二重积分的极坐标计算方法

)d
a2 ( 2 1).
16 2
4
设 D { (x, y) x2 y 2 x }, 求 xdxdy.
D
1/2
1
（1998年考研数学试题） 解：区域 D 如图所示.
易见，D { (r, ) , 0 r cos }
2
2
2
cos
I xd d r cos rdr
D
1
2
直角坐标区域表示形式转换为极坐标区域表示形式：
D D {(x, y) a x b,h(x) y g(x)} x
转换x , y
D {(r, ) , g ( ) r g ( )}
1
2
2 1
-2
-1
-1
-2 2
1
4. 平面区域的极坐标表示法实例
将平面区域视为分布在某个角度内的
§8. 二重积分在极坐标系下的计算方法 1. 极坐标的意义和极坐标与直角坐标的转换公式
x P(x, y) x r cos ,
r
y
y r sin ;
d
d r dr
2. 二重积分在极坐标系下的形式
3. 平面曲线与平面区域在极坐标系下的表示形式
平面曲线的极坐标方程：r g( ) , 其中 g 为已知函数。
y
例 计算二重积分 I e xy d ，其中 D 由直线 x = 0 , y = 0 与
x + y = 1 所围成。 D
解：区域 D 如图所示.
y
D
易见，D { (x, y) 0 x 1 , 0 y 1 x }
{ (r, ) 0 , 0 r
1
}
2
sin cos
x
1
y
直角坐标曲线方程转换为极坐标曲线方程：
转换x , y
y f (x) r sin f (r cos )
解出r
r g( )
例如: 直线 y 3x 2
转换 x , y
r sin 3r cos 2
r
2
sin 3cos
即此直线的极坐标方程为 r g( )
2
.
例如 : 曲线(圆) x2 y 2 1
D
( )
(1) 直角坐标系下累次积分化为极坐标系下累次积分问题
2 1.5
1 0.5
0.2 0.4 0.6 0.8 1
2 1.5
1 0.5
0.5 1 1.5 2
(2) 极坐标系下累次积分化为直角坐标系下累次积分
2 1.5
1 0.5
0.5 1 1.5 2
计算 I r 2 sin 1 r 2 cos 2 drd ,
sin cos
转换 x , y
r 2 cos2 r 2 sin 2 1 r 1
即此曲线(圆)的极坐标方程为 r g( ) 1 .
例如 : 抛物线 y x2
r sin r2 cos2 r g( ) tan sec
平面区域的极坐标表示形式：
D { ( r, ) , g ( ) r g ( ) }
1
2
无穷条射线（段）束的组合
-2
-1
-1
-2
1
2
-2
1 0.5
2 1.5
1 0.5
-1
1
2
-0.5
0.5
1
1.5
2
-1
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
4 3 2 1
-2 -1
1
2
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1
yx
D
1
4
D
yx
4
4
x+y 4
D
4
5. 二重积分在极坐标系下的累次积分公式
6. 用极坐标计算二重积分操作步骤与实例
i) 画出区域的草图； ii) 写出二重积分区域 D 在极坐标下 的表示形式 ( 这是关键）;
iii) 把二重积分化为极坐标下的累次积分（先积 r 后积 的内外两个 定积分）;
iv) 视 为参数，先对 r 计算内层定积分; 再对 计算外层定积分。
例 计算二重积分：
x2 y 2 d
D 4a2 x2 y2
，其中 D 是由曲线
y a a2 x2 (a 0)
和直线 y = - x 围成的区域。（2000年考研数学试题）
解 :易见，D { (r, ) 0 , 0 r 2a sin }
4
I
D
x2 y 2
0
2 a sin
2
sin cos
sin
e x y d d e rdr sin cos
D
0
0
1
2
sin
e sin cos
(
1
) 2 d
1
sin
e sin cos
20
sin cos
2
2 0
e 1 2
.
8. 利用函数可加性和区域可加性分别用直角坐标和极坐 标计算二重积分的实例 （1）利用被积函数可加性问题
1
cos 4
2
)d
2
2
4 2 ( sin 2
sin 4
)
4Fra Baidu bibliotek
.
3
2
8
2
2
9. 极坐标系下累次积分与直角坐标系下累次积分的互 换问题
b
g(x)
dx f (x, y)dy f (x, y)d
a
h(x)
D
( )
f (r cos ,r sin ) rdrd d f (r cos ,r sin ) r dr
（2）利用区域可加性分别用直角坐标和极坐标计算问题
例 计算二重积分 ydxdy ，其中 D 是由曲线 x 2 y y2
D
和直线 x = -2 , x 轴， y = 2 围成的区域。（1999年考研数学试题）
2
D D1 1
-2
解：区域 D 如图所示.
记 D1 { (r, )
2
, 0 r 2sin }
易见，D D1 { (x, y) 2 x 0 , 0 y 2 }
ydxdy ydxdy ydxdy
D
D D1
D1
0
2
2sin
dx ydy d r sin rdr
2 0
0
0
2dx
2
sin
r3 3
2 sin 0
2
4
8 3
sin
4
d
4
8 12
(1
2 cos
2
2
0
2
2
2
cos
2
r
5 2
5
d cos
0
2 5
2
cos3
d
2
2 5
2
(1
sin 2 )d (sin
)
8. 15
2
7. 用极坐标系下计算二重积分的判断原则 i) 积分区域是圆的一部分或与圆有关； ii) 被积函数适合在极坐标下的定积分计算（在直角坐标 iii) 下的定积分计算不便或根本无法计算）。
d d
4a2 x2 y2
0
r
rdr
4a2 r 2
4
2 a sin 0
r 2 asin t
0
0
d
dr 2 a costdt
0
4a2 sin 2 t 2a costdt
4a2 (1 sin 2 t)
a
4
0
d 2a2 (1 cos 2t)dt
0
-a
4
2a2
0
(
1 2
sin
2