点到直线距离 导学案
最新冀教版四年级数学上册《 垂线和平行线 垂线 两条直线的相交关系;点到直线的距离》优课导学案_2
认识垂线教学内容：冀教版数学四年级上册p78——79教学目标：1.结合具体事例，经历了解两条直线相交（包括垂直）关系的过程。
2.知道平面上两条直线相交成四个角，有一个交点；了解两条直线互相垂直的含义，认识垂线和点到直线的距离。
3.积极参与数学活动，获得积极的学习体验。
教学过程：一、认识相交1、出示一副交叉的筷子图师：筷子我们每天都要用到，它是我们华夏民族智慧的结晶,是中国精神的传承。
许多外国人称它是我们中国四大发明之外的一大发明。
看看这两根筷子是怎么放在桌子上的？生：交叉师：这两根筷子是交叉的，这就是它们的位置关系，“交叉”在数学上叫“相交”。
我们可以把这两根筷子近似的看成是两条直线，现在这两条直线的位置有什么关系呢？生：相交。
二、认识垂直1、判断在下图中哪些可以近似的看作两条直线相交？生：两根交叉的竹篱笆可以看作两条直线相交。
任意两根相交的竹篱笆都可以看作两条相交的直线。
路口的两条路可以看作两条相交的直线。
师：同学们刚才说得很好，交叉的小棒、竹篱笆、十字路等都可以看作两条相交的直线。
2、观察这几组相交的直线，用量角器量一量，看看它们有什么相同点和不同点？相同点：都有一个交点两条直线都相交成了4个角。
这4个角的和都是360°相邻的两个角组成了平角，180°相对的角度数相等。
有两个钝角、两个锐角不同点：前两幅图有两个钝角、两个锐角，图③两条直线相交成的4个角都是直角。
师：同学们真棒！有这么多发现。
通过观察发现：两条直线相交成的四个角的大小、关系等，为认识垂线做准备。
师：两条直线相交都组成4个角，都有一个交点，在数学上，我们说：两条直线相交只有一个交点。
师：你怎么知道都是直角的？你认为这两条直线相交成了几个直角？说一说你是怎么验证？3、认识垂直师：通过验证我们发现这两条直线相交成直角了。
为了表示它们相交成了直角，我们可以在这表上直角符号。
师：像这样两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直。
2.3.3 点到直线的距离公式2.3.4 两条平行直线间的距离 导学案正文
2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离【学习目标】1.会运用多种方法推导点到直线的距离公式,明确使用公式的前提条件.2.能根据给定的点与直线熟练运用公式求点到直线的距离.3.能将平行线间的距离转化为点到直线的距离,并会用点到直线的距离公式导出两条平行直线间的距离公式.4.能说明应用公式的前提条件,并能用公式求给定两平行线间的距离.◆ 知识点一 点到直线的距离公式点P (x 0,y 0)到直线l :Ax+By+C=0的距离d= . 证明点到直线的距离公式的方法 1.定义法根据定义,点P 到直线l 的距离,就是点P 到直线l 的垂线段的长度.如图,过点P (x 0,y 0)作直线l :Ax+By+C=0(A ≠0,B ≠0)的垂线l',垂足为Q ,由l'⊥l 可知l'的斜率为 ,∴l'的方程为y-y 0=B A(x-x 0),与l 的方程联立,得交点为Q (B 2x 0-ABy 0-AC A 2+B 2,A 2y 0-ABx 0-BCA 2+B 2),∴|PQ|=00√A +B .可以验证,当A=0,或B=0时,上述公式仍然成立.2.向量法如图,已知P (x 0,y 0),设与直线l :Ax+By+C=0的一个方向向量P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直的向量为n=(A ,B ),M (x ,y )为直线l 上任意一点,则PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-x 0,y-y 0),从而点P 到直线l 的距离d= =00√A +B ,∵点M 在直线l 上,∴Ax+By+C=0,从而d=00√A +B =00√A +B .【诊断分析】 1.已知点P(-1,0),直线l:x+y-4=0.(1)直线l的一个方向向量为n=,与直线l垂直的一个向量为m=;⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量m求得点P到直线l的距离为.(2)Q(1,3)是直线l上一点,利用PQ2.点P(x0,y0)到直线y=a的距离为.◆知识点二两条平行直线间的距离1.定义:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的的长.2.求法:转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.3.公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离d=.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)连接两平行直线上任意两点,即得两平行直线间的距离.( )(2)若直线l1:x+y-1=0上有A(1,0),B(0,1),C(-1,2)三点,则点A,B,C到直线l2:x+y+1=0的距离相等. ( )(3)已知直线l1:x=x1,l2:x=x2,则直线l1,l2间的距离为|x2-x1|.( ).( )(4)已知两平行直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则直线l1,l2间的距离为12√A1+B1◆探究点一点到直线的距离公式的应用例1 (1)点P0(-1,2)到直线2x+y-10=0的距离是.(2)点P(0,2)到直线y=3的距离是.(3)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则实数m的值为. 变式 (1)若直线l经过点P(1,2),且点A(2,3),B(0,-5)到它的距离相等,则l的方程为 ( )A.4x-y-2=0B.4x+y-6=0C.4x-y-2=0或x=1D.4x+y-6=0或x=1(2)已知直线l:y=k(x-2)+2,当k变化时,点P(-1,2)到直线l的距离的取值范围是( )A.[0,+∞)B.[0,2]C.[0,3]D.[0,3)[素养小结]点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时,先把直线方程化为一般式,再直接应用点到直线的距离公式求解即可.(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x=a或y=b,求点P(x0,y0)到它们的距离d时,既可以用点到直线的距离公式,也可以直接根据d=|x0-a|或d=|y0-b|求解.(3)已知点到直线的距离求参数时,根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可.拓展已知定点P(-2,0)和直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0(λ∈R),则点P到直线l的距离的最大值为( )A.2√3B.√10C.√14D.2√15◆探究点二平行线间距离公式的应用例2 (1)已知直线l1:y=2x+1,直线l2:4x-2y+7=0,则l1与l2之间的距离为( )A.√52B.√54C.√102D.√104(2)若直线l1:2x+y+a=0与直线l2:ax-y-3=0平行,则直线l1与l2之间的距离为.(3)已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0之间的距离相等,则l的方程为. 变式 (1)已知点A(1,0),B(3,1),C为直线l:x-2y+4=0上的一个动点,则△ABC的面积为( )A.5B.√5C.√52D.52(2)若直线12x-5y+c=0与直线y=125x+1间的距离不小于3,则c的取值范围是.[素养小结]求两平行线间的距离一般有两种方法(1)转化法:将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.因为结果与点的选择无关,所以选点时,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算.(2)公式法:直接利用公式d=12√A+B,但要注意两直线方程中x,y的系数对应相等.◆探究点三距离公式的综合应用例3已知直线l经过直线2x+y-5=0与直线x-2y=0的交点.(1)若点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程;(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.变式若点P到直线5x-12y+13=0的距离与到直线3x-4y+5=0的距离相等,则点P所在直线的方程是( )A.32x-56y+65=0或7x+4y=0B.x-4y+4=0或4x-8y+9=0C.7x+4y=0D.x-4y+4=0拓展已知直线l1 :x=0,l2:3x-4y=0,点A的坐标为(1,1),且过点A的直线l与l1,l2分别交于点M,N(M,N的纵坐标均为正数),设O为坐标原点,求△MON面积的最小值.。
高中数学必修二《空间两点间的距离公式》导学案
问题
问题猜想
答疑
在平面上任意两点A ，B 之间距离的公式为|AB|= ，那么对于空间中任意两点A ，B 之间距离的公式会是怎样呢？你猜猜？
（2）空间中任意一点P 到原点之间的距离公式会是怎样呢？
[1]
问题
问题设计意图
答疑
（3）如果 是定长r,那么 表示什么图形？
类比平面直角坐标系中，方程 表示的图形。
作业：习题4.3 A组2 . 3题
（4）如果是空间中任意一Βιβλιοθήκη 到点 之间的距离公式会是怎样呢？
[2]
练习
1.先在空间直角坐标系中标出A,B两点，再求他们之间的距离：
（1）A (2，3，5），B (3，1，4)
（2）A（6，0，1），B (3，5，7)
2.在Z轴上求一点M，使点M到点A(1，0，2)与点B(1，-3，1)的距离相等。
3.求证：以点A(10，-1，6),B(4，1，9),C(2，4，3)三点为顶点的三角形是等腰三角形。
4.3.2空间两点间的距离公式导学案
1．教学任务分析
通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式
2．教学重点和难点
重点：空间两点间的距离公式
难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
3．教学基本流程
由平面上两点间的距离公式，引入空间两点距离公式的猜想
先推导特殊情况下的空间两点间的距离公式
推导一般情况下的空间两点间的距离公式
§5.1.3垂线的画法与性质导学案
§5.1.3垂线的画法与性质（导学案）姓名学习目标会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.理解并掌握垂线段的意义.重点 1 •点到直线的距离；2.垂线的两条性质.难点区分垂线段与点到直线的距离.一，预习导航1.当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线的位置关系是,请口述你的理由.2.如图，已知直线/.（1）分别用三角尺，或量角器各画出直线/的一条垂线；（2）请用折纸的方法，折出直线/的一条垂线. ι【归纳】这样的垂线能理出或能批出条；3.如图，已知直线/.（观察教材P4 “探究”，模仿图5.1-7中的画法.）（1）点4在直线/上，过点4画/的垂线；（2）点8在直线/外，过点8画/的垂线. B【归纳1】过一点画已知直线垂线的工具是：和;步骤是：①;②;③.【归纳2】过一点（注：这一点不管是在直线上，还是在直线外）画已知直线的垂线, 能画条.二，新知探究（阅读教材P5内容）1.【垂线的性质1］在同一内，过一点与已知直线垂直.注：“有”表示,“只有”表示,就是肯定有条并且不能多于条.2.画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在的垂线.如图，请你过点尸画出范(1) (2) (3) 3.垂线段尸(1)如图，连接直线/夕I点P与直线/上各点。
，Ai, A2f A3,其中只有Ll1则称线段为点P到近线I 的垂线桂/77 ,•--A3A2A1O(2)比较线段Pa PAi t PAi i Rh,…的长短，最短的是.【垂线的性质2】连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简说成，.4.点到直线的距离(1)直线外一点到这条直线的垂线段的,叫做点到直线的距离.(2)谈谈“垂线段”与“点到直线的距离”的区别.三，应用举例例1如图，ABLl f BCLl t 8为垂足，那么4, B,。
三点在同一条直曾去吗？C——-------------- 1例2如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田户处，如何挖渠能使渠道最短？(1)画出最短渠道的路径；(2)如果图中比例尺为1:100000,水渠大约要挖多长？四，课堂演练1.如图，画AE_L3C, CFlAD t垂足分别为E, F.2.如图，三角形ABC中，ZC=90o.(1)点A到直线BC的距离是线段的长，点B到直线AC的距离是线段的长；(2)三条边AB, AC f 8C中，最长，为什么？五，课堂小结谈谈你在本节课中的收获与困惑.六，星级作业第1题第2题*2.如图，这是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是多少(比例尺为1 :150)?。
广东深圳中学高中数学必修二导学案17点到直线的距离公式
17．点到直线的距离公式贺险峰学习目标1．理解点到直线距离公式的推导，掌握点到直线的距离公式．2．会用点到直线距离公式求解两条平行直线间的距离，掌握两条平行直线间的距离公式．3．会经过方程的思想，依据已知若干点到直线的距离大小（或关系）求点的坐标或直线的方程 3一、夯实基础基础梳理1．点到直线的距离平面上一点P x0 , y0到一条直线l ：Ax By C 0 的距离d__________．2．两平行线间的距离已知 l1、 l2是平行线，求l1、 l2间距离的方法：①求一条直线上一点到另一条直线的距离；②设 l1： Ax By C10 ， l2： Ax By C20 ，则 l1与 l2之间的距离d__________．基础达标1．已知m 0，则点 P m , 2m到直线 y x 的距离是（）A． 2 m B．3 2m C． 5 m D．1m22222．动点P在直线 x y 40上， O为原点，则 OP 的最小值为（）A． 10B．2 2C． 6D．23．已知点 a , 2 a 0 到直线l： x y 3 0 的距离为 1，则 a（）A． 2B． 2C．21D．214．已知直线 l1的方程为 3 x4y70 ，直线 l2的方程为 6x8 y10 ，则直线 l1与 l 2的距离为（）A．8B．3C．4D． 8 525．直线l过点 P1, 2 ，且M 2 , 3， N 4 , 5 到l的距离相等，求直线l 的方程．二、学习引导自主研究1．学生作业：推导点到直线的距离公式已知点 P x0 , y0，直线l： Ax By C 0 ，请用你自己的方法求点P 到直线 l 的距离．2．两条平行直线的距离（1）猜想：与两条平行直线l 1 ： Ax By C 1 0 ， l 2 : Ax By C 2 0 距离相等的直线方程为____________________ ．请证明． （2）如图， A 、 B 是平面内两个距离为 a 定点，分别过 A 、 B 作互相平行的直线 l 1 、 l 2 ，旋转两直线，研究它们之间距离的取值范围．AB（3）以前这样一个题：已知直线 l 过点 P 3, 1 且被两平行线 l 1 ： xy 1 0 ，l 2 ： x y 6 0 截得的线段长为 5，求 l 的方程．你可否利用两平行直线的距离进行解决？3．点到直线的距离公式的应用（1）直线 l 1 与 l 2 订交，求 l 1 与 l 2 所成角的角均分线所在的直线方程．请说出起码两种方法，这样的直线有几条？（2）求直线 Ax ByC 0 对于点 x 0 , y 0 对称的直线方程．请说出起码两种方法．（3）直线 l 过 P ，且 M 、 N 到 l 的距离相等，求直线 l 的线方程．请说出起码两种方法．事例剖析1．求过直线 l 1 ： y1 x 10和 l 2 ： 3x y 0 的交点而且与原点相距为1 的直线 l 的方程．33【分析】设所求直线 l 的方程为 3 y x 103xy0 ，整理得 31 x 3y 10 0．由点到直线的距离公式可知，d101 ，解得3 ．32321代入所设，获得直线 l 的方程为 x 1或 4x 3 y 5 0 ．2．在函数 y 4x 2 的图象上求一点P ，使 P 到直线 y4x 5 的距离最短，并求这个最短的距离．【分析】直线方程化为4 x y 50 ．设 P a , 4a 2，则点 P 到直线的距离为2214 a4 a 1 44a 4a 25422 ．d21717241当 a1时，点 P1, 1 到直线的距离最短，最短距离为4 17．2217说明：也能够平移直线 y4x 5 ，当直线与抛物线 y4x 2 “相切”时，两条平行直线的距离即为所求．3．求证直线 L ： m 2x 1 m y64 m0与点 P 4 , 1 的距离不等于 3．【分析】方法一：由点线距离公式，得 dm 2 W4 1 m W 16 4mm 3．222mm 1 221 m2m假定 d3，获得 m 329 m 222，整理得 17m248m 36 0 ．1 mQ 48 236140 0 ， 17m 236 0 无实根．4 17 48md 3 ，即直线 L 与点 P 4 , 1 的距离不等于 3．说明：方法二：把直线 L ： m 2 x 1 m y6 4m0 按参数 m 整理，得 xy 4 m 2x y 60 ．xy4，解得x2．因此直线 L 恒过定点 Q 2 , 2 ．由y 6 0 y2 x2点 P 到直线 L 取最大距离时， PQ L ，即最大距离是 PQ2 22 1245 ．Q 53 ，直线 L 与点 P 4 ,1 的距离不等于 3．说明：法一妙在反证法思路的运用．法二妙在运用直线A 1 xB 1 yC 1A 2 xB 2 yC 20 恒过一个定点的知识．4．求与直线 l 1 ： 2 x 3 y 1 0 与 l 2 ： 4x 6 y 5 0 的平行且距离相等的直线方程．【分析】直线 l 1 的方程化为 4 x 6 y 2 0 ．设所求直线的方程为4 x6 y C 0 ，则2 C5 C ，即 C 2 C5，解得 C7 ． 42 62 42 6 22因此所求直线方程为4x6 y70 ．25．求直线 l 1 ： y 2x 3 对于直线 l ： y x 1对称的直线 l 2 的方程．【分析】方法一：由y 2 x 3 知直 l 1 与 l 的交点坐 2 ,1 ，yx1直 l 2 的方程 y 1 k x 2 ，即 kx y 2k 1 0 ．在直 l 上任取一点1, 2，由 知点1, 2 到直 l 1 、 l 2 的距离相等． 由点到直 的距离公式得k2 2k12 23，解得 k1222k 2舍去 ，221 k 21直 l 2 的方程 x 2 y0 ．方法二： 所求直 上一点P x , y ， 在直 l 1 上必存在一点 P 1 x 0 , y 0 与点 P 对于直l 秒。
【教育资料】四年级上册数学导学案第五单元 第3课时 点到直线的距离 人教新课标学习精品
说明 务，同时激发学生学习兴趣，培养学生数学建模能力。
2.思索探究，交流共享。在轻松愉悦的氛围中自主探究点到直等，在交流中达到共识，在此过程中共享学
习的乐趣。让学生在学习中学会自学，独立思考，真正成为学习的主人。
1.知道从直线外一点到已知直线所画的线段中垂直线段最短，知道点到直线的距
验新 一点向这条直线画线段，你能画 测量、比较，找 线间的距离处处（ ）。
知。 多少条？
出最短的线段。 （2）长方形的长和宽互相
（2）这些线段中有没有最短的？ （2）小组内派 （ ）；相对的边互相
哪一条最短呢？全班展开讨论。 代表整理汇报 （ ）。（填“垂直”或“平
（3）教师小结：从直线外一点到 结论：可以画无 行”）
教育资源
第 3 课时 点到直线的距离
课题 点到直线的距离
课型
新授课
点到直线的距离不仅是学习垂直的重要内容之一，而且在生活中有着广泛的应用。
教学中应注意贯通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用
等方式，使学生体会知识间的有机联系，感受数学的整体性。
设计 1.创设情境，引导学生分析实际问题，由实际问题转化为数学问题，揭示本课任
直线，在较远处画一个点 A，并 利用工具经过 A 点画出已知直线 一、引 的垂线。 入新 学生画图，指名到黑板上板演， 课。 指出垂足。 3.谈话：同学们都知道了什么是 垂直，掌握了经过直线外一点向
线。 1.自由交流。
2.经过一点画
已知直线的垂 答案：（1）
线，指出垂足。
3.了解本节课 (2)
的学习内容。 (3)
这条直线所画的垂直的线段最 数条线段，垂直 答案：（1）同一平面平行线相
短，所以点到直线的距离其实就 线段最短。 等（2）垂直平行
数学高中点到线的距离教案
数学高中点到线的距离教案
教学重点：点到线的距离的计算方法。
教学难点：理解点到线的距离的概念。
教学准备：
1. 教师准备好教案、教材、黑板、彩色粉笔等教学工具。
2. 学生准备好尺子或者直尺等测量工具。
教学步骤：
一、导入新知识（5分钟）
1. 引导学生思考：如何理解点到线的距离？
2. 导入本节课的新知识点：点到线的距离。
二、讲解点到线的距离的定义和计算方法（10分钟）
1. 讲解点到线的距离的概念。
2. 讲解点到线的距离的计算方法，包括垂直距离的计算和点到线段的距离的计算。
三、练习点到线的距离计算（15分钟）
1. 带领学生做几个简单的点到线的距离计算题。
2. 让学生自己尝试做一些练习题，巩固所学知识。
四、总结和提高（5分钟）
1. 总结本节课的重点和难点。
2. 对学生的表现进行评价，鼓励学生继续努力。
五、作业布置（5分钟）
1. 布置相关的点到线的距离计算题目作业。
2. 鼓励学生复习本节课所学内容，准备下节课的学习。
《点到直线的距离公式》导学案
《点到直线的距离公式》教案【预习】阅读书本第84—86页．【预习目标】感知点到直线的距离公式．【导引】已知点()00,y x P 是直线l ：0=++C By Ax （A 、B 不全为零）外一点，则点P 到直线l 的距离为：2200B A C By Ax d +++=．【试试看】1.求点)4,3(-A 到直线l ：083=+x 的距离．2.求点)2,0(D 到直线l ：02=--y x 的距离．【本课目标】1.能应用点到直线的距离公式解题．2.提高学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力．【重点】点到直线的距离公式及其应用．【难点】点到直线的距离公式推导．【导学】【情境引入】如图，在已有公路线附近有一大型仓库，现要再修建一条公路与之连接起来，便于运货．那么怎么设计能使这段公路最短？最短路程又是多少？现实生活中，常常遇到此类问题，即求点到直线的距离．【新知探究】 下面我们研究如何求点到直线的距离，先从最简单的开始．师：最简单的直线是什么？生：就是坐标轴．师：如果点()00,y x P ，那么P 到两条坐标轴的距离分别是多少？任务1：求点()00,y x P 到x 轴、y 轴的距离．【例1】求点()2,1-P 到x 轴、y 轴的距离． 仓库 公路【试金石】求点()2,1-P 到x 轴、y 轴的距离．（学生讨论，作图，再求解）老师和学生共同总结：P 到x 轴的距离为0y ，P 到y 轴的距离为0x ．师：如果直线l 平行于坐标轴，那么点P 到直线l 的距离是多少？任务2：求点()00,y x P 到直线a x =、b y =的距离．【例2】求点()2,1-P 到1=x 轴、1-=y 轴的距离．【试金石】求点()2,1-P 到1=x 轴、1-=y 轴的距离．（学生讨论，作图，再求解）老师和学生共同总结：若直线l 平行于x 轴，设直线l 的方程是b y =，则()00,y x P 到直线l 的距离就是b y -0，同理若直线l 平行于y 轴，设直线l 的方程是a x =，则()00,y x P 到直线l 的距离就是a x -0．师：上述两类直线都比较简单，不具有一般性，那么对于一般的直线和平面上的任意点，点到直线的距离应该如何求？能不能得到一个有实际价值的公式？【探究】思考如何计算点)2,0(D 到直线l ：02=--y x 的距离，试回答下述问题：（1）过点D 作l DE ⊥，垂足为E ，则线段DE 的长表示什么？（2）DE 所在直线的斜率是多少？并写出DE 所在直线的方程．（3）如何求垂足E 的坐标？（4）利用两点间的距离公式，能否求出DE 的长？（学生作图，思考，探索解题思路和途径）任务3:一般地，求点()00,y x P 到直线l ：0=++C By Ax （A 、B 不全为零）的距离． 求点()00,y x P 到直线l ：0=++C By Ax （A 、B 都不为零）的距离．按照探究中的思路，分析求距离的流程，学生思考，这种方法的优点和缺点．（优点是思路清晰，容易想到，缺点是运算量较大） 师：我们再思考一下，有没有其他办法求这个距离．（学生思考）xy O ()00,P x y · Q · R S · · d利用直角三角形的面积，师板演过程，得到点到直线的距离公式2200B A CBy Ax d +++=．这个方法和前面的方法相比，运算量明显减少．因此这种方法比较好．反思：在使用公式前需将直线的方程化为一般式．公式出来了，我们回头再看看，这个公式是不是对所以的点和所有的直线都适用呢？我们来验证一下这个公式对任务一和任务二的两种情况是否适用．（以小组为单位，讨论、探究，得出结论）【例3】求点)0,1(-P 到下列直线的距离：（1）0102=-+y x ；（2）23=x ；（3）12-=x y ．【试金石】求点)2,1(-P 到下列直线的距离：（1）01332=-+y x ；（2）63-=x ；（3）y x 2=．【思考交流】如果两条直线平行，如何求这两条直线间的距离？例如，如何求两条平行直线013=-+y x 与0762=-+y x 之间的距离？师：直线到直线的距离转化为点到直线的距离，点的坐标任取，一般取简单的点．(坐标轴的交点）【试金石】求两条平行直线03=+-y x 与0122=+-y x 之间的距离．【检测】1.求点P 到直线l 的距离：（1）)1,2(P ，032:=-x l ；（2）)4,3(-P ，3034:+=x y l ．2.若点),(y x P 在直线04=-+y x 上，O 是原点，求OP 的最小值．【课堂小结】（由学生小结这节课所学内容）已知点()00,y x P 是直线l ：0=++C By Ax （A 、B 不全为零）外一点，则点P 到直线l 的距离为：2200B A CBy Ax d +++=．1.此公式的作用是求点到直线的距离；2.此公式是在A 、B 都不为零的情况下推导出来的，0=A 或0=B 此公式也成立；3.用此公式时，直线方程要化成一般式．。
点到直线的距离
与Ax By C 0平行的直线系方程为 Bx — Ay 0
课后作业
1. 教材第109页 A 5,8,9,10；B 2,4 2. 导学案固学区 1-5,7,9
(2)证明：直线l恒过第三象限.
完成课本P101 A组10题
思考1：试写出与直线 4 x y 2 0平行的直线一般形式
4 x y 0 ( 2)
与Ax By C 0平行的直线系方程为 Ax By 0 （ C） 思考2：试写出与直线 2 x y 5 0垂直的直线一般形式
点到直线的距离公式:
已知点P的坐标为（x0, y0），直线l 的方程 是Ax+B y +C=0，则点P到直线l 的距离为：
d
Ax 0 By 0 C A2 B 2
平行线间的距离公式： 设两平行线 l1 : Ax By C1 0 ， l 2 : Ax By C 2 0 之间的距离为 d ， 则d
d
Ax 0 By 0 C A B
2 2
完成教材P108练习： 1. 求原点到下列直线的距离: (1) 3 x 2 y 26 0 ; (2) x y.
2. 求下列点到直线的距离:
(1) 2 13 ; ( 2 ) 0 .
9 (1) A( 2 ， 3) , 3 x 4 y 3 0 ; (1) ； 5 ( 2) B(1， 0) , 3 x y 3 0 ; (2) 0 ； 2 ( 3) C (1， 2) , 4 x 3 y 0 . ( 3) . 5 阅读理解课本P107例5,6，思考有无其它解法yl1dl2| C 2 C1 |
o
x
A2 B 2 思考课本P108例7能直接套公式吗？
垂线(2)导学案
垂线（2）导学案班级__________姓名_______学号________学习目标：正确理解垂线段的概念、“垂线段最短”的性质；理解点到直线的距离的意义并会度量点到直线的距离 活动一.情景引入 在灌溉时，要把河中的水引到农田P 处，如何挖渠能使渠道最短？ 活动二.探究新知动手操作：连接直线l 外一点p 与直线l 上各点o,A,B,C,…,其(PO l PO P 我们称为点到直线l 的垂线段），比较线段PO,PA,PB,PC PC …的长短（先用直尺测量再比较），这些线段中哪一条最短？P测量结果：线段PO=，PA=，PB=，PC=，经比较可知，最短。
L于是，我知道了：垂线段的概念：从直线外一点引一条直线的垂线，____和______之间的线段叫做垂线段. 垂线段的性质：________最短； 简单说成。
点到直线的距离：叫点到直线的距离。
活动三.运用新知如图1，已知钝角△ABC 中，∠ABC 为钝角。
（1）画出点A 到BC 的垂线段； （2）点B 到AC 的垂线；（3）量出点C 到AB 的距离；活动四.巩固练习一辆汽车在一条直线形的公路AB 由A 向B 行驶。
M N 分别是位于公思考:汽车行驶到什么地方时，到村庄M N 的路程之和最短？请你画出来。
活动五.课外作业（图1）E D C B A （图2）5、判断对错：(1)直线外一点与直线上的一点间的线段的长度是这一点到这条直线的距离. （ ） (2)如图2,线段AE 是点A 到直线BC 的距离. （ ） (3)如图2,线段CD 的长是点C 到直线AB 的距离. （ ） 6、点到直线的距离是指这点到这条直线的（ ）A 、垂线段B 、垂线的长度C 、长度D 、垂线段的长度7.如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF=65O ，求∠AOE的度数。
A BCD EFO。
教用零障碍7年级数学人教下册第五章第3课.pdf
来）．
８．（例３）如图，汽车在直线公路ＡＢ上行驶，Ｍ，Ｎ是两９．如图，在河岸ｌ的同侧有一村庄Ａ和自来水厂Ｂ．现
侧的村庄，当汽车行驶到 Ｐ点位置时，离村庄 Ｍ最 要在河岸 ｌ上建一抽水站 Ｄ，将河中的水输送到自
近，当行驶到点 Ｑ位置时，离村庄 Ｎ最近，请在 ＡＢ 来水厂后，再送往 Ａ村，问抽水站 Ｄ应建在何处，才
Ｃ．线段 ＣＤ的长
Ｄ．线段 ＡＢ的长
第２关
１２．如图，ＡＣ⊥ ＢＣ，Ｃ为 垂 足，ＣＤ⊥ ＡＢ，Ｄ为 垂 足，ＢＣ１３．如图，甲、乙两名同学测得小明 的 跳 远 成 绩 分 别 为
＝６，ＣＤ＝４８，ＢＤ＝３６，ＡＤ＝６４，ＡＣ＝８．
ＤＡ＝４．４ｍ，ＤＢ＝４．２到 ＡＢ的距离是 ４８ ；
…，交 ｌ于点 Ａ，Ｂ，Ｃ，…，请你
解：连接 ＡＢ，作 ＢＣ⊥ＭＮ，Ｃ是垂
用量角器量 ∠１，∠２，∠３的
足，线段 ＡＢ和 ＢＣ就是符合题意
度数，并量 ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ的 长
的线路图．
度，你发现的规律是 连接直线外一点与直线上各
因为从 Ａ到 Ｂ，线段 ＡＢ最短，
答案图 点所得的线段长度随着它与直线夹角的增大而
上分别画出 Ｐ，Ｑ两点的位置．
能使铺设的水管最短？在图中画出来．
解：如图，过点 Ｂ作 ＢＤ⊥ｌ于
点 Ｄ，此时由垂线段最短可知
点 Ｄ即为水站．
连接 ＡＢ，由两点 之 间 线 段 最
解：如图．
短可知 ＡＢＤ为铺设水管
的最短路线．
答案图
答案图
第五章 相交线与平行线 ７
二、过关检测
第 １关
１０．如图，△ＡＢＣ是锐角三角形，过点 Ｃ作 ＣＤ⊥ＡＢ，垂１１．小区 Ｐ附近要建立一个邮局，有四个地点 Ａ、Ｂ、Ｃ、
点到直线的距离公式
第52课时 《点到直线的距离公式》导学案设计人：黄清 审核人：屈长志 序号：52班级：___________ 组名： ____________ 姓名：___________【教学目标】知识与技能：掌握点到直线的距离公式及推导.过程与方法：通过点到直线的距离公式的推导，使学生再次体会坐标法的思想及数学化归思想，同时获得知识能力，意志品质的发展.情感，态度与价值观：认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.【教学重点】点到直线的距离公式.【教学难点】点到直线的距离公式的推导过程.【教学过程】一．复习回顾两点()()1122,,,P x y P x y 间的距离d =___________________.二．自主学习———问题发现1．点()00,P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =___________________；(1) 点()00,P x y 到x 轴的距离d =___；(2) 点()00,P x y 到y 轴的距离d =___；(3) 点()00,P x y 到直线y a =的距离d =__________；(4) 点()00,P x y 到直线x b =的距离d =__________；2.两条平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=之间的距离d =___________.三．问题探究1.(1)求原点到直线1:51290l x y --=的距离；（2）求点(1,2)P -到直线2:2100l x y +-=的距离.2.用解析法证明：等腰三角形底边延长线上的一点到两腰的距离之差等于一腰上的高.3.两平行直线12,l l 分别过(1,0)A 与(0,5)B ，若1l 与2l 的距离为5，求这两直线方程.四．拓展训练——问题评价；（一）课内训练1.求下列点到直线的距离(1) (0,0),3240x y -+=；（2）(10y --=；(3) (2,3),x y -=.2.求下列两条平行直线的距离（1）3210,3260;x y x y --=-+= （2）20,2470x y x y +=+-=.（二）课外训练在y 轴上求一点M ，使M 与点(6,8)N 的距离等于10.五、反思小结1.我的问题2.我的收获。
立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的计算 导学案
立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的计算班级：姓名：小组：【学习目标】(1)理解立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的概念．(2)掌握各种距离的计算方法．【重点、难点】重点：点到直线、点到平面距离公式的推导及应用．难点：把空间距离转化为向量知识求解．【学法指导】空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离．其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离，用向量法来求解。
【预习感知】1．两点间的距离的求法．设a＝(a1，a2，a3)，则|a|＝______________，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则d AB＝|AB→|＝________________.2．点到直线距离的求法设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外定点．作AA′⊥l，垂足为A′，则点A到直线l的距离d等于线段AA′的长度，而向量P A→在s上的投影的大小|P A→·s|等于线段P A′的长度，所以根据勾股定理有点A到直线l的距离d＝_____________．3．点到平面的距离的求法设π是过点P垂直于向量n的平面，A是平面π外一定点．作AA′⊥π，垂足为A′，则点A到平面π的距离d等于线段AA′的长度，而向量P A→在n上的投影的大小|P A→·n0|等于线段AA′的长度，所以点A到平面π的距离d＝____________.【预习检测】1．已知直线l过定点A(2,3,1)，且方向向量为n＝(0,1,1)，则点P(4,3,2)到l的距离为()A.322B．22 C.102变式训练 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则点O 的平面ABC 1D 1的距离为( )A ．12B ．24C ．22D ．32【课堂检测】（见课堂多媒体，随堂检测） 【课后训练】10．已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各条棱长均为a ，侧棱垂直于底面，D 是侧棱CC 1的中点，问a为何值时，点C 到平面AB 1D 的距离为1.。
3.3.2两点间距离教案两点间的距离公式教案
3.3.2两点间距离教案两点间的距离公式教案张喜林制§3.3.2两点间的距离【教学目标】1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题. 2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性. 3．体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题.【重点难点】教学重点：①平面内两点间的距离公式. ②如何建立适当的直角坐标系.教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题. 【教学过程】一、导入新课、展示目标问题已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?二、检查预习、交流展示核对课前预习中的答案。
1、（1，0）；2、1并说出自己的疑惑处。
三、合作探究、精讲精练探究一平面内两点间的距离公式问题(1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求B(3，4)到原点的距离.(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.教师①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?②求点B(3，4)到原点的距离. ③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|. ④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程). 学生回答①|AB|=|xB-xA|,|CD|=|yC-yD|. ②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B到原点的距离是5. ③图1在直角坐标系中，已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，如图1,从P1 、P2分别向x轴和y轴作垂线P1M1、P1N1和P2M2、P2N2，垂足分别为M1(x1，0)、N1(0，y1)、M2(x2，0)、N2(0，y2)，其中直线P1N1和P2M2相交于点Q. 在Rt△P1QP2中，|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2.因为|P1Q|=|M1M2|=|x2-x1|,|QP2|=|N1N2|=|y2-y1|，所以|P1P2|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2.22由此得到两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|=(x2x1) (y2y1)教师④(a)我们先计算在x轴和y轴两点间的距离.(b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形. (c)猜想了任意两点间距离公式.(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!应用示例例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.图2解:设B(x，3)，根据|AB|=13，即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x=-16.点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.变式训练1课本106页练习第一题例2 已知点A(-1，2)，B(2，在x轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. 解:设所求点P(x，0)，于是有(x1)(02) 由|PA|=|PB|,得x2+2x+5=x2-4x+11,解得x=1.22即所求点为P(1，0),且|PA|=(11)(02)=22.22(x2)2(07)2.点评：引导学生熟练设点及应用距离公式。
立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的计算导学案
全国名校高中数学优质学案专题汇编(经典问题附详解)选修2-1导学案立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的计算 班级： 姓名：小组：【学习目标】(1) 理解立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的 概念.(2) 掌握各种距离的计算方法.【重点、难点】重点：点到直线、点到平面距离公式的推导及应用. 难点：把空间距离转化为向量知识求解. 【学法指导】空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、线 到面、面到面之间的距离.其中以点到面的距离最为重要， 设I 是过点P 平行于向量s 的直线，A 是直线I 外定点.作AA '丄I ，垂足为A ',则点A 到直线I 的距离彳占d 等于线段AA '的长度，而向量PA 在 s 上的投 /1P影的大小|PA S o l 等于线段RA 的长度，所以根 据勾股定理有点A 到直线I 的距离d= ______________________________ .3.点到平面的距离的求法设n 是过点P 垂直于向量n 的平面，A 是平面n 外一定 点.作AA'丄n 垂足为A ；则点A 到平面n /A 的距离d 等于线段AA 的长度，而向量PA 在. ；n 上的投影的大小|PA n o |等于线段AA 的长 ’ ——- 度，所以点A 到平面n 的距离d = _________________________ .其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距 离，用向量法来求解。
【预习感知】1. 两点间的距离的求法.设 a = (a i , a 2, a 3),则|a |= _____________ ,若 A(x i , y i , 乙)，B (X 2 , y 2, Z 2),贝S d AB= |AB| = ______________ .选修2-1导学案全国名校高中数学优质学案专题汇编(经典问题附详解)2. 点到直线距离的求法【预习检测】1.已知直线I过定点A(2,3,1),且方向向量为n = (0,1,1),则点P(4,3,2)到I的距离为()全国名校高中数学优质学案专题汇编（经典问题附详解）选修2-i 导学案第3页A.2；'3 2.如图所示，正方体 ABCD — A i B i C i D i 的棱长为1, O是底面A i B i C i D i 的中心，则0到平面ABC i D i 的距离是() C.22变式训练 已知直线I 过定点A(2,3,i),且方向向量为n =(0,i,i),则点P(4,3,2)到I 的距离为(3. 已知长方体 ABCD — A i B i C i D i 中，AB = 6, BC = 4, BB i = 3,则点B i 到平面A i BC i 的距离为 ______________ .【自主探究】 ★求点到直线的距离如图，在空间直角坐标系中有长方体 ABCD — A'B'C'D ； AB =★点面距已知正方形ABCD 的边长为4, E 、F 分别是AB 、AD 的 中点，GC 丄平面ABCD ，且|GC|= 2,求点B 到平面EFG 的距离.全国名校高中数学优质学案专题汇编（经典问题附详解）选修2-i导学案第4页【课堂检测】（见课堂多媒体，随堂检测）【课后训练】i0.已知三棱柱ABC—A i B i C i的各条棱长均为a,侧棱变式训练如图，正方体ABCD —A i B i C i D i的棱长为1, O是底面A i B i C i D i的中心，则点0的平面ABC i D i的距离为B. 42C. 22D- 23A.A H 垂直于底面, 为何值时，点。
最新冀教版四年级数学上册《 垂线和平行线 垂线 两条直线的相交关系;点到直线的距离》优课导学案_5
冀教版四年级上册《相交与垂直》教学【教材分析】本课是在学生认识直线、射线、线段、角的基础上进行教学的。
教材通过“看一看”“折一折”“说一说”等活动来帮助学生理解相交与垂直现象，调动学生的多种感官参与，将抽象的知识形象化，并让学生感受到亲身探索发现知识的快乐，应用知识解决生活中的实际问题。
【教学目标】1、借助生活情境，认识垂直。
2、培养学生的空间观念和初步的画图能力。
【教学重点】建立相交与垂直的概念。
【教学难点】相交与垂直的概念。
【教学准备】1、教具：课件，三角尺。
2、学具：三角尺，正方形纸，记号笔。
教学过程：一、创设情境，激趣导入。
课件出示图片师：谜语引入，这节课我们继续来研究直线。
二、动手操作，认识相交和垂直1．画一画。
请同学们在准备好的白纸上，任意画两条直线，画完后在组内交流，看看自己与其他同学画的是否相同。
2．认一认学生画直线，老师巡视和辅导，选取有代表性的画法，投影展示。
通过辨析请学生说出两条直线的位置关系。
（不相交、相交）再挑选互相垂直的两条直线投影，请学生观察两条直线的位置关系，与一般相交的不同。
（小组讨论）同学汇报总结，这两条直线也是相交，但相交后的成直角。
教师板书揭示课题《相交与垂直》3. 揭示概念同学们，请看这幅图片，这是什么？（十字路口）如果在这幅图片中也抽象出两条直线，你们说它们是什么关系？（相交）它不仅是两条相交的直线，它们还互相垂直呢！什么是相交与垂直呢？这节课我们就来研究一下。
（板书课题）二、活动探究，获取新知。
1、看一看。
请学生观察这些图片师：同是两条直线相交成的图案，可它们却是不同的，那这些图案有什么不同呢？师：这些角都是什么角，你能用三角板量一量吗？师：这是我们常见到的剪刀和卫生标志图案，如果用直线来表示这些图案，应该怎么画呢？让学生都画一画，并与同学交流一下。
然后出现图案。
师：左边一个图案是两条直线相交，右边一个图案也是两条直线相交，那么这两个图案有什么不同呢？生：一个图案相交不成直角；一个图案相交成直角。
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2.2.4 点到直线的距离课前预习案
知识链接：1回顾两点间的距离公式的推导过程
2两点间距离公式_______________________
3点到直线的距离指的是点到直线的____________________的长度课前预习探究：
问题1点P（2,-3）到x轴、y轴的距离分别是_______，__________
问题2如何求点到直线的距离？
（能求Q点坐标利用两点间距离公式求出距离吗？）
问题拓展：如何求点到直线
（）的距离？（过已知点作垂线，找垂足，求两点间距离）步骤整理：
结论：点到直线的距离公式
点到直线（其中）的距离d=_____________
试一试：求点到下列直线的距离
（1）
（3）
2.2.4点到直线的距离
学习目标：
1、知识与技能
探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离；探索点到 直线的距离的求解过程，体会运用解方程组方法，构造出点到直线的距离公
式()()()2
22
112
012
01B
A C By Ax y y x x +++=-+-的思路。
2、过程与方法
先求出过已知点垂直已知直线的直线方程，再求这两条直线的交点坐标；然后求出已知点和垂足间的距离，进而得出点到直线的距离公式。
学习重、难点：
重点：点到直线的距离公式。
难点：点到直线的距离公式的推导。
导学提纲：
①、复习平面直角坐标系中两点之间距离公式；
②、理解点到直线的距离是怎样转化为两点间的距离的； ③、了解点到直线公式的推导过程；
④、利用点到直线的距离公式导出两平行直线间的距离公式。
学习过程：
一、课前预习
【基本概念的自主学习——点到直线距离公式的推导】
x O
y
l
P 0
P
1、平面直角坐标系中两点之间的距离公式？
2、怎样把求点到直线的距离转化为求两点间的距离？
二、新课讲解
1、点到直线的距离公式的推导
阅读书本，小组共同探讨：怎样把未学过的知识“点到直线的距离”转化为已学的“两点间的距离”。
2、在理解并掌握点到直线距离公式的前提下推导两平行线间的距离公式
三、典例解析
例1：求点()21，-P 到直线52=+y x 的距离d 。
x O
y
l
P 0
P
【解析】将直线方程化为一般式：
052=-+y x
因为
5122111-====-=C B A y x ，，，，
所以由点到直线的距离公式，得
()55
5
125
21122
2==
+-⨯+-⨯=
d 。
例2：求证：两条平行直线
02211=++=++C By Ax l C By Ax l ：：
之间的距离是
2
2
21B
A C C d +-=。
x
O
y l 1
l 2
22
【解析】两条平行线的距离，就是在其中一条直线上任意取一点，这个点到另一条直线的距离。
证明：在1l 上任意取一点()11y x P ，，则111C By Ax -=+。
1l 与2l 之间的距离等于点2l P 到的距离
2
2
122
2
2
11B
A C C B
A C By Ax d +-=
+++=。
例3：求平行直线
245120851221=--=+-y x l y x l ：：之间的距离。
【解析】由两平行线1l 与2l 之间的距离公式：2
2
12B
A C C d +-=
得
13
32
5128242
2=
+--=
d 。
即平行线1l 与2l 之间的距离是13
32。
四、课堂验收
1、以点()32，A 为对称中心，直线032=+-y x l ：
对称直线的方程为（ ）。
A.052=-+y x B.052=+-y x C.052=--y x D.052=++y x
2、到直线012=++y x 的距离为5
5的点的集合是（ ）。
A.022=-+y x
B.02=+y x
C.022=-+y x 或02=+y x
D.022=++y x 或02=+y x
3、点()2-，a 到直线0443=+-y x 的距离等于1，则a 的值__________。
4、点P 到直线28-=x y 的距离为6，则点()y x P ，满足的关系式____。