二重积分的极坐标计算方法
利用极坐标系计算二重积分
f ( r , θ)dr ( a ≥ 0).
思考题解答
π π ≤θ≤ D: 2 2 , 0 ≤ r ≤ a cos θ
I = ∫ dr ∫
0 a r arccos a r arccos a
y
θ = arccos
D
r a r = a cosθ
a x
o
f ( r ,θ )dθ .
D
示为极坐标形式的二次积分为______________. 示为极坐标形式的二次积分为______________. 3 、 将 ∫ dx ∫
0 2 3x x
x2
f ( x 2 + y 2 )dy 化为极坐标形式的二
次积分为______________________. 次积分为______________________. 4 、 将 ∫ dx ∫
∫∫ e
D
x2 y2
dxdy = ∫ dθ∫ e
0 0
2π
a
r2
rdr
= π(1 e
a2
).
例3
求广义积分∫0 e
2
∞
x2
dx .
2
解 D1 = {( x , y ) | x + y ≤ R }
2
D2 S
D2 = {( x , y ) | x + y ≤ 2 R }
2 2 2
D1
D S2 D
二、利用极坐标系计算二重积分
∫∫ f ( x , y )dxdy
D
r = ri + ri
θ = θ i + θ i
ηi )xi yi
λ →0 i 1 = n
用极坐标计算二重积分
D
x 2 y 2 4 dxdy
D1 D2
o
2
x
D1
(4 x 2 y 2 )dxdy
2
D2
( x 2 y 2 4)dxdy
3
0 0
d
2
( 4 ) d d
3
2
0 2
3 3
2
( 2 4 ) d
41 2 (4 )d 2 ( 4 )d . 0 2 2
2 3a 1 a . [ sin6 ] 6 0 4 2 6
2
作变换 x u, v , y u, v , 其中 C
1
2 u , v R
,
C
1
,
且
x, y u v 0 u, v u v f x, y d x, y f u , v , u , v u, v dudv
2
例 4．球体 x 2 y 2 z 2 a 2 被圆柱面 x 2 y 2 ax (a 0) 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积.
解：由对称性，得
z
x 2 y2 z 2 a 2
V 2
D
a 2 x 2 y 2 dxdy
4
D1
a 2 x 2 y 2 dxdy
2 3
例 2．将二次积分
0 dx 1 x
1
1 x 2
f ( x , y )dy 化为极坐标
下的二次积分.
21(3)二重积分的极坐标计算方法.
o
x
结束
x k o( ) x4 x1 x(u, v k ) x(u, v) v (u , v) 同理得 y2 y1 y h o( ) u (u , v) y k o( ) y4 y1 v (u , v) 当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为 x2 x1 y2 y1 M 1M 2 M 1M 4 x4 x1 y4 y1
2 c
D
1 x2
a
2
y2 2 d xd b
y
D : r 1 , 0 2 ( x, y ) a cos a r sin J abr b sin b r cos ( r , )
V 2 c
D
1 r a b r d r d
(3)在变换下确定u,v的范围
D
;
(4)代入变换替换公式，化为关于u,v的二重积分;
(5)用§2求二重积分化为累次积分的方法求出其值。
题型一：引入变量替换后，化为累次积分； P242习题3
题型二：作适当的变量替换，计算二重积分。
P242习题4
d x d y , 其中D 是 x 轴 y 轴和直线 e y 所围成的闭域. x y 2 解: 令 u y x , v y x , 则 D o x vu vu ( D D ) x ,y v v2 2 2 1 D ( x, y ) 1 1 2 2 u v uv J 1 1 (u , v) 2 2 2 o u
§4 二重积分的变量交换
教学内容： 1.二重积分的换元法; 2.二重积分的极坐标变换; 教学重点： 二重积分的变量变换: 1.线性变换;
二重积分的极坐标计算方法
二重积分的极坐标计算方法二重积分是微积分中的重要概念，常用于求解平面区域内某个量的总量或平均值。
在一般情况下，二重积分的计算方法可以采用直角坐标系或极坐标系。
本文将详细介绍以极坐标为基础的二重积分计算方法。
一、极坐标系的基本概念极坐标系是一种平面直角坐标系的变换形式，它以极径$r$和极角$\theta$作为坐标轴。
极径$r$表示点$(x,y)$到原点的距离，极角$\theta$表示点$(x,y)$与$x$轴正半轴的夹角。
在极坐标系中，点$(x,y)$与点$(r,\theta)$是一一对应的关系，它们之间的转换公式为：$$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta$$$$r=\sqrt{x^2+y^2},\quad \theta=\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) $$二、极坐标系下的二重积分在极坐标系下，二重积分的计算方法与直角坐标系有所不同。
对于平面区域$D$内的函数$f(x,y)$，它在极坐标系下的表示形式为$f(r\cos\theta,r\sin\theta)$。
因此，二重积分的积分区域$D$可以表示为$r$和$\theta$的范围：$$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{\theta_1}^{\theta_ 2}\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\mat hrm{d}r\mathrm{d}\theta$$其中，$r_1(\theta)$和$r_2(\theta)$分别表示以$\theta$为极角的两条极径所在的方程，$\theta_1$和$\theta_2$分别表示积分区域$D$在极坐标系下的极角范围。
需要注意的是，积分区域$D$必须满足以下条件：1. $r_1(\theta)\leq r\leq r_2(\theta)$，$\theta_1\leq\theta\leq\theta_2$；2. $D$是一个简单闭曲线所围成的区域；3. $f(x,y)$在$D$上连续或可积。
二重积分的极坐标计算方法
π
y=x
4
, 0 ≤ r ≤ f (θ ) }
D
1
4
D 由直线 y = x , y = 4 , 及 x = 0 围成的平面区域。 D = D x = { ( x , y ) 0 ≤ x ≤ 4, x ≤ y ≤ 4 }
1 x = 1 ⇒ r cos θ = 1 ⇒ r = ≡ f (θ ) cos θ 1 π ⇒ D = { ( r ,θ ) 0 ≤ θ ≤ , 0 ≤ r ≤ } 4 cos θ
2
7. 用极坐标系下计算二重积分的判断原则 i) 积分区域是圆的一部分或与圆有关； 积分区域是圆的一部分或与圆有关； ii) 被积函数适合在极坐标下的定积分计算（在直角坐标 被积函数适合在极坐标下的定积分计算（ 下的定积分计算不便或根本无法计算）。 下的定积分计算不便或根本无法计算）。
计算二重积分
D = { (r,θ )
( x − 2) 2 + y 2 ≤ 4 }
−
π
-0.5
-1
2 2 (x − 2)2 + y2 = 4 ⇒ (r cosθ − 2)2 + r 2 sin2 θ = 4 2 ⇒ r − 4r cosθ = 0 ⇒ r = 4 cosθ ≡ f (θ ) π π ∴ D = { (r , θ ) − ≤ θ ≤ ，0 ≤ r ≤ 4 cosθ }
2. 二重积分在极坐标系下的形式
∫∫ f ( x, y)dσ = ∫∫ f (r cosθ , r sin θ ) ⋅ r ⋅ drdθ
D D
3. 平面曲线与平面区域在极坐标系下的表示形式
平面曲线的极坐标方程 ：r = g (θ ) , 其中 g 为已知函数。 直角坐标曲线方程转换 为极坐标曲线方程：
D10_2二重积分的计算-极坐标
故①式成立 .
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2 2 ( x y ) d x d y, 其中D 为由圆 x 2 y 2 2 y, 例4. 计算 D
x y 4 y 及直线 x 3 y 0, y 3x 0 所围成的 y 平面闭区域. 4 2 2 解： x y 2 y r 2 sin x 2 y 2 4 y r 4 sin y 3x 0 2 3 x 3 y 0 1 6
D
d x2 ( y )
1
c
D f ( x, y) d c d y x ( y )
f ( x, y ) d x
机动 目录
x x1 ( y ) x
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极坐标系情形: 若积分区域为
则
D f ( x, y) d D f (r cos , r sin ) rd r d
2 2 1 k 1 (r rk ) k 2 rk k 2 k
o
r rk x
k
rk k
rk rk k
在 k 内取点(rk , k ), 对应有
k
rk
rk
k rk cos k , k rk sin k
2
机动
2
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常见区域D'的确定
(1) D : x y 2Rx (如图)
2 2
y
r 2 2Rr cos D : , 0 r 2 R cos 2 2 (2) D : x 2 y 2 2Ry (如图) r 2Rr sin
在极坐标系下计算二重积分
解: (1) 利用对称区间奇偶性，得 I x2dxdy D
Q D x 2d xdy D y 2dyd x
y
I1 (x2y2)dxdy 2D
D o 1x
1 2d 1r3dr
20 0
4
二重积分
综合题： 计算 I (x2xyex2y2)dxdy,其中: D
o
A
D
f
(x,
y)dxdy d
2()f(rcos,
1()
rsin)rdr.
二重积分
例 1 计算 x2 y2 d ， D {( x, y) | 2 x2 y2 4 2}．
D
y
解：D 在极坐标系下可表示为
{ ( r ,) |0 2 , r 2 }
O
x
x2 y2d r rdrd
D
D
2d 2r2dr
0
2
0
r3
(
3
)
|2
d
2 7 3d 1 4 4
03
3
二重积分
例2. 计算 (x2y2)dxdy, 其中D 为由圆 x2 y2 2y, D
x2 y2 4y及直线 y 3x 0, x 3y 0, 所围成的
x
x y
1 x2 y2
是关于Y的奇函数，
D
xy 1x2 y2
dxdy0
D
xy1 1x2 y2
dxdy
D
1 1x2 y2
dxdy
2
2d
0
1r 0 1r2 dr
二重积分的计算极坐标
3 曲线的极坐标方程的求法 法一:根据曲线的几何特征及 与 r 几何含义建立方程
y
如图 圆的极坐标方程为
2R r
x
P , r
r 2R sin
0
O 法二:根据直角坐标方程以及极坐标与直角坐标关系建立
圆的直角坐标方程为 x 2 y R 2 R 2 圆的极坐标方程为
0
2 极坐标与直角坐标的关系
若平面上极坐标系与直角坐标系 关系如图. 对平面上的点 P 设其极坐标与直角坐标 分别是 , r 和 x , y 则它们有关系
y
r
O
P , r
x , y
x
x r cos y r sin
D2
D
x
D4
1 2
又如计算
其中 D : x 2 y 2 a 2 .
由于e x 2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角坐标计算. 本题解法见后面例题8 还可举例
I e
D
x2 y2 2
dxdy, D : x y a
2 2
2
解： e
a
a
x / 2
2
r 2R sin
0
例 如图
R
,r P r
r
2R
P , r
法一 r R
0 2
2 2 2 故 r 2 R 2即 r R x y R 法二: 圆的直角坐标方程为
故圆的极坐标方程为 r R 0 2 例 如图 法一 r 2 R cos 2 2 2 2 2 圆的直角坐标方程为 x R y R 法二: 故圆的极坐标方程为 r 2 R cos 2 2
经济数学在极坐标系下二重积分的计算
A
D
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
（4）区域如图4
0 2, 0 r ( ).
r ( ) D
o
A
f (r cos ,r sin )rdrd
D
图4
2
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
0
如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等， 或被积函数f(x2+y2)形式，利用极坐标常能简化计算.
解 由对称性，可只考虑第一象限部分，
D1
D 4D1
注意：被积函数也要有对称性.
sin( x2 y2 )
dxdy 4
sin( x2 y2 )
dxdy
D
x2 y2
D1
x2 y2
4
2 d
2 sin r
rdr 4.
0
1r
例 5 计算 ( x2 y2 )dxdy，其中 D 为由圆
D
x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直线 x 3y 0，
定r的 上 下 限 ：
任意作过极点的半射线与平面区域相交， 由穿进点，穿出点的极径得到其上下限．
具体地（如图）
（1）区域如图1
r 2()
,
r 1()
D
1( ) r 2( ).
o
A
f (r cos ,r sin )rdrd
图1
D
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
解 根据对称性有 D 4D1
在极坐标系下
D1
x2 y2 a2 r a,
( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 ) r a 2cos2 ,
二重积分在极坐标下的计算法
S
14
( 1 eR 2 ) e d (x2 y2 ) ( 1 e2R 2 ).
S
e d 又
(x2 y2 )
S
从而 ( 1 eR 2 )
4
( 1 e2R 2 )
4
令R ,则 ( 1 eR 2 ) , ( 1 e2R 2 ) .
e(x2 y2 )dxdy
R2
( ex2 dx)2
4I 2.
13
作如下三个平面区域
D1 {( x, y) | x2 y2 R2 } D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 }
D2
S
DSD1 2
S {(x, y) | R x R, R y R}
D
利用本题结论还可以来推导一个在概率统计中十分有
用的广义积分——Possion积分.
e x2 dx .
0
2
12
ex2 y2 dxdy (1 ea2 ) . e x2 dx .
x2 y2 a2
0
2
解 记 I ex2 dx ,则 0
(2)尽量少分块或不分块.
11
内容回顾
但若被积函数是不可求积函数，则需慎重选择积分 次序,否则将导致无法计算.若不小心选错了积分次序， 则需交换积分次序. 交换积分次序的一般步骤： 1、依据积分限作出积分区域D 的图形. 2、将二次积分转化为二重积分. 3、重新选择积分次序,将二重积分转化为二次积分
1 2
er2
)
a 0
(1 ea2 ) . 11
ex2 y2 dxdy (1 ea2 ) .
二重积分的几种计算方法
二重积分的几种计算方法二重积分是数学中的一种重要计算方法，用于计算二元函数在平面区域上的累计效应。
在实际问题中，二重积分常常用于计算平面区域上的面积、质量、重心、转动惯量等物理量。
在计算二重积分时，可以采用多种方法，如直角坐标系下的直接计算、极坐标系下的转化、换元积分法等。
接下来，我们将详细介绍这些计算方法。
一、直角坐标系下的直接计算方法二、极坐标系下的计算方法在一些情况下，特别是当被积函数具有旋转对称性时，我们可以利用极坐标系对二重积分进行变换，从而简化计算过程。
具体而言，对于形如$f(r,\theta)$的二元函数，我们可以通过进行坐标变换得到$f(x,y)$的形式，然后按照直角坐标系下的直接计算方法计算积分。
换句话说，我们先将极坐标系下的$r$和$\theta$表示转化为直角坐标系下的$x$和$y$表示，然后按照直角坐标系下的计算方法进行计算。
例如，对于极坐标下的面积分，我们有如下变换关系：$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，从而可以将极坐标下的面积分转化为直角坐标下的面积分。
三、换元积分法在一些情况下，被积函数本身可能比较复杂，或者积分的区域形状比较复杂，这时可以通过换元积分法将原问题转化为更简单的形式，从而方便计算。
例如，对于形如$f(x,y)$的二元函数，我们可以通过变量替换将其转化为新的二元函数$g(u,v)$，并找到合适的Jacobian行列式来计算变换后的二重积分。
具体而言，变量替换的过程包括两个步骤：首先，通过$u=g_1(x,y)$，$v=g_2(x,y)$的关系找到$x$和$y$与$u$和$v$之间的函数关系；然后，计算Jacobian行列式$J=\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$，并将其带入变换后的二重积分中进行计算。
需要注意的是，选取合适的变量替换和Jacobian行列式是成功应用换元积分法的关键。
综上所述，二重积分的计算方法包括直角坐标系下的直接计算、极坐标系下的转化和换元积分法等。
二重积分极坐标计算公式
二重积分极坐标计算公式
极坐标系，又称径向直角坐标系或极坐标直角坐标系，是它以极点作为坐标原点，以极轴为坐标轴的坐标系统，常用来表示圆周上的点?；〔?。
一般记为极坐标系（Ｒ，θ），其中Ｒ表示点到极点的线段的长度，而θ表示该线段与正x轴的夹角。
二重积分极坐标计算公式是指通过极坐标系计算二维图形的解
析积分公式。
以极坐标的形式表示边界上的函数，可以将复杂的二维积分问题转换为一元积分，从而计算出数值解。
一般而言，在极坐标系中，二重积分极坐标计算公式可以表示为：∫∫F(x,y)dxdy=∫∫f(ρ,θ)ρdρdθ
其中，F(x,y)为原函数，ρ = x2 + y2，f(ρ,θ) = F(x,y)。
以上表示的是由F(x,y)表示的函数f(ρ,θ)在极坐标系中的二
重积分计算公式。
它表明，在计算二维函数积分时，可以把复杂的函数积分表示为在极坐标系中的一维函数积分，从而求解出二维图形的数值解。
极坐标计算公式是有效的高效算法，在数学和计算机科学等领域有广泛的应用。
在计算复杂的多维函数时，极坐标计算公式可以大大减少计算的复杂性，提高计算的运行效率。
此外，极坐标计算公式还可用于解决多维空间中的各种物理问题，如爆炸波在多维空间内的传播特性，电磁场中电压场和力场的表示，以及气动力学问题中流体动量守恒方程的求解等等。
总之，极坐标计算公式是一种非常有用的计算方式，它的应用既
可以减少计算的复杂性，又可以解决多维空间中的各种物理问题。
二重积分在极坐标系下的计算
2R
{ x ≥ 0, y ≥ 0}
显然 D1 ⊂ S ⊂ D2
因为 e
所以
− x2 − y2
> 0,
− x2 − y2
∫∫ e D
1
− x2 − y2
dxdy ≤ ∫∫ e
S
dxdy ≤ ∫∫ e
D2
− x2 − y2
dxdy .
又因为 I = ∫∫ e
S
R
− x2 − y2
d xd y
R − y2
计算方法——化为二次积分 化为二次积分 计算方法
D : ρ1 (θ ) ≤ ρ ≤ ρ 2 (θ ), α ≤ θ ≤ β
其中ρ1 (θ ), ρ 2 (θ ) ∈ C [α , β ], 0 ≤ ρ1 (θ ) ≤ ρ 2 (θ ), 0 ≤ β − α ≤ 2 π.
ρ = ρ2(θ)
D
ρ = ρ1(θ) β α
所围成的图形的面积 .
解
根据对称性 S D = 4 S D1 . ( x 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 ( x 2 − y 2 ) ⇒ ρ = a 2 cos 2θ
x2 + y2 = a2 ⇒ ρ = a
D1
ρ = a 2 cos 2θ π 得交点 (a , ). 6 ρ = a
S = ∫∫ dxdy = 4 ∫∫ dxdy
θ + dθ
ρdθ
dρ
θ
∆σ ≈ ρdρdθ
ρ ρ + dρ
ρ
dxdy = ρdρdθ
x = ρ cosθ y = ρ sinθ
θ + dθ
二重积分的变量从直角 坐标到极坐标的变换公式
极坐标系下二重积分的计算
直 线 方 程 为 rs i n 1 c o,s
x2 y2 1 xy1
f(x, y)dxdyf(rco,srsin)rdrd
D
D
0 2d1 sAi 1 n c ofs(rco,rsi)n rd .11 r
例 3计 算 e x2y2dx， d 其 中 yD是 由 中 心 在 原 点 ，
A
16
I1II2,
( 1 e R 2 ) (R e x 2 d ) 2 x ( 1 e 2 R 2 );
4
0
4
当 R 时 , I1
4
,
I2
4
,
故 当 R 时 ,I ,
4
即( ex2dx)2 ,
0
4
所 求 广 义 积 分ex2dx
.
0
2
A
17
例 6 计算 ( x2 y2 )dxdy，其 D 为由圆
ex2y2dxdy ex2y2dxdy ex2y2dxd.y
D1
S
D2
A
15
又 Ie x 2 y 2 dxdy
S
Rex2dxRey2dy( Rex2dx)2;
0
0
0
I 1 e x 2 y 2 dxdy
D 1
2d
Rer2rdr
(1eR2
);
00
4
同 理 I2 D 2e x 2 y 2 dx 4(d 1ey 2R2 );
D
y 1） 2 x2y24
D o 2x
2）
2
y
2
x2y2 4
D o 2x
3）
2
y
2
x2y24 4）
二重积分极坐标计算公式
二重积分极坐标计算公式二重积分是微积分中的重要概念之一，用于计算在二维区域上的一些函数的平均值、面积、质心等数值特征。
极坐标系统是一种常用的描述平面点的坐标系，由径向和角度两个坐标变量组成。
在极坐标下，二重积分有一套特定的计算公式。
一、极坐标变换在直角坐标系下，点P的坐标为(x,y)，在极坐标系下，P的坐标可以表示为(r,θ)，其中r为点P到原点的距离，θ为点P到正半轴的角度。
我们可以通过以下公式将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标下的二重积分：∬R f(x, y) dxdy = ∬D f(rcosθ, rsinθ) r drdθ其中，R为直角坐标系下的二维区域，D为其对应的极坐标系下的二维区域。
f(x,y)为被积函数。
二、极坐标下的积分区域在极坐标下，二重积分的积分区域通常是一个由两个角度θ1和θ2以及两个径向r1和r2确定的扇形区域，可以表示为：D={(r,θ)，r1≤r≤r2,θ1≤θ≤θ2}其中，r和θ的取值范围由具体问题决定。
三、极坐标下的积分公式在极坐标下，二重积分的计算公式包括被积函数的转换、积分区域的确定和积分的计算三个部分。
具体的计算步骤如下：（1）将被积函数f(x, y)转换为极坐标下的形式f(rcosθ, rsinθ)，并根据具体问题进行简化和化简。
（2）确定积分区域D的极坐标表达式，即确定r的取值范围和θ的取值范围。
（3）将被积函数f(rcosθ, rsinθ)乘以极坐标的雅可比行列式r，并根据r和θ的取值范围进行积分计算。
具体的计算公式如下：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(rcosθ, rsinθ) r drdθ四、极坐标下的面积计算二重积分在极坐标下的一个重要应用是计算二维区域的面积。
对于一个在极坐标下表示的简单闭合曲线，其面积可以通过以下公式进行计算：A=1/2∬Dr^2dθ其中，A为二维区域的面积，D为二维区域在极坐标下的表示，r为点到极坐标原点的距离。
在极坐标系下二重积分的计算
第九节 在极坐标系下二重积分的计算根据微元法可得到极坐标系下的面积微元θσr d r dd = 注意到直角坐标与极坐标之间的转换关系为,c o s θr x = ,sin θr y =从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式为⎰⎰⎰⎰=D D rdrd r r f dxdy y x f θθθ)sin ,cos (),( (9.1)内容分布图示★ 利用极坐标系计算二重积分★ 二重积分化为二次积分的公式★ 例1 ★ 例2 ★ 例3★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 例7 ★ 例8★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题6-9★ 返回内容提要：一、二重积分的计算1．如果积分区域D 介于两条射线βθαθ==,之间，而对D 内任一点),(θr ，其极径总是介于曲线)(),(21θϕθϕ==r r 之间（图6-9-2），则区域D 的积分限).()(,21θϕθϕβθα≤≤≤≤r于是 ⎰⎰⎰⎰=D D rdrd r r f dxdy y x f θθθ)sin ,cos (),( .)sin ,cos ()()(21⎰⎰=θϕθϕβαθθθrdr r r f d (9.2)具体计算时，内层积分的上、下限可按如下方式确定：从极点出发在区间),(βα上任意作一条极角为θ的射线穿透区域D （图6-9-2），则进入点与穿出点的极径)(),(21θϕθϕ就分别为内层积分的下限与上限.2．如果积分区域D 是如图6-9-3所示的曲边扇形，则可以把它看作是第一种情形中当)()(,0)(21θϕθϕθϕ==的特例，此时，区域D 的积分限).(0,θϕβθα≤≤≤≤r 于是.)sin ,cos (),()(0⎰⎰⎰⎰=θϕβαθθθrdr r r f d dxdy y x f D (9.3)3．如果积分区域D 如图6-9-4所示，极点位于D 的内部，则可以把它看作是第二种情形中当πβα2,0==的特例，此时，区域D 的积分限).(0,20θϕπθ≤≤≤≤r于是.)sin ,cos (),()(020⎰⎰⎰⎰=θϕπθθθrdr r r f d dxdy y x f D (9.4)注：根据二重积分的性质3，闭区域D 的面积σ在极坐标系下可表示为⎰⎰⎰⎰==DD rdrd d θσσ (9.5) 如果区域D 如图6-9-3所示，则有⎰⎰⎰⎰⎰===βαθϕβαθθϕθθσd rdr d rdrd D )(21)(0 (9.6) 例题选讲：例1（讲义例1）计算⎰⎰++D yx dxdy 221，其中D 是由122≤+y x 所确定的圆域. 例2（讲义例2） 计算⎰⎰++D dxdy y x y x 2222)sin(π, 其中积分区域D 是由4122≤+≤y x 所确定的圆环域.例3（讲义例3）计算⎰⎰D dxdy x y 22, 其中D 是由曲线x y x 222=+所围成的平面区域. 例4（讲义例4）写出在极坐标系下二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(的二次积分，其中区域}.10,11|),{(2≤≤-≤≤-=x x y x y x D 例5 计算dxdy y x D)(22+⎰⎰,其中D 为由圆y y x y y x 4,22222=+=+及直线03=-y x , 03=-x y 所围成的平面闭区域.例 6 将二重积分σd y x f D⎰⎰),(化为极坐标形式的二次积分,其中D 是曲线,222a y x =+ 42222a y a x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-及直线0=+y x 所围成上半平面的区域.例7（讲义例5）求曲线)(2)(222222y x a y x -=+和a y x ≥+22所围成区域D 的面积.例8（讲义例6）求球体22224a z y x ≤++被圆柱面ax y x 222=+)0(>a 所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积（图6-9-9）.课堂练习1.计算⎰⎰--D y x dxdy e22, 其中D 是由中心在原点, 半径为a 的圆周所围成的闭区域.2.计算,|2|22⎰⎰-+D d y x σ 其中3:22≤+y x D .。
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sin cos
转换 x , y
r 2 cos2 r 2 sin 2 1 r 1
即此曲线(圆)的极坐标方程为 r g( ) 1 .
例如 : 抛物线 y x2
r sin r2 cos2 r g( ) tan sec
平面区域的极坐标表示形式：
D { ( r, ) , g ( ) r g ( ) }
y
例 计算二重积分 I e xy d ，其中 D 由直线 x = 0 , y = 0 与
x + y = 1 所围成。 D
解：区域 D 如图所示.
y
D
易见，D { (x, y) 0 x 1 , 0 y 1 x }
{ (r, ) 0 , 0 r
1
}
2
sin cos
x
1
y
1
2
无穷条射线（段）束的组合
-2
-1
-1
-2
1
2
-2
1 0.5
2 1.5
1 0.5
-1
1
2
-0.5
0.5
1
1.5
2
-1
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
4 3 2 1
-2 -1
1
2
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1
yx
D
1
4
D
yx
d d
4a2 x2 y2
0
r
rdr
4a2 r 2
4
2 a sin 0
r 2 asin t
0
0
d
dr 2 a costdt
0
4a2 sin 2 t 2a costdt
4a2 (1 sin 2 t)
a
4
0
d 2a2 (1 cos 2t)dt
0
-a
4
2a2
0
(
1 2
sin
2
直角坐标曲线方程转换为极坐标曲线方程：
转换x , y
y f (x) r sin f (r cos )
解出r
r g( )
例如: 直线 y 3x 2
转换 x , y
r sin 3r cos 2
r
2
sin 3cos
即此直线的极坐标方程为 r g( )
2
.
例如 : 曲线(圆) x2 y 2 1
4
4
x+y 4
D
4
5. 二重积分在极坐标系下的累次积分公式
6. 用极坐标计算二重积分操作步骤与实例
i) 画出区域的草图； ii) 写出二重积分区域 D 在极坐标下 的表示形式 ( 这是关键）;
iii) 把二重积分化为极坐标下的累次积分（先积 r 后积 的内外两个 定积分）;
iv) 视 为参数，先对 r 计算内层定积分; 再对 计算外层定积分。
§8. 二重积分在极坐标系下的计算方法 1. 极坐标的意义和极坐标与直角坐标的转换公式
x P(x, y) x r cos ,
r
y
y r sin ;
d
d r dr
2. 二重积分在极坐标系下的形式
3. 平面曲线与平面区域在极坐标系下的表示形式
平面曲线的极坐标方程：r g( ) , 其中 g 为已知函数。
例 计算二重积分：
x2 y 2 d
D 4a2 x2 y2
，其中 D 是由曲线
y a a2 x2 (a 0)
和直线 y = - x 围成的区域。（2000年考研数学试题）
解 :易见，D { (r, ) 0 , 0 r 2a sin }
4
I
D
x2 y 2
0
2 a sin
0
2
2
2
cos
2
r
5 2
5
d cos
0
2 5
2
cos3
d
2
2 5
2
(1
sin 2 )d (sin
)
8. 15
2
7. 用极坐标系下计算二重积分的判断原则 i) 积分区域是圆的一部分或与圆有关； ii) 被积函数适合在极坐标下的定积分计算（在直角坐标 iii) 下的定积分计算不便或根本无法计算）。
1
2
直角坐标区域表示形式转换为极坐标区域表示形式：
D D {(x, y) a x b,h(x) y g(x)} x
转换x , y
D {(r, ) , g ( ) r g ( )}
1
2
2 1
-2
-1
-1
-2 2
1
4. 平面区域的极坐标表示法实例
将平面区域视为分布在某个角度内的
1
cos 4
2
)d
2
2
4 2 ( sin 2
sin 4
)
4
.
3
2
8
2
2
9. 极坐标系下累次积分与直角坐标系下累次积分的互 换问题
b
g(x)
dx f (x, y)dy f (x, y)d
a
h(x)
D
( )
f (r cos ,r sin ) rdrd d f (r cos ,r sin ) r dr
2
sin cos
sin
e x y d d e rdr sin cos
D
0
0
1
2
sin
e sin cos
(
1
) 2 d
1
sin
e sin cos
20
sin cos
2
2 0
e 1 2
.
8. 利用函数可加性和区域可加性分别用直角坐标和极坐 标计算二重积分的实例 （1）利用被积函数可加性问题
D
( )
(1) 直角坐标系下累次积分化为极坐标系下累次积分问题
2 1.5
1 0.5
0.2 0.4 0.6 0.8 1
2 1.5
1 0.5
0.5 1 1.5 2
(2) 极坐标系下累次积分化为直角坐标系下累次积分
2 1.5
1 0.5
0.5 1 1.5 2
计算 I r 2 sin 1 r 2 cos 2 drd ,
)d
a2 ( 2 1).
16 2
4
设 D { (x, y) x2 y 2 x }, 求 xdxdy.
D
1/2
1
（1998年考研数学试题） 解：区域 D 如图所示.
易见，D { (r, ) , 0 r cos }
2
2
2
cos
I xd d r cos rdr
D
（2）利用区域可加性分别用直角坐标和极坐标计算问题
例 计算二重积分 ydxdy ，其中 D 是由曲线 x 2 y y2
D
和直线 x = -2 , x 轴， y = 2 围成的区域。（1999年考研数学试题）
2
D D1 1
-2
解：区域 D 如图所示.
记 D1 { (r, )
2
, 0 r 2sin }
易见，D D1 { (x, y) 2 x 0 , 0 y 2 }
ydxdy ydxdy ydxdy
D
D D1
D1
0
2
2sin
dx ydy d r sin rdr
2 0
0
0
2dx
2
sin
r3 3
2 s4
d
4
8 12
(1
2 cos
2
2