乘法公式的拓展及常见题型整理教学文稿
14.2乘法公式及拓展(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解乘法公式的基本概念。乘法公式是指在特定条件下，两个数相乘的简化表达形式。它是数学运算中的重要工具，可以帮助我们快速准确地解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算正方形的面积，展示完全平方公式的应用，并解释它如何简化计算过程。
-对于高级乘法运算，教师需要教授学生如何利用乘法公式分解因式，简化计算过程，例如将x⁴-16分解为(x²+4)(x²-4)。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“14.2乘法公式及拓展”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要快速计算平方或立方的问题？”（如计算正方形的面积或体积）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索乘法公式的奥秘。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-完全平方公式的推导与应用：使学生理解并掌握(a+b)²和(a-b)²的展开形式，能熟练运用到实际计算中。
-立方公式的推导与应用：让学生掌握(a+b)³和(a-b)³的展开形式，并能应用于计算。
-乘法公式的实际应用：培养学生将乘法公式应用于解决实际问题，如面积、体积等计算。
14.2乘法公式及拓展（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第十四章第二节“乘法公式及拓展”。教学内容主要包括以下两部分：
1.完全平方公式：a² = (a+b)² = a² + 2ab + b²，(a-b)² = a² - 2ab + b²。
2.立方公式：a³ = (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³，(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³。
乘法公式的拓展和常见题型
乘法公式的拓展及常见题型一．公式拓展：拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+aa a a 拓展二：ab b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++ 拓展四：杨辉三角形3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五： 立方和与立方差))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=-二．基本考点例1：已知：32a b +=，1ab =，化简(2)(2)a b --的结果是 ． 例2：化简与计算221999922011（）；（）()()()()222x 3y 3m n 42x+32x 3-+----；（）；（）；（）。
练习： 1、（a+b －1）（a －b+1）= 。
2．若x 2－y 2=30，且x －y=－5，则x+y 的值是（ ） A ．5 B ．6 C ．－6 D ．－53、已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值.4、试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。
5、(a －2b +3c )2－(a +2b －3c )2= 。
6、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。
7、2200720092008⨯-（运用乘法公式）考点连接题型一：乘法公式在解方程和不等式组中的应用解方程：()()()()()()2x 12x 13x 2x 27x 1x 1+-+-+=+- 题型二：应用完全平方公式求值设m+n=10，mn=24，求()222m n m n +-和的值。
乘法公式的拓展及常见题型
乘法公式的拓展及常见题型一．公式拓展：拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+aa a a 拓展二：ab b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=-拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++拓展四：杨辉三角形3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五： 立方和与立方差))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=-二．基本考点例1：已知：32a b +=，1ab =，化简(2)(2)a b --的结果是 ． 例2：化简与计算 221999922011（）；（）()()()()222x 3y 3m n 42x+32x 3-+----；（）；（）；（）。
练习：1、（a+b －1）（a －b+1）= 。
2．若x 2－y 2=30，且x －y=－5，则x+y 的值是（ ）A ．5B ．6C ．－6D ．－53、已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值.4、试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。
5、(a －2b +3c )2－(a +2b －3c )2= 。
6、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。
7、2200720092008⨯-（运用乘法公式）考点连接题型一：乘法公式在解方程和不等式组中的应用解方程：()()()()()()2x 12x 13x 2x 27x 1x 1+-+-+=+-题型二：应用完全平方公式求值设m+n=10，mn=24，求()222m n m n +-和的值。
最经典的乘法公式综合应用与拓展分析
最经典的乘法公式综合应用与拓展分析乘法公式是数学中常用的公式之一，它们在各个数学领域中都有广泛的应用。
本文将从学生和教师两个角度综合分析乘法公式的最经典的应用与拓展。
首先，对于学生而言，乘法公式是他们掌握数学知识的基础。
学生在学习数学的过程中，会接触到很多与乘法相关的知识，如乘法口诀、乘法逆元等。
通过乘法公式的学习，学生可以更好地理解和应用乘法的原理和方法。
比如，在解决乘法运算中的复杂问题时，学生可以灵活运用乘法公式，提高解题的效率和准确性。
其次，对于教师而言，乘法公式是他们教学的重要工具。
教师在教授数学知识时，可以通过乘法公式来引导学生掌握乘法的基本操作和运算规则。
此外，乘法公式还可以作为教师讲解和解决数学问题的案例，帮助学生从实践中理解乘法的原理和应用。
例如，在教授高中数学中的二次方程时，教师可以通过乘法公式来引导学生求解方程的根，帮助学生加深对乘法公式的理解和运用。
乘法公式还有很多拓展应用，以下是一些经典的拓展案例：1.方阵乘法：方阵乘法是线性代数中的常用运算，通过乘法公式可以方便地计算两个方阵的乘积。
在实际应用中，方阵乘法广泛用于图像处理、数据压缩等领域。
2.应用于几何图形：通过乘法公式可以计算图形的面积和周长。
例如，计算矩形的面积可以使用乘法公式的形式：面积=长度x宽度。
3.二项式展开：二项式展开是代数中常用的运算，通过乘法公式可以方便地展开一个二项式。
在高中数学中，二项式展开广泛应用于排列组合、概率等问题的求解中。
4.概率与统计：乘法公式在概率和统计中有广泛的应用。
例如，计算多事件的概率时，可以使用乘法公式计算独立事件的联合概率。
此外，在统计学中，乘法公式也被用于计算随机变量的期望和方差等。
总而言之，乘法公式作为数学中的重要工具，在学生和教师的学习和教学中都起到了至关重要的作用。
通过乘法公式的学习和应用，学生可以提高解题的效率和准确性，教师可以引导学生更好地掌握乘法的原理和应用。
此外，乘法公式还有许多拓展应用，可以在其他数学领域中发挥重要作用。
乘法公式的复习(题型扩展)教学提纲
乘法公式的复习(题型扩展)乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 (a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2 ⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2 =x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2 =(x -y )(x -y )-z 2 =x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
(完整word版)浙教版七年级下数学辅导六乘法公式的拓展及常见题型整理
七年级下数学辅导六 乘法公式的拓展及常见题型整理.公式拓展:拓展一：a 2b 2 (a b)2 2ab 2a b 2(a b)2 2ab21(a I)2221(a丄)22aa2aaaa拓展二：(a b)2(a b)24ab a 2b a 2b2a 2 2b 2(a b)2(a b)24ab(a b)2(a b)24ab拓展三： a2b 2c 2 (a bc)2 2ab 2ac 2bc拓展四：杨辉三角形(a b)33a 3a 2b 2 ‘ 33ab b拓展五：(a b)44a 4a 3b6a b 4ab b立方和与立方差3ab 3 (a b)(a 2ab b 2)3ab3(a b )(2 2a ab b )二.常见题型：(一)公式倍比2人？例题：已知a b =4,求-一—ab 。
2(1)如果a b3, a c 1, 2 2 2那么a b b c c a 的值是⑵x y1,则^x 2 xy1 2 y = 222 2⑶已知(x x 2y)n mr[ xyxy⑶_知1) (x2,贝U 一xy _(二)公式组合_ 2 2例题：已知(a+b) =7,(a-b) =3,⑴若(a b)2 7, (a b)2 13,则 a 2 b 2 _____________ , ab _________⑵设(5a + 3b ) 2= (5a — 3b ) 2+ A ，贝U A= _______________求值:(1)a +b (2)ab⑶若(x y)2(x y)2a，贝U a 为_______________________⑷如果(x y)2M (x y)2，那么M 等于 _____________________2 2⑸已知(a+b) =m (a — b) =n ，贝U ab 等于 ______________⑹若2a 3b 2 2a 3b 2 N ，则N 的代数式是 ___________________⑺已知(a b)27, (a b)2 3,求 a 2 b 2 ab 的值为 _______________ 。
乘法公式的基础与拓展应用
乘法公式的基础与拓展应用乘法公式是数学中常用的计算工具，它包含了一系列基础与拓展应用。
基础乘法公式常用于计算两个数之间的乘积。
它们包括：1.乘法交换律：a×b=b×a。
这意味着两个数的乘积与它们的顺序无关。
2.乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)。
这意味着无论是先将前两个数相乘然后与第三个数再相乘，还是先将后两个数相乘然后与第一个数再相乘，得到的结果都是相同的。
3.分配律：a×(b+c)=(a×b)+(a×c)。
这意味着将一个数与两个数的和相乘，等于将这个数分别与两个数相乘得到的结果再相加。
基础乘法公式还可以进行简化，例如：1. 平方公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²。
这意味着一个数的平方可以通过将该数与自身相乘得到。
2. 立方公式：(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³。
这意味着一个数的立方可以通过将该数与自身的平方相乘得到。
乘法公式还可以应用于解决实际问题，例如：1.面积计算：通过乘法公式可以计算出各种形状的面积。
例如，长方形的面积可以通过将长与宽相乘得到；圆的面积可以通过将π与半径的平方相乘得到。
2.体积计算：通过乘法公式可以计算出各种形状的体积。
例如，长方体的体积可以通过将长、宽和高相乘得到；圆柱体的体积可以通过将π、半径的平方和高相乘得到。
拓展应用方面，乘法公式也可以用于解决一些更复杂的问题。
例如：1.组合问题：组合问题是指从一个集合中选取若干个元素组成一个子集的问题。
乘法公式可以应用于计算组合问题的总数。
如果一些集合有n个元素，需要选取r个元素组成子集，那么组合问题的总数可以通过计算n!/(r!(n-r)!）得到，其中"!"表示阶乘。
2.概率问题：概率问题是指计算一些事件发生的可能性的问题。
初中数学整式乘法详细讲解以及拓展
整式乘法1.平方差公式：_____________________________________________两个完全平方公式;______________________________________________2、乘法公式的使用技巧：①提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。
例1、 运用乘法公式计算：（1）(-1+3x)(-1-3x)； （2）(-2m-1)2②改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显.例2、 运用乘法公式计算：（1）(13a-14b )(-14b -a 3); （2）(x-1/2)(x 2+1/4)(x+1/2)③逆用公式将幂的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a 2-b 2 = (a+b)(a-b)，逆用积的乘方公式，得a n b n =(ab)n ,等等，在解题时常会收到事半功倍的效果。
例3、 计算：（1）(x/2+5)2-(x/2-5)2 ; （2）(a-1/2)2(a 2+1/4) 2(a+1/2)2④合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各因式的前面，视为一组；符号相反的项放在后面，视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。
计算：（1）(x+y+1)(1-x-y); （2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).3.巧用公式做整式乘法一. 先分组，再用公式例1. 计算：()()a b c d a b c d -+-----二. 先提公因式，再用公式例2. 计算：8244x y x y +⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪三. 先分项，再用公式例3. 计算：()()232236x y x y ++-+四. 先整体展开，再用公式例4. 计算：()()a b a b +-+221五. 先补项，再用公式例5. 计算：331313131842+++++()()()()六. 先用公式，再展开例6. 计算：11211311411102222-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪…七. 乘法公式交替用例7. 计算：()()()()x z x xz z x z x xz z +-+-++2222224.中考与乘法公式1.（03年四川中考）多项式912x +加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是____________（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）。
乘法公式的复习讲义(学生版)
乘法公式的复习讲义平文一、重要的乘法公式：1.平方差公式：(a+b)．(a-b) =a2-b2体会：①公式的字母 a、b 可以表示数，也可以表示单项式、多项式；②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．如：(x+y-z)(x-y-z) =[ (x-z) +y][ (x-z) -y]= (x-z) 2-y2．从图形的角度对它验证 :如图，边长为 a 的正方形。
aba b b在下边切去一个宽为 b,长为(a-b)的长方形 ,再在右边加去一个宽为 b,长为 (a-b ) 的长方形这时，红色和黄色区域的面积和是________.(a+b)(a-b)2.完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 、(a-b)2=a2-2ab+b2体会： __________________________________________________ 3.多项式的完全平方：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac、(a-b-c)2=a2+b2+c2-2ab+2bc-2ac思考： (a+b-c)2=_______________(a-b+c)2=_______________体会： __________________________________________________ ___________________________________________.4.两个一次二项式相乘： (x+a) ． (x+b) =x2+(a+b)x+ab.体会： a、b 可以是正数也可以是负数。
5.补充几个乘法公式：①立方差公式：(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3② 立方和公式：(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3体会规律： _____________________________________6. 由平方差、立方和(差)公式引伸的公式 :(a+b) (a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4；(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5；(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6 …………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设 n 为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2 －…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2 －…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：(a－b) (a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n 二、例题分析：题型 1 ：平方差公式的应用：(1) 公式中的字母 a、b 可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．例 1.计算(3x-1)(3x+1)(9x2+1)例 2.计算(2x-1)2(1+2x)2- (2x+3) 2(2x-3)2例 3.计算(x2-x+2)(x2-x-2)变式 1：计算(x+y+z)(x+y-z)变式 2：已知 z2=x2+y2 ，化简(x+y+z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y-z)．变式 3：计算(a- 2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c) 2变式 4： (a+b+c)(a+b－c)(a－b+c)(－a+b+c)例4. 计算(1)899×901＋1 (2) 1232-122×118变式 1：计算： 1002-992+982-972+ …+42-32+22-1例 5：计算： (2+1) (22+1) (24+1) (28+1) (216+1) (232+1)++变式：计算：+例 6.探索题：(x-1)(x+1)=x 2 1(x-1) (x 2+x+1)=x 3-1(x-1)(x 3+x 2+x+1)=x 4-1(x-1)(x 4+x 3+x 2+x+1)=x 5-1……试求 26+25+24+23+22+2+1 的值，判断 22005+22004+22003+ …+2+1 的末位数。
乘法公式(题型拓展)
A. 4x 2x2 3x 1 8x3 12x2 4x
C. 4a 14a 1 1 16a 2
B. x y x 2 y 2 x3 y3
D. x 2 y2 x 2 2xy 4 y 2
例 2：多项式 4x 2 1 加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的多项式可以是
（A）a4－1 （B）a4＋1 （C）a4＋2a2＋1 （D）1－a4
2、若（x＋m）（x－8）中不含 x 的一次项，则 m 的值为………………………（ ）
（A）8
（B）－8
（C）0
（D）8 或－8
3、下列计算正确的是（ ）
A、 3 2 3 3 2 3 9
B、 a b2 a 2 b2
例 6：已知 a b 3 ， ab 1 ，求： 2
（1）a2＋b2
（2）a2＋ab＋b2
（3）a4＋b4
（二）思维重点突破
例 7 观察下列各式（x－1）（x＋1）=x2－1，（x-1）（x2＋x＋l）=x3－l．（x－l）（x3＋x2＋x＋l）=x4-1，
根据前面各式的规律可得（x－1）（xn＋xn-1＋…＋x＋1）＝
4、已知
x＋
1 x
＝2，求
x2＋
1 x2
的值．
5、已知 a2＋6a＋b2－10b＋34＝0，求代数式（2a＋b）（3a－2b）＋4ab 的值．
AB=4a，MP=b，正方形 APCD 与正方形 PBEF 的面积之差为 S。 （1）用 a，b 的代数表示 S。 （2）当 a=4、b=1/2 时，S 的值是多少？当 a=S，b=1/4 时呢？
D
C
F
E
A
MP B
A 类作业：
乘法分配律拓展公式
乘法分配律拓展公式一、乘法分配律基本公式。
对于两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，得数不变。
即(a + b)×c=a×c + b×c。
1. 两个数的差与一个数相乘。
- 公式：(a - b)×c=a×c - b×c- 推导：假设a比b大，我们可以把(a - b)看作一个整体。
例如(5-3)×4，按照基本运算顺序先算括号里得2×4 = 8；如果用拓展公式，5×4-3×4 = 20 - 12 = 8，结果相同。
2. 多个数的和与一个数相乘。
- 公式：(a + b + c)×d=a×d + b×d + c×d- 推导：例如(2 + 3+5)×4，先算括号里2 + 3+5 = 10，10×4 = 40；用拓展公式2×4+3×4 + 5×4=8 + 12+20 = 40。
3. 多个数的差与一个数相乘。
- 公式：(a - b - c)×d=a×d - b×d - c×d- 推导：比如(10 - 3 - 2)×5，先算括号里10 - 3 - 2 = 5，5×5 = 25；用拓展公式10×5-3×5 - 2×5 = 50 - 15 - 10 = 25。
4. 一个数乘两个数的和（差）再乘一个数。
- 公式：d×(a + b)×e=(d×a + d×b)×e=d×a×e + d×b×e（对于差同理d×(a -b)×e=(d×a - d×b)×e=d×a×e - d×b×e）- 推导：例如2×(3 + 4)×5，先算括号里3 + 4 = 7，2×7×5 = 70；用拓展公式(2×3+2×4)×5=(6 + 8)×5 = 14×5 = 70。
最经典的乘法公式综合应用与拓展(学生、教师两用版)
八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展 (学生版)•、基本公式1. 平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 22例：计算 1999 -2000 X 199822 22. 完全平方公式(a+b) =a +2ab+b (a-b)例：运用公式简便计算3. 完全平方公式a+b(或a-b)、ab 、a 2+b 2这三者任意知道两项就可以求出第三项(a+b)2、(a-b) 2、ab 这三者任意知道两项就可以求出第三项① a 2 b 2 = (a b)2 - 2aba 2b 2 = (a-b) 2+2ab2 2 2 2② (a-b) =(a+b) -4ab(a+b) =(a-b) +4ab(2)完全平方公式变用 2:两个完全平方公式之和的整合2 2 2 2(a+b) + (a-b) =2 (a+b)例1 •已知a b 2 , ab =1，求a 2 b 2的值。
2例 2.已知 a • b = 8 , ab = 2，求(a - b)的值。
例3.已知a - b = 4, ab = 5，求a 2 b 2的值。
2 2例 4 .已知 m +n =7, mn= —18,求 m — mr+ n 的值.例 5 (3)已知：x+2y=7 , xy=6，求(x-2y)2 的值.例6.已知a +丄=5,求(1) a 2+W , (2) (a —丄)2的值.a a a(1)完全平方公式变用 1:利用已知的两项求第三项2 2 2=a -2ab+b (1) 1032(2) 19821 1例7.已知x -― =3，求x4■ ~4的值。
x x3=a -b二、公式的灵活运用1. 对公式的基本变用 _ 2 2(1)位置变化，x y -y x =x_y(2 )符号变化，(彳勺片—x j_y 2= x 2-y 22. 整体思想的应用(1 )应用整体思想，首先要能识别公式中的“两数”2 2例1计算(-a +4b )分析：运用公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2时， ______ 就是公式中的a, _____ 就是公式中的b ；若将题目变形为(4b -a 2)2时，则 ________ 是公式中的a ,而 _______ 就是公式中的b .(解略)练习 1•计算：5x 23y 25x 2-3y 2练习2•计算： x -y z x -y —z 练习 3.计算：Ixy z m Jlxy- z m 1练习 4.计算：x ■ y -2z x y 6z(2 )应用应用整体思想，其次能正确选取负号和减号 例计算：(-2 x 2-5)(2 x 2-5)分析：本题两个因式中“-5 ”相同，“2x 2”符号相反，因而 ______ 是公式(a +b )( a -b )= a 2-b 2中的a,而 _____ 则是公式中的b .解：原式=(3 )应用整体思想，要善于分组加括号例&解下列各式(1) (2) (3) 已知 a 24b 2=i3, ab=6,求(a^bj ,(a_b j 的值。
七年级数学下册课后补习班辅导乘法公式及其拓展应用讲学案苏科版
乘法公式及其拓展应用【本讲教育信息】一. 教学内容：乘法公式及其拓展应用二. 重、难点：1. 熟练把握乘法公式，能灵活利用乘法公式进行整式乘法运算。
2. 明白得乘法公式的拓展。
三. 知识要点1. 乘法公式及其结构特点（1）平方差公式：（a+b）（a－b）＝a2－b2；结构特点：公式的左侧是两个数的和与这两个数的差的积，而右边是这两个数的平方差.（2）完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2.结构特点：公式的左侧是两个数的和（或差）的平方，而右边是这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍.[说明]：①公式可推行：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. 即三个数的和的平方，等于各个数的平方和加上每两个数的积的2倍。
②若是一个多项式能化成另一个多项式的平方，就把那个多项式叫做完全平方式。
如，a2±2ab+b2=（a±b）2；a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=（a+b+c）2，那么a2±2ab+b2和a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc就叫做完全平方式。
2. 注意弄清乘法公式中的字母含义公式中的字母a、b能够是具体的数，也能够是单项式、多项式，只要符合公式的结构特点，就能够够利用公式。
例如：（2m+5n）（2m－5n）=（2m）2－（5n）2=4m2－25n2.（4x+3y）2=（4x）2+2·4x·3y+（3y）2=16x2+24xy+9y2.3. 注意运用公式容易显现的错误在学习中很多同窗常常显现如下错误：（1）（a+b）（a+b）=a2+b2；（2）（a+b）2＝a2+b2；（a－b）2＝a2－b2.错误（1）的缘故是仿照平方差公式所致，切记只有平方差公式，没有平方和公式；错误（2）的缘故是与积的平方（ab）2=a2b2相混淆。
关于这些错误，同窗们只要利用多项式的乘法计算一下，即可取得验证。
浙教版七年级下数学辅导六乘法公式的拓展及常见题型整理
七年级下数学辅导六乘法公式拓展及常见题型整理一．公式拓展：拓展一：拓展二：拓展三：拓展四：杨辉三角形拓展五：立方与与立方差二．常见题型：〔一〕公式倍比例题：=4，求。
⑴如果，那么值是⑵，那么=(二〕公式组合例题：(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a2+b2 (2)ab⑴假设那么____________，_________⑵设〔5a＋3b〕2=〔5a－3b〕2＋A，那么A=⑶假设，那么a为⑷如果，那么M等于⑸(a+b)2=m，(a—b)2=n，那么ab等于⑹假设，那么N代数式是⑺求值为。
⑻实数a,b,c,d满足，求〔三〕整体代入例1：，，求代数式值。
例2：a= x＋20，b=x＋19，c=x＋21，求a2＋b2＋c2－ab－bc－ac值⑴假设，那么=⑵假设，那么= 假设，那么=⑶a2＋b2=6ab且a＞b＞0，求值为那么代数式值是．〔四〕步步为营例题：3(2+1)(2+1)(2+1)(+1)⑴ 6(7+1)(7+1)(7+1)+1 ⑵〔5〕〔五〕分类配方例题：，求值。
⑴：x²+y²+z²-2x+4y-6z+14=0，那么x+y+z值为。
⑵x²+y²-6x-2y+10=0，那么值为。
⑶x2+y2-2x+2y+2=0,求代数式值为 .⑷假设，x，y均为有理数，求值为。
⑸a2+b2+6a-4b+13=0，求(a+b)2值为⑹说理:试说明不管x,y取什么有理数,多项式x2+y2-2x+2y+3值总是正数.〔六〕首尾互倒例1：例2：a2－7a＋1＝0．求、与值；⑴，求①= ②=⑵假设x2－x＋1=0，求值为⑶如果,那么= 2、，那么=_______⑷，那么值是⑸假设且0<a<1,求a－值是⑹a2－3a＋1＝0．那么= ，a－= ，值为 .⑺，求①= ②=⑻a2－7a＋1＝0．那么= ，= ，= .〔七〕知二求一例题：，求：①②③④⑤⑥⑴，，那么_______⑵假设a2+2a=1那么(a+1)2=________.⑶假设7，a+b=5，那么ab= 假设7，ab =5，那么a+b=⑷假设x2+y2=12,xy=4,那么(x-y)2=_________.7，a-b=5，那么ab= . ⑸假设3，ab =-4，那么a-b= .⑹:a+b=7,ab=-12,求①a2+b2= , ②a2-ab+b2= , ③(a-b)2= .⑺a＋b=3，a3＋b3=9，那么ab= ，a2+b2= ,a-b= .〔8〕，，求值．〔9〕，满足等式，，判断，大小关系．(10)，，满足等式，，，求值．。
乘法公式的应用范文
乘法公式的应用范文乘法公式是数学中常用的一个重要工具，它可以方便地解决许多实际问题。
在此，我将为你详细介绍乘法公式的应用。
乘法公式是指多个因数相乘得到乘积的数学表达式。
在代数中，乘法公式的一般形式可以表示为：a×b=c。
其中，a和b为乘法的因数，c为乘积。
乘法公式可以用于数学中的各个领域，其中包括代数、几何、实际应用等。
首先，乘法公式在代数中的应用非常广泛。
在代数中，乘法公式可以用于多项式的展开和乘法运算。
例如，一个多项式(a + b)(c + d)可以通过应用乘法公式来展开为：ac + ad + bc + bd。
乘法公式还可以用于解决复杂的因式分解问题，例如将一个多项式分解为更简单的积的形式。
其次，乘法公式在几何中也有重要的应用。
在几何中，乘法公式可以用于计算图形的面积和体积。
例如，计算一个矩形的面积可以使用乘法公式的形式：面积=长×宽。
同样，计算一个立方体的体积可以使用乘法公式的形式：体积=长×宽×高。
乘法公式还可以用于解决平移、旋转和缩放等几何变换的问题。
此外，乘法公式还在实际生活中有广泛的应用。
以下是一些实际问题示例：1.购物计算：当我们在商场购物时，乘法公式可以帮助我们计算商品的总价格。
例如，如果一件商品的单价为60元，我们购买了3件商品，那么使用乘法公式60×3，我们可以计算出总价格为180元。
3.人口增长计算：乘法公式还可以应用到人口增长的计算中。
例如，为了预测未来一些城市的人口增长情况，我们可以使用乘法公式计算每年的平均增长率，并将其应用到当前的人口数量上。
假设一些城市当前的人口数量为100万，每年的平均增长率为2%。
使用乘法公式，我们可以预测未来5年后的人口数量为：100×(1+0.02)^5=110.408万。
因此，预测未来5年后，该城市的人口将增长到110.408万人。
这些例子仅仅是乘法公式在实际生活中的一部分应用，实际上乘法公式在各行各业中都有广泛的应用。
乘法公式地复习(题型扩展)
标准乘法公式的复习 一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz例1．已知2=+ba ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+ba ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
乘法公式及运用范文
乘法公式及运用范文乘法公式是数学中常用的一个公式，用于计算两个或多个数相乘的结果。
在数学中，乘法公式有很多种，每种公式都有其特定的运用场景，下面将详细介绍乘法公式及其运用。
1.基本乘法公式基本乘法公式是最基础的乘法公式，用于计算两个数相乘的结果。
基本乘法公式如下：a×b=c其中，a和b是被乘数，c是积。
利用基本乘法公式，我们可以计算任意两个数相乘的结果。
2.分配律乘法公式分配律乘法公式用于计算一个数与两个数相加乘积的结果。
分配律乘法公式如下：a×(b+c)=a×b+a×c其中，a、b、c是任意实数。
利用分配律乘法公式，我们可以把一个乘法运算转换成两个乘法运算，简化计算。
3.平方公式平方公式用于计算一个数的平方。
平方公式如下：a²=a×a其中，a是任意实数。
利用平方公式，我们可以计算任意一个数的平方。
4.立方公式立方公式用于计算一个数的立方。
立方公式如下：a³=a×a×a其中，a是任意实数。
利用立方公式，我们可以计算任意一个数的立方。
5.指数公式指数公式是一种特殊的乘法公式，用于计算一个数的指数幂。
指数公式如下：aⁿ=a×a×...×a(共n个a相乘)其中，a是底数，n是指数，aⁿ是指数幂。
利用指数公式，我们可以计算任意一个数的指数幂。
运用乘法公式，我们可以在各种数学问题中快速计算数的乘积。
下面通过几个例子来说明乘法公式的运用：例1：计算乘积例题：计算15×16的乘积。
解答：根据基本乘法公式，我们可以得到：15×16=240所以，15和16的乘积是240。
例2：计算分配律乘积例题：计算2×(3+4)的乘积。
解答：根据分配律乘法公式，我们先计算括号内的加法运算，得到：3+4=7然后，用2乘以7，得到：2×7=14所以，2乘以3加4的乘积是14例3：计算平方和例题：计算(9+5)²的结果。
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乘法公式的拓展及常见题型整理乘法公式的拓展及常见题型整理例题：已知b a +=4，求ab b a ++222。
⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()222a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则222121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则= ⑴若()()a b a b -=+=22713，，则a b 22+=____________，a b =_________⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= ⑶若()()x y x y a -=++22，则a 为 ⑷如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于 ⑹若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。
⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bdac ，求))((2222d c b a ++ 例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab例2：已知a=201x ＋20，b=201x ＋19，c=201x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+=⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++=⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求b a b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=xc ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是 ．（四）步步为营例题：3⨯(22+1)⨯(24+1)⨯(28+1)⨯(162+1)6⨯)17(+⨯(72+1)⨯(74+1)⨯(78+1)+1 ()()()()()224488a b a b a b a b a b -++++1)12()12()12()12()12()12(3216842++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+222222122009201020112012-++-+-ΛΛ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2211⎪⎭⎫ ⎝⎛-2311⎪⎭⎫ ⎝⎛-2411…⎪⎭⎫ ⎝⎛-2201011（五）分类配方例题：已知03410622=++-+n m n m，求n m +的值。
⑴已知：x ²+y ²+z ²-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z 的值为 。
⑵已知x ²+y ²-6x-2y+10=0，则11x y+的值为 。
⑶已知x 2+y 2-2x+2y+2=0,求代数式20032004x y +的值为 .⑷若x y x y 2246130++-+=，x ，y 均为有理数，求y x 的值为 。
⑸已知a 2+b 2+6a-4b+13=0，求(a+b)2的值为⑹说理:试说明不论x,y 取什么有理数,多项式x 2+y 2-2x+2y+3的值总是正数.（六）首尾互倒例1：已知242411112,1;(2);(3)x a a a x a a a +=++-求：（）例2：已知a 2－7a ＋1＝0．求a a 1+、221a a +和21⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 的值；⑴已知0132=--x x ，求①221x x += ②221x x -= ⑵若x 2－ 219x ＋1=0，求441x x + 的值为⑶如果12a a +=,那么221a a+= 2、已知51=+x x ，那么221x x +=_______ ⑷已知31=-x x ，则221x x +的值是 ⑸若12a a+= 且0<a<1,求a － a 1的值是 ⑹已知a 2－3a ＋1＝0．求a a 1+和a － a1和221a a +的值为 ⑺已知31=+x x ，求①221x x += ②441xx += ⑻已知a 2－7a ＋1＝0．求a a 1+、221a a +和21⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 的值；（七）知二求一例题：已知3,5==+ab b a ，求：①22b a+ ②b a - ③22b a - ④a b b a + ⑤22b ab a +- ⑥33b a +⑴已知2=+n m ，2-=mn，则=--)1)(1(n m _______ ⑵若a 2+2a=1则(a+1)2=________.⑶若22a b +=7，a+b=5，则ab= 若22a b +=7，ab =5，则a+b=⑷若x 2+y 2=12,xy=4,则(x-y)2=_________.22a b +=7，a-b=5，则ab= ⑸若22a b +=3，ab =-4，则a-b= ⑹已知:a+b=7,ab=-12,求 ①a 2+b 2= ②a 2-ab+b 2= ③(a-b)2=⑺已知a ＋b=3，a 3＋b 3=9，则ab= ，a 2+b 2= ,a -b=第五讲 乘法公式应用与拓展【基础知识概述】一、基本公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2—b2 完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2变形公式：（1）()2222a b a b ab +=+-（2）()2222ab a b ab +=-+ （3）()()222222a b a b a b ++-=+ （4） ()()224a b a b ab +--= 二、思想方法：① a 、b 可以是数，可以是某个式子；② 要有整体观念，即把某一个式子看成a 或b ，再用公式。
③ 注意公式的逆用。
④ 2a ≥0。
⑤ 用公式的变形形式。
三、典型问题分析：1、顺用公式：例1、计算下列各题：①()()()()()224488a b a b a b a b a b -++++② 3(22+1)(24+1)(28+1)(162+1)+12、逆用公式：例2. ①1949²-1950²+1951²-1952²+……+2011²-2012²②⎪⎭⎫ ⎝⎛-2211⎪⎭⎫ ⎝⎛-2311⎪⎭⎫ ⎝⎛-2411……⎪⎭⎫ ⎝⎛-2201011③ 1.2345²+0.7655²+2.469×0.7655【变式练习】 填空题：① 26a a ++＿＿= 2__a ⎛⎫ ⎪⎝⎭+ ②241x ++＿＿=（ 2)6．x 2+ax+121是一个完全平方式，则a 为（ ）A ．22B ．－22C ．±22D ．03、配方法：例3．已知：x ²+y ²+4x-2y+5=0，求x+y 的值。
【变式练习】①已知x ²+y ²-6x-2y+10=0，求11x y +的值。
②已知：x ²+y ²+z ²-2x+4y-6z+14=0，求：x+y+z 的值。
③当x= 时，代数式2x 取得最小值，这个最小值是 当x= 时，代数式24x +取得最小值，这个最小值是 当x= 时，代数式()234x -+取得最小值，这个最小值是 当x = 时，代数式243x x --取得最小值，这个最小值是对于2243xx ---呢？4、变形用公式：例5. 若()()()240x z x y y z ----=，试探求x z +与y 的关系。
例6．化简：()()22a b c d a b c d +++++-- 例7. 如果22223()()a b c a b c ++=++，请你猜想：a 、b 、c 之间的关系，并说明你的猜想。
完全平方公式变形的应用练习题一:1、已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值2、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。
3．已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。
二： 1．已知()5,3a b ab -==求2()a b +与223()ab +的值。
2．已知6,4a b a b +=-=求ab 与22ab +的值。
3、已知224,4a ba b +=+=求22a b 与2()a b -的值。
4、已知(a +b)2=60，(a -b)2=80，求a 2+b 2及a b 的值5．已知6,4a b ab +==，求22223ab a b ab ++的值。
6．已知222450xy x y +--+=，求21(1)2x xy --的值。
7．已知16x x -=，求221x x +的值。
8、0132=++x x，求（1）221x x +（2）441x x +9、试说明不论x,y 取何值，代数式226415xy x y ++-+的值总是正数。
10、已知三角形 ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c 满足等式22223()()ab c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形？B 卷：提高题一、七彩题1．（多题－思路题）计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n +1）+1（n 是正整数）；（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－401632．2．（一题多变题）利用平方差公式计算：2009×2007－20082．（1）一变：利用平方差公式计算：22007200720082006-⨯．（2）二变：利用平方差公式计算：22007 200820061⨯+．二、知识交叉题3．（科内交叉题）解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）．三、实际应用题4．广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？课标新型题1．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，（1－x）（•1+x+x2+x3）=1－x4．（1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+…+x n）=______．（n为正整数）（2）根据你的猜想计算：①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______．②2+22+23+…+2n=______（n为正整数）．③（x－1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=_______．（3）通过以上规律请你进行下面的探索：①（a－b）（a+b）=_______．②（a－b）（a2+ab+b2）=______．③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______．2．（结论开放题）请写出一个平方差公式，使其中含有字母m，n和数字4．3.从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，•将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形，如图1－7－1所示，然后拼成一个平行四边形，如图1－7－2所示，分别计算这两个图形阴影部分的面积，结果验证了什么公式？请将结果与同伴交流一下．4、探究拓展与应用(2+1)(22+1)(24+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)=(22－1)(22+1)(24+1)=(24－1)(24+1)=(28－1).根据上式的计算方法，请计算 (3+1)(32+1)(34+1)…(332+1)－2364的值.“整体思想”在整式运算中的运用“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，有些问题局部求解各个击破，无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，思路清淅，演算简单，复杂问题迎刃而解，现就“整体思想”在整式运算中的运用，略举几例解析如下，供同学们参考：1、当代数式532++x x的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.2、已知2083-=x a ，1883-=x b ，1683-=x c ，求：代数式bc ac ab c b a ---++222的值。