn (x)
M (n 1)!
x
x0
n1
Rn (x) o((x x0 )n ) (x x0 )
泰勒中值定理 :
阶的导数 , 则当
时, 有
f
(x0 )
f
(x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 n!
)
(
x
பைடு நூலகம்
x0
f
(x)
f
(x0 )
f
(x0 )(x x0 )
f
( )
2 (!
(x x0 )2
在 x0 与x
之间)
误差
( 在 x0 与x 之间) d f
在泰勒公式中若取 x0 0 , x (0 1) , 则有
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P140 ~ P142 )
ex , ln(1 x), sin x, cos x, (1 x)
3. 泰勒公式的应用 (1) 近似计算
(2) 利用多项式逼近函数 , 例如 sin x
(3) 其他应用
求极限.
思考与练习
计算
解: ex2 1 x2 1 x4 o(x4 ) 2!
由此得近似公式
f (x) f (0) f (0)x
若在f (公x) 式 成f (立x0的) 区f间(x上0 )(
x f
f (nx10)
()2x(!0) )fx22M(x!0,则) (x有误fx(0nn差))!(20估) 计xn式
泰勒公式常用
泰勒公式常用泰勒公式是高等数学中的重要概念，是一种用于近似计算函数值的方法。
在实际应用中，我们经常需要计算某些函数在某个点的值，但是有些函数并不容易直接计算。
此时，泰勒公式就可以派上用场了。
泰勒公式的基本形式是：$f(x)=sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ 其中，$f(x)$是要计算的函数，$a$是近似点，$f^{(n)}(a)$表示函数$f(x)$在点$a$处的$n$阶导数，$n!$表示$n$的阶乘。
泰勒公式的意义是将一个函数在某个点处展开成一个无限级数，每一项都是函数在该点处的导数与$(x-a)$的$n$次方的乘积，乘以$1/n!$。
当$n$趋近于无穷大时，级数的和就会越来越接近函数在该点处的真实值。
泰勒公式在实际应用中非常有用，可以用来近似计算各种函数的值。
比如，我们可以用泰勒公式来计算正弦函数在$x=pi/6$处的值：$sin(x)=sum_{n=0}^{infty}frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(x-frac{pi}{2 })^{2n+1}$将$x=pi/6$代入上式，得到：$sin(frac{pi}{6})=frac{(-1)^0}{1!}(frac{pi}{6}-frac{pi}{2}) ^1+frac{(-1)^1}{3!}(frac{pi}{6}-frac{pi}{2})^3+frac{(-1)^2} {5!}(frac{pi}{6}-frac{pi}{2})^5+...$化简得：$sin(frac{pi}{6})=-frac{1}{2}frac{pi}{6}+frac{1}{6}frac{pi^ 3}{2^3}+O((frac{pi}{6})^5)$其中，$O$表示截断误差，意味着剩余的项都很小，可以忽略不计。
这个式子可以进一步化简为：$sin(frac{pi}{6})=frac{1}{2}$这个结果是比较容易理解的，因为正弦函数在$x=pi/6$处的值是$1/2$。
高等数学同济7版精品智能课件-第3章-第3节-泰勒公式
第三节 泰勒公式
于是提出如下的问题：
设函数 f (x) 在含有 x0 的开区间内具有直到 (n + 1) 阶导数，试找出一个关于 (x – x0) 的 n 次多项式
pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n 来近似表达 f (x)，要求
f (x) pn (x) o((x x0 )n ) ,
第三节 泰勒公式
一、泰勒中值定理 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用
第三节 泰勒公式
一、泰勒中值定理
1. 问题的提出
在微分的应用中已经知道，当 |x – x0| 很小时，有近 似计算公式
f (x) f (x0) + f (x0)(x – x0) . 在上述近似计算公式的右边是一个 x – x0 的一次多 项式，因此其实质是用一个一次多项式来表达一个较 复杂的函数. 这种近似表达存在以下不足之处：
x0
)n
.
n 阶泰勒多项式
下面的定理将证明该多项式的确是所要找的 n 次多 项式.
第三节 泰勒公式
2. 泰勒(Taylor)中值定理
泰勒中值定理 如果函数 f (x) 在含有 x0 的某个开
区间 (a , b) 内具有直到 n + 1 阶的导数，则对任一 x
(a
,
b)
，有
f
(x)
f
(x0 )
f
所以
f (k) (0) 1 (k 0 , 1, 2 , , n).
例2 求出函数 f (x) = sin x 的 n 阶麦克劳林公式..
于是解可ex 得因1为sxinfx1(n)x(x2x)31!sxin3 1x51x!nxn5
高考数学泰勒公式
高考数学泰勒公式泰勒公式是高等数学中的一个重要定理，它在数学分析和应用数学中有着广泛的应用。
在高考数学中，泰勒公式被广泛地应用于函数的近似计算和函数的性质研究等方面。
我们来了解一下泰勒公式的基本形式。
对于任意光滑函数f(x)，如果它在某一点x=a处具有n阶导数，那么在该点的附近，函数f(x)可以用一个n次多项式来逼近。
具体来说，泰勒公式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + Rn(x)其中，f(a)表示函数f(x)在点x=a处的函数值，f'(a)表示f(x)在点x=a处的一阶导数值，以此类推，f^n(a)表示f(x)在点x=a处的n 阶导数值。
而Rn(x)表示余项，它是一个与(x-a)^n有关的函数，用于衡量n次多项式逼近的误差。
泰勒公式的这种逼近性质使得我们可以用简单的多项式来近似复杂的函数。
这在高考数学中非常有用。
例如，在计算机中常用的sin(x)、cos(x)、e^x等函数，实际上都可以通过泰勒公式展开来进行计算。
当我们需要计算这些函数的具体值时，可以根据泰勒公式展开式中的有限项来进行近似计算，从而得到一个较为准确的结果。
除了近似计算外，泰勒公式还可以用于研究函数的性质。
例如，通过泰勒公式展开，我们可以推导出函数的极值点、拐点等重要性质。
这对于解决一些函数相关的最优化问题非常有帮助。
同时，泰勒公式还可以用于证明一些数学定理，如拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。
在高考数学中，泰勒公式经常被用于构造近似解、证明数学定理以及解决实际问题。
因此，掌握泰勒公式的基本概念和应用方法对于高考数学的学习非常重要。
在考试中，如果遇到需要进行函数逼近或者研究函数性质的问题，我们可以灵活运用泰勒公式，通过逼近多项式的计算来得到答案。
高等数学 泰勒公式
x 1 例：计算 lim ( ) x 1 x 1 ln x
f ( x ) f (0) f (0) x
f (0) 2 x 2! (n) f ( 0) n x Rn ( x ) n!
( x ) n 1 Rn ( x ) x ( n 1)! f
( n 1 )
f
( n)
( x) e .
2
x
f ( n 1 ) ( x ) e x
( x ) n 1 Rn ( x ) x ( n 1)! f
( n 1 )
1 3 sin x 0 x 0 x x 0 x 4 3! 1 5 1 7 x 0 x6 x 5! 7! ( 1)m 1 2 m 1 2m x 0 x R2 m ( x ) ( 2m 1)!
( 在x0与x之间) 拉格朗日中值公式.
2. Rn ( x ) o[( x x0 ) ].
n
佩亚诺型余项
Rn ( x ) lim n ? 0 x x ( x x ) 0
0
函数f(x)按x―x0的幂 展开的n阶泰勒公式： f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) n!
( 在 x0与x 之间) 1 2 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( )( x x0 ) 2!
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Rn( x) ( x x0 )n1
Rn( x (x
)x0 )Rnn1(x00)
Rn (1 ) (n 1)(1 x0 )n
(1在x0与x之间)
再对两函数Rn ( x)及(n 1)( x x0 )n在以 x0 及1为端点的
区间上满足柯西中值定理的条件，得
(n
Rn (1) 1)(1
x0 )n
P (n1) n
(
x)
0,
R(n1) n
(
x
)
f (n1) ( x)
则由上式得
Rn( x)
f (n1) ( )
n 1!
(
x
x0 )n1
(在x0与x之间)
⑶注意：①称下式为f(x)按(x-x0)幂展开n次近似多项式
Pn ( x)
n
k0
f
(k) ( x0 k!
)
(
x
x0
)k
②称下式为f(x)按(x-x0)幂展开n阶泰勒公式
(k 0,1,2, , n).
代入Pn ( x)中得
Pn( x) f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0 )
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
f
(n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
下面定理表明，上式多项式即为要找的n次多项式。
高等数学三③
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1、泰勒中值定理及泰勒公式
一、问题的提出 二、泰勒中值定理
三、简单应用 四、小结 思考题
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1、低次多项式近似
⑴设 f ( x)在 x0处连续,则有 f ( x) f ( x0 ) [ f ( x) f ( x0 ) ]
⑵设 f ( x)在 x0 处可导,则有 f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
)
(
x
x0
)2
f
(n)( x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn
(x)
其中 Rn( x)
f (n1) ( ) (
(n 1)!
x
x0 )n1(
在
x0与
x 之间).
⑵定理的证明:
由Rn( x) f ( x) Pn ( x), 只需证明
Rn( x)
f (n1) ( )
(x (n 1)!
x0 )n1(
在 x0与
Rn (1) Rn ( x0 ) (n 1)(1 x0 )n
0
Rn(2 ) n(n 1)(2 x0 )n1
( 2在x0与1之 间)
如此下去，经过(n 1)次后，得
Rn ( x) ( x x0 )n1
R(n1) n
(
)
(
在
x
0与
n之
间,
也
在
x
0与
x之
间)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n1 !
高等数学三③
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[ f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 )]
例如：当 x 很小时, e x 1 x , ln(1 x) x
（如下图） y
y
yx
y ex
y 1 x
o
x
y ln(1 x)
o
x
存在不足：以直代曲近似 ①精确度不高；②误差不能估计。 高等数学三③
⑴Taylor 中值定理 若 f ( x)在含有 x0的某个开区间(a, b)内具 有直到(n 1)阶的导数，则对任一 x ∈(a,b)， f ( x)可表示
为( x x0 )的一个n次多项式与一个余项 Rn ( x)之和：
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
x 之间).
高等数学三③
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由假设， Rn ( x)在(a, b)内具有直到(n 1)阶导数，且
Rn ( x0 ) Rn ( x0 ) Rn( x0 ) Rn(n) ( x0 ) 0
对两函数Rn ( x)及( x x0 )n1在以 x0 及 x 为端点的区间
上满足柯西中值定理的条件，得
y f (x)
x
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⑸多项式系数的确定
由假设 Pn(k)( x0 ) f (k)( x0 ) k 0,1,2, , n
a0 f ( x0 ), 1 a1 f ( x0 ), 2!a2 f ( x0 )
, n!an f (n) ( x0 )
得
ak
1 k!
f
(k)( x0 )
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2、高次多项式近似
⑴思路: 寻找高次多项式函数 P(x)，使得 f ( x) P( x)；
误差 R( x) f ( x) P( x)可估计。
⑵提出问题: 设函数 f(x)在含有 x0 的开区间内具有直到
(n+1)阶导数，试找出一个关于(x-x0)的 n 次多项式:
来近P似n( x表) 达 af0(x)，a1(误x差 xR0 n)(x)a=2f((xx)-Pxn0()x2)是比(xan-x( x0)n
Rn ( x)
f (n1) (x) x n1
(n 1)!
可得如下麦克劳林展开式：
高等数学三③
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2、麦克劳林公式
⑴带拉氏余项的麦克劳林(Maclaurin)公式
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
∵ Rn ( x)
f (n1) ( )
n 1! ( x
x0 )n1
nM 1!( x x0 )n1
及
lim
x x0
(
Rn x
(x) x0 )n
0
Rn ( x) o[( x x0 )n ].
f (x)
n k0
f
(k)( x0 )( x k!
x0 )k
o[( x
x0 )n ]
⑤取 x0 0， 在0与 x之间,令 ξ=θx(0<θ<1)，则余项
f
(x)
n
k0
f
(k)(x0 ) (x k!
x0 )k
Rn ( x)
其中Rn ( x)
f (n1) ( )
n 1!
(
x
x0
)n1为拉格朗日余项.
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③当n 0时，泰勒公式变成拉氏中值公式
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 )
(在
x
与
0
x之
间)
④带佩亚诺型余项的n阶泰勒公式
x0 )n
高阶的
无穷小，并给出误差的具体表达式。
⑶分析: 假设Pn ( x)在x0处的函数值及它直到n阶导数在x0 处的值依次与f ( x0 ), f ( x0 ), , f (n) ( x0 )相等,即满足 :
Pn ( x0 ) f ( x0 ), Pn( x0 ) f ( x0 ),
Pn( x0 )
f ( x0 ),
,
P (n) n
(
x0
)
f (n) ( x0 ).
高等数学三③
⑷假设的理由
1.若在 x0 点相交
越近
好似
Pn ( x0 ) f ( x0 )
程 度
2.若有相同的切线
越 来
Pn( x0 ) f ( x0 )
3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
y
o
x0
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