北京邮电大学《高等数学》习题课一zh

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例10. 设y=f (x，t)，而t是由方程F(x，y，t)=0所确
定的x、y的函数，其中f，F都具有一阶连续偏导
数，试证明
dy
f x
F t
f t
F x
dx f F F
t y t
证法一：首先分析一下变量间的关系。
t是由方程F(x，y，t)所确定的x、y的函数， t=t(x，y)，于是有 y=f [x，t(x，y)] (1)
23
证法二：
将所给两方程联立：Fy
f ( x,
( x, t y, t )
) 0, 0,
方程组中含两个方程、三个变量，可确定两个一元
函数y=y(x)，t=t(x)。方程组中的两个方程两端分别对
自变量x求导，有
解上面的方程组
dy dx
f x
f t
dt dx
0,
F
x
F y
dy dx
10
因为f 具有二阶连续偏导数 z x 3 f ( xy, y ) x
2z 2z xy yx
x
(x4
f1
x2
f 2)
4x3
f1
x4[
f11 y
f12 (
y x2
)]
2
xf2
x 2[ f 21 y
f 22 (
y )]
x2
4 x 3 f1 2 xf 2 x 4 yf11 yf 22 .
u yy
代入得证。
15
例7 设 1 1 f ( 1 1 )，f可微，证明
zx
yx
x 2 z y 2 z z 2 .
x
y
证明： 两端求对x的偏导数，得
1 z 1
1
f '(u)
z 2 x x 2
两端同乘以x2z2：z 2 x 2
z
z2
x2
f '(u)
(1)
两端求对y的偏导数：
x
1 z2
f u y
f v y
2
（2）几种变形 (i)多个中间变量，一个自变量
u f ( x, y, z), x (t), y (t), z (t)
u z xt
y
du u dx u dy u dz dt x dt y dt z dt
(ii)一个中间变量，多个自变量：
z f (u), u ( x, y)
f x (1,1) f y (1,1)[ f x (1,1) f y (1,1)]
a b[a b] a ab b2
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而x s
3t ,y
3s t
2
2
证明（u )2 （u )2 （u )2 （u )2
x y s t
及
2u x 2
2u y2
2u s2
2u t 2
证明 x 1 , y 3 , x 3 , y 1 s 2 s 2 t 2 t 2
u u x u y 1 u 3 u s x s y s 2 x 2 y
f y (x,
df (x, x) f (x, x))
dx
f x ( x, f ( x, x)) f y (x, f (x, x))[ f x ( x, x) f y (x, x)]
(1) f x (1, f (1,1)) f y (1, f (1,1))[ f x (1,1) f y (1,1)]
z y
f '(u) (
1 y2 )
两端同乘以y2z2： y 2 z z 2 f '(u) (2)
ywk.baidu.com
(1)式+(2)式
即得x 2 z y 2 z z 2
x
y
16
例8
设F ( x z , y z ) 0, F可微，求 yx
z , x
z , dz. y
解：方程两端求对x的偏导数，有
F1(1 解得
1 y
z x z
) F2(
F2
z xz2x2
1 x
F1 '
z ) x
0
x
1 y
F1
1 x
F2
方程两端求对y的偏导数，有
dz
F2
z x2
F1 ' dx
F1 (
z y z y2 )
F1
(
z y2
F2
1 x
F2
dy
) F2
1 y
F1
1 y
F1
1 x
F2
1 x
F2
1 y
F1
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或利用全微分形式的不变性求偏导
f12 xe y f13 e y f 3 e y f 32 xe 2 y f 33 12
例5
设z
f (x2
y
2
),
其中f
具有二阶导数，求
2z x2
解 z f 2x x
2z x 2
2
f
2 xf
2x
2 f 4x 2 f
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例6 设u f ( x, y)的所有二阶偏导连续，
F t
dt dx
0.
f F f F
dy
x
t
t
x
dx f F F
t y t
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证法三：利用全微分形式不变性
dy f xdx ft dt
F
x
dx
F y dy
Ft dt
0
f F f F
解出 dy x t t x dx f F F
t y t
dy
f x
F t
f t
F x
dx f F F
11
例4 设z=f (x，y，u)，u=xey，f 具有二阶连续偏
导数，求 2 z
x
xy
解
z
u
x f1 f3 x f1 e y f 3 ,
z yx y
u
2z xy
y
(
f1
ey
f3 )
f1 y
ey
f3
ey
f 3 y
f12
f13
u y
e
y
f3
ey(
f 32
u f 33 y )
f12 f13 xe y e y f 3 e y ( f 32 f 33 xe y )
由式（1）可确定一元函数y=y(x)。
（1）式两端对x求导得
22
dy dx
f x
f t
t x
t y
dy dx
(2)
t是F(x，y，t)=0确定的x、y 的函数，由隐函数 求导法知
F
F
t x , x F
t y . (3) y F
t
t
将（3）式代入（2）式，并从中解出 dy
dx
即得所欲证之等式。
y0
cos 3
7
例２
讨论f
( x,
y)
( x 2
y 2 )sin
x2
1
y2
0
( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0)
在(0,0)处（1）偏导是否存在？（2）可微？（3）偏导连续？
解
f (0 x,0) f (0,0)
fx
(0,0)
lim
x0
x
x 2 sin 1
lim x 0
F(x
z y
，y
z x
)
x
F1
F2
(
z x2
)
y
F1
(
z y2
)
F2
z
于是
F1
1 y
z
x
F2
1 x
x z
z F1 x 2 F2 11 y F1 xzF2
z y F2 y 2 F1
y
z
11 y F1 x F2
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例9 . 设
u v
f (ux, v ，y)其中f、g具有一阶连续偏数， g(u x,v2 y)
三种方法:
(i)公式法；
(ii)复合函数的求导法则；
(iii) 一阶全微分形式的不变性 。
（2）方程组的情形 一般：变量个数－方程个数=自变量个数
求导方法：确定自变量及因变量，各方程对某 一个自变量求偏导，解方程组求得各因变量对这个 自变量的偏导数(或导数) .
5
二、典型例题分析 1 、填充
(1) lim( x y)cos 1 0
t y t
25
例11 设函数f ( x, y)可微，f (1,1) 1, f x (1,1) a,
f y (1,1) b, 又记（x) f ( x, f ( x, x)), 求(1), (1).
解 （1) f (1, f (1,1)) f (1,1) 1
（x)
f x (x,
f (x, x))
x2
y2
cos
x2
y2
1
2y
1
f y ( x, y) 2 y sin x 2 y 2 x 2 y 2 cos x 2 y 2
lim
yx x0
1
f
x
(x,
y)
lim(2x
y x x0
sin
2x 2
1 cos 1 )不存在 x 2x2
f x (x, y)在(0,0)处偏导不连续 9
例3
设z
( xf1 1)(2vyg2
1)
f 2g1
u 1 uf1
f2 uf1(2vyg2 1) f2g1
x J g1 2vyg2 1 ( xf1 1)(2vyg2 1) f2g1
v 1 xf1 1 uf1
g1 ( xf1 uf1 1)
x J g1
g1 ( xf1 1)(2vyg2 1) f2g1
z x
dz u du x
f (u) x ,
z ux y
z y
dz u du y
f (u) y
3
(iii)中间变量与自变量混合存在:
z f ( x, y, u), u u( x, y)
xx z yy
u
z
u
x f x fu x
z
u
y f y f u y
（3）全微分形式的不变性:
z=f (u，v)， u，v 不管是自变量还是中间变
量，有
dz z du z dv
u v
（4）复合函数的高阶偏导数的计算(难点)
z f (u,v), u ( x, y), v ( x, y)
求zxx , zxy ,zyy 时应该注意到fu , fv仍是复合函数. 4
6 熟练掌握隐函数的偏导数的计算
（1）单个方程的情形 理论基础是复合函数的求导法则，具体计算有
x0
xy
y0
(2) lim(1 x )y e k
xk
y
y
6
y2 x2
(5)
z
arctan
y x
, zxy
(x2
y2 )2
(6) z x y , dz yx y1dx x y ln xdy
(7) u sin( y 3z), z由z 2 y xz 3 1 0确定，
求 u x
x1
注：多元复合函数的偏导数
链式法则—“连线相乘，分线相加”
（1） z f (u,v), u ( x, y), v ( x, y)，
变量关系图 z u x z f [( x, y), ( x, y)]
vy
则有
z x
z u u x
z v
v x
f u x
fv x
z y
z u u y
z v
v y
x 2 0 x
同理f y (0,0) 0
lim z f x (0,0)x f y (0,0)y
x 0
x 2 y 2
8
(x 2 y 2 ) sin
1
lim
x 2 y 2
0
x 0
x 2 y 2
f (x, y)在(0,0)处可微
1
2x
1
f x (x,
y) 2x sin x2
y2
第一次习题课
一、内容及要求 1 理解多元函数、多元函数的极限、连续、 偏导数及全微分的定义. 2 会求一些二元函数的极限、能判别函数的 连续性. 3 能利用一元函数的求导法则计算多元函数 的一阶二阶偏导，会求多元函数的全微分.
4 理解多元函数连续、可导、可微的关系．
1
5 熟练掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数 的计算（重点）
x3
f ( xy,
y ), ( f
具有二阶连续偏导数)，
x
求 z , 2 z , 2 z . y y 2 xy
解
z y
x 3 ( f1x
f 2
1 x
)
x 4 f1 x 2 f 2,
2z y 2
x 4 ( f11 x
f12
1 )
x
x 2 ( f21 x
f 22
1 )
x
x 5 f11 2 x 3 f12 xf 22 ,
F1d( x
z) y
F2d( y
z) x
0
ydz zdy
xdz zdx
F1 (dx y 2 ) F2 (dy x 2 ) 0
整理可得
11
z
z
( y F1 x F2 )dz (F1 F2 x 2 )dx (F2 F1 y 2 )dy
由此可求得
18
也可利用公式，令：
( x，y，z)
14
2u 1 x
y 3 x
y
s2
2 [uxx
s
uxy
] s
2
[uyx
s
uyy
] s
11
331
3
2 [uxx 2 uxy
] 2
2 [u yx 2 u yy
] 2
1
3
3
4 uxx 2 u yx 4 u yy
同理：u t
31 2 ux 2 uy
2u t 2
3 4
uxx
3 2
uxy
1 4
求 u ，v .
x x
解 所给方程两端对x求偏导，得
u x
f
1
'
u
x u x
v f 2 ' x ,
v x
g1
'
u x
1
g2
'2vy
(
xf
1
'1)
u x
v f2 ' x
v x uf1'
整理可得
g1
'
u x
(2vyg2 '1)
v x
g1 '
20
J xf1 1 g1
f 2 2vyg2 1