第七章 小波变换2

第七章 小波变换2
第七章 小波变换2

小波变换与傅里叶变换的对比异同

小波变换与傅里叶变换的对比、异同 一、基的概念 两者都是基,信号都可以分成无穷多个他们的和(叠加)。而展开系数就是基与信号之间的内积,更通俗的说是投影。展开系数大的,说明信号和基是足够相似的。这也就是相似性检测的思想。但我们必须明确的是,傅里叶是0-2pi 标准正交基,而小波是-inf到inf之间的基。因此,小波在实轴上是紧的。而傅里叶的基(正弦或余弦),与此相反。而小波能不能成为Reisz基,或标准稳定的正交基,还有其它的限制条件。此外,两者相似的还有就是PARSEVAL定理。(时频能量守恒)。 二、离散化的处理 傅里叶变换,是一种数学的精妙描述。但计算机实现,却是一步步把时域和频域离散化而来的。第一步,时域离散化,我们得到离散时间傅里叶变换(DTFT),频谱被周期化;第二步,再将频域离散化,我们得到离散周期傅里叶级数(DFS),时域进一步被周期化。第三步,考虑到周期离散化的时域和频域,我们只取一个周期研究,也就是众所周知的离散傅里叶变换(DFT)。这里说一句,DFT是没有物理意义的,它只是我们研究的需要。借此,计算机的处理才成为可能。所有满足容许性条件(从-INF到+INF积分为零)的函数,都可以成为小波。小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。但连续取值的尺度因子和平移因子,在时域计算量和频域的混叠来说,都是极为不便的。用更为专业的俗语,叫再生核。也就是,对于任何一个尺度a和平移因子b的小波,和原信号内积,所得到的小波系数,都可以表示成,在a,b附近生成的小波,投影后小波系数的线性组合。这就叫冗余性。这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西,它顶多也只能作为一种积分变换或基。但它的显微镜特点和相似性检测能力,已经显现出来了。为了进一步更好的将连续小波变换离散化,以下步骤是一种有效方法。第一步,尺度离散化。一般只将a二进离散化,此时b是任意的。这样小波被称为二进小波。第二步,离散b。怎么离散化呢?b取多少才合适呢?于是,叫小波采样定理的东西,就这样诞生了。也就是小波平移的最小距离(采样间隔),应该大于二倍小波基的最高频率(好像类似,记不清了)。所以b取尺度的整数倍就行了。也就是越胖的小波,对应频谱越窄,平移量应该越大,采样间隔越大。当然,第一二两步的频域理解,即在满足频域窗口中心是3倍的频域窗口半径的前提下,频域就在统计上是完美二分的。(但很多小波满足不了这个条件,而且频域窗口能量不?,所以只是近似二分的).这时的小波变换,称为离散二进小波变换.第三步,引入稳定性条件.也就是经过变换后信号能量和原信号能量有什么不等式关系.满足稳定性条件?后,也就是一个小波框架产生了可能.他是数值稳定性的保证.一个稍弱的稳定条件???,就是?

小波变换的基本原理

10.2小波变换的基本原理 地质雷达的电磁波信号和地震波信号都是非平稳随机时变信号,长期以来,因非平稳信号处理的理论不健全,只好将其作为平稳信号来处理,其处理结果当然不满意。近年来,随着科学技术的发展和进步,国内外学术界已将注意力转向非平稳随机信号分析与处理的研究上,其中非平稳随机信号的时频表示法是研究热点之一。在这一研究中,戈勃展开、小波变换、维格纳分布与广义双线性时频分布等理论发展起来,这些方法既可以处理平稳信号过程,也可以处理非平稳随机时变信号。 小波变换是上世纪80年代中后期逐渐发展起来的一种数学分析方法。1984年法国科学家J.M OLET在分析地震波的局部特性时首先使用了小波这一术语,并用小波变换对地震信号进行处理。小波术语的含义是指一组衰减震动的波形,其振幅正负相间变化,平均值为零,是具有一定的带宽和中心频率波组。小波变换是用伸缩和平移小波形成的小波基来分解(变换)或重构(反变换)时变信号的过程。不同的小波具有不同带宽和中心频率,同一小波集中的带宽与中心频率的比是不变的,小波变换是一系列的带通滤波响应。它的数学过程与傅立叶分析是相似的,只是在傅立叶分析中的基函数是单频的调和函数,而小波分析中的基函数是小波,是一可变带宽内调和函数的组合。 小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质,较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾,对于信号的低频成分采用宽时窗,对高频成分采用窄时窗。因而,小波分析特别适合处理非平稳时变信号,在语音分析和图象处理中有广泛的应用,在地震、雷达资料处理中将有良好的应用前景。 下边就小波分析的基本原理、主要作用及在雷达资料处理中的应用三方面作以介绍。 10.2.1小波分析的基本原理 小波函数的数学表达

(完整版)小波原理课件

我希望能简单介绍一下小波变换,它和傅立叶变换的比较,以及它在移动平台做motion detection的应用。如果不做特殊说明,均以离散小波为例子。考虑到我以前看中文资料的痛苦程度,我会尽量用简单,但是直观的方式去介绍。有些必要的公式是不能少的,但我尽量少用公式,多用图。另外,我不是一个好的翻译者,所以对于某些实在翻译不清楚的术语,我就会直接用英语。我并不claim我会把整个小波变换讲清楚,这是不可能的事,我只能尽力去围绕要点展开,比如小波变换相对傅立叶变换的好处,这些好处的原因是什么,小波变换的几个根本性质是什么,背后的推导是什么。我希望达到的目的就是一个小波变换的初学者在看完这个系列之后,就能用matlab或者别的工具对信号做小波变换的基本分析并且知道这个分析大概是怎么回事。 要讲小波变换,我们必须了解傅立叶变换。要了解傅立叶变换,我们先要弄清楚什么是”变换“。很多处理,不管是压缩也好,滤波也好,图形处理也好,本质都是变换。变换的是什么东西呢?是基,也就是basis。如果你暂时有些遗忘了basis的定义,那么简单说,在线性代数里,basis是指空间里一系列线性独立的向量,而这个空间里的任何其他向量,都可以由这些个向量的线性组合来表示。那basis在变换里面啥用呢?比如说吧,傅立叶展开的本质,就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来,要这样表示的原因,是因为傅立叶变换的本质,是。小波变换自然也不例外的和basis有关了。再比如你用Photoshop去处理图像,里面的图像拉伸,反转,等等一系列操作,都是和basis的改变有关。 既然这些变换都是在搞基,那我们自然就容易想到,这个basis的选取非常重要,因为basis的特点决定了具体的计算过程。一个空间中可能有很多种形式的basis,什么样的basis比较好,很大程度上取决于这个basis服务于什么应用。比如如果我们希望选取有利于压缩的话,那么就希望这个basis能用其中很少的向量来最大程度地表示信号,这样即使把别的向量给砍了,信号也不会损失很多。而如果是图形处理中常见的线性变换,最省计算量的完美basis就是eigenvector basis了,因为此时变换矩阵T对它们的作用等同于对角矩阵( Tv_n = av_n,a是eigenvalue )。总的来说,抛开具体的应用不谈,所有的basis,我们都希望它们有一个共同的特点,那就是,容易计算,用最简单的方式呈现最多的信号特性。 好,现在我们对变换有了基本的认识,知道他们其实就是在搞基。当然,搞基也是分形式的,不同的变换,搞基的妙处各有不同。接下来先看看,傅立叶变换是在干嘛。 傅立叶级数最早是Joseph Fourier 这个人提出的,他发现,这个basis不仅仅存在与vector space,还存在于funct ion space。这个function space本质上还是一个linear vector space,可以是有限的,可以是无限的,只不过在这个空间里,vector就是function了,而对应的标量就是实数或者复数。在vector space里,你有vector v可以写成vector basis的线性组合,那在function space里,function f(x)也可以写成对应function basis的线性组合,也有norm。你的vector basis可以是正交的,我的function basis也可以是正交的(比如sin(t)和sin(2t))。唯一不同的是,我的function basis是无穷尽的,因为我的function space的维度是无穷的。好,具体来说,那就是现在我们有一个函数,f(x)。我们希望将它写成一些cos函数和一些sin函数的形式,像这样 again,这是一个无限循环的函数。其中的1,cosx, sinx, cos2x …..这些,就是傅立叶级数。傅立叶级数应用如此广泛的主要原因之一,就是它们这帮子function basis是正交的,这就是有趣的地方了。为什么function basis正交如此重要呢?我们说两个vector正交,那就是他俩的内积为0。那对于function basis呢?function basis怎么求内积呢? 现在先复习一下vector正交的定义。我们说两个vector v,w如果正交的话,应符合:

小波变换的原理及matlab仿真程序讲解学习

小波变换的原理及m a t l a b仿真程序

基于小波变换的信号降噪研究 2 小波分析基本理论 设Ψ(t)∈L 2( R) ( L 2( R) 表示平方可积的实数空间,即能量有限的信号空间) , 其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件[4,7]: 2 () R t dw w C ψψ =<∞? (1) 时,我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波,将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后,就可以得到一个小波序列: ,()( )a b t b t a ψ -= ,,0a b R a ∈≠ (2) 其中a 为伸缩因子,b 为平移因子。 对于任意的函数f(t)∈L 2( R)的连续小波变换为: ,(,),()( )f a b R t b W a b f f t dt a ψψ-=<>= ? (3) 其逆变换为: 211()(,)()f R R t b f t W a b dadb C a a ψ ψ+-= ?? (4) 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的,平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置,而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的,在低频时,小波变换的时间分辨率较低,频率分辨率较高:在高频时,小波变换的时间分辨率较高,而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时,首先选取适当的小波函数对信号进行分解,其次对分解出的参

数进行阈值处理,选取合适的阈值进行分析,最后利用处理后的参数进行逆小波变换,对信号进行重构。 3 小波降噪的原理和方法 3.1 小波降噪原理 从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如图所示[6]: 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式: (k)()()S f k e k ε=+* k=0.1…….n-1 其中 ,f( k)为有用信号,s(k)为含噪声信号,e(k)为噪声,ε为噪声系数的标准偏差。 假设e(k)为高斯白噪声,通常情况下有用信号表现为低频部分或是一些比较平稳的信号,而噪声信号则表现为高频的信号,下面对 s(k)信号进行如图结构的小波分解,则噪声部分通常包含在Cd1、Cd2、Cd3中,只要对 Cd1,Cd2,Cd3作相应的小波系数处理,然后对信号进行重构即可以达到消噪的目的。

连续小波变换的概念

连续小波变换的概念swt,cwt,dwt 1。连续小波的概念。就是把一个可以称作小波的函数(从负无穷到正无穷积分为零)在某个尺度下与待处理信号卷积。改变小波函数的尺度,也就改变了滤波器的带通范围,相应每一尺度下的小波系数也就反映了对应通带的信息。本质上,连续小波也就是一组可控制通带范围的多尺度滤波器。 2。连续小波是尺度可连续取值的小波,里面的a一般取整数,而不像二进小波a取2的整数幂。从连续小波到二进小波再到正交离散小波,其实就是a、b都连续,a不连续、b连续,a、b都不连续的过程。操作他们的快速算法也就是卷积(快速傅里叶),多孔(a trous),MALLAT。在MATLAB里,也就是CWT,SWT,DWT。SWT称平稳小波变换、二进小波变换、或者非抽取小波变换。3。从冗余性上:CWT>SWT>DWT,前面两个都冗余,后面的离散小波变换不冗余。 4。从应用上:CWT适合相似性检测、奇异性分析;SWT适合消噪,模极大值分析;DWT适合压缩。 5。操作。就是在某个尺度上得到小波的离散值和原信号卷积,再改变尺度重新得到小波的离散值和原信号卷积。每一个尺度得到一个行向量存储这个尺度下的小波系数,多个尺度就是一个矩阵,这个矩阵就是我们要显示的时间-尺度图。 6。显示。“不要认为工程很简单”。我的一个老师说过的话。小波系数的显示还是有技巧的。很多人画出的图形“一片乌黑”就是个例子。第一步,一般将所有尺度下的小波系数取模;第二步,将每个尺度下的小波系数范围作映射,映射到你指定MAP的范围,比如如果是GRAY,你就映射到0-255;第三步,用IMAGE命令画图;第四步,设置时间和尺度坐标。MATLAB是个很专业的软件,它把这些做的很好,但也就使我们懒惰和糊涂,我是个好奇心重的人就研究了下。里面有个巧妙的函数把我说的(1,2)两个步骤封装在了一起,就是WCODEMAT,有兴趣的同学可以看看。 希望大家深入研究小波。 这里,还有要说的是,小波目前理论的热点: 1。不可分的小波或者具有可分性质的方向性小波; 2。XLET: CONTOURLET, WEDGELET, SHEARLET, BANDELET, RIDGELET, CURVELET; PLATELET. 3。多分辨率分析+多尺度几何分析的结合,才真正是我们所需要的。比如小波域的WEDGELET等等。 最后,几点建议: 1。理论研究和实际应用不同,工程上很多问题小波并不是最好的,在做项目的时候大家要实际情况,实际对待。

第二代小波变换及在不规则测点重磁资料处理中的应用

第二代小波变换及在不规则测点重磁 资料处理中的应用1 刘天佑,史辉,吴小羊 中国地质大学,湖北武汉(430074) E-mail:liuty4508@https://www.360docs.net/doc/812655158.html, 摘要:1994年swelden提出了基于提升算法的第二代小波,它继承了第一代小波的多分辨特性;不依赖傅立叶变换,小波变换后的系数是整数,运算速度快;并且可以实现不规则测网数据的小波分析。本文实现了基于提升算法的第二代小波变换,并把它应用于不规则测点的重力数据的处理,该方法比预先将不规则测点的重力数据经过二次插值网格化,再进行第一代小波分析的方法不仅精度高,而且失真小。它可用于1:5万~1:20万石油高精度重磁勘探中对不规则测网数据的处理。最后利用第二代小波变换处理了江南古陆CHAMP卫星磁测数据。 关键词:第二代小波提升算法高精度重磁勘探不规则测网江南古陆 CHAMP卫星磁测中图分类号:P3 1.引言 重磁勘探是方法理论成熟,覆盖面积广,应用领域十分广泛的两种地球物理方法。在1:20万或更小的比例尺重磁勘探的数据采集中,通常采用不规则测网。近年,随着人们绿色与环保理念的增强,为了在施工中不砍伐树木、破坏生态环境,在1:10万,1:5万比例尺的重磁数据采集中也常常采用不规则测网。在石油重磁勘探中,由于被探测的目标埋深大(通常密度界面、磁性界面深度在3~10km),产生的重磁异常弱,为了探测深部构造,近年国内已开始采用“高精度三维重磁采集方法”,其做法是沿测点号观测一次,再沿测线号观测一次,通过多次观测来提高观测精度。例如在我国南方复杂地形的石油重磁勘探,1:5万重力设计精度为0.09×10-5m/s2,而实际可达到0.065×10-5m/s2,在野外采集这一环节,目前国内已经可以达到相当高的精度。重磁资料数据处理,如利用傅立叶变换的频率域位场转换,小波分析等,都要求观测数据是等间距的,即规则测网数据。对于实测不规则测点数据,通常要先做网格化处理变为网格数据,由于对不规则测点重磁数据做了网格化(如采用距离平方反比、克吕金法等等),原本野外采集的数据其高精度将由于网格化过程而丧失。因此,寻找一种能够保持原始重磁观测数据高精度的处理方法具有十分重要的意义,它是实现野外采集与室内资料处理同时高精度的重要途径。本文介绍的第二代小波变换是一种能够直接对不规则测点重磁资料进行小波分析的新方法,由此可以对不规则测点重磁资料进行去噪,位场分离等等处理与解释。1994年,W.Sweldens等人针对第一代小波的局限性,提出了一种不依赖傅立叶变换的新的小波构造算法-提升算法(Lifting scheme)[1][2],称之为第二代小波变换,其主要特点有:继承了第一代小波的多分辨特性;不依赖傅立叶变换;小波变换后的系数是整数[3],;基于多项式内插的思想,所有运算都在空间域进行,从而摆脱了对频域的依赖[4]。由于无需傅立叶分析,运算速度大大加快,且逆变换也容易实现,它还简化了小波函数的构造(将小波构造转化为选用合适的插值算法)。对于重磁数据处理,第二代小波变换还有一个重要应用就是可以实现不规则点数据的小波分析。 2.第二代小波变换的基本原理 1本课题得到高等学校博士学科点专项科研基金(项目编号:20050491504)的资助。

小波变换基本原理

第五章 小波变换基本原理 问题 ①小波变换如何实现时频分析?其频率轴刻度如何标定? —尺度 ②小波发展史 ③小波变换与短时傅里叶变换比较 a .适用领域不同 b.STFT 任意窗函数 WT (要容许性条件) ④小波相关概念,数值实现算法 多分辨率分析(哈尔小波为例) Daubechies 正交小波构造 MRA 的滤波器实现 ⑤小波的历史地位仍不如FT ,并不是万能的 5.1 连续小波变换 一.CWT 与时频分析 1.概念:? +∞ ∞ --ψ= dt a b t t S a b a CWT )( *)(1),( 2.小波变换与STFT 用于时频分析的区别 小波 构造? 1910 Harr 小波 80年代初兴起 Meyer —小波解析形式 80年代末 Mallat 多分辨率分析—WT 无须尺度和小波函数—滤波器组实现 90年代初 Daubechies 正交小波变换 90年代中后期 Sweblews 第二代小波变换

3.WT 与STFT 对比举例(Fig 5–6, Fig 5–7) 二.WT 几个注意的问题 1.WT 与)(t ψ选择有关 — 应用信号分析还是信号复原 2.母小波)(t ψ必须满足容许性条件 ∞<ψ=? ∞ +∞ -ψdw w w C 2 )( ①隐含要求 )(,0)0(t ψ=ψ即具有带通特性 ②利用ψC 可推出反变换表达式 ??+∞∞-+∞ ∞-ψ -ψ= dadb a b t b a CWT a C t S )(),(11 )(2 3.CWT 高度冗余(与CSTFT 相似) 4.二进小波变换(对平移量b 和尺度进行离散化) )2(2)()(1 )(2 ,22,,n t t a b t a t n b a m m n m b a m m -ψ=ψ?-ψ= ??==--ψ dt t t S n CWT d n m m m n m )(*)()2,2(,,?+∞ ∞ ---ψ=?= 5.小波变换具有时移不变性 ) ,()() ,()(00b b a C W T b t S b a C W T t S -?-? 6.用小波重构信号 ∑∑ ∑∑+∞-∞=+∞ -∞ =+∞-∞=+∞ -∞ =ψψ= m n m n n m n m n m n m t d t d t S )(?)(?)(,,,,正交小波 中心问题:如何构建对偶框架{} n m ,?ψ

小波分析考试题及答案

一、叙述小波分析理论发展的历史和研究现状 答:傅立叶变换能够将信号的时域和特征和频域特征联系起来,能分别从信号的时域和频域观察,但不能把二者有机的结合起来。这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息,而其傅立叶谱是信号的统计特性,从其表达式中也可以看出,它是整个时间域内的积分,没有局部化分析信号的功能,完全不具备时域信息,也就是说,对于傅立叶谱中的某一频率,不能够知道这个频率是在什么时候产生的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾——时域和频域的局部化矛盾。 在实际的信号处理过程中,尤其是对非常平稳信号的处理中,信号在任一时刻附近的频域特征很重要。如柴油机缸盖表明的振动信号就是由撞击或冲击产生的,是一瞬变信号,单从时域或频域上来分析是不够的。这就促使人们去寻找一种新方法,能将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征,构成信号的时频谱,这就是所谓的时频分析,亦称为时频局部化方法。 为了分析和处理非平稳信号,人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命,提出并开发了一系列新的信号分析理论:短时傅立叶变换、时频分析、Gabor 变换、小波变换Randon-Wigner变换、分数阶傅立叶变换、线形调频小波变换、循环统计量理论和调幅—调频信号分析等。其中,短时傅立叶变换和小波变换也是因传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。 短时傅立叶变换分析的基本思想是:假定非平稳信号在不同的有限时间宽度内是平稳信号,从而计算出各个不同时刻的功率谱。但从本质上讲,短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法,因为它使用一个固定的短时窗函数,因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。 小波变换是一种信号的时间—尺度(时间—频率)分析方法,具有多分辨率分析(Multi-resolution)的特点,而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力,使一种窗口大小固定不变,但其形状可改变,时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。小波变换在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率。在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率,很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分,所以被誉为分析信号的显微镜。 小波分析最早应用在地震数据压缩中, 以后在图像处理、故障诊断等方面取得了传统方法根本无法达到的效果. 现在小波分析已经渗透到了自然科学、应用

小波变换去噪基础地的知识整理

1.小波变换的概念 小波(Wavelet)这一术语,顾名思义,“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性;而称之为“波”则是指它的波动性,其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比,小波变换是时间(空间)频率的局部化分析,它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化,最终达到高频处时间细分,低频处频率细分,能自动适应时频信号分析的要求,从而可聚焦到信号的任意细节,解决了Fourier变换的困难问题,成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。 2.小波有哪几种形式?常用的有哪几种?具体用哪种,为什么? 有几种定义小波(或者小波族)的方法: 缩放滤波器:小波完全通过缩放滤波器g——一个低通有限脉冲响应(FIR)长度为2N和为1的滤波器——来定义。在双正交小波的情况,分解和重建的滤波器分别定义。 高通滤波器的分析作为低通的QMF来计算,而重建滤波器为分解的时间反转。例如Daubechies和Symlet 小波。 缩放函数:小波由时域中的小波函数 (即母小波)和缩放函数 (也称为父小波)来定义。 小波函数实际上是带通滤波器,每一级缩放将带宽减半。这产生了一个问题,如果要覆盖整个谱需要无穷多的级。缩放函数滤掉变换的最低级并保证整个谱被覆盖到。 对于有紧支撑的小波,可以视为有限长,并等价于缩放滤波器g。例如Meyer小波。 小波函数:小波只有时域表示,作为小波函数。例如墨西哥帽小波。 3.小波变换分类 小波变换分成两个大类:离散小波变换 (DWT) 和连续小波转换 (CWT)。两者的主要区别在于,连续变换在所有可能的缩放和平移上操作,而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。 DWT用于信号编码而CWT用于信号分析。所以,DWT通常用于工程和计算机科学而CWT经常用于科学研究。 4.小波变换的优点 从图像处理的角度看,小波变换存在以下几个优点: (1)小波分解可以覆盖整个频域(提供了一个数学上完备的描述) (2)小波变换通过选取合适的滤波器,可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性 (3)小波变换具有“变焦”特性,在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分析窗口),在高频段,可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口) (4)小波变换实现上有快速算法(Mallat小波分解算法) 另: 1) 低熵性变化后的熵很低; 2) 多分辨率特性边缘、尖峰、断点等;方法, 所以可以很好地刻画信号的非平稳特性 3) 去相关性域更利于去噪; 4) 选基灵活性: 由于小波变换可以灵活选择基底, 也可以根据信号特性和去噪要求选择多带小波、小波包、平移不变小波等。 小波变换的一个最大的优点是函数系很丰富, 可以有多种选择, 不同的小波系数生成的小波会有不同的效果。噪声常常表现为图像上孤立像素的灰度突变, 具有高频特性和空间不相关性。图像经小波分解后可得到低频部分和高频部分, 低频部分体现了图像的轮廓, 高频部分体现为图像的细节和混入的噪声, 因此, 对图像去噪, 只需要对其高频系数进行量化处理即可。 5.小波变换的科学意义和应用价值

小波分析及应用(附常用小波变换滤波器系数)

第八章 小波分析及应用 8.1 引言 把函数分解成一系列简单基函数的表示,无论是在理论上,还是实际应用中都有重要意义。 1822年法国数学家傅里叶(J. Fourier 1768-1830)发表的研究热传导理论的“热的力学分析”,提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理,奠定了傅里叶级数理论的基础[1]。傅里叶级数理论研究的是把函数在三角函数系下的展开,使得对信号和系统的研究归结为对简单的三角函数的研究。傅里叶级数与傅里叶变换共同组成了平常所说的傅里叶分析[2]。傅里叶级数用于分析周期性的函数或分布,理论分析时经常假定周期是π2,定义如式(8.1-1)、(8.1-2) ()()π2,02 L x f ∈?,()∑∞ -∞ == k ikx k e c x f (8.1-1) 其中 ()dx e x f c ikx k -?=π π20 21 (8.1-2) 然而,被分析函数的性质并不能完整地由傅里叶系数来刻划,这里有一个例子来说明[3]:从任一个平方可和的函数)(x f 出发,为了得到一个连续函数)(x g ,只需或者增大f(x)的傅里叶系数的模,或者保持它不变并适当地改变系数的位相。因此,不可能仅根据傅里叶系数大小的阶就预知函数的性质(如大小、正则性)。 傅里叶变换的定义如式(8.1-3)、(8.1-4) ()()dx e x f F x j ωω? ∞∞ -= (8.1-3) ()()ωωπ ωd e F x f x j -∞∞-?= 21 (8.1-4) 通过引入广义函数或分布的概念,可获得奇异函数(如冲击函数)的傅里叶变换的存在。对于时域的常量函数,在频域将表现为冲击函数,表明具有很好的频域局部化性质。由式(8.1-3)可知,为了得到()ωF ,必须有关于f(x)的过去和未来的所有知识,而且f(x)在时域局部值的变化会扩散到整个频域,也就是()ωF 的任意有限区域的信息都不足以确定任意小区域的f(x)。在时域,哈尔(Haar)基是一组具有最好的时域分辨能力的正交基,它在时域上是完全局部化的,但在频域的局部化却很不好,这是由于哈尔系的两个缺点:缺乏正则性与缺乏振动性。研究者们希望寻找关于空间变量(或时间变量)与频域变量都同时好的希尔伯特(Hilbert)基,R. Balian 认为:“在通讯理论中,人们对于在完全给定的时间内,把一个振动信号表示成由其中每一个都拥有足够确定的位置与有一个频率的小波的叠加这件事感兴趣。事实上,有用的信息常常同时被发射信号的频率与信号的时间结构(如音乐)所传递。当把一个信号表达成时间的函数时,其中的频谱表现并不好;相反地,信号的傅里分析却显示不了信号每一分量发射信号的瞬时与持续时

小波与小波变换

第9章小波图像编码 由于小波变换技术在20世纪90年代初期已经比较成熟,因此从那时起就开始出现各种新颖的小波图像编码方法。这些编码方法包括EZW, 在EZW算法基础上改进的SPIHT和EBCOT等。由于EZW算法的开拓给后来者带来很大的启发,它是一种有效而且计算简单的图像压缩技术,因此本章将重点介绍。

9.1 从子带编码到小波编码 9.1.1 子带编码 子带编码(subband coding,SBC)的基本概念是把信号的频率分成几个子带,然后对每个子带分别进行编码,并根据每个子带的重要性分配不同的位数来表示数据。在20世纪70年代,子带编码开始用在语音编码上。由于子带编码可根据子带的重要性分别进行编码等优点,20世纪80年代中期开始在图像编码中使用。1986年Woods, J. W.等科学家曾经使用一维正交镜像滤波器组(quadrature mirror filterbanks,QMF)把信号的频带分解成4个相等的子带,如图9-01所示。图9-01(a)表示分解方法,图9-01(b)表示其相应的频谱。图中的符号表示频带降低1/2,HH表示频率最高的子带,LL表示频率最低的子带。这个过程可以重复,直到符合应用要求为止。这样的滤波器组称为分解滤波器树(decomposition filter trees)。 图9-01 Lena图的子带编码(1984年) 9.1.2 多分辨率分析 S.Mallat于1988年在构造正交小波基时提出了多分辨率分析(multiresolution analysis)的概念,从空间上形象地说明了小波的多分辨率的特性,提出了正交小波的构造方法和快速算法,叫做Mallat算法。根据Mallat和Meyer等科学家的理论,使

小波变换与小波框架

小波变换与小波框架 小波分析的理论与方法是从Fourier分析的思想方法演变而来的,就象Fourier分析分为积分Fourier变换和Fourier级数一样,小波分析也分为(积分)小波变换和小波级数两部分,(积分)小波变换的主体是连续小波变换,正尺度小波变换和s-进小波变换;而小波级数的主体部分是关于小波框架的理论.小波分析理论深刻,应用广泛,并且仍在迅速发展之中.本文是作者作为初学者,就小波分析这一理论中比较基本和初步的东西所作的一点归纳和整理,其实,有许多结论已经或明或暗的出现于许多文献中了,只是作者觉得它们叙述得不够适合初学者,尤其是不适合没有工程应用背景的人,这是因为小波分析象Fourier 分析一样,起初都是由应用数学家,物理学家和工程师们发展起来的.本文所得结论比较初步,所用方法基本上属于泛函分析中的一些基本内容,只是稍微需要一点关于拓扑群的知识和Fourier分析的基础知识.本文仅考虑Hilbert 空间L~2(R)及其闭子空间中的小波变换和小波框架等问题.本文主要考虑的问题是:L~2(R)上的连续小波变换,正尺度小波变换和s-进小波变换,以及L~2(R)中的小波框架,因为平移框架在小波框架中具有重要作用,所以也考虑了L~2(R)的闭子空间中的平移框架.事实上,通常的小波分析所研究的问题,在一维情形,概括地说,是研究实直线R上的仿射群R~*×R及其子群和子集在L~2(R)上的酉表示U所诱导的L~2(R)(有时是其闭子空间)中的函数的积分变换的性质及应用.下面作稍具体的一点解释:首先,变换上的仿射变换,所有这样的变换全体做成—个群,记为和凡xB—1(。m,幻>儿mE 二,bE用是XxR的子群,(丹xRh 一 U习-,巴-nf小>1;左>0,mE 凤n二厂I是R宇XR的一忏集丞它不是群.分别作定义在集合 R’ x B,

小波变换理论及应用

2011-2012 学年第一学期 2011级硕士研究生考试试卷 课程名称:小波变换理论及应用任课教师:考试时间:分钟 考核类型:A()闭卷考试(80%)+平时成绩(20%); B()闭卷考试(50%)+ 课程论文(50%); C(√)课程论文或课程设计(70%)+平时成绩(30%)。 一、以图示的方式详细说明连续小波变换(CWT)的运算过程,分析小波变换的内涵;并阐述如何从多分辨率(MRA)的角度构造正交小波基。(20分) 二、综述小波变换理论与工程应用方面的研究进展,不少于3000字。(25分) 三、运用MATLAB中的小波函数和小波工具箱,分别对taobao.wav语音信号在加噪之后的taobao_noise.wav信号进行降噪处理,要求列出程序、降噪结果及降噪的理论依据。(25分) 四、平时成绩。(30分)

(一)连续小波变换(CWT )的运算过程及内涵 将平方可积空间中任意函数f (t )在小波基下展开,称这种展开为函数f (t )的连续小波变换(Continue Wavelet Transform ,简记CWT )其表达式为 t a b t t f a b a f W d )(*)(||1),(? ∞+∞--=ψψ ( 1.1) 其中,a ∈R 且a ≠0。式(1.19)定义了连续小波变换,a 为尺度因子,表示与频率相关的伸 缩,b 为时间平移因子。其中)(| |1)(,a b t a t b a -=ψψ为窗口函数也是小波母函数。 从式(1.1)可以得出,连续小波变换计算分以下5个步骤进行。 ① 选定一个小波,并与处在分析时段部分的信号相比较。 ② 计算该时刻的连续小波变换系数C 。如图1.5所示,C 表示了该小波与处在分析时段内的信号波形相似程度。C 愈大,表示两者的波形相似程度愈高。小波变换系数依赖于所选择的小波。因此,为了检测某些特定波形的信号,应该选择波形相近的小波进行分析。 图1.5 计算小波变换系数示意图 ③ 如图1.6所示,调整参数b ,调整信号的分析时间段,向右平移小波,重复①~②步骤,直到分析时段已经覆盖了信号的整个支撑区间。 ④ 调整参数a ,尺度伸缩,重复①~③步骤。 ⑤ 重复①~④步骤,计算完所有的尺度的连续小波变换系数,如图1.7所示。 图1.6 不同分析时段下的信号小波变换系数计算 图1.7 不同尺度下的信号小波变换系数计算 C =0.2247

如果第一代小波变换没学好能否学好第二代小波变换答

如果有人问我,如果傅里叶变换没有学好(深入理解概念),是否能学好小波。答案是否定的。如果有人还问我,如果第一代小波变换没学好,能否学好第二代小波变换。答案依然是否定的。但若你问我,没学好傅里叶变换,能否操作(编程)小波变换,或是没学好第一代小波,能否操作二代小波变换,答案是肯定的。 一、基的概念。 我们要明确的是基的概念。两者都是基,信号都可以分成无穷多个他们的和(叠加)。而展开系数就是基与信号之间的内积,更通俗的说是投影。展开系数大的,说明信号和基,是足够相似的。这也就是相似性检测的思想。但我们必须明确的是,傅里叶是0-2pi标准正交基,而小波是-inf到inf之间的基。因此,小波在实轴上是紧的。而傅里叶的基(正弦或余弦),与此相反。而小波能不能成为Reisz基,或标准稳定的正交基,还有其它的限制条件。此外,两者相似的还有就是PARSEV AL定理。(时频能量守恒)。 二、离散化的处理。 傅里叶变换,是一种数学的精妙描述。但计算机实现,却是一步步把时域和频域离散化而来的。第一步,时域离散化,我们得到离散时间傅里叶变换(DTFT),频谱被周期化;第二步,再将频域离散化,我们得到离散周期傅里叶级数(DFS),时域进一步被周期化。第三步,考虑到周期离散化的时域和频域,我们只取一个周期研究,也就是众所周知的离散傅里叶变换(DFT)。这里说一句,DFT是没有物理意义的,它只是我们研究的需要。借此,计算机的处理才成为可能。 下面我们谈谈小波。所有满足容许性条件(从-INF到+INF积分为零)的函数,都可以成为小波。小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。但连续取值的尺度因子和平移因子,在时域计算量和频域的混叠来说,都是极为不便的。用更为专业的俗语,叫再生核。也就是,对于任何一个尺度a和平移因子b的小波,和原信号内积,所得到的小波系数,都可以表示成,在a,b附近生成的小波,投影后小波系数的线性组合。这就叫冗余性。这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西,它顶多也只能作为一种积分变换或基。但它的显微镜特点和相似性检测能力,已经显现出来了。为了进一步更好的将连续小波变换离散化,以下步骤是一种有效方法。第一步,尺度离散化。一般只将a二进离散化,此时b是任意的。这样小波被称为二进小波。第二步,离散b。怎么离散化呢?b取多少才合适呢?于是,叫小波采样定理的东西,就这样诞生了。也就是小波平移的最小距离(采样间隔),应该大于二倍小波基的最高频率(好像类似,记不清了)。所以b取尺度的整数倍就行了。也就是越胖的小波,对应频谱越窄,平移量应该越大,采样间隔越大。当然,第一二两步的频域理解,即在满足频域窗口中心是3倍的频域窗口半径的前提下,频域就在统计上是完美二分的。(但很多小波满足不了这个条件,而且频域窗口能量不集中,所以只是近似二分的)。这时的小波变换,称为离散二进小波变换。第三步,引入稳定性条件。也就是经过变换后信号能量和原信号能量有什么不等式关系。满足稳定性条件后,也就是一个小波框架产生成了可能。他是数值稳定性的保证。一个稍弱的稳定条件,就是0

小波变换的原理及matlab仿真程序

基于小波变换的信号降噪研究 2 小波分析基本理论 设Ψ(t)∈L 2( R) ( L 2( R) 表示平方可积的实数空间,即能量有限的信号空间) , 其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件[4,7]: 2 () R t dw w C ψψ =<∞? (1) 时,我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波,将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后,就可以得到一个小波序列: ,()( )a b t b t a ψ -= ,,0a b R a ∈≠ (2) 其中a 为伸缩因子,b 为平移因子。 对于任意的函数f(t)∈L 2( R)的连续小波变换为: ,(,),()( )f a b R t b W a b f f t dt a ψψ-=<>= ? (3) 其逆变换为: 211()(,)()f R R t b f t W a b dadb C a a ψ ψ+-= ?? (4) 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的,平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置,而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的,在低频时,小波变换的时间分辨率较低,频率分辨率较高:在高频时,小波变换的时间分辨率较高,而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时,首先选取适当的小波函数对信号进行分解,其次对分解出的参数进行阈值处理,选取合适的阈值进行分析,最后利用处理后的参数进行逆小波变换,对信号进行重构。 3 小波降噪的原理和方法 3.1 小波降噪原理 从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如 图所示[6] : 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下

小波变换

小波变换理论及应用 ABSTRACT:小波理论是近几年发展起来的新的信号处理技术,因其在时间域和频率域都可以达到高的分辨率,被称为“数学显微镜”,在数值信号处理领域应用广泛,发展非常快。但其涉及较多的数学知识,以及巧妙的数字计算技巧,对于非数学专业的科研人员,要完全掌握其中的精妙之处,有一定的难度。正是考虑到这一点,本文的开始部分不过多说明小波分析的数学理论,只是以尽量简短的篇幅介绍必要的预备知识,接着阐述小波变换理论。在理解了小波变换理论的基础上,再举例说明小波变换在实际中的应用。 第一章小波变换理论 这一章用尽量简短的篇幅和通俗的语言介绍小波变换的基本概念。 1.1.从傅里叶变换到小波变换 一、傅里叶变换 在信号处理中重要方法之一是傅里叶变换(Fourier Transform),它架起了时间域和频率域之间的桥梁。图1.1给出了傅里叶分析的示意图。 图1.1 傅里叶变换示意图 定义x(t)的傅里叶变换X(ω): ?∞∞-- =dt e t x X t jω ω) ( ) ( (1) X(ω)的傅里叶反变换x(t): ?∞∞- =ω ω π ωd e X t x t j ) ( 2 1 ) ( (2) 对很多信号来说,傅里叶分析非常有用。因为它能给出信号中包含的各种频率成分。但是,傅里叶变换有着严重的缺点:变换之后使信号失去了时间信息,它不能告诉人们在某段时间里发生了什么变化。而很多信号都包含有人们感兴趣的非稳态(或)特性,如漂移、趋势项、突然变化以及信号的开始或结束。这些特性是信号的重要部分。因此傅里叶变换不适于分析处理这类信号。

二、短时傅里叶变换 为了克服傅里叶变换的缺点,D.Gabor(1946)提出了短时傅里叶变换(Short Time Fourier Transform), 又称为盖博(Gabor)变换或者加窗傅里叶变换(Windowed Fourier Transform)。图1.2给出了短时傅里叶变换的示意图。 图1.2短时傅里叶变换 盖博变换把一个时间信号变换为时间和频率的二维函数,它能够提供信号在某个时间段和某个频率范围的一定信息。这些信息的精度依赖于时间窗的大小。盖博变换的缺点是对所有的频率成分,所取的时间窗的大小都相同。然而,对很多信号为了获得更精确的时间或频率信息,需要可变的时间窗。 三、小波变换 小波变换提出了变化的时间窗。当需要精确的低频信息时,采用长的时间窗,当需要精确的高频信息时,采用短的时间窗。图1.3给出了时间域信号、傅 里叶变换、短时傅里叶变换和小波变换对比的示意图。 时间域频率域 短时傅里叶变换小波变换 图1.3 小波变换示意图 1.2.连续小波变换 什么是小波?小波是一个衰减的波形,它在有限的区域里存在(不为零), 且其均值为零。小波变换采用改变时间-频率窗口形状的方法,很好的解决了时

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